Mecanica Clasica 2022-14-40

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2. Introducción al Formalismo de Lagrange: v́ınculos y coorde-
nadas generalizadas
En el circo me enseñaron las
piruetas, y aśı yo perd́ı mi
amada libertad.
Moris
Comenzamos ahora la presentación del formalismo de Lagrange 2 de la Mecánica Clásica.
La formulación de Lagrange no implica ningún cambio de paradigma de la Mecánica Clásica, no
hay revisión de nociones fundamentales como espacio, tiempo, masa, etc, tampoco reinterpreta
ningún fenómeno f́ısico, lo que antes vaĺıa sigue valiendo3. Esto puede llevar a pensar que la
formulación de Lagrange simplemente reviste a la Mecánica de Newton4 con un nuevo traje
matemático. Sin embargo, lo de Lagrange significa much́ısimo más que habilidad matemática
para reformular la Mecánica, permite enfatizar conceptos f́ısicos muy importantes, centrales en
la F́ısica moderna, e implica la utilización de nuevos postulados o principios para la deducción
de las ecuaciones de movimiento de la Mecánica Clásica.
La idea central de este formalismo es la descripción fiel de los grados de libertad de un sistema
mecánico (esto es, sus posibilidades de movimiento) mediante un conjunto de coordenadas cuya
elección tiene muy en cuenta desde el inicio las restricciones o v́ınculos a los que puede estar
sometido el sistema. Por ejemplo, en el caso del péndulo simple su único grado de libertad es la
oscilación de la masa del péndulo, masa que está sujeta al v́ınculo de mantener una distancia
constante con el punto de suspensión. El ángulo θ que forman la vertical con la ĺınea que va de
la masa al punto de suspensión es un número o coordenada que refleja fielmente dicho grado
de libertad: las oscilaciones del péndulo están uńıvocamente cuantificadas si conocemos cómo
cambia dicho ángulo en el tiempo. El número de coordenadas que se usan en el formalismo de
Lagrange constituyen el mı́nimo imprescindible para describir al sistema. Esta reducción de las
variables necesarias para describir al sistema respecto del formalismo de Newton conlleva que
aquellas fuerzas responsables de los v́ınculos (fuerzas de v́ınculo) no aparezcan expĺıcitamente
en el formalismo. Volviendo al ejemplo anterior, la tensión de la cuerda del péndulo simple –
responsable que la masa se mantenga a distancia constante del punto de suspensión– no aparece
expĺıcitamente en la formulación de Lagrange.
Otra propiedad valiosa del formalismo de Lagrange es su carácter escalar, no tiene un carácter
vectorial como el formalismo newtoniano (recordemos la segunda ley, F = ma). El formalismo
de Lagrange se basa en una cantidad escalar, la denominada función de Lagrange o lagrangea-
na. Veremos que la Mecánica se reduce a reglas algebraicas, tan simples que no es necesario
saber mucho de mecánica para resolver problemas, al decir del mismo Lagrange en el prefacio
de su Mecanique Analytique de 1788. Es un formalismo anaĺıtico, muy distinto del plantea-
miento geométrico de los Principia de Newton, tan aśı que, volviendo al prefacio, Lagrange se
vanagloriaba de que su libro no conteńıa un solo diagrama.
En esta primera clase sobre el formalismo de Lagrange introduciremos algunos conceptos
fundamentales para el análisis de cualquier sistema mecánico: grados de libertad, v́ınculos y
coordenadas generalizadas. Antes de preocuparnos por las leyes de movimiento de nuestro siste-
2Joseph Louis Lagrange, nacido Giusseppe Lodovico Lagrangia en Italia, vivió entre 1736 y 1813. Presentó su
formalismo de la Mecánica Clásica en el libro Mécanique Analytique de 1788.
3Opóngase esta afirmación a lo que ocurrió en la F́ısica con la aparición de la Relatividad y la Mecánica
Cuántica a principios del siglo XX.
4Usaremos el término “mecánica de Newton” como sinónimo de las tres leyes de movimiento de Newton más
su ley de la gravitación.
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ma –esto es, las leyes o principios f́ısicos que gobiernan su movimiento–, debemos interrogarnos
acerca de cuáles son sus movimientos posibles y además debemos determinar las variables nece-
sarias para describir matemáticamente su configuración, esto es, debemos elegir las cantidades
(distancias, ángulos, etc.) que nos permitan ubicar cada part́ıcula del sistema sin ambigüedades.
2.1. Newton y sus problemas
¿Por qué surgió la necesidad de “mejorar” la mecánica de Newton? Veamos algunas de sus
limitaciones.
Para resolver un sistema mecánico, tanto respecto a su condición de equilibrio estático como
a su dinámica, lo primero que debemos hacer es identificar al sistema, es decir, preguntarnos
qué elementos lo conforman.
Un criterio que debemos satisfacer en el proceso de identificación del sistema es no dejar
afuera del sistema part́ıculas cuyo movimiento se vea afectado por la dinámica de las
part́ıculas del propio sistema. Pensemos, por ejemplo, en dos masas m1, m2 unidas por un
resorte. El movimiento de m1 estará afectado por el movimiento de m2 y viceversa, debido
a la presencia del resorte. Por lo tanto, nuestro sistema tiene que incluir a ambas masas
para poder resolver sus dinámicas a la par (matemáticamente hablando, las ecuaciones
diferenciales de movimiento de m1 y m2 están acopladas).
Por supuesto que siempre que dos part́ıculas interactúan se perturban mutuamente y, por
lo tanto, el cumplimiento riguroso de lo dicho en el párrafo anterior implicaŕıa que nuestro
sistema deba incluir a todo el universo. Por ejemplo, cuando un cuerpo cae sobre la Tierra
atráıdo gravitatoriamente por ella, la Tierra también “cae” sobre el cuerpo debido a la
misma interacción gravitatoria. Sin embargo, es una excelente aproximación despreciar el
efecto de nuestro cuerpo sobre la Tierra (al menos que nuestro cuerpo sea otro cuerpo
celeste de masa comparable o mayor a la de nuestro planeta). En el ejemplo de las dos
masas unidas por un resorte, si m2 � m1 es una excelente aproximación considerar que
m2 no será perturbada por el movimiento de m1 y, por simplicidad, estamos habilitados a
incluir solamente a m1 en nuestro sistema.
Resumiendo: delimitar un sistema mecánico implica hacer un “recorte” del universo: inclui-
mos como parte del sistema a los elementos que nos interesan estudiar más todos aquellos
que son afectados por los mismos, y dejamos afuera a “agentes externos” que puedan estar
actuando sobre los elementos de nuestro sistema pero no son afectados por ellos.
Una vez que sabemos cuál es nuestro sistema identificamos todas las fuerzas que actúan sobre
cada part́ıcula. Dibujamos las fuerzas en un diagrama de cuerpo libre (DCL) y luego planteamos
la segunda ley de Newton para cada part́ıcula de nuestro sistema:
Fi = mir̈i, (2.1)
donde Fi es la resultante de fuerzas que actúan sobre la i−ésima part́ıcula. Si la part́ıcula está
sujeta a determinadas restricciones en su movimiento (por ejemplo, está obligada a moverse
en un determinado plano, a una determinada distancia de un punto, etc.), debemos agregar
las ecuaciones correspondientes a estas restricciones al conjunto de ecuaciones de movimiento.
Además la resultante de fuerzas que actúa sobre cada part́ıcula incluirá obligatoriamente a
aquellas responsables de tales restricciones, a las que llamamos fuerzas de v́ınculo.
Ahora ilustremos el procedimiento a lo Newton tomando el ejemplo del péndulo simple.
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Ejemplo: Péndulo simple
Figura 2.1: Péndulo simple.
Resolvemos el péndulo simple (figura 2.1) tomando un sistema de referencia cuyo origen
coincide con el punto de suspensión del péndulo, el eje x es horizontal (positivo hacia la
derecha) y el eje y es vertical (positivo hacia abajo). Definimos los versores êx y êy a lo
largo de los ejes x e y, respectivamente, y para una posición de la masa caracterizada por
un ángulo θ definimos los versores radial êr y tangencial êθ, los cuales de acuerdo a la
figura se descomponen como
êr = sin θêx + cos θêy, (2.2)
êθ = cos θêx − sin θêy. (2.3)
Las fuerzas que actúan sobre la masa del péndulo son dos: el peso P = mgêy, y la tensión a
lo largo del hilodel péndulo, T = −T êr. El comentario que sigue es central a la discusión
del formalismo de Lagrange: mientras conocemos perfectamente a la fuerza peso, a la
tensión a priori no la conocemos, sabemos en qué dirección actúa pero desconocemos su
magnitud. El rol de la tensión es mantener, en todo instante, a la masa del péndulo a una
distancia fija del punto de suspensión, su magnitud dependerá de cómo se esté moviendo la
masa, intuitivamente sabemos que a mayor enerǵıa del péndulo la tensión debe aumentar
para vencer la inercia de la masa a seguir en una ĺınea recta.
La segunda ley de Newton del péndulo es
P + T = mr̈. (2.4)
Esta es una ecuación vectorial y puede descomponer utilizando distintas bases (pares de
versores que generan el plano xy). Por ejemplo, usando los versores êx y êy tenemos
P + T = mr̈ ⇒ −T sin θ êx + (mg − T cos θ) êy = mẍ êx +mÿ êy, (2.5)
equivalente a las dos ecuaciones escalares{
mẍ = −T sin θ,
mÿ = mg − T cos θ. (2.6)
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En estas ecuaciones existen cuatro funciones incógnitas: x, y, θ, y la tensión T . x, y y θ no
son independientes. De la definición misma del sistema mecánico llamado “péndulo simple”
sabemos que la distancia de la masa al punto de suspensión no cambia en el tiempo, es
una constante que acá estamos llamando l. Por lo tanto, las coordenadas cartesianas x e
y de la masa del péndulo están relacionadas con la coordenada polar θ (ver la figura 2.1)
a través de: {
x = l sin θ
y = l cos θ.
