BertJanssen-RelatividadGeneral-147

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partı́cula obedece la segunda ley de Newton
ẍi −
F igrav
m
= 0, (9.19)
para Einstein, la partı́cula sigue una geodésica en el espaciotiempo curvo,
ẍµ + Γµνρẋ
ν ẋρ = 0. (9.20)
En otras palabras, lo que para Newton es la fuerza gravitatoria a distancia ~Fgrav/m, es para Eins-
tein un término puramente geométrico, Γµνρẋ
ν ẋρ, debido a la curvatura no-trivial del espacio-
tiempo.
En la sección 8.5 hemos visto que alrededor de cualquier punto de una variedad se puede
considerar una pequeña región en la cual el espacio tangente era una buena aproximación para
la variedad. Además en esta pequeña región existen unas coordenadas, las llamadas coordenadas
localmente inerciales, tales que en una región pequeña alrededor de este punto los sı́mbolos de
Christoffel son cero y la métrica se reduce a la plana en primera aproximación. Esta propiedad
de las variedades de es el fundamento matemático del Principio de Equivalencia: el observador
que se cree localmente inercial es el observador que usa las coordenadas localmente inerciales y
ha eliminado el campo gravitatorio, por lo menos en una pequeña región alrededor de sı́ mismo.
El hecho de que el cambio de coordenadas (8.48) entre unas coordenadas arbitrarias xµ y las
coordenadas localmente inerciales yα sea un cambio general de coordenadas, implica que las
leyes de la fı́sica tienen que transformar bien bajo un grupo más grande que el grupo de Lorentz.
Efectivamente, en las coordenadas localmente inerciales, un observador tiene todo el derecho a
llamarse un observador inercial y por lo tanto para él las leyes de la fı́scia tendrán la forma de
las leyes de la relatividad especial, por lo menos localmente. Sin embargo, el mismo observador
podrı́a estudiar los fenómenos fı́sicos en cualquier otro sistema de coordenadas y deberı́a llegar
a las mismas leyes de la fı́sica, aunque escritas en coordenadas distintas. Esta observación nos
lleva a otro principio básico:
Principio de Covariancia: Las leyes de la fı́sica deben tener la misma forma en todos los sis-
temas de referencia. Las leyes de la fı́sica deben por lo tanto transformar de manera covariante
bajo cambios generales de coordenadas.
En la práctica esto implica que una ley es válida en general si es válida en relatividad especial
y si la escribimos demanera covariante, es decir, en función de objectos que transformen bien bajo
cambios generales de coordenadas. En particular, sustituyendo derivadas parciales por derivadas
covariantes y la métrica ηµν por una métrica general gµν . Einstein llegó a esta conclusión en 1913,
más de 5 años después del Principio de Equivalencia y aún ası́ no lo utilizó en sus primeras
formulaciones de la relatividad general, porque temı́a que no diese el lı́mite newtoniano correcto
y violara la causalidad y el determinismo.8 Sólo en 1915 llegó a una versión de las ecuaciones de
Einstein que estaba de acuerdo con ambos principios.
Vemos por la tanto que el Principio de Equivalencia y la geometrı́a diferencial son dos caras
de la misma moneda, que expresan, cada uno de su manera, fı́sica o matemática, el carácter
del espaciotiempo como variedad lorentziana con curvatura. No nos sorprenderá por lo tanto
que todas las herramientas de la geometrı́a diferencial que hemos visto en la Parte II nos van a
resultar extremadamente útiles para toda la fı́sica gravitacional relativista.
8En particular le preocupaba que unas ecuaciones covariantes no determinan por completo la forma de la métrica a
partir de unas condiciones iniciales y tardó más de dos años en comprender que los grados de libertad no determinados
no eran fı́sicos, sino que corresponden a la libertad de elección de coordenadas.
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