BertJanssen-RelatividadGeneral-106

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es el segmento de arco ∆θ multiplicado por el radio de la esfera, mientras la distancia entre dos
puntos con la misma latitud (∆θ = 0) viene dada por el segmento de arco ∆ϕ, multiplicado por
el radio R0 sin θ del cı́rculo de latitud.
Consideramos ahora el siguiente cambio de coordenadas y su inversa
r =
R0 sin θ
1 − cos θ ⇐⇒ θ = 2 arc tg
(
R0
r
)
. (6.43)
Este cambio de coordenadas es un rescaleo del ángulo polar θ, que está bien definido en todos
los puntos, salvo en el polo norte θ = 0. Obsérvese que el polo sur, θ = π, se corresponde con
r = 0, mientras el ecuador, θ = π/2 se corresponde con r = R0. Sin embargo r tiende a infinito en
el lı́mite en que θ tiende a cero y el cambio de coordenadas mismo es divergente en este lı́mite.
Para calcular la forma de la métrica en las coordenadas (r, ϕ), utilizaremos la expresión (6.28).
De (6.43) tenemos directamente que
dθ =
−2R0
R20 + r
2
dr, sin θ =
2R0r
R20 + r
2
, (6.44)
donde en la última expresión hemos utilizado la fórmula sin(2α) = 2 tg α/(1 + tg2 α). Por lo
tanto, la expresión para la métrica de la S2 en las nuevas coordenadas es (ejerc.)
ds2 =
4R40
(R20 + r
2)2
[
dr2 + r2dϕ2
]
. (6.45)
Obsérvese que la parte entre paréntesis es la métrica plana de R2 en coordenadas polares, pero el
factor no-trivial delante hace que la métrica total no sea la de R2. En el Capı́tulo 7 desarrollaremos
técnicas para determinar la curvatura de variedades, pero a estas alturas ya deberı́a quedar claro
que la métrica (6.45) no puede ser la de R2, puesto que no hemos hecho nada más que aplicar un
cambio de coordenadas a la esfera bidimensional, ası́ que de algún modo la métrica (6.45) debe
seguir describiendo la esfera (en el siguiente capı́tulo veremos cómo).
Sin embargo, sı́ hay una explicación de por qué aparece aquı́ algo tan parecido a la métrica de
R
2 en coordenadas polares. El cambio de coordenadas (6.43) tiene la interpretación geométrica
de una proyección estereográfica desde el polo norte a un plano que pasa por el ecuador, y las
coordenadas (r, ϕ) son las coordenadas polares en ese plano. La métrica (6.45), por lo tanto, no
es la métrica euclı́dea usual en el plano, sino la métrica de la S2 inducida en el plano por la
proyección estereográfica. Las propiedades geométricas del plano con la métrica (6.45) son muy
diferentes a las del plano usual. Por ejemplo, dos puntos cercanos al polo sur se proyectan a
puntos cerca del origen del plano r = 0, pero dos puntos cercanos al polo norte se proyectan a
puntos lejos del origen y lejos uno del otro (con “lejos” queremos decir lejos en términos de la
métrica usual en R2). Sin embargo, el prefactor de la métrica (6.45) disminuye muy rápido para r
grande, de modo que la distancia medida por la métrica inducida es la misma entre ambos pares
de puntos.
Aunque topológicamente las coordenadas (r, ϕ) describen un plano, geométricamente la mé-
trica (6.45) todavı́a es la de S2.8 En el siguiente capı́tulo estudiaremos que lo que sitingue los
espacios con diferentes propiedades geométricas es la curvatura.
8El hecho de que el cambio de coordenadas (6.43) sea singular en el polo norte es una ilustración de que la topologı́a
de una esfera es la de un plano más un punto en el infinito.
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