DOC-20230123-WA0020

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En el cálculo existen diferentes tipos de funciones. Las más comunes son las funciones 
cartesianas, de la forma y = f(x). Por otro lado, hay funciones polares, en las que la variable 
dependiente es un radio y la independiente, un ángulo. Pero existe otra familia de funciones, 
llamadas funciones vectoriales. 
Las funciones vectoriales son vectores en los que cada uno de sus componentes dependen 
de un parámetro t como variable independiente. La forma de las funciones vectoriales es la 
siguiente: 
 
 
Las funciones vectoriales juegan un doble papel en la representación de curvas. Tomando 
como parámetro t el tiempo, las podemos usar para describir el movimiento a lo largo de 
una curva. Más en general, podemos usar una función vectorial para trazar la gráfica de 
una curva. En ambos casos, el punto final del vector posición r (t) coincide con el punto (x, 
y) o (x, y, z) de la curva dada por las ecuaciones paramétricas. 
Una función vectorial es una regla de transformación tal que a cada punto de un dominio 
le corresponde un vector. Si se tiene una sola variable independiente se dice que es una 
función vectorial de variable escalar (real). 
Una función con valores vectoriales, o simplemente función vectorial, es una función cuyo 
rango o imagen es un conjunto de vectores. Las funciones vectoriales, que denotaremos 
~r(t), cuyo dominio está en la recta real (intervalo I cerrado o semicerrado, o toda la recta) 
y cuyo rango o imagen está formado por vectores del espacio o del plano. 
• Las componentes f(t), g(t), h(t) ´o x(t), y(t), z(t) del vector ~r(t), son funciones escalares de 
una variable real, y las llamaremos funciones componentes de ~r. 
• Cuando el parámetro t varia en su dominio, el punto extremo o final del vector ~r(t) (ubicado 
en posición canónica) genera una curva C llamada curva paramétrica. 
• El sentido de la curva paramétrica C está dado por el sentido en el que se van generando 
los puntos de la curva a medida que el parámetro t aumenta su valor en su dominio I ⊂ R. 
• El dominio de variación del parámetro muchas veces está restringido a un intervalo finito 
I = [a, b] ⊂ R. En este caso, la curva C tiene un punto inicial o de partida A(f(a), g(a), h(a)) 
(que es el punto extremo del vector ~r(t = a) en posición canónica) y un punto final o de 
llegada B(f(b), g(b), h(b)) (que es el punto extremo del vector ~r (t = b) en posición canónica). 
• El parámetro no siempre representa el tiempo y podríamos usar otra letra en lugar de t 
para indicarlo. 
 
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Suma y resta de vectores: los vectores se pueden sumar y restar, haciendo la operación 
correspondiente componente a componente. 
 
 
 
 
 
 
Existe la multiplicación o producto de vectores: puede ser el producto de un vector por un 
escalar (un valor cualquiera perteneciente a los reales R) o de dos vectores entre sí. 
Para multiplicar un vector por un escalar se multiplica cada componente por el escalar (es 
como hacer una distributiva). Y si sumo (o resto) el producto de un vector por un escalar 
con el producto de otro vector por otro escalar obtengo lo que se llama una 
(pueden ser más de dos productos escalar por vector). 
Producto de un vector A por un escalar α=R, Si A = (Ax; Ay; Az) entonces si lo multiplico 
por un escalar α: α.A será; (α Ax; α Ay; α Az) en el gráfico se multiplico a A por 3. 
 
C= Combinación lineal de A y B con α y β=R Si a A lo multiplico por α y a B por β y sumo 
esos productos, obtengo lo que se llama una combinación lineal de los vectores. Esa 
combinación lineal es obviamente otro vector (en este caso el C) Un aspecto fundamental 
es que el vector C es coplanar con A y B, es decir pertenece al mismo plano al que 
pertenecen A y B. 
 