(2.7)
Notemos que la condición de distancia constante de la masa al punto de suspensión se
puede expresar como la igualdad a cero de una función de x e y:
x2 + y2 − l2 = 0. (2.8)
Expresando x e y en término de θ y derivando dos veces,{
ẍ = lθ̈ cos θ − lθ̇2 sin θ
ÿ = −lθ̈ sin θ − lθ̇2 cos θ (2.9)
las ecuaciones 2.6 se transforman en{
mlθ̈ cos θ −mlθ̇2 sin θ = −T sin θ
−mlθ̈ sin θ −mlθ̇2 cos θ = mg − T cos θ. (2.10)
Nos quedan ahora dos incógnitas (θ y T ). Al resolver un sistema mecánico principalmente
nos interesa encontrar su ley de movimiento (es decir, cómo evoluciona en el tiempo la
posición de cada part́ıcula), lo ideal entonces es despejar la tensión en las ecuaciones de
arriba y llegar a una única ecuación diferencial para el ángulo. Para el sistema de ecuaciones
de arriba esto se logra, por ejemplo, multiplicando a la primera por cos θ y a la segunda por
sin θ y luego restándolas (de esa forma se cancelan los términos que contienen a la tensión).
Haciendo este trabajo llegamos a la famosa ecuación diferencial del péndulo simple
θ̈ +
g
l
sin θ = 0. (2.11)
Esta es una ecuación diferencial de segundo orden no lineal (la función incógnita θ aparece
dentro de la función seno). A pesar de su no linealidad tiene una solución anaĺıtica, sin
embargo la solución es complicada porque se expresa en término de ciertas “integrales
eĺıpticas de primera especie” (lo que no dice mucho). Formalmente, una vez que conocemos
cómo depende θ del tiempo podemos regresar a las ecuaciones diferenciales que involucran
a la tensión, para conocer cómo depende T del tiempo. Es decir, la tensión, que es una
fuerza de v́ınculo, se conoce a posteriori, esto significa, cuando ya resolvimos la ecuación
de movimiento.
Una forma “casera” de evitar que aparezca la desconocida fuerza tensión en nuestras
ecuaciones consiste en descomponer la segunda ley de Newton vectorial del péndulo simple
en la base de versores polares (radial y tangencial), êr y êθ. Descomponemos en primer
lugar el peso:
P = mg cos θ êr −mg sin θ êθ (2.12)
La tensión es radial, apuntando hacia el punto de suspensión del péndulo,
T = −T êr, (2.13)
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siendo T > 0 ya que es la magnitud de la tensión. Por lo tanto la resultante de fuerzas
escrita en la base polar es
F = (mg cos θ − T )êr −mg sin θêθ
Ahora nos queda calcular la aceleración de la masa en la misma base polar. Recordemos
cómo se hace: el vector posición de la masa es
r = lêr, (2.14)
siendo l la longitud constante del péndulo. Para calcular la aceleración debemos derivar dos
veces al vector posición. l obviamente no depende del tiempo, sin embargo, el versor radial
śı depende del tiempo, porque a medida que la masa se mueve cambia la dirección radial,
en consecuencia cambia el versor êr (también cambia obviamente el versor tangencial êθ).
Derivamos una vez y tenemos la velocidad de la masa
ṙ = l ˙̂er (2.15)
Como êr = sin θêx + cos θêy entonces
˙̂er = θ̇ cos θêx − θ̇ sin θêy = θ̇êθ. (2.16)
La velocidad de la masa es entonces
ṙ = lθ̇êθ, (2.17)
esta es la conocida velocidad tangencial en un movimiento circular. Derivamos ahora a la
velocidad, vamos a necesitar la relación ˙̂eθ = −θ̇êr, la cual se obtiene de manera comple-
tamente análoga a como hicimos con la derivada del versor radial. La aceleración resulta
r̈ = lθ̈êθ − lθ̇2êr (2.18)
Esta fórmula también nos resulta familiar: tenemos la aceleración tangencial de un movi-
miento circular at = lθ̈, y la aceleración centŕıpeta ac = lθ̇
2 dirigida hacia el centro de la
trayectoria circular.
Ahora que descompusimos fuerzas y aceleración en la base polar, planteamos la segunda
ley de Newton
(mg cos θ − T )êr −mg sin θêθ = −mlθ̇2êr +mlθ̈êθ (2.19)
De aqúı vemos que en la dirección tangencial no aparece la tensión y llegamos rápidamente
a la ecuación de movimiento del péndulo, por supuesto la misma que obtuvimos antes:
mlθ̈ = −mg sin θ ⇒ θ̈ + g
l
sin θ = 0. (2.20)
Por otro lado, la segunda ley de Newton en la dirección radial nos permite despejar la
tensión como
T = mg cos θ +mlθ̇2. (2.21)
Esta ecuación no dice mucho porque hasta que no resolvamos el problema no conocemos
la velocidad angular. Sin embargo, la conservación de la enerǵıa,
E =
1
2
ml2θ̇2 −mgl cos θ, (2.22)
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nos permite expresar al cuadrado de la velocidad angular en término de E y llegar a
T = mg cos θ +mlθ̇2 =
2E
l
+ 3mg cos θ. (2.23)
Esta ecuación śı nos dice algo: como dećıamos a mayor enerǵıa mayor tiene que ser la
tensión para vencer la inercia de la masa y además, vemos que la mayor tensión ocurre
cuando la masa del péndulo está en su posición más baja (θ = 0).
Ejercicio: Péndulo doble
Te dejamos como ejercicio que calcules mediante la
mecánica de Newton las ecuaciones de movimiento del
péndulo doble. En este ejemplo hay que hacer muchas más
cuentas que en el caso del péndulo simple. Por suerte en
unas semanas ya podrás usar el formalismo de Lagrange
para encontrar las ecuaciones de movimiento de manera
más sencilla.
En estos ejemplos de péndulo simple y péndulo doble ¿qué problemas encontramos? A gran-
des rasgos hay dos problemas bien visibles:
Las ecuaciones de movimiento son generalmente irresolubles anaĺıti-
camente. Aun para el caso aparentemente simple de tres cuerpos
interactuando gravitatoriamente no existe solución anaĺıtica (es decir,
solución expresable mediante funciones simples). Esto no significa que
“no sabemos resolverlas porque todav́ıa a nadie se le ocurrió algún
truco”, sino que ha sido demostrado que no existen soluciones anaĺıticas.
La razón es la no linealidad de las ecuaciones diferenciales.
Con respecto a esta dificultad, el formalismo de Lagrange lamentablemente no nos ayudará
para nada. El formalismo es muy útil para calcular las ecuaciones de movimiento (ecua-
ciones diferenciales de segundo orden), pero una vez que lleguemos a ellas estamos tan a la
intemperie como con el formalismo de Newton. Para encarar este problema de dificultad
matemática en el cálculo de soluciones a ecuaciones diferenciales tenemos dos alternativas:
en ciertos casos es posible hacer aproximaciones de la ecuación diferencial que la transfor-
man en una resoluble (el ejemplo t́ıpico es la aproximación de pequeñas oscilaciones de la
ecuación del péndulo simple que la transforma en la ecuación diferencial de un oscilador
armónico). El problema de las aproximaciones es que muchas veces con ellas se pierde la
riqueza de la f́ısica escondidaen las ecuaciones, hay fenómenos que al aproximarse la ecua-
ción se pierden. La otra alternativa es resolver numéricamente las ecuaciones diferenciales,
esta es la más usada porque permite conocer con muy buena precisión a la solución.
Lo anterior tiene que ver con la resolución de las ecuaciones de movimiento. Pero antes
de llegar a estas ecuaciones vemos que un sistema mecánico puede tener ciertos v́ınculos
de carácter geométrico (por ejemplo, la masa del péndulo debe permanecer siempre a
la misma distancia del punto de suspensión) y estos v́ınculos están impuestos por fuerzas
desconocidas a priori (como la tensión en el caso del péndulo). Estas son fuerzas de v́ınculo
y sus magnitudes y/o direcciones solo se pueden conocer luego de resuelto el problema.
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Las fuerzas de v́ınculo no suelen conocerse a priori porque tienen que tomar los valores
precisos para forzar los v́ınculos, y estos valores pueden depender del movimiento de los
cuerpos. Por ejemplo, como ya mencionamos la tensión del hilo del péndulo simple debe ser
mayor a medida que aumenta la velocidad de la masa. A mayor velocidad de la masa del
péndulo, ésta, por inercia, “tira” más queriendo alejarse más rápidamente de la trayectoria
circular que le impone el hilo, por lo tanto la tensión debe aumentar para compensar ese
“tirar más”. Opongamos este resultado con lo que ocurre con la fuerza peso: independien-
temente del estado de movimiento de una masa (si va rápido o lento), la fuerza peso es
siempre la misma. Lo mismo ocurre con la fuerza de un resorte, no importa la velocidad de
la masa, la que determina su valor es el desplazamiento de la masa respecto de la posición
de equilibrio.
Por otro lado, la existencia de v́ınculos implica que las coordenadas (cartesianas, por ejem-
plo) de las part́ıculas no son todas independientes entre śı (recordemos que en el caso del
péndulo simple x2+y2−l2 = 0 donde l es la longitud del péndulo) y entonces las ecuaciones
de movimiento que corresponden a estas coordenadas tampoco son independientes.
Por lo tanto se está trabajando con más incógnitas que las estrictamente necesarias: por un
lado las fuerzas de v́ınculo desconocidas, por el otro coordenadas que no son independientes.
El gran éxito del formalismo de Lagrange consiste en evitar el uso de “coordenadas de más”
y que no aparezcan las fuerzas de v́ınculo. Esto lo logra incorporando la información sobre
los v́ınculos desde el principio.
2.2. Vı́nculos y fuerzas de v́ınculo
Los v́ınculos 5 de un sistema son restricciones existentes a su movimiento. Estas restricciones
pueden ser de carácter geométrico o de carácter cinemático.
Cuando decimos que es de carácter geométrico nos referimos a que las part́ıculas pueden
estar obligadas a moverse en determinada región del espacio, como ocurre con la masa
del péndulo simple, que siempre se mueve en un arco de circunferencia cuyo centro es el
punto de suspensión, o como ocurre con una part́ıcula obligada a moverse a lo largo de
cierta curva o de cierta superficie o como ocurre con una part́ıcula encerrada dentro de una
caja de paredes infinitamente ŕıgidas (esto significa que la part́ıcula no puede escaparse
de la caja). También es una restricción de carácter geométrico que dos part́ıculas de un
sistema estén obligadas a mantener siempre la misma distancia. Esto es lo que ocurre
en un cuerpo ŕıgido, en el cual cualquier par de sus part́ıculas está siempre a la misma
distancia, independientemente de cómo se mueva el cuerpo. Si esto no fuese aśı, el cuerpo
se deformaŕıa contradiciendo su rigidez. Vemos en estos ejemplos que la definición misma
del sistema mecánico (por ejemplo, sistema “cuerpo ŕıgido”) depende de manera esencial
de los v́ınculos a los que están sometidos sus elementos.
Por otro lado, decimos que un v́ınculo es de carácter cinemático cuando impone con-
diciones sobre las velocidades de las part́ıculas que componen el sistema. El ejemplo pa-
radigmático es la condición de rodadura perfecta. Cuando decimos, por ejemplo, que un
disco rueda sin deslizar sobre una superficie estamos diciendo que la velocidad del punto
C del disco que está instantáneamente en contacto con la superficie es nula (vC = 0), ya
que entonces ese punto C no desliza respecto a la superficie.
5Vı́nculo, ligadura, restricción, constraint son sinónimos.
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Precaución: es común confundir v́ınculos con ciertos resultados dinámicos. Por ejemplo, en
el problema de dos cuerpos que se atraen gravitatoriamente veremos que el movimiento ocurre
en un plano (el plano de la ecĺıptica en el caso del sistema Solar). Sin embargo no hay ninguna
fuerza que esté obligando a las dos part́ıculas a permanecer siempre en el mismo plano. La razón
de este hecho reside en el principio de conservación del vector momento angular: como su direc-
ción es constante las dos part́ıculas se mueven entonces en un plano normal a ella. La dirección
del momento angular, y por ende el plano de movimiento, está determinada por las condiciones
iniciales las cuales pueden ser completamente arbitrarias.
Siempre que existe un v́ınculo, necesariamente hay una fuerza responsable del mismo, hay
algún agente externo al sistema que está imponiendo dicha restricción. Por ejemplo, cuando una
part́ıcula está obligada a moverse sobre una determinada curva la normal que ejerce la curva
sobre la part́ıcula es la fuerza de v́ınculo que determina que la part́ıcula no se salga de la curva.
Estas fuerzas de v́ınculo también se las conoce como reacciones.
2.2.1. Ejemplos de sistemas con v́ınculos
Figura 2.2: Sistemas con v́ınculos.
1. Part́ıcula deslizándose sobre una dada curva bajo la influencia de la gravedad ¿Es impor-
tante si existe o no gravedad? ¿Es importante si la curva es suave o rugosa?
2. Part́ıcula deslizándose por un aro circular vertical, que a su vez gira uniformemte alrededor
de su eje vertical.
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3. Pelota rebotando en un piso horizontal.
4. Péndulo doble.
5. Rodadura perfecta de un disco sobre un plano.
2.3. Clasificación de los v́ınculos
En los ejemplos precedentes vemos que existe una gran variedad de tipos de v́ınculos.
2.3.1. Clasificación de acuerdo a su expresión matemática
La que sigue es, lejos, la más importante de las dos clasificaciones. De ésta depende lo
complicado o no que puede resultar estudiar un sistema con el formalismo de Lagrange.
Vı́nculos holónomos 6: se dice que un v́ınculo es holónomo cuando puede describirse
matemáticamente mediante una ecuación que relaciona las coordenadas de las part́ıculas,
de la siguiente forma:
f(r1, · · · , rN ; t) = 0 (2.24)
Por ejemplo, las part́ıculas de los cuerpos ŕıgidos deben estar a distancias fijas unas de
otras, la masa de un péndulo simple está siempre a la misma distancia del punto de
suspensión debido a la inextensibilidad de la cuerda, lo misma pasa con el péndulo doble.
Estos v́ınculos tienen un carácter geométrico, ya que implican restricciones en las posiciones
de las part́ıculas del sistema.
Vı́nculos no holónomos: como su nombre lo indica, los v́ınculos no holónomos son aquellos
que no pueden expresarse matemáticamente con ecuaciones que relacionan las posiciones
de las part́ıculas.
Existen distintos casos de v́ınculos no holónomos. Uno de ellos corresponde a sistemas don-
de los v́ınculos se expresan con desigualdades. Por ejemplo, para una part́ıcula moviéndose
dentro de una esfera la ecuación de v́ınculo es
r2 −R2 ≥ 0 (2.25)
donde R es el radio de la esfera. Otro caso importante es cuando existen relaciones di-
ferenciales no integrables entre los desplazamientos infinitesimales de las part́ıculas. O lo
que es lo mismo, existen ecuaciones que vinculan las velocidades de las part́ıculas
g(ṙ1, ṙ2, · · · , ṙN ; t) = 0. (2.26)
y que no son integrables. A continuación, un ejemplo de este tipo de v́ınculos
2.3.2. Ejemplo de v́ınculo no holónomo: Rodadura perfecta sobre un plano
El ejemplo t́ıpico de v́ınculo no holónomo es el de rodaduraperfecta de un disco sobre una
curva o sobre una superficie, ya que su expresión matemática involucra velocidades. Esto es aśı
porque la condición de rodadura perfecta consiste en que el punto material C del disco que está
6El término holónomo fue usado por primera vez por el estático Louis Poinsot en su análisis del movimiento
de un cuerpo ŕıgido. Holónomo significa ’ley entera’, se refiere a que si el v́ınculo es holónomo de su acción local se
deduce su acción global. Matemáticamente, el v́ınculo es integrable. Esto lo veremos más adelante en la materia.
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instantáneamente en contacto con la superficie tenga velocidad nula respecto de ésta (porque
entonces no hay deslizamiento del disco respecto de la superficie):
vC = 0. (2.27)
¿Cómo podemos calcular esta velocidad? Existe un teorema, el denominado teorema de
Chasles, que nos indica cómo es el movimiento más general de cualquier cuerpo ŕıgido. Veamos.
Tomemos un punto O de referencia del cuerpo, que puede ser cualquiera, no necesariamente el
centro de masas. Ese punto en un dado instante tiene una velocidad vO. El teorema de Chasles
nos dice que el movimiento más general del cuerpo es la combinación de dos movimientos simples:
a) un movimiento de traslación ŕıgida (es decir, el cuerpo se mueve paralelo a śı mismo) con
la velocidad vO del punto de referencia, y
b) un movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el punto de referencia O, con
velocidad angular ω 7.
La velocidad de un punto P cualquiera del cuerpo resulta entonces la suma de la velocidad
asociada al movimiento de traslación ŕıgida y la velocidad asociada a la rotación. En la trasla-
ción todos los puntos del cuerpo se mueven con igual velocidad vO, mientras que la velocidad
correspondiente al movimiento de rotación es el producto vectorial de la velocidad angular ω y
el radio vector que va desde el eje de rotación al punto P , rP − rO. Por lo tanto, la velocidad
del punto P es:
vP = vO + ω ∧ (rP − r0) . (2.28)
Rodadura perfecta sobre una ĺınea
Vamos a aplicar esta ecuación para el caso de rodadura perfecta sobre una ĺınea. Tomemos
como punto de referencia el centro de masas del disco (O = CM) y sea C el punto del disco
que hace constacto instantáneamente con la ĺınea. Si usamos (2.28), la condición de rodadura
perfecta del disco es
vC = vCM + ω ∧ (rC − rCM) = 0 (2.29)
La velocidad angular es siempre perpendicular al disco y, por lo tanto, perpendicular al radio
vector que va del centro de masas del disco al punto de contacto. Además, si el disco se mueve
hacia la derecha (vCM apuntando a la derecha), el ángulo θ que nos indica la orientación del disco
respecto a una dirección fija (por ejemplo la vertical) tiene sentido horario. Usando la convención
usual tenemos una velocidad angular ω que apunta entrando a la hoja. Consecuentemente, el
producto vectorial que aparece en (2.29) está en la dirección de la velocidad del centro de masas,
pero con sentido opuesto. Luego, la condición vectorial de rodadura perfecta (2.29) resulta en el
v́ınculo escalar:
vCM = Rθ̇. (2.30)
Podemos reescribirla como ṡ = Rθ̇, donde s es la longitud del arco recorrido. Este v́ınculo es
integrable, su integración nos da el v́ınculo holónomo s = Rθ (más una constante arbitraria que
la podemos considerar nula cambiando simplemente el cero de la longitud de arco).
Rodadura perfecta sobre una superficie
Vimos que la rodadura perfecta sobre una ĺınea es integrable. Sin embargo, cuando ocurre
sobre una superficie bidimensional el v́ınculo resulta no integrable.
7Puede demostrarse que esta velocidad angular es independiente del punto de referencia, por lo tanto, se puede
decir que es ”la”velocidad angular del cuerpo.
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Figura 2.3: Disco vertical que rueda sin deslizar sobre un plano. Las coordenadas x e y del punto
de contacto se corresponden a las coordenadas xC e yC utilizadas en el texto.
Tomemos el caso de un disco de radio R, contenido en un plano vertical (el disco “no se
cae”), forzado a rodar sin deslizar sobre el piso plano (ver figura 2.3). El disco es un cuerpo
ŕıgido y estando aislado veremos que tiene 6 grados de libertad. En este caso, reconocemos
inmediatamente dos v́ınculos: el disco está tocando la superficie y permanece vertical. El primer
v́ınculo podemos escribirlo de manera sencilla si usamos las coordenadas cartesianas del punto de
contacto del disco con el plano como las coordenadas generalizadas (concepto que introduciremos
más adelante) para representar sus grados de libertad traslacionales. En tal caso, la condición de
contacto es zC = 0. El v́ınculo de verticalidad estará dado por el valor constante igual a cero del
ángulo que forma la dirección vertical con la recta que pasa por el punto de contacto y el centro
del disco. Sin incorporar aún la condición de rodadura perfecta, el disco tiene cuatro grados de
libertad y podemos tomar como sus coordenadas generalizadas:
las coordenadas xC e yC del punto de contacto del disco con el piso. Debido a que el plano
del disco está siempre vertical, xC e yC serán también las coordenadas xCM e yCM del
centro de masa del disco, respectivamente (la coordenada faltante zCM = R).
dos ángulos: θ que da cuenta del giro del disco alrededor de su eje de simetŕıa y φ que
determina la orientación del plano del disco respecto al eje x.
El v́ınculo de rodadura perfecta implica que la velocidad instantánea del punto de la rueda
C que toca el piso es nula
vC = 0. (2.31)
Como vimos antes, ecuación (2.29), esta velocidad es
vC = vCM + ω ∧ (rC − rCM) . (2.32)
Como xC = xCM e yC = yCM entonces
vCM = (ẋCM, ẏCM, 0) = (ẋC , ẏC , 0). (2.33)
La velocidad angular del disco se descompone en la velocidad angular de spin, θ̇, ésto es, la
rotación del disco alrededor de su propio eje de simetŕıa, y la rotación del disco alrededor de un
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eje perpendicular al plano de apoyo (precesión), φ̇. De acuerdo a la figura 2.3 estas velocidades
angulares suman
ω = φ̇+ θ̇ =
(
sinφ θ̇,− cosφ θ̇, φ̇
)
(2.34)
Por otro lado, el radio vector
rC − rCM = (0, 0,−R) . (2.35)
Con toda esta información evaluamos el v́ınculo vectorial de rodadura perfecta (2.32):
vC =
(
ẋC +R cosφ θ̇, ẏC +R sinφ θ̇, 0
)
= (0, 0, 0) . (2.36)
Finalmente arribamos a que el v́ınculo de rodadura perfecta sobre el plano consiste en los dos
v́ınculos escalares (notemos que en el caso de la rodadura perfecta en una ĺınea hab́ıa un único
v́ınculo escalar):
ẋC +R cosφ θ̇ = 0, (2.37)
ẏC +R sinφ θ̇ = 0. (2.38)
Se ve rápidamente que las expresiones diferenciales correspondientes
dxC +R cosφ dθ = 0, (2.39)
dyC +R sinφ dθ = 0, (2.40)
no son exactas y, con algo más de esfuerzo, se puede demostrar que no tienen factor integrante.
Por lo tanto, ambos v́ınculos no holónomos no son integrables. Esto implica que no podemos
encontrar a partir de ellos funciones de la forma f(xC , yC , θ, φ) = 0 que relacionen las cua-
tro coordenadas generalizadas. En consecuencia, cada v́ınculo restringe un grado de libertad
(permite expresar una velocidad generalizada en término de otra) pero no permite despejar
una coordenada en término de las otras. Este es un ejemplo donde tenemos más coordenadas
generalizadas (cuatro) que grados de libertad (dos).
Una forma de experimentar que no son suficiente dos coordenadas generalizadas para deter-
minar de manera uńıvoca la configuración del disco consiste en ver que, partiendo de la misma
configuración inicial, se puede llegar a dos configuraciones angulares distintas pero con el mismo
punto de contacto (xC , yC) si seguimos caminos distintos.
2.3.3. Clasificación de acuerdo a la dependencia temporal
Teniendo en cuenta la dependencia con el tiempo los v́ınculos se clasifican en:
Vı́nculos esclerónomos 8: son los v́ınculos cuya expresión matemática no depende expĺıci-
tamente del tiempo. Por ejemplo, un v́ınculo holónomo esclerónomo tiene la forma
f(r1, r2, · · · , rN ) = 0. (2.41)
Ejemplos: (i) el péndulo simple cuando el punto de suspensiónestá fijo respecto al sistema
de referencia, en tal caso el v́ınculo se escribe:
|r|2 − l2 ≡ x2 + y2 − l2 = 0.
8Los nombres de esclerónomos y reónomos fueron dados por el desdichado Ludwig Boltzmann. Esclerónomo
viene del griego sclerós que significa ŕıgido, invariable, mientras reónomo viene del griego rhéo=que fluye y nómos=
ley, regla, condición.
25
(ii) El péndulo doble cuando el punto de suspensión está fijo respecto al sistema de refe-
rencia. En tal caso los dos v́ınculos son
|r1|2 − l21 ≡ x21 + y21 − l21 = 0,
|r2 − r1|2 − l22 = 0.
(iii) Una part́ıcula obligada a moverse sobre una curva cuya forma no cambia en el tiempo.
(iv) Una part́ıcula obligada a moverse en el interior de una esfera estática. (v) Un cuerpo
ŕıgido porque sus v́ınculos son de la forma
|ri − rj |2 − c2ij = 0
siendo i, j dos part́ıculas cualquiera del cuerpo y cij constantes. Los v́ınculos esclerónomos
son los que encontraremos con mayor frecuencia.
Figura 2.4: a) Péndulo de Ehrenfest; b) Péndulo suspendido de cuerpo que puede moverse
horizontalmente.
Vı́nculos reónomos: son aquellos cuya expresión matemática contiene al tiempo.
� Lo más usual es que la dependencia temporal aparezca porque algún “agente externo”
(motor, persona, lo que sea) está modificando el v́ınculo al que está sujeto el sistema.
Veamos en detalle un ejemplo para distinguir entre v́ınculos reónomos y esclerónomos.
En la figura 2.4(a) tenemos un péndulo con una cuerda cuya longitud vaŕıa con el
tiempo de una manera predeterminada. Con “predeterminada” queremos decir que
la longitud l(t) es independiente de cómo se mueva el péndulo, no es una variable
dinámica sino un parámetro que depende del tiempo según la acción de un agente
externo al sistema. Este péndulo se llama péndulo de Ehrenfest. En la figura 2.4 (b)
tenemos otro péndulo, en principio muy parecido al de Ehrenfest porque la longitud
de la cuerda cambia en el tiempo. Pero hay una enorme diferencia: ahora nuestro
sistema se compone tanto del péndulo como de la masa M (porque se están afectando
mutuamente). La longitud l constante de la cuerda es el v́ınculo; considerando un
sistema de referencia cuyo origen coincide con el agujero en la mesa, su expresión es
|xM |+
√
x2m + y
2
m − l = 0, (2.42)
26
siendo xm e ym las coordenadas cartesianas de la masa del péndulo y xM la coordenada
asociada a M (¿Por qué aparece el valor absoluto de xM?). Como M y m se afectan
mutuamente, xM será una variable dinámica del sistema, no está “predeterminada”. El
v́ınculo (2.42) es entonces esclerónomo porque no aparece el tiempo expĺıcitamente. Si
ahora con una mano sujetamos a la masa M y forzamos a que valga, por ejemplo, xM =
A cosωt, xM ya no es una variable dinámica (su evolución en el tiempo deja de estar
gobernada por las fuerzas en juego en el sistema “masa m - cuerda - masa M” para pasar
a ser gobernada por la fuerza que le ejerce nuestra mano) y el v́ınculo al que está sujeto
m pasa a ser reónomo:
|A cosωt|+
√
x2m + y
2
m − l = 0. (2.43)
Existe otra razón por la cual un v́ınculo puede depender expĺıcitamente del tiempo. Por
ejemplo, si a un péndulo simple lo estudiamos desde un sistema de referencia que se mueve
respecto del punto de suspensión, el v́ınculo se escribe
|r − rS(t)| − l = 0, (2.44)
donde rS(t) es el vector posición del punto de suspensión respecto al sistema móvil.
La clasificación entre esclerónomos y reónomos no divide a los sistemas de manera tan tajante
como la anterior entre holónomos (los “buenos”) y no holónomos (los “malos”). Sin embargo,
veremos que es importante respecto a la conservación de la enerǵıa.
2.4. Grados de libertad
Este es uno de esos conceptos cuya definición en abstracto nos dice poco y para entenderlo
o intuirlo mejor es necesario analizar muchos sistemas mecánicos en concreto.
Los grados de libertad de un sistema corresponden a las distintas maneras independientes en
que puede moverse respetando los v́ınculos a los que está sujeto. Reconocemos que esta es una
definición algo vaga: ¿qué significa “maneras de moverse”?, ¿cuándo son “independientes” estas
maneras de movimientos? Apelemos a la intuición: si nuestro sistema es una part́ıcula libre de
v́ınculos, moviéndose en el espacio tridimensional, decimos que sus “maneras independientes de
moverse” corresponden a movimientos a lo largo de las tres direcciones del espacio, entonces la
part́ıcula tiene tres grados de libertad. En un sistema de N part́ıculas sin ligaduras, por cada
part́ıculas tendremos tres grados de libertad, por lo tanto, el número total de grados de libertad
es 3N .
Una definición más rigurosa es la siguiente:
el número de grados de libertad es el número de cantidades que debemos especificar para deter-
minar todas las velocidades del sistema para un movimiento cualquiera que no viole las ligaduras.
Usando esta definición volvemos a encontrar que para una part́ıcula libre de v́ınculos en el
espacio tridimensionales sus grados de libertad son tres (para conocer su velocidad debemos dar
tres números: las tres componentes ẋ, ẏ, ż por ejemplo), que un péndulo doble tiene dos grados
de libertad (basta dar θ̇1 y θ̇2 para conocer la velocidad de ambas masas) y que para el disco
rodando sin deslizar sobre un plano el número de grados de libertad es dos, porque nos son
suficientes dos números (las dos velocidades θ̇ y φ̇, por ejemplo) para especificar las velocidades
de todas las part́ıculas del disco.
27
2.5. Coordenadas generalizadas
Una de las ventajas del formalismo de Lagrange es que permite el uso de coordenadas arbitra-
rias para la descripción de los sistemas mecánicos. Esto significa que, por un lado, la estructura
formal 9 de las ecuaciones de movimiento del formalismo (las ecuaciones de Lagrange que de-
duciremos más adelante) es la misma para cualquier conjunto de coordenadas elegido. Por otra
parte, se usa el mı́nimo número de coordenadas necesario, “no hay coordenadas de más” 10.
Como veremos, para sistemas holónomos, este número mı́nimo de coordenadas coincide con el
número de grados de libertad, mientras que puede ser mayor para los sistemas no holónomos 11
Definimos a las coordenadas generalizadas como el conjunto mı́nimo de cantidades (números)
necesarias para especificar de manera uńıvoca la configuración mecánica del sistema consistente
con los v́ınculos.
Especificar la configuración mecánica (o configuración a secas) de un sistema significa dar
la posición de cada una de sus part́ıculas. Las coordenadas generalizadas son notadas como
q1, q2, · · · , qn 12. Este conjunto no es único, pero el número de cantidades en el conjunto es único
para un dado sistema.
“En la mecánica de Newton el concepto abstracto de coordenada no tiene mayor relevancia.
El método es esencialmente geométrico: se suman vectores, se usa la segunda ley de Newton
y se obtiene la leyes de movimiento. Esta forma de encarar los problemas es bastante limitada
en cuanto a su capacidad de tratar problemas complejos. Es necesario un tratamiento más abs-
tracto, la Mecánica Anaĺıtica, en la cual el concepto de coordenada juega un rol esencial. Las
coordenadas establecen una correspondencia uno a uno entre los puntos del espacio f́ısicos y los
números. Luego de esta correspondencia podemos trabajar con las coordenadas como cantidades
algebraicas y olvidarnos de sus significados f́ısicos. Los resultados finales luego son traducidos al
mundo de las realidades f́ısicas. Durante el tratamiento de la mecánica anaĺıtica no se necesita
especificar la naturaleza de las coordenadas se está utilizando.” (Lanczos)
Consideremos el caso de un sistema de N part́ıculas libres de ligaduras, es decir, cada una
de ellas puede moverse en cualquier de las tres direcciones perpendiculares del espacio. Para dar
la configuración del sistema podemos usar las 3N coordenadas cartesianas de las N part́ıculas
{x1, y1, z1, x2, y2, z2, · · · , xN , yN , zN} (2.45)
Resolver el problema dinámico consisteen conocer cómo cambian las coordenadas a medida
que transcurre el tiempo. Lo mismo puede hacerse si expresamos las coordenadas cartesianas
en término de otras cantidades {q1, · · · , q3N}. Esta es una simple generalización de la idea de
transformaciones de coordenadas, por ejemplo, las q’s pueden ser las coordenadas esféricas de
las part́ıculas {r1, θ1, φ1, · · · , rN , θN , φN}:
xi = ri sin θi cosφi
yi = ri sin θi sinφi
zi = ri cos θi
i = 1, · · · , N. (2.46)
9¿Qué entendemos por estructura formal? Es la forma matemática que adoptan las leyes o principios f́ısicos,
por ejemplo, la estructura formal de la segunda ley de Newton es F = mr̈.
10En el tratamiento a lo Newton del péndulo simple vimos que en un principio aparecen x, y y θ, luego se usan
los v́ınculos para quedarnos con θ solamente.
11Por ejemplo, en el caso del disco que rueda sin deslizar sobre un plano se necesitan 4 coordenadas generalizadas,
mientras que los grados de libertad son dos.
12¿Cuál es el origen de esta notación?¿Por qué “q”? Misterios de la vida.
28
De manera general podemos escribir la transformación de coordenadas cartesianas a las
coordenadas generalizadas q’s como
x1 = f1(q1, · · · , q3N )
· · ·
zN = f3N (q1, · · · , q3N )
(2.47)
Usando las nuevas coordenadas q’s puede resultar más simple resolver el problema, aśı como a
veces un cambio de variable permite calcular más fácilmente una integral. Por ejemplo, en un
problema de dos cuerpos que interactúan mediante fuerzas centrales (como la gravedad) es más
conveniente usar coordenadas esféricas que cartesianas debido a la simetŕıa del problema.
La ventaja enorme del uso de coordenadas generalizadas se da cuando existen v́ınculos en el
sistema mecánico. En estos casos no necesariamente todas las coordenadas cartesianas del pro-
blema son independientes. Si los v́ınculos son holónomos 13 efectivamente no son independientes
porque los v́ınculos, que en tal caso tienen la forma
f(r1, r2, · · · , rN ; t) = 0,
establecen relaciones entre ellas. Para estos sistemas holónomos el número de coordenadas ge-
neralizadas q’s es menor al número de coordenadas cartesianas, evitándose entonces el uso de
“coordenadas de más”. Veamos.
Supongamos que un sistema tiene solamente v́ınculos holónomos (decimos entonces que el
sistema es holónomo). Pongamos que tenemos N part́ıculas con k v́ınculos independientes
holónomos de la forma
fj(r1, · · · , rN ; t) = 0, j = 1, · · · , k. (2.48)
Podemos usar el primer v́ınculo
f1(x1, y1, z1, · · · , xN , yN , zN , t) = 0
para despejar la coordenada zN en término de las 3N − 1 restantes 14:
zN = zN (x1, y1, z1, · · · , xN , yN ; t). (2.49)
Ahora tomamos el segundo v́ınculo
f2(x1, y1, z1, · · · , xN , yN , zN , t) = 0
y lo usamos para despejar yN en término de las 3N − 2 coordenadas restantes:
yN = yN (x1, y1, z1, · · · , xN ; t). (2.50)
Seguimos con el mismo procedimiento hasta agotar los k v́ınculos. De esa forma habremos llegado
a expresar las últimas k coordenadas cartesianas en término de las
n ≡ 3N − k
coordenadas restantes. Ya no tenemos más v́ınculos, por lo tanto esas n coordenadas son li-
nealmente independientes. Por supuesto, puede ser que seguir usando estas n coordenadas
13Si los v́ınculos son no holónomos, hay que mirar caso por caso para ver si establecen relaciones o no entre las
coordenadas.
14No importa si para un determinado sistema no podemos casualmente despejar zN , en tal caso, despejaremos
otra coordenada.
29
cartesianas no sea lo más aconsejado desde el punto de vista de complejidad en las cuentas,
entonces las transformamos en un conjunto de n coordenadas generalizadas {q1, · · · , qn} que
consideremos más adecuado.
Las coordenadas generalizadas especifican la configuración del sistema mecánico como un
todo. Mientras que cada vector posición ri está claramente asociado a una part́ıcula, no
necesariamente eso ocurre con las coordenadas generalizadas.
2.6. Número de coordenadas generalizadas y número de grados de libertad
Demostramos que en los sistemas holónomos (≡ todos sus v́ınculos son holónomos), cada
v́ınculo permite despejar una coordenada en función de las otras. Por lo tanto, por cada v́ınculo
holónomo se reduce en uno el número necesario de coordenadas necesarias para determinar de
manera uńıvoca la configuración del sistema. Como cada v́ınculo implica un grado de libertad
menos, tenemos que cada v́ınculo holónomo reduce en uno simultáneamente los grados de li-
bertad y las coordenadas. Tenemos entonces la misma cantidad de grados de libertad que de
coordenadas generalizadas.
Sistemas holónomos
Número de coordenadas generalizadas = número de grados de libertad.
Por otro lado, en los sistemas no holónomos (que son mucho más complicados que los holóno-
mos), el número de coordenadas generalizadas puede ser mayor 15 al número de grados de liber-
tad, debido a la imposibilidad de “integrar” las ecuaciones de v́ınculos y reducir aśı el número
de coordenadas independientes.
Sistemas no holónomos
Número de coordenadas generalizadas ≥ número de grados de libertad
2.7. Relaciones constitutivas
Hemos definido las coordenadas generalizadas {qj}nj=1 como el conjunto mı́nimo de cantida-
des que determinan de manera uńıvoca la configuración del sistema. Como una configuración
está determinada por las posiciones de todas las part́ıculas del sistema, dado un conjunto de
valores de las coordenadas generalizadas, los vectores posición de cada part́ıcula estará determi-
nado de manera única. Es decir, los vectores ri’s deben ser funciones del conjunto de coordenadas
generalizadas: 
r1 = r1(q1, · · · , qn, t)
· · ·
rN = rN (q1, · · · , qn, t)
(2.51)
Estas son las denominadas relaciones constitutivas. Son de naturaleza geométrica, confi-
guracional. Nada nos dicen sobre cómo se mueve el sistema (¡no son leyes de movimiento!), en
cambio nos permiten conocer la posición de cada part́ıcula si nos dan los valores de las coordena-
das generalizadas del sistema. No nos confundamos con la posible presencia del tiempo en estas
relaciones constitutivas: t aparecerá solamente si la relación entre coordenadas generalizadas y
15También puede ser igual, depende de cuál es el v́ınculo.
30
vectores posición cambia con el tiempo como ocurre cuando existen v́ınculos reónomos.
Ejemplos:
Part́ıcula libre de v́ınculos en el espacio tridimensional tomando sus coordenadas cartesia-
nas como generalizadas:
r = r(x, y, z) = xêx + yêy + zêz ≡ (x, y, z). (2.52)
En cambio, si como coordenadas generalizadas tomamos las coordenadas esféricas de la
part́ıcula:
r = r(r, θ, φ) = (r sin θ cosφ, r sin θ sinφ, r cos θ) . (2.53)
Péndulo simple: si tomamos el ángulo θ (ver figura 2.1) como coordenada generalizada
tenemos la relación constitutiva
r(θ) = (l sin θ, l cos θ) . (2.54)
Notemos que en esta relación no aparece el tiempo, es un v́ınculo esclerónomo. En cambio
si tenemos un péndulo de Ehrenfest la relación constitutiva es
r(θ, t) = (l(t) sin θ, l(t) cos θ) , (2.55)
siendo l(t) una función determinada externamente.
Péndulo y masa M de la figura 2.4 (b). Tomando la coordenada xM y el ángulo θ como
coordenadas generalizadas tenemos las relaciones constitutivas:
rM (xM , θ) = xM êx, (2.56)
rm(xM , θ) = (l − |xM |) sin θêx + (l − |xM |)ρ cos θêy. (2.57)
En esta última ecuación estamos teniendo en cuenta el v́ınculo de la cuerda inextensible
que une a ambas masas, ρ+ |xM | − l = 0.
2.7.1. Derivadas parciales de las relaciones constitutivas
Las derivadas de las relaciones constitutivas
∂ri(q1, q2, · · · , qn; t)
∂qj
aparecen frecuentemente en el formalismo de Lagrange. Vamos a darles una interpretación.
Empezamos considerando una part́ıcula libre de v́ınculos en el espacio tridimensional. La relación
constitutiva en coordenadas cartesianas es la función
r(x, y, z) = xêx + yêy + zêz.
Si y y z se mantienen fijos, y se hace variar a x, el vector posición de la part́ıcula describe una
curva en R3que es una recta paralela al eje x, a la que podemos llamar “x-curva”. El vector
derivada parcial ∂rdx por su propia definición es paralelo a dicha curva, en particular coincide con
el versor êx. De manera análoga los versores a lo largo de y y de z son iguales a las derivadas
de la relación constitutiva respecto de y y z, respectivamente.
31
Trabajemos con la misma part́ıcula pero en coordenadas esféricas. Si mantenemos los ángulos
θ y φ el vector posición en función de r describe una recta que pasa por el origen (recta radial),
a la que podemos llamar “r-curva”. Un vector tangente a dicha recta radial está dado por
∂r
∂r
= (sin θ cosφ, sin θ sinφ, cos θ) . (2.58)
Este vector tiene norma unitaria y coincide con el denominado versor radial êr (un versor en la
dirección radial determinada por los ángulos polar θ y acimutal φ, apuntando hacia afuera del
origen),
êr ≡
∂r
∂r
. (2.59)
Por otra parte, si r y φ se mantienen fijos, al variar el ángulo polar θ el radio vector describe
una semicircunferencia (meridiano) cuyos extremos están en los polos de la esfera de radio r, a
la que llamamos “θ-curva”. La dirección tangente a esta curva está dada por la derivada
∂r
∂θ
= r (cos θ cosφ, cos θ sinφ,− sin θ) . (2.60)
Este vector tiene norma r, por lo tanto el versor polar se define mediante
êθ ≡
1
r
∂r
∂θ
. (2.61)
Si, por último, mantenemos r y θ fijos, variando φ el vector posición de la part́ıcula describe
una circunferencia cuyo centro está en el eje z, a la llamamos “φ-curva”. Un vector tangente a
dicha curva es el vector derivada
∂r
∂φ
= r (− sin θ sinφ, sin θ cosφ, 0) , (2.62)
cuya magnitud es r sin θ. El versor acimutal (tangencial a la “φ-curva”) es
êφ =
1
r sin θ
∂r
∂φ
. (2.63)
De la propia definición de las derivadas vemos que
∂ri
∂qj
(2.64)
es tangente a la “qj-curva” correspondiente a la i−ésima part́ıcula, esto es, la curva que describe
en R3 el vector posición ri cuando se mantienen todas las coordenadas generalizadas fijas excep-
to qj . Como este vector derivada puede no tener norma unitaria, si queremos definir un versor
tendremos que dividir al vector derivada por su módulo. Los vectores derivadas que obtenemos
cuando se deriva a ri respecto a distintas coordenadas generalizadas no tienen porqué ser or-
togonales entre śı, si ello ocurre decimos que las coordenadas son ortogonales (por ejemplo, las
cartesianas o las esféricas).
2.8. Cuerpos ŕıgidos
Dada la importancia del sistema mecánico del cuerpo ŕıgido, haremos un detallado conteo
de sus grados de libertad. Un cuerpo ŕıgido es un sistema de part́ıculas tal que la distancia entre
dos cualquiera de ellas es constante en el tiempo:
|ri − rj | = cij cte. (2.65)
32
Un cuerpo ŕıgido puede estar constituido por un número N finito de masas puntuales. También
puede ser un cuerpo ŕıgido una distribución continua de masa caracterizada por la densidad
volumétrica de masa
ρ(r) = ĺım
∆V→0
∆m(r; ∆V )
∆V
(2.66)
En un ŕıgido compuesto de N part́ıculas existen N(N−1)2 pares distintos de part́ıculas, por lo
tanto, esperamos que haya esa cantidad de v́ınculos de cuerpo ŕıgido. Ahora, con N part́ıculas
tenemos originalmente 3N grados de libertad, si pensamos en calcular el número de grados de
libertad de un ŕıgido simplemente restando
3N − N(N − 1)
2
tenemos un problema. A partir de cierto valor de N dicha resta se hace negativa. ¿Qué significa
este resultado no f́ısico? Que no todos los v́ınculos de la forma (2.65) pueden ser independientes,
es decir, hay v́ınculos “de más”, unos se pueden escribir en término de los otros.
Calculemos el número de grados de libertad de un cuerpo ŕıgido, modelándolo como un
sistema de N part́ıculas en el cual la distancia entre cada par de ellas es constante. Vayamos
aumentando el número de part́ıculas desde uno.
Figura 2.5: Conteo de grados de libertad de un cuerpo ŕıgido.
En el caso N = 1 (punto) tenemos obviamente tres grados de libertad, a los que podemos
pensar como tres traslacionales de la part́ıcula (movimientos a lo largo de cada uno de los
ejes cartesianos).
Con N = 2 (segmento) tenemos originalmente 6 grados de libertad y el v́ınculo de distancia
constante entre las part́ıculas c12 = cte quita uno. Por lo tanto el número total es de 5
grados de libertad para este sistema. Tres de esos grados podemos asociarlos a la posición
de una de las dos part́ıculas (tres grados de libertad traslacionales), mientras que los otros
dos son los que permite ubicar uńıvocamente la segunda part́ıcula respecto a la primera.
Vista desde la primera, la segunda part́ıcula se mueve sobre la superficie de una esfera
de radio c12 = |r1 − r2|, y por lo tanto se puede localizar dando dos ángulos (“latitud” y
“longitud”).
33
Con N = 3 (triángulo) tenemos originalmente nueve grados de libertad, y tres v́ınculos,
c12, c13, c23 constantes. Estas ligaduras son independientes, por ejemplo, si hacemos cons-
tantes la distancia c12 entre las part́ıculas 1 y 2, y la distancia c13 entre las part́ıculas
1 y 3, la distancia entre las part́ıculas 2 y 3 no está fija, ya que ésta puede variar sin
afectar las otras dos distancias (pensemos en un movimiento tipo tijera). El número de
grados de libertad es entonces seis. Podemos tomar como coordenadas generalizadas las
tres coordenadas cartesianas de una de las part́ıculas (tres grados de libertad traslaciona-
les), más tres ángulos que nos den la orientación del triángulo formado por las part́ıculas.
Por ejemplo, un versor perpendicular al plano del triángulo se especifica con dos variables
angulares, mientras que para determinar la orientación del triángulo dentro de su propio
plano necesitamos otra variable angular.
Con N = 4 (tetraedro) tenemos doce grados de libertad originales y seis ligaduras. Otras
vez, los seis v́ınculos son independientes: por ejemplo, si fijamos todas las distancias entre
part́ıculas, excepto aquella entre 3 y 4, podemos cambiarla sin afectar a las otras (movi-
miento en el cual los triángulos 123 y 124 se acercan o alejan). Por lo tanto, el número de
grados de libertad es seis: tres traslacionales (las coordenadas cartesianas de una part́ıcu-
la por ejemplo), mientras los otros tres pueden ser ángulos que fijan la orientación del
tetraedro en el espacio.
Con N = 5 tenemos quince grados de libertad originales y diez v́ınculos. Ahora ya no
son independientes todos los v́ınculos. Supongamos que armamos el cuerpo con N = 5
partiendo del tetraedro y agregando una quinta part́ıcula. Fijamos la distancia entre dicha
part́ıcula y la primera, c15. La quinta part́ıcula puede moverse sobre la superficie de una
esfera centrada en 1, de radio c15. Es decir, agregando solo este v́ınculo no tenemos un
ŕıgido. Fijamos entonces la distancia entre 5 y 2, c25. Ahora la quinta part́ıcula puede
moverse a lo largo de una circunferencia (aquellos puntos del espacio que están a distancias
constantes de las part́ıculas 1 y 2 simultáneamente). Por lo tanto, todav́ıa no llegamos a
la condición de cuerpo ŕıgido. Fijamos entonces la distancia entre 5 y 3, c35, esto último
“inmoviliza” a la quinta part́ıcula, ya tenemos el cuerpo ŕıgido. La distancia entre 4 y 5
resulta automáticamente constante, ésto quiere decir que este v́ınculo es dependiente de
los otros. Por lo tanto, tenemos seis grados de libertad final.
Para N ≥ 5 encontramos que al agregar cada part́ıcula es suficiente fijar tres v́ınculos,
el resto se cumplen automáticamente. Es decir, al agregar cada part́ıcula se tienen tres
grados de libertad más pero se aplican otros tres v́ınculos independientes. Por lo tanto, el
número final de grados de libertad no cambiará, será seis.
El número de v́ınculos independientes es entonces k = 6 + 3(N − 4) para N ≥ 4: partiendo
de los seis del caso N = 4 se suman tres más por cada part́ıcula que se agrega. Ahora que
conocemos el número total de v́ınculos independientes, veamos que podemos hacer la resta
usual para encontrar el número de grados de libertad:
#g.d.l. = 3N− k = 3N − 6− 3(N − 4) = 6
para N ≥ 4.
Concluimos que un cuerpo ŕıgido tiene seis grados de libertad. Si el cuerpo ŕıgido está sujeto
a otras ligaduras puede tener menos grados de libertad. Por ejemplo, un trompo que rota con
su vértice fijo en un punto del espacio tiene tres grados de libertad (que podemos considerar
como los grados de libertad rotacionales, ya que los grados de libertad traslacionales están
ahora restringidos por la condición de vértice fijo). Otro ejemplo es el de una esfera que rueda
34
sin deslizar sobre un plano, en tal caso la condición de rodadura implica la existencia de dos
ligaduras escalares genuinamente no holónomos (porque no son integrables). Un cuerpo ŕıgido
moviéndose en un plano puede considerarse que tiene únicamente tres grados de libertad.
2.9. Espacio de configuración
Si tenemos una única part́ıcula asociamos con sus tres coorde-
nadas cartesianas (x, y, z) un punto del espacio R3. A medida
que transcurre el tiempo, la part́ıcula se mueve en R3 descri-
biendo una curva a la que denominamos “trayectoria”. En un
instante cualquier de tiempo la posición (o configuración) de
la part́ıcula está determinada por un punto de ese espacio.
En un sistema de n grados de libertad, una configuración posible está determinada de manera
uńıvoca por una n-upla de coordenadas generalizadas (q1, · · · , qn) 16. Podemos considerar que
esta n-upla son las coordenadas de un punto en un espacio n-dimensional, al que llamaremos
espacio de configuración y denotaremos Q. Al decir de Lanczos, el espacio de configuración
es uno de los conceptos más imaginativos de la Mecánica Anaĺıtica. En general, Q no coincide
con el espacio f́ısico en el que se mueven las part́ıculas, es un espacio abstracto que nos permite
representar el movimiento de manera análoga a cómo se representa el de una part́ıcula en R3.
Ejemplos:
1. Para una part́ıcula libre de v́ınculos con sus coordenadas cartesianas consideradas como las
generalizadas, Q = R3. En este caso el espacio de configuración śı coincide con el espacio
f́ısico en el que se mueve la part́ıcula. Para un sistema de N part́ıculas libres de v́ınculos,
tomando como coordenadas generalizadas las cartesianas, vale Q = R3N .
2. El péndulo simple tiene un único grado de libertad, si elegimos
al ángulo θ como coordenada generalizada el espacio de
configuración del péndulo es el intervalo [−π, π] o cualquier
otro de longitud 2π (porque los ángulos θ y θ + 2π describen
la misma configuración del péndulo). Como los extremos del
intervalo representan la misma configuración del péndulo,
podemos considerar que el espacio de configuración es una
circunferencia, a la que denotamos S1 –la “S” viene del inglés
“esfera”, el supráındice “1” es porque a la circunferencia se
la llama también “1-esfera”. Al considerar Q = S1 estamos
teniendo en cuenta automáticamente la condición de periodi-
cidad en el ángulo θ.
16Estamos pensando en un sistema holónomo, caso contrario puede ocurrir que para especificar la configuración
de un sistema no holónomo de n grados de libertad sean necesarias más de n coordenadas generalizadas.
35
3. El péndulo doble tiene dos grados de libertad, los ángulos θ1
y θ2 son buenas coordenadas generalizadas. El espacio de con-
figuración es el producto cartesiano [−π, π] × [−π, π]. Debido
a la periodicidad en los ángulos podemos tomar como espacio
de configuración el producto tensorial de la circunferencia S1
consigo misma, es decir, Q = S1 × S1. Geométricamente es-
te producto cartesiano corresponde a la superficie de un toro
bidimensional T2 ≡ S1 × S1.
4. Algunos sistemas tienen espacios de configuración nada triviales. Por ejemplo, para un
cuerpo ŕıgido no vinculado Q = R3 × SO(3), donde SO(3) es el conjunto de matrices
ortogonales 3× 3 con determinante igual a 1 17. ¿Cómo se entiende esto? La configuración
de un cuerpo ŕıgido se puede determinar localizando, en primer lugar, un punto cualquier
del cuerpo mediante sus tres coordenadas cartesianas (esta es la parte R3 de Q) y especifi-
cando, en segundo lugar, la orientación espacial del cuerpo respecto de una orientación de
referencia (por ejemplo, si el cuerpo es un paraleleṕıpedo rectangular de lados abc podemos
convenir que su orientación de referencia es aquella en que sus lados a, b y c son paralelos a
los ejes x, y y z, respectivamente). Esto se puede lograr indicando la matriz ortogonal que
rota al cuerpo desde su orientación particular hasta la orientación de referencia (esta es la
parte SO(3) de Q). Esta matriz depende de tres ángulos que, junto con las tres coordena-
das cartesianas mencionadas anteriormente, constituyen las 6 coordenadas generalizadas
del ŕıgido.
La solución del problema dinámico consiste en determinar cómo vaŕıan las coordenadas
generalizadas con el tiempo:
qi = qi(t) i = 1, · · · , n,
ya que conociendo estas expresiones, podemos conocer la evolución con el tiempo de los vectores
posición de las N part́ıculas, gracias a las relaciones constitutivas (2.51). A medida que trans-
curre el tiempo, el punto (q1, q2, · · · , qn) que representa la configuración del sistema se mueve
en Q describiendo una curva a la que denominamos “trayectoria del sistema en el espacio de
configuración”. Podemos entonces “visualizar” con nuestra imaginación a la “trayectoria” que
sigue un sistema mecánico cualquiera de manera análoga a como podemos seguir con la mirada
la trayectoria de una part́ıcula en nuestro espacio tridimensional.
En esta materia no profundizaremos y usaremos poco el concepto de “espacio de configu-
ración”. Sin embargo este concepto es esencial para el estudio del fenómeno de caos (hiper-
sensibilidad a las condiciones iniciales) y además es el primer escalón hacia una descripción
completamente geométrica de la Mecánica Anaĺıtica. Para avanzar en esta geometrización es
necesario apelar al área de la Matemática conocida como Geometŕıa Diferencial. A quienes
quieran aventurarse en estas regiones matemáticas a la par que aprender Mecánica Clásica les
recomendamos particularmente el libro “Classical Dynamics” de José y Saletan.
2.10. Leyes horarias y velocidades
A medida que transcurre el tiempo las part́ıculas que componen un sistema cambian de
posición en el espacio bajo la acción de las interacciones. Por lo tanto los valores numéricos de
17Las matrices ortogonales son aquellas que satisfacen la condición OT · O = O · OT = I, siendo OT la matriz
traspuesta de O e I la matriz identidad, y tiene determinante igual a ±1. Las operaciones de rotación se representan
matemáticamente mediante matrices ortogonales.
36
las coordenadas generalizadas {qj}nj=1 que nos dan la configuración del sistema también cambian
con el tiempo. Expresamos esta dependencia temporal como las funciones
qj = qj(t), j = 1, · · · , n, (2.67)
y las llamamos leyes horarias de las coordenadas generalizadas del sistema.
Para pensar con cuidado: Vemos en (2.67) que la notación qj se usa con dos sentidos
diferentes que es necesario saber discernir: por un lado, se utiliza para denotar las variables
dinámicas “coordenadas generalizadas” (cuyos valores numéricos en un dado instante nos
permiten conocer de manera uńıvoca la configuración de un sistema) y, por otro lado,
denotan las funciones del tiempo que nos dicen como evolucionan los valores numéricos de
las coordenadas generalizadas (es decir, denotan las leyes de movimiento).
Conocidas las leyes horarias de las coordenadas generalizadas, podemos calcular las leyes
horarias de los vectores posición de cada part́ıcula del sistema. Para ello, debemos reemplazar
las variables dinámicas “coordenadas generalizadas” que aparecen en las relaciones constitutivas
(2.51) por las leyes horarias de las coordenadas generalizadas(2.67):
ri(t) ≡ ri(q1(t), q2(t), · · · , qn(t); t), i = 1, · · · , n. (2.68)
Notemos que mientras en las relaciones constitutivas los vectores posición son funciones de
n+ 1 variables (las coordenadasgeneralizadas y el tiempo 18), en las leyes horarias los vectores
posición son función del tiempo únicamente, variable independiente por excelencia de la F́ısica.
Estas leyes horarias son el objetivo último de la Mecánica porque una vez que las tenemos
conocemos todo lo que puede saberse de un sistema mecánico clásico (posiciones y velocidades
de las part́ıculas en todo tiempo, enerǵıa, momentos lineal y angular).
Las leyes de movimiento para las q’s se obtienen resolviendo las denominadas ecuaciones de
Lagrange, las que deduciremos más adelante. Las ecuaciones de Lagrange son ecuaciones dife-
renciales ordinarias de segundo orden (al igual que la segunda ley de Newton). Como siempre,
resolver ecuaciones diferenciales implica, por un lado, encontrar las funciones que las satisfacen
y, por otro lado, imponer a la solución general condiciones iniciales. Como son ecuaciones de
segundo orden estas condiciones iniciales implican dar tanto los valores de las coordenadas {qi}
como de sus derivadas primeras {q̇i} en un instante inicial t = t0.
Definimos la variable dinámica velocidad generalizada q̇j naturalmente como la derivada
de la coordenada generalizada qj
q̇j =
dqj
dt
, j = 1, · · · , n, (2.69)
Por la propia definición existe una relación diferencial entre qj y q̇j . Pero funcionalmente
las velocidades son independientes de las coordenadas, esto significa que no existen relacio-
nes entre ellas que nos permitan despejar, por ejemplo, velocidades en término de posiciones:
q̇j = q̇1(q1, q2, · · · , qn). Esto es aśı porque, como mencionamos, las ecuaciones de movimiento son
ecuaciones diferenciales de segundo orden y, por lo tanto, podemos tomar condiciones iniciales
arbitrarias tanto para las coordenadas como para las velocidades generalizadas. Otra manera de
18De acuerdo al sistema puede ser que los vectores posición no dependan de todos las coordenadas y/o del
tiempo.
37
decir lo mismo: para una dada configuración del sistema las velocidades pueden ser completa-
mente arbitrarias. La independencia de coordenadas y velocidades es un resultado f́ısico y no
matemático, deriva de los principios (emṕıricos, innumerables veces verificados experimental-
mente dentro de su rango de aplicación) de la Mecánica. Por otro lado, las aceleraciones śı son
dependientes de las coordenadas y velocidades: las ecuaciones de movimiento son ecuaciones que
relacionan derivadas segundas de las posiciones con posiciones y velocidades, las podemos usar
siempre para despejar aceleraciones en término del resto de las variables dinámicas.
Para pensar con cuidado: Cuando decimos que coordenadas y velocidades son indepen-
dientes lo son en su carácter de variables dinámicas del sistema, esto es, un sistema puede
tener en un dado instante valores completamente arbitrarios de coordenadas y velocidades
generalizadas. Por otro lado, una vez resueltas las ecuaciones de movimiento, imponiendo
ciertas condiciones iniciales, tenemos las leyes horarias de coordenadas qi(t) y de velocida-
des q̇i(t). Ahora es posible, despejando t, expresar velocidades en término de coordenadas.
Por supuesto, es una dependencia funcional válida solamente para las condiciones iniciales
elegidas, para un dado movimiento actual (actual en el sentido de “acto”, no de tiempo
presente) del sistema.
A partir de las leyes horarias (2.68) de los vectores posición podemos calcular la velocidad
de cada part́ıcula ṙi usando la regla de la cadena:
ṙi =
dri
dt
=
n∑
j=1
∂ri
∂qj
q̇j +
∂ri
∂t
. (2.70)
Aśı como las posiciones de las part́ıculas, a través de las relaciones constitutivas, son funciones
de las coordenadas generalizadas y eventualmente el tiempo, la ecuación anterior nos permite
decir que sus velocidades ṙi son funciones de las coordenadas y velocidades generalizadas (y
eventualmente el tiempo):
ṙi = ṙi(q̇1, q̇2, · · · , q̇n, q1, q2, · · · , qn; t). (2.71)
Por ejemplo, en el caso del péndulo simple, eligiendo el sistema de referencia de siempre, la
velocidad de la masa obtenida derivando su relación constitutiva es
ṙ = ṙ(θ, θ̇) = lθ̇ (cos θ,− sin θ) . (2.72)
Las coordenadas generalizadas {q1, · · · , qn} es el conjunto de variables dinámicas que
nos permite conocer uńıvocamente la configuración del sistema a través de las rela-
ciones constitutivas (2.51).
Las coordenadas y velocidades generalizadas {q1, · · · , qn, q̇1, · · · , q̇n} es el conjunto de
variables dinámicas que nos permite conocer uńıvocamente el estado del sistema.
Con “conocer el estado del sistema” nos referimos a saber dónde está y cómo se está
moviendo cada part́ıcula del sistema, esto es, poder determinar sus vectores posición
y velocidad. Las relaciones constitutivas (2.51) y sus derivadas totales (2.71) son las
que nos permiten conocer el estado del sistema para un conjunto dado de coordenadas
y velocidades generalizadas {q, q̇}.
38
Como veremos pronto, el “éxito” del formalismo de Lagrange consiste en trabajar con coorde-
nadas y velocidades generalizadas asociadas al sistema, en lugar de vectores posición y velocidad
de las part́ıculas individuales.
Derivadas parciales, derivadas totales
Pensemos en una función cualquier F de las coordenadas generalizadas y del tiempo:
F = F (q1, q2, · · · , qn; t).
Derivación parcial de F : F es una función que depende de n+ 1 variables independientes,
como tal podemos derivarla parcialmente respecto a cualquier de ellas:
∂F
∂qi
=
∂F
∂qi
(q1, q2, · · · , qn; t). (2.73)
Al derivar parcialmente F no se crean dependencias en nuevas variables.
Derivación total de F : si en F reemplazamos las variables q1, q2, · · · , qn por sus leyes ho-
rarias q1(t), q2(t), · · · , qn(t) tendremos una función que dependerá únicamente del tiempo,
F = F (t) = F (q1(t), · · · , qn(t); t). (2.74)
La derivada total de F respecto del tiempo consiste en derivar esta última función, que
solo depende del tiempo. Usando regla de la cadena resulta
dF
dt
=
n∑
i=1
∂F
∂qi
q̇i +
∂F
∂t
. (2.75)
Teniendo en cuenta que las derivadas parciales de F podemos pensarlas como funciones
de las n + 1 variables q1, · · · , qn, t, entonces la función “derivada total de F respecto del
tiempo” podemos pensarla como una función de 2n + 1 variables: las anteriores más las
n velocidades generalizadas. Vemos que la derivación total genera nuevas dependencias,
aparecen nuevas variables. 19
2.11. Sugerencias para comenzar a analizar un sistema
A continuación damos una serie de consejos que pueden ser útiles a la hora de abordar un
problema/ejercicio usando los conceptos de la clase de hoy. Sin embargo te avisamos que, des-
afortunadamente, no hay una “receta de cocina” para identificar grados de libertad, coordenadas
generalizadas, v́ınculos. Es un arte que se aprende haciendo, resolviendo problemas.
Tratá de entender el sistema analizando cuáles elementos lo componen (¿part́ıculas, cuerpos
ŕıgidos con o sin masa, etc?); buenos dibujos siempre son de ayuda. Si el enunciado te
resulta ambiguo evaluá las distintas alternativas.
Determiná los grados de libertad originales del sistema. Llamamos aśı a los grados de
libertad que tendŕıa el sistema si no hubiese v́ınculos.
19Decimos que F es función de n + 1 variables, después decimos que F es solo función del tiempo,.... Esta
confusión se evitaŕıa con una notación más cuidadosa, pero más engorrosa. Por ejemplo la función F vista como
función únicamente del tiempo por supuesto que tiene distinta dependencia funcional que la función F vista como
función de n+ 1 variables, lo ideal seŕıa denotarla de otra forma. Por ejemplo: F̃ (t) = F (q1(t), q2(t), · · · , qn(t); t).
No es lo que se hace usualmente, aunque algunos pocos autores śı lo hacen (ver por ejemplo el libro de Sussman
y Wisdom).
39
Antes de expresar nada matemáticamente, tratá de “visualizar” los posibles movimientos
del sistema. ¿Qué se mueve y para qué lado?¿qué permanece en reposo?¿cuál movimiento
está determinado externamente?... etc.
Determiná losgrados de libertad del sistema, ahora śı con los v́ınculos impuestos.
Dibujá el o los sistemas de referencia que vas a usar.
Escrib́ı los v́ınculos, si es posible usando coordenadas cartesianas.
Eleǵı el conjunto de coordenadas generalizadas que consideres más apropiado. Si encontrás
más de un conjunto de coordenadas evaluá las distintas posibilidades, si es que hay uno
que es mejor o solamente es una cuestión de “gustos”.
Teniendo en cuenta el sistema de referencia elegido, escrib́ı las relaciones constitutivas de
las part́ıculas del sistema. Si tu sistema contiene cuerpos ŕıgidos, con una distribución
continua de masa, en principio tendŕıas infinitas relaciones constitutivas, una por cada
punto del ŕıgido. Pero no todos los puntos son igualmente importantes, siempre hay alguno
o algunos que son de particular interés. Por ejemplo, el centro de masas, los puntos donde
fuerzas externas están aplicadas.
En esta clase vimos:
Cuando un sistema está sujeto a restricciones (v́ınculos) en su movimiento, en el
formalismo de Newton aparecen fuerzas a priori desconocidas y se utilizan más coor-
denadas de las estrictamente necesarias.
Los v́ınculos pueden ser de carácter geométrico o de carácter cinemático, y cada uno
de ellos es impuesto por una fuerza de v́ınculo.
Los v́ınculos se clasifican en holónomos y no holónomos, de acuerdo a si pueden
expresarse o no como una función de las posiciones de las part́ıculas (y eventualmente
el tiempo) igualada a cero; y se clasifican en esclerónomos y reónomos de acuerdo a
si dependen expĺıcitamente o no del tiempo.
Los grados de libertad son las distintas maneras independientes de moverse que tiene
un sistema.
Introducimos coordenadas generalizadas como el conjunto mı́nimo de escalares que
permiten determinar de manera uńıvoca la configuración del sistema.
Las relaciones constitutivas nos permiten conocer los vectores posición de cada
part́ıcula del sistema a partir de las coordenadas generalizadas.
El espacio de configuración es un espacio abstracto definido a partir de las coordenadas
generalizadas. Un punto en dicho espacio corresponde a una posible configuración del
sistema.
40
	Introducción al Formalismo de Lagrange: vínculos y coordenadas generalizadas
	Newton y sus problemas
	Vínculos y fuerzas de vínculo
	Ejemplos de sistemas con vínculos
	Clasificación de los vínculos
	Clasificación de acuerdo a su expresión matemática
	Ejemplo de vínculo no holónomo: Rodadura perfecta sobre un plano
	Clasificación de acuerdo a la dependencia temporal
	Grados de libertad
	Coordenadas generalizadas
	Número de coordenadas generalizadas y número de grados de libertad
	Relaciones constitutivas
	Derivadas parciales de las relaciones constitutivas
	Cuerpos rígidos
	Espacio de configuración
	Leyes horarias y velocidades
	Sugerencias para comenzar a analizar un sistema
	pbs@ARFix@14: 
	pbs@ARFix@15: 
	pbs@ARFix@16: 
	pbs@ARFix@17: 
	pbs@ARFix@18: 
	pbs@ARFix@19: 
	pbs@ARFix@20: 
	pbs@ARFix@21: 
	pbs@ARFix@22: 
	pbs@ARFix@23: 
	pbs@ARFix@24: 
	pbs@ARFix@25: 
	pbs@ARFix@26: 
	pbs@ARFix@27: 
	pbs@ARFix@28: 
	pbs@ARFix@29: 
	pbs@ARFix@30: 
	pbs@ARFix@31: 
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	pbs@ARFix@37: 
	pbs@ARFix@38: 
	pbs@ARFix@39: 
	pbs@ARFix@40: