Coordenadas Curvilineas

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 A 
S S T U D I O
 R
 U
 M
 P I U R E N 
S I
 S
COORDENADAS CURVILINEAS
MSc Daniel G. Camacho
Facultad de Ingenieŕıa
Universidad de Piura
Piura - 2006
Índice
1. Coordenadas curviĺıneas 1
2. Coordenadas polares 1
2.1. Imagen de un rectángulo en el plano r − θ . . . . . . . . . . . 3
2.2. Area de la imagen del rectángulo en el plano r − θ . . . . . . . 5
1. Coordenadas curviĺıneas
En esta sección vamos a estudiar las coordenadas curviĺıneas. En realidad
ya conocemos un sistema de coordenadas curviĺıneas en el plano, las coorde-
nadas polares, que justamente vamos a utilizar para introducir los conceptos
en este tema. Esta parte del curso tiene muchas aplicaciones, en particular
necesitaremos conocer este tema para poder cambiar las variables de inte-
gración en una integral múltiple.
2. Coordenadas polares
Para especificar un punto del plano seleccionamos un sistema coordenado
cartesiano y damos un par ordenado (x, y) y decimos que hemos especificado
las coordenadas cartesianas de dicho punto. Cada elemento del par tiene un
significado preciso (consecuencia del orden), sabemos sin ambigüedad que la
primera componente del par es la coordenada x y nos da la distancia (positiva
o negativa del punto al eje y). La segunda componente del par ordenado es
la coordenada y y nos da la distancia del punto al eje x.
Podemos individualizar el mismo punto usando coordenadas polares, en
este caso, damos nuevamente un par ordenado (r, θ), pero el significado de
cada componente en el plano x−y es ahora distinto. La primera componente
del par ordenado r, es la distancia al origen del punto en el plano x − y, la
segunda componente del par ordenado, θ, es el ángulo que forma el segmento
que une el origen con el punto en cuestión y el eje x positivo.
r
r
q
q
(a) Plano r − θ
x
y
x
y
r
q
( , )
( , )
x y
r q
(b) Plano x− y
Figura 1: Coordenadas polares en el plano r − θ y en el plano x− y
Como queremos que haya una correspondencia biuńıvoca entre pares or-
denados y puntos del plano debemos restringir el rango de valores de las
Coordenadas Curviĺıneas 2
coordenadas polares r y θ.
r >∞
0 6 θ < 2π
Sin embargo, el origen de coordenadas del plano x−y es un punto singular,
no es posible lograr que un único par en coordenadas polares individualice
dicho punto. Cualquier par de la forma (0, θ) representa el origen de coorde-
nadas.
Conocemos como están relacionadas las coordenadas cartesianas y pola-
res. Dadas las coordenadas polares de un punto podemos obtener las coor-
denadas cartesianas y viceversa.
Para obtener las coordenadas cartesianas a partir de las polares tenemos
las expresiones:
x = r cos θ, (1a)
y = r sin θ (1b)
Para obtener las coordenadas polares a partir de las cartesianas tenemos
las expresiones:
r =
√
x2 + y2, (2a)
θ = arctan
y
x
(2b)
Sin embargo, ahora podemos construir dos funciones vectoriales de varia-
ble vectorial. La función f : R2rθ → R2xy definida como:
f(r, θ) = (r cos θ, r sin θ) (3)
que transforma las coordenadas polares en coordenadas cartesianas y la fun-
ción g : R2xy → R2rθ definida como:
g(x, y) = (
√
x2 + y2, arctan
y
x
) (4)
que transforma las coordenadas cartesianas en polares.
Coordenadas Curviĺıneas 3
r
r
q
q
x
y
x
y
r
q
g
f
Figura 2: Paso de coordenadas polares a cartesianas y viceversa.
2.1. Imagen de un rectángulo en el plano r − θ
La función g(x, y) tiene dos funciones coordenadas g1(x, y) =
√
x2 + y2 y
la función g2(x, y) = arctan y/x, ambas son funciones reales de dos variables.
La función g1 genera la coordenada polar r, entonces, el conjunto de nivel de
valor r1 de dicha función estará formado por todos los puntos del plano x−y
que tienen la misma coordenada polar r = r1 y deben cumplir:√
x2 + y2 = r1
Como se ve, los puntos que forman el conjunto de nivel de g1 satisfacen la
ecuación de una circunferencia. Podemos decir entonces, que a lo largo de
circunferencias con centro en el origen es constante la coordenada polar r,
pero en cambio vaŕıa la coordenada polar θ.
r
r
q
q
x
y
r
q
1
1
=
=
r1
q1
Figura 3: Ĺıneas r = const. y θ = const. en el plano r − θ y en el plano xy.
Análogamente, el conjunto de nivel de valor θ1 de la función g2 estará for-
mado por todos los puntos del plano x− y que tienen la misma coordenada
Coordenadas Curviĺıneas 4
polar θ y deben cumplir:
arctan
y
x
= θ1
hallando la tangente en cada lado de la igualdad obtenemos
y
x
= tan θ1
de donde es claro que los conjuntos de nivel de g2 son rectas que pasan por el
origen, en realidad consideramos sólo semirectas. Podemos afirmar entonces,
que a lo largo de las semirectas que pasan por el origen es constante la
coordenada polar θ, pero en cambio vaŕıa la coordenada polar r.
x
y
rq
Figura 4: Ĺınea coordenada r y ĺınea coordenada θ en el plano xy.
Por cada punto del plano x − y pasará una circunferencia a lo largo
de la cual, en sentido antihorario crece la coordenada θ y una semirecta a
lo largo de la cual crece la coordenada r alejándose del origen. De alĺı el
nombre de coordenadas curviĺıneas, las ĺıneas a lo largo de las cuales vaŕıan
las coordenadas son en general curvas en el plano x− y.
Una recta r = r1 en el plano r − θ es aplicada por la función f en una
circunferencia de radio r1 en el plano x− y; una recta θ = θ1 es aplicada en
una semirecta que forma el ángulo θ1 con el ejen x positivo.
Consideramos ahora, en el plano r − θ un rectángulo de dimensiones dr
y dθ. Queremos saber como se transforma en el plano x − y. Consideramos
primero el segmento A′B′ del plano r − θ, a lo largo de este segmento se
mantiene constante θ y vaŕıa r, entonces este segmento se transforma en una
porción de semirecta que forma el ángulo θ con el eje x, el segmento AB
Coordenadas Curviĺıneas 5
de la figura. Consideramos el segmento A′C ′, ahora es constante r y vaŕıa
θ, este segmento se transforma en la porción de circunferencia AC de radio
r en el plano x − y. El segmento C ′D′ se transforma, en el plano x − y, en
el segmento CD de la semirecta que forma el ángulo θ + dθ. Finalmente,
el segmento B′D′ donde r es constante e igual a r + dr se transforma en
la circunferencia de radio r + dr. La imagen del rectángulo A′B′D′C ′ es el
“rectángulo curviĺıneo” ABDC.
r
r+dr
q
q
x
y
r
+dq q
A B
C D
A
B
C
D
Figura 5: Imagen en el plano xy de un rectángulo en el plano r − θ.
2.2. Area de la imagen del rectángulo en el plano r− θ
Nuestro objetivo ahora es determinar el área del “rectángulo curviĺıneo”
ABCD en el plano x − y. Denominamos con S∗ al conjunto de puntos que
forma dicho rectángulo y con µ(S∗) al área de dicho rectángulo. Al conjunto
de puntos que forman el rectángulo A′B′D′C ′ lo denominamos S y a su
área µ(S). El “rectángulo curviĺıneo” puede ser visto como la imagen del
rectángulo A′B′D′C ′ mediante la función f(r, θ).
Entonces, cuando las variables teńıan los valores (r, θ) (punto A′ en el
plano r−θ), la función f genera el punto A. Cuando las variables de f toman
los valores (r + dr, θ + dθ), la función f genera el punto D. El incremento
de la función f es el vector ~AB. Asumiendo que la función f es diferenciable
podemos aproximar su incremento con el diferencial dado por:
df =
∂f
∂r
dr +
∂f
∂θ
dθ (5)
Debemos recordar que f : R2 → R2, por lo que sus derivadas parciales son
vectores. La derivada parcial ∂f/∂r es la velocidad de cambio de la función
cuando sólo vaŕıa r y θ es constante. Entonces, este vector será tangente a
Coordenadas Curviĺıneas 6
r
r+dr
q
q
x
y
r
+dq q
A B
C D
A
B
C
D
S
h
S*
r+drr
q
+dq q
Figura 6: Variación de la función δf debido al cambio de las variables r y θ.
la imagen de la función cuando sólo vaŕıa r, es decir, tangente a la semirecta
en el punto A ya que este punto es la imagen del punto A′ para cuyos valores
se calcula la derivada parcial.
De manera semejante, la derivada parcial ∂f/∂θ es la velocidad de cambio
de f cuando sólovaŕıa θ y r es constante. Este vector será tangente a la
imagen de la función cuando sólo vaŕıa θ, es decir, tangente a la circunferencia
de radio r en el punto A.
Los vectores
∂f
∂r
dr
∂f
∂θ
dθ
definen un rectángulo. Se puede demostrar que el área de dicho rectángulo
es prácticamente igual a µ(S∗) al área del rectángulo ABDC, la diferencia
se hace menor cuanto más pequeño sea el vector ~A′D′ que es la variación de
la variable vectorial de f . Nuestro objetivo es determinar µ(S∗), bueno, en
base a lo que acabamos de decir, aproximaremos dicha área con el área del
rectágulo definido por los vectores ∂f/∂r dr y ∂f/∂θ dθ.
El área de un rectángulo definido por dos vectores es igual a la norma del
producto vectorial de dichos vectores.
µ(S∗) =
∥∥∥∥∂f∂r dr × ∂f∂θ dθ
∥∥∥∥ = ∥∥∥∥∂f∂r × ∂f∂θ
∥∥∥∥ dr dθ (6)
Calculamos ∂f/∂r dr × ∂f/∂θ dθ:
Coordenadas Curviĺıneas 7
r
r+dr
q
q
x
y
r
+dq q
A B
C D
A
B
C
Df
q
dq
f dr
r
Figura 7: Area de la imagen en el plano xy del rectángulo en el plano r − θ.
∂f
∂r
dr × ∂f
∂θ
dθ =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
i j k
∂f1
∂r
∂f2
∂r
0
∂f1
∂θ
∂f2
∂θ
0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
dr dθ (7)
La norma de dicho vector es:
∥∥∥∥∂f∂r × ∂f∂θ
∥∥∥∥ dr dθ =
∣∣∣∣∣∣∣
∂f1
∂r
∂f2
∂r
∂f1
∂θ
∂f2
∂θ
∣∣∣∣∣∣∣ dr dθ (8)
Usando la propiedad de los determinantes podemos convertir las filas en
columnas y no se altera el valor del determinante reescribimos la expresión
anterior:
∥∥∥∥∂f∂r × ∂f∂θ
∥∥∥∥ dr dθ =
∣∣∣∣∣∣∣
∂f1
∂r
∂f1
∂θ
∂f2
∂r
∂f2
∂θ
∣∣∣∣∣∣∣ dr dθ (9)
Lo que hemos obtenido es el determinante del jacobiano de la función f . El
jacobiano es la matriz:
Jf =

∂f1
∂r
∂f1
∂θ
∂f2
∂r
∂f2
∂θ

Su determinante se representa como
Coordenadas Curviĺıneas 8
∂(f1, f2)
∂(r, θ)
≡ det(Jf ) (10)
Con este concepto escribimos el área del “rectángulo curviĺıneo” µ(S∗)
como:
µ(S∗) = det Jf dr dθ =
∂(f1, f2)
∂(r, θ)
(11)
Podemos decir que el determinante del jacobiano de la función f , es el
factor por el que hay que multiplicar el área del rectángulo en el plano r− θ,
µ(S), para obtener el área de su imagen por f , µ(S∗).