Para sumar dos o más vectores, tendremos que sumar las coordenadas de forma que 
coincida el eje para cada coordenada de los vectores. La primera coordenada corresponde 
al eje X y la segunda coordenada corresponde al eje Y. Entonces tendremos que operar las 
coordenadas que coincidan en eje. Esquemáticamente: 
 Las coordenadas vinculadas al eje X para los siguientes vectores son la coordenada 
“a” para el vector v y la coordenada “c” para el vector x. 
 Las coordenadas vinculadas al eje Y para los siguientes vectores son la coordenada 
“b” para el vector v y la coordenada “d” para el vector x. 
Sea v1= (v1x; v1y; v1z) y v2= (v2x; 
v2y; v2z) ... 
Si v3= v1+ v2 
entonces v3 = (v1x+ v2x; v1y+ 
v2y; v1z+ v2z) 
 
 
Sea v1= (v1x; v1y; v1z) y v2= (v2x; 
v2y; v2z) ... 
Si v3= v1- v2 
entonces v3= (v1x- v2x; v1y- v2y; 
v1z- v2z) 
 
 
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Para restar dos o más vectores, tendremos que restar las coordenadas de forma que 
coincida el eje de cada coordenada de los vectores. 
La primera coordenada corresponde al eje X y la segunda coordenada corresponde al eje 
Y. Entonces tendremos que operar las coordenadas que coincidan en eje. 
Esquemáticamente: 
 Las coordenadas vinculadas al eje X para los siguientes vectores son la coordenada 
“a” para el vector v y la coordenada “c” para el vector x. 
 Las coordenadas vinculadas al eje Y para los siguientes vectores son la coordenada 
“b” para el vector v y la coordenada “d” para el vector x. 
 
La multiplicación de un vector por un número (escalar) se completa haciendo el producto 
de dicho número por las coordenadas del vector. El nuevo vector será la multiplicación del 
vector por el escalar o también puede definirse como un vector nuevo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Es más complicado calcular el límite de una función de dos variables que la de una variable. 
En una función de una sola variable tan solo debemos aproximarnos al límite por la 
izquierda y por la derecha, si estos dos caminos llegan al mismo límite entonces este existe. 
Pero en las funciones de dos variables esto es diferente pues nos aproximamos al límite 
por diferentes direcciones. 
 
 
 
 
 
 
 
Supongamos que f(x) se define para todos los x≠a en un intervalo abierto que 
contiene a. Supongamos que L es un número real. Entonces 
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) 
si para cada ε>0, existe un δ>0, tal que si 0<|x–a|<δ para todas las x en el dominio 
de f, entonces 
|𝑓(𝑥) − 𝐿| − 𝜀 
Supongamos que f(x, y) y g(x, y) se definen para todos los (x,y)≠(a,b) en una zona 
alrededor de (a,b), y asumamos que la zona está contenida completamente dentro del 
dominio de f. Supongamos que L y M son números reales de modo que 
lim
(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐿 y lim
(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)
𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑀 y supongamos que c es una 
constante. 
Las pruebas de estas propiedades son similares a las de los límites de las funciones de una 
variable. Podemos aplicar estas leyes para hallar los límites de varias funciones. Como 
estamos tomando el límite de una función de dos variables, el punto (a, b) está en R2, ℝ2, y 
es posible acercarse a este punto desde un número infinito de direcciones. A veces, al 
calcular un límite, la respuesta varía según la trayectoria que se tome hacia (a, b). Si este 
es el caso, entonces el límite no existe. En otras palabras, el límite debe ser único, 
independientemente de la trayectoria que se tome. 
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Una función z=f(x, y) es continua en (a,b) si f(a,b) está definida, el límite existe y aparte es 
el mismo valor de la función f(a,b). Cuando no se cumplen estas condiciones se dice que la 
función es "discontinua". La gráfica de una función continua es una superficie sin quiebres. 
Sea 𝐹 (𝑡): 𝐴 → ℝ𝑛 𝑦 𝑎 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝐴 ⊆ ℝ. 𝐴𝑛á𝑙𝑜𝑔𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖ó𝑛 
𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝐹 𝑡 es continua en a sí y sólo si: 
- Existe el vector 𝐹 𝑎 
- Existe el lim𝑡→𝑎 𝐹 𝑡 - lim𝑡→𝑎 𝐹 𝑡 = 𝐹 𝑎 
Teorema: Una función con valores vectoriales r(t) es continua en t = a siy sólo si sus 
funciones componentes f, g y h son continuas en t = a. 
Los conceptos de límite y continuidad son completamente análogos a los que hemos 
introducido en el tema anterior así la empleamos la notación. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Sea la función vectorial 𝐹 (𝑡) entonces diremos que 𝐹 ′ (𝑡) es la derivada de dicha función y 
se define mediante: 
 
 
Para valores cualesquiera de t para los que existe el límite. Cuando el límite existe para t= 
a se dice que 𝐹 (𝑡) es derivable en t = a. 
Teorema Sea 𝐹 (𝑡) una función vectorial y supongamos que sus funciones componentes f, 
g y h son todas derivables para algún valor de t, entonces 𝐹 (𝑡) es derivable en ese valor 
de t y su derivada está dada por: 
 
 
Cuando una función vectorial definida en un intervalo abierto de R es derivable 
indefinidamente y su primera derivada no es nula, decimos que se trata de una curva 
regular. Al vector 𝐹 (𝑡) se le llama vector de posición de la curva y a los vectores 𝐹 ′(𝑡) y 𝐹 
′′(𝑡) se les llama, respectivamente, vectores velocidad y aceleración. 
De modo que la rapidez en un instante t es 𝐹 ′ (𝑡), es importante observar que la rapidez es 
un escalar, mientras que la velocidad un vector. Al vector 𝐹 ′(𝑡) también se le llama vector 
tangente a la curva 𝐹 (𝑡) en t, y el vector. 
 
 
 
Sacar la derivada de una función vectorial se parece a sacar la derivada de una función 
escalar. Las funciones vectoriales tienen múltiples componentes y cada componente es una 
función. 
El cálculo aplicado a las funciones Cartesianas puede ser extendido también para ser 
aplicable a las funciones vectoriales. Como ya sabemos una función vectorial, es en 
realidad, una función compuesta de varias funciones constituyentes. 
Cada una de estas funciones constituyentes es una función independiente que determina 
el efecto del cambio de variable en su dirección correspondiente, y el efecto general del 
cambio de variable puede ser conocido a través de la función compuesta, esta es la función 
vectorial. 
Puesto que una función vectorial es una función compuesta, esta no puede ser diferenciada 
directamente, en lugar de diferenciarla, necesitamos diferenciar cada una de sus funciones 
constituyentes por separado. Las técnicas utilizadas para integrar una función Cartesiana 
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se pueden aplicar para diferenciar una función vectorial debido a que las funciones 
constitutivas de la misma son funciones valoradas reales. 
Asuma que es la función vectorial que será diferenciada para obtener dr/dt o. Aquí la 
diferenciación se lleva a cabo con respecto al tiempo ‘t’ porque una función valorada 
vectorial se define con respecto a la variable tiempo. Entonces la derivada de esta función 
se denota como: 
lim = [ (t + h) - (t)]/ h 
Existen ciertas propiedades de la derivada de una función vectorial. Algunas de ellas se 
analizan a continuación. 
 
Asuma que y y son dos funciones vectoriales cuya derivada se puede determinar en el 
instante de tiempo ‘t’. También que es una función valorada real que puede ser diferenciada 
en el instante de tiempo ‘t’, y que s es una cantidad escalar. Entonces, 
1. La diferenciación del producto de una cantidad escalar con una función vectorial es 
producto de esa cantidad escalar con la derivada de la función vectorial. 
2. La diferenciación de la suma de dos funciones vectoriales valor es igual a la suma 
de las derivadas de las dos funciones vectoriales. 
Esta regla también es aplicable a la diferencia de dos funciones valoradas vectoriales. 
 
1. La diferenciación del producto de una función vectorial y una función valorada real es 
igual a la suma del producto de la función real con la derivada de la función vectorial y la 
derivada de la función real con la función vectorial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo 
saliente en una superficie que encierra un elemento de volumen dV. Si el volumen elegido 
solamente contiene fuentes o sumideros de un campo, entonces su divergencia es siempre 
distinta de cero. 
La divergencia de un campo vectorial en un punto es un campo escalar, que se define como 
el flujo del campo vectorial por unidad de volumen conforme el volumen alrededor del punto 
tiende a cero, para el caso del campo magnético la divergencia viene dada por la ecuación 
 
 
 
 
donde S es una superficie cerrada que se reduce a un punto en el límite, B es el campo 
magnético, V es el volumen que encierra dicha superficie S y es el operador nabla, que 
se calcula de la siguiente forma: 
 
 
La divergencia de un campo es un valor escalar con signo. Si este signo es positivo, quiere 
decir que el campo emana hacia el exterior de dicho punto y, por tanto, es una fuente o 
manantial. Si el signo es negativo, el campo converge hacia un punto del interior del 
volumen, por lo que constituiría un sumidero. Si la divergencia fuese cero el campo neto 
(diferencia entre las líneas entrantes y salientes) sería nulo. 
En el caso de los campos magnéticos se ha comprobado la ausencia de fuentes y/o 
sumideros de ahí que una de sus propiedades sea que su divergencia es nula: 
 
 
Los campos cuya divergencia es cero se denominan campos solenoides, que se 
caracterizan porque sus líneas de campo son cerradas sobre sí mismas, es decir, no tienen 
extremos donde nacen o mueren. De tener dichos extremos, el flujo neto alrededor de uno 
de ellos no sería nulo, lo cual denotaría la existencia de una fuente o sumidero del campo. 
 
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Se entiende por rotacional al operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a 
inducir rotación alrededor de un punto. También se define como la circulación del vector 
sobre un camino cerrado del borde de un área con dirección normal a ella misma cuando 
el área tiende a cero. 
 
Aquí, S es el área de la superficie apoyada en la curva C , que se reduce a un punto. El 
resultado de este límite no es el rotacional completo (que es un vector), sino solo su 
componente según la dirección normal a S y orientada según la regla de la mano 
derecha. Para obtener el rotacional completo deberán calcularse tres límites, considerando 
tres curvas situadas en planos perpendiculares. 
El rotacional de un campo se puede calcular siempre y cuando este sea continuo y 
diferenciable en todos sus puntos. 
El resultado del rotacional es otro campo vectorial que viene dado por el determinante de 
la siguiente ecuación: 
 
 
 
 
 
 
Las propiedades más destacadas del rotacional de un campo son: 
 Si el campo escalar f(x, y, z) tiene derivadas parciales continuas de segundo orden 
entonces el rot ( f) =0 
 Si F(x, y, z) es un campo vectorial conservativo entonces rot (F) = 0 
 Si el campo vectorial F(x,y,z) es una función definida sobre todo cuyas 
componentes tienen derivadas parciales continuas y el rot (F) = 0, entonces F es un 
campo vectorial conservativo. 
 
 
 
 
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Las coordenadas cartesianas o coordenadas rectangulares (plano cartesiano) son un tipo 
de coordenadas ortogonales usadas en espacios euclídeos, para la representación gráfica 
de una función, en geometría analítica, o del movimiento o posición en física, 
caracterizadas porque usa como referencia ejes ortogonales entre sí que se cortan en un 
punto origen. 
Las coordenadas cartesianas se definen, así como la distancia al origen de 
las proyecciones ortogonales de un punto dado sobre cada uno de los ejes. La 
denominación de ‘cartesiano’ se introdujo en honor de René Descartes, quien lo utilizó de 
manera formal por primera vez. 
En un sistema de coordenadas xy rectangular (cartesiano) en un plano, un punto en un 
plano se describe por un par de coordenadas (la x, la y). De forma similar, un vector A⃗ en 
un plano se describe mediante un par de sus coordenadas vectoriales. La coordenada x del 
vector A⃗ se llama sucomponente x y la coordenada y del vector A⃗ se llama su 
componente y. El componente x del vector es un vector denotado por A⃗ x. El 
componente y del vector es un vector denotado por A⃗ y. En el sistema cartesiano, 
los componentes vectoriales x y y de un vector son las proyecciones ortogonales de este 
vector sobre los ejes de la x y la y, respectivamente. 
De este modo, siguiendo la regla del paralelogramo para la suma de vectores, cada vector 
en un plano cartesiano puede expresarse como la suma vectorial de sus componentes 
vectoriales: A⃗ =A⃗ x+A⃗ y. 
En un sistema de coordenadas rectangulares o cartesiano se puede localizar un punto con 
una sola pareja de puntos (x, y) estos valores son las distancias dirigidas, partiendo del 
origen, desde los ejes x e y respectivamente. El origen es el punto donde se intersectan los 
dos ejes coordenados. En un par de números (x, y) en el cual «x» es el primer número y 
«y» el segundo se llama pareja ordenada. Se traza una recta horizontal y una vertical que 
se cortan en el origen 0 y con una medida conveniente se hace una escala de números 
reales en cada eje coordenado dejando que el origen sea (0,0). La dirección positiva se 
escoge hacia la derecha en el eje x y hacia arriba en el Eje y. 
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Un puntero de ratón en el monitor de una computadora en su posición inicial está en el 
punto (6,0 cm, 1,6 cm) con respecto a la esquina inferior izquierda. Si mueve el puntero a 
un icono situado en el punto (2,0 cm, 4,5 cm), ¿cuál es el vector de desplazamiento del 
puntero? 
Identificamos xb=6,0, xe=2,0, yb=1,6 y ye=4,5, donde la unidad física es 1 cm. Los 
componentes escalares x y y del vector de desplazamiento son 
DxDy=xe−xb=(2,0−6,0)cm=−4,0cm, 
DxDy =ye−yb=(4,5−1,6)cm=+2,9cm. 
 
La forma de componente vectorial del vector de desplazamiento es: 
D⃗ =Dxi+Dyj=(−4,0cm)i+(2,9cm)j=(−4,0i+2,9j)cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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El sistema de coordenadas polares es un sistema coordenado bidimensional en el cual cada 
punto (posición) en el plano está determinado por un ángulo y una distancia. Este sistema 
es especialmente útil en situaciones donde la relación entre dos puntos es más fácil de 
expresar en términos de ángulos y distancias. 
En el plano cartesiano con centro el origen se puede definir un sistema de coordenadas 
polares de un punto P del plano, definidas por la distancia r al centro de coordenadas, y el 
ángulo θ del vector de posición sobre el eje x. 
Para hallar las coordenadas de un punto en el sistema de coordenadas polares. El 
punto P tiene coordenadas cartesianas (x, y). El segmento de línea que conecta el origen 
con el punto P mide la distancia desde el origen hasta P y tiene longitud r. El ángulo entre 
el eje x positivo y el segmento de línea tiene medida θ. Esta observación sugiere una 
correspondencia natural entre el par de coordenadas (x, y) y los valores r y θ. Esta 
correspondencia es la base del sistema de coordenadas polares. Observe que cada punto 
del plano cartesiano tiene dos valores (de ahí el término par ordenado) asociados. En el 
sistema de coordenadas polares, cada punto tiene también dos valores asociados: r y θ. 
Utilizando la trigonometría del triángulo rectángulo, las siguientes ecuaciones son 
verdaderas para el punto P: 
cos 𝜃 =
𝑥
𝑟
𝑎𝑠í 𝑞𝑢𝑒 𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 
sin 𝜃 =
𝑦
𝑟
𝑎𝑠í 𝑞𝑢𝑒 𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 
Cada punto (x, y) en el sistema de coordenadas cartesianas puede representarse, por 
tanto, como un par ordenado (r, θ) en el sistema de coordenadas polares. La primera 
coordenada se llama coordenada radial y la segunda coordenada se llama coordenada 
angular. 
En el caso del movimiento bidimensional de un punto material resulta útil en muchas 
ocasiones trabajar con coordenadas polares. Usaremos la figura para definirlas. 
Sea un punto P situado en el plano OXY con coordenadas cartesianas (x, y). Su vector de 
posición respecto al origen del sistema de referencia es 
 
Las coordenadas polares (ρ, θ) se definen de la siguiente forma 
La coordenada ρ es la distancia del punto P al punto O. Puede variar entre los valores 0 
y . 
La coordenada θ es el ángulo que forma el vector con el eje OX. Puede variar entre los 
valores 0 y 2π. 
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Estas dos coordenadas permiten describir de forma unívoca la posición de cualquier punto 
en el plano OXY. 
 
El intervalo para θ es abierto a la derecha para evitar llegar al valor de 2π. De lo contrario, 
los puntos del eje OX aparecerían dos veces, para θ = 0 y para θ = 2π. 
Convierta cada uno de los siguientes puntos en coordenadas polares. 
1) (1,1) (1,1) grandes. 
2) (−3,4) (−3,4) grandes. 
3) (0,3) (0,3) grandes. 
4) (53–√, −5) 
Convierta cada uno de los siguientes puntos en coordenadas rectangulares. 
1) (3, π/3) grandes. 
2) (2,3π/2) grandes. 
3) (6,−5π/6) 
a. Utilice la sustitución en x=1 y 
 
 
Por lo tanto, este punto se puede representar como (2–√, π4) en coordenadas polares. 
b. Utilice la sustitución en x=−3 y y=4 
 
 
 
 
Por lo tanto, este punto se puede representar como (5,2,21) en coordenadas polares. 
c. Utilice la sustitución en x=0 y y=3 
 
 
 
 
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La aplicación directa de la segunda ecuación conduce a la división entre cero. Graficando 
el punto (0,3) en el sistema de coordenadas rectangulares revela que el punto está situado 
en el eje y positivo. El ángulo entre el eje x positivo y el eje y positivo es π2. Por lo tanto, 
este punto se puede representar como (3, π2) en coordenadas polares. 
d. Utilice la sustitución en x=5√3 y y=−5 
 
 
 
 
Por lo tanto, este punto se puede representar como (10,−π6) en coordenadas polares. 
e. Utilice la sustitución en r=3 y θ=π3 
 
 
 
 
Por lo tanto, este punto se puede representar como (3/2, 33/2) en coordenadas 
rectangulares. 
f. Utilice la sustitución en r=2 y θ=3π2 
 
 
 
 
Por lo tanto, este punto se puede representar como (0, –2) en coordenadas rectangulares. 
g. Utilice la sustitución en r=6 y θ=−5π6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Las coordenadas cilíndricas son una extensión del sistema de coordenadas polares al 
espacio tridimensional. Generalmente, en lugar de utilizar x, y y, z, se usan r, el 
ángulo theta y la variable z, x. 
 o y. La última 
variable designa 
la 
extensión máxima de una superficie. Para elegir que variable dejar 
El nombre de estas coordenadas proviene de la idea de que cada punto en el espacio es 
un punto de la superficie de una infinita cantidad de cilindros circulares, todos con un radio 
arbitrario de valor r. Las integrales triples en este sistema de coordenadas se designan de 
la siguiente manera: 
 
ay que 
observar la 
gráfica de la 
función; la variable que no cambia es aquella sobre cuyo eje abre la 
Nuevamente se hace énfasis en que el sistema puede cambiar. Por ejemplo, r puede 
depender de y y de z siendo x la variable que no cambia. Todo depende de la superficie 
con la que se trabaja. Por ejemplo, se pide encontrar el volumen del primer octante del cono 
cuya ecuación es la siguiente, junto con otras restricciones: 
 superficie. 
 
El cono abre hacia el eje z, así que la región plana que se usa para 
obtener el volumen está en el plano xy, y corresponde a una 
circunferencia de radio 1. Por lo tanto, la integral se plantea así: 
 
 
17 
 
Marque el punto con coordenadas cilíndricas (4,2π3, –2) y exprese su ubicación en 
coordenadas rectangulares. 
La conversión de coordenadas cilíndricas a coordenadas rectangulares requiere una simple 
aplicación de las ecuaciones enumeradas en Conversión entre coordenadas cilíndricas y 
cartesianas: 
 
 
 
 
El punto con coordenadas cilíndricas (4,2π3, –2) tiene coordenadas rectangulares (–2,23–
√, –2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://openstax.org/books/c%C3%A1lculo-volumen-3/pages/2-7-coordenadas-cilindricas-y-esfericas#fs-id1163723500624
https://openstax.org/books/c%C3%A1lculo-volumen-3/pages/2-7-coordenadas-cilindricas-y-esfericas#fs-id116372350062418 
 
 
 
El sistema de coordenadas esféricas es un cambio total de las variables en el espacio 
tridimensional. El cambio se da por las siguientes fórmulas: 
 
 
 
Las nuevas variables anteriores representan la posición de un punto respecto a la distancia 
que hay entre este y el origen y los ángulos que se forman entre ese vector y el eje z y la 
proyección del mismo vector y el eje x. Al igual que en coordenadas cilíndricas, el sistema 
de referencia puede cambiar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
A la inversa, es posible pasar de coordenadas esféricas a coordenadas cartesianas: 
 
 
 
Toda integral en coordenadas esféricas se representa de la siguiente manera: 
 
 
 
 
 
https://sites.google.com/site/calculovectorialhakim/coordenadas-cilindricas-y-esfericas/a18.png?attredirects=0
https://sites.google.com/site/calculovectorialhakim/coordenadas-cilindricas-y-esfericas/a20.png?attredirects=0
https://sites.google.com/site/calculovectorialhakim/coordenadas-cilindricas-y-esfericas/a21.png?attredirects=0
19 
 
Trace el punto con coordenadas esféricas (8, π3, π6) y exprese su ubicación en 
coordenadas rectangulares y cilíndricas. 
Utilice las ecuaciones en Conversión entre coordenadas esféricas, cilíndricas y 
rectangulares para traducir entre coordenadas esféricas y cilíndricas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El punto con coordenadas esféricas (8, π3, π6) tiene coordenadas rectangulares (2,23–
√,43–√). 
Hallar los valores en coordenadas cilíndricas es igualmente sencillo: 
 
 
 
Así, las coordenadas cilíndricas del punto son (4, π/3,4√3). 
 
 
https://openstax.org/books/c%C3%A1lculo-volumen-3/pages/2-7-coordenadas-cilindricas-y-esfericas#fs-id1163723844895
https://openstax.org/books/c%C3%A1lculo-volumen-3/pages/2-7-coordenadas-cilindricas-y-esfericas#fs-id1163723844895
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Hallar el límite de una función de dos variables 
a. Halle cada uno de los siguientes límites: 
 
 
 
Primero utilice las leyes de la suma y la diferencia para separar los términos. 
 
 
 
 
A continuación, utilice la ley de múltiplo constante en los límites segundo, tercero, cuarto y 
quinto. 
 
 
 
 
Ahora, utilice la ley de potencia en el primer y tercer límite y la ley de producto en el segundo 
límite: 
 
 
 
Por último, utilice las leyes de identidad en los seis primeros límites y la ley de constante en 
el último límite: 
 
 
 
 
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b. Antes de aplicar la ley del cociente, debemos comprobar que el límite del 
denominador es distinto de cero. Utilizando la ley de la diferencia, la ley del múltiplo 
constante y la ley de la identidad. 
 
 
 
 
Como el límite del denominador es distinto de cero, se aplica la ley del cociente. Ahora 
calculamos el límite del numerador utilizando la ley de la diferencia, la ley del múltiplo 
constante y la ley de la identidad. 
 
 
 
 
 
Por lo tanto, según la ley del cociente tenemos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 
 
Utilice la definición para calcular la derivada de la función. 
𝑟(𝑡) = (3𝑡 + 4)𝑖 + (𝑡2 − 4𝑡 + 3)𝑗 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 
 
Hallar la divergencia del siguiente campo vectorial: 
�⃗�(𝑥, 𝑦) = 𝑥 cos 𝑦 𝑖 + 2𝑥𝑦𝑗 
 
Usando la fórmula de la divergencia en el plano: 
 
 
 
 
 
 
 
Hallar la rotacional del siguiente campo vectorial: 
�⃗�(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (34𝑥𝑦 − sin 𝑥)𝑖 + 𝑥𝑧𝑗𝑗 + (4𝑦 − 8𝑥)�⃗⃗� 
Usando la fórmula de la rotacional: 
 
 
24 
 
Suma, resta y multiplica por un escalar los siguientes vectores: 
�⃗⃗⃗� = (2, 3) 
�⃗⃗⃗� = (4, 5) 
𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟 = 2