Clase 7

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7. Constantes de movimiento:
función hamiltoniana y enerǵıa
Clase 7: martes 7 de abril
...lo que siempre fue lo mismo
será
Vox Dei
Durante el movimiento de un sistema sus coordenadas y velocidades
generalizadas vaŕıan con el tiempo. La variación de las coordenadas gener-
alizadas genera la trayectoria del sistema en el espacio de configuración Q.
Existen, sin embargo, determinadas funciones de coordenadas, velocidades y
tiempo, f(q̇, q, t), que permanecen constantes. Son las llamadas “integrales
de movimiento” y dependen sólo de las condiciones iniciales.
Para un sistema mecánico de n grados de libertad existen 2n constantes
o integrales de movimiento. Esto es aśı porque tenemos n ecuaciones de
Lagrange que son ecuaciones diferenciales de segundo orden, por lo tanto la
solución de las ecuaciones de movimiento tiene la forma
qj = qj(t;C1, C2, · · · , C2n) j = 1, · · · , n, (7.1)
q̇j = q̇j(t;C1, C2, · · · , C2n) j = 1, · · · , n,
donde Ci son 2n constantes, que pueden relacionarse con las condiciones
iniciales del problema, {qj(0), q̇j(0)}. Despejando dichas constantes podemos
escribir,
Ci = Ci(q1, q2, · · · , qn, q̇1, q̇2, · · · , q̇n, t) i = 1, · · ·n, (7.2)
lo que nos da 2n integrales de movimiento posibles.
Sin embargo, como comenzaremos a ver en esta clase, no todas las
constantes de movimientos tienen la misma importancia, algunas de ellas
derivan de propiedades fundamentales, como ser la homogeneidad e isotroṕıa
del espacio y la homogeneidad del tiempo para sistemas aislados. La ı́ntima
relación de estas integrales de movimiento con simetŕıas fundamentales las
convierte en pilares de la f́ısica moderna 14,
14Como ejemplo de ello, recordemos que la existencia del neutrino fue propuesta por
Pauli en 1930 para enmendar la supuesta falta de conservación de enerǵıa y momento
lineal en la desintegración β del neutrón. Sólo 26 años después el neutrino fue detectado
experimentalmente.
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7.1. Homogeneidad del tiempo: la función hamiltoniana
Si no existe un tiempo ’preferido’, un tiempo ’especial’ (un tiempo espe-
cial puede ser el instante donde se enciende determinado campo externo, por
ejemplo) la función lagrangeana no dependerá expĺıcitamente del tiempo,
L ̸= L(t) ⇒ ∂L
∂t
= 0. (7.3)
A partir de este resultado vamos a obtener la conservación en el tiempo de
una función, que bajo determinadas condiciones coincide con la enerǵıa del
sistema.
Procedamos calculando al derivada total de la lagrangeana:
dL
dt
=
n∑
j=1
∂L
∂qj
q̇j +
n∑
j=1
∂L
∂q̇j
q̈j +
∂L
∂t
=
n∑
j=1
d
dt
∂L
∂q̇j
q̇j +
n∑
j=1
∂L
∂q̇j
q̈j +
∂L
∂t
, (7.4)
en la última igualdad usamos las ecuaciones de Lagrange, ∂L∂qj =
d
dt
∂L
∂q̇j
.Vemos
que las dos sumas anteriores pueden reescribirse, usando regla de la derivada
del producto de funciones, como
dL
dt
=
d
dt
 n∑
j=1
∂L
∂q̇j
q̇j
+ ∂L
∂t
. (7.5)
Juntado ahora las dos derivadas totales de la relación anterior llegamos al
importante resultado
d
dt
 n∑
j=1
∂L
∂q̇j
− L
 = −∂L
∂t
. (7.6)
Por lo tanto, si la lagrangeana no depende expĺıcitamente del tiempo, obten-
emos una constante de movimiento, la función que está entre paréntesis se
mantiene constante en el tiempo. A dicha función, que depende de coorde-
nadas, velocidades generalizadas y el tiempo, la llamaremos función hamil-
toniana 15
H(q̇, q, t) ≡
n∑
j=1
∂L
∂q̇j
q̇j − L. (7.7)
Llegamos entonces al resultado
L ̸= L(t) ⇒ H(q̇, q, t) = cte. (7.8)
Si la función lagrangeana no depende expĺıcitamente del tiempo, en-
tonces la función hamiltoniana se conserva.
15Goldstein distingue marcadamente entre esta función, a la que llama función enerǵıa
y denota con h minúscula, y la función hamiltoniana H que es la base del formalismo
hamiltoniano que veremos más adelante. Nosotros llamaremos a ambas funciones como
’hamiltoniana’, la diferencia entre ellas estará dada por las variables de las cuales dependen.
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7.2. ¿Qué es H?
Bajo determinadas condiciones, H es la enerǵıa mecánica del sistema.
Vemos cuando. Para ello necesitamos escribir la dependencia expĺıcita de la
enerǵıa cinética con las velocidades generalizadas.
T =
1
2
N∑
i=1
miṙi
2 =
1
2
N∑
i=1
mi
 n∑
j=1
∂ri
∂qj
q̇j +
∂ri
∂t
2 , (7.9)
donde hemos escrito, como muchas veces antes, las velocidades de las part́ıcu-
las en término de las coordenadas y velocidades generalizadas. Desarrollamos
el cuadrado de la expresión anterior, intercambiamos sumatorias, y vemos
que surgen naturalmente tres términos
T =
1
2
n∑
j=1
n∑
k=1
(
N∑
i=1
mi
∂ri
∂qj
· ∂ri
∂qk
)
q̇j q̇k+
n∑
j=1
(
N∑
i=1
mi
∂ri
∂qj
· ∂ri
∂t
)
q̇j+ (7.10)
+
1
2
N∑
i=1
mi
∂ri
∂t
· ∂ri
∂t
.
Definimos las funciones a’s,
ajk =
N∑
i=1
mi
∂ri
∂qj
· ∂ri
∂qk
(7.11)
aj =
N∑
i=1
mi
∂ri
∂qj
· ∂ri
∂t
(7.12)
a0 =
1
2
N∑
i=1
mi
∂ri
∂t
· ∂ri
∂t
. (7.13)
los cuales dependen de las coordenadas generalizadas y del tiempo, pero
no de las velocidades generalizadas. Notemos que los coeficientes ajk son
simétricos: ajk = akj . En término de los coeficientes a’s, la enerǵıa cinética
se puede escribir de manera expĺıcita como la suma de tres polinomios en las
velocidades generalizadas: T0 de grado cero, T1 de grado uno y T2 de grado
dos:
T = T2 + T1 + T0 =
1
2
n∑
j,k=1
ajkq̇j q̇k +
n∑
j=1
aj q̇j + a0. (7.14)
Esta es la expresión más general de la enerǵıa cinética en función de las
velocidades generalizadas, y de las coordenadas generalizadas y el tiempo t
’escondidos’ en los coeficientes a’s.
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Calculemos la función hamiltoniana usando esta descomposición de la
enerǵıa cinética. Por un lado reemplazamos
∂L
∂q̇j
=
∂T
∂q̇j
− ∂V
∂q̇j
,
y L = T − V en H:
H =
n∑
j=1
q̇j
∂T
∂q̇j
−
n∑
j=1
q̇j
∂V
∂q̇j
− T + V (7.15)
Luego, teniendo en cuenta la dependencia de T con las velocidades q̇ (7.14)
y la simetŕıa de los coeficientes ajk:
∂T
∂q̇j
= aj +
n∑
k=1
ajkq̇k. (7.16)
Por lo tanto,
H =
n∑
j=1
aj q̇j︸ ︷︷ ︸
=T1
+
n∑
j,k=1
ajkq̇j q̇k︸ ︷︷ ︸
=2T2
−
n∑
j=1
q̇j
∂V
∂q̇j
− (T2 + T1 + T0) + V. (7.17)
Llegamos entonces a que la función hamiltoniana, de manera general, se
escribe
H = T2 − T0 −
n∑
j=1
q̇j
∂V
∂q̇j
+ V →
H = T + V − 2T0 − T1 −
n∑
j=1
q̇j
∂V
∂q̇j
. (7.18)
Impongamos condiciones para llegar a una expresión reconocible para H:
Consideremos que el potencial no depende de las velocidades, ∂V∂q̇ = 0;
es decir, no estamos considerando potenciales generalizados y V es
entonces enerǵıa potencial.
Consideremos que las relaciones constitutivas no dependen del tiem-
po, ∂ri∂t = 0. Esto generalmente ocurre cuando los v́ınculos son inde-
pendientes del tiempo 16. Vemos de (7.12) que si ri ̸= ri(t) entonces
T0 = T1 = 0. La enerǵıa cinética resulta ser una función cuadrática de
las velocidades generalizadas.
16Nótese que podŕıamos tener dependencia con el tiempo de las relaciones constitutivas
si tomamos un sistema de referencia inercial que se está moviendo respecto al sistema
estudiado.
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Con estas dos condiciones inspeccionamos la ecuación (7.18) y vemos que
son condiciones suficientes para que valga
H = T + V = E, (7.19)
es decir, para que la función hamiltoniana sea la enerǵıa mecánica del sis-
tema.
Condiciones suficientes para que la función hamiltoniana sea la enerǵıa:
V ̸= V (q̇),
Ligaduras independientes del tiempo.
Ambas condiciones son suficientes pero no necesarias. Puede ocurrir que
no valga alguna de esas condiciones y, sin embargo, la hamiltoniana sea la
enerǵıa. Por ejemplo, en el caso de una part́ıcula cargada en un campo
electromagnético vimos que la función lagrangeana es
L =
1
2
mṙ2 − qϕ+ qṙ ·A,
con un potencial generalizado que depende de las velocidades. L nos da una
función hamiltoniana
H = ẋ
∂L
∂ẋ
+ ẏ
∂L
∂ẏ
+ ż
∂L
∂ż
− L = 1
2
mṙ2 + qϕ. (7.20)
En el caso de campos estáticos esta expresión de H es la enerǵıa de la
part́ıcula cargada: enerǵıa cinética más enerǵıa potencial electrostática.
Vimos por un lado que si la lagrangeana no depende del tiempose con-
serva la hamiltoniana. Por otro lado, identificamos bajo ciertas condiciones
la hamiltoniana con la enerǵıa del sistema. Merece remarcarse que estos dos
hechos, identificación de H con la enerǵıa y conservación de H, son dos
resultados independientes. Podemos tener todas las posibilidades:
H es la enerǵıa y se conserva. Ejemplos: la mayoŕıa de los sistemas
que estudiamos, como ser péndulo simple, péndulo doble, oscilador
armónico.
H se conserva pero no es la enerǵıa. Veremos en lo que sigue un ejemplo
de este caso.
H es la enerǵıa pero no se conserva. Ejemplo: part́ıcula en un potencial
dependiente del tiempo.
H no es la enerǵıa y tampoco se conserva.
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Ejemplo 7.1 (H es constante pero no es la enerǵıa)
Consideremos una part́ıcula de masa m enhebrada en un aro rotante como
se muestra en la figura 7.1. El aro está obligado a rotar a una velocidad
angular constante Ω.
Ω
m
g
θ
R
Figura 7.1: Masa enhebrada m en un aro vertical de radio R que rota con
velocidad angular constante Ω alrededor del eje z vertical. .
El sistema tiene un único grado de libertad debido a los dos v́ınculos: m
se mueve sobre la superficie de una esfera de radio R y con ángulo acimutal
ϕ = Ωt fijado externamente. Nos queda como coordenada generalizada el
ángulo polar θ. La relación constitutiva y velocidad son:
r = (R sin θ cosΩt, R sin θ sinΩt,−R cos θ) ,
ṙ = ΩR (− sin θ sinΩt,− sin θ cosΩt, 0) +Rθ̇ (cos θ cosΩt, cos θ sinΩt, sin θ) ,
la enerǵıa cinética
T =
1
2
mṙ2 =
1
2
mR2θ̇2 +
1
2
mR2Ω2 sin2 θ
y la enerǵıa potencial
V = −mgR cos θ
La lagrangeana de la masa m resulta
L =
1
2
mR2θ̇2 +
1
2
mR2Ω2 sin2 θ +mgR cos θ.
Vemos que L no depende expĺıcitamente del tiempo, por lo tanto, se conserva
la hamiltoniana
H =
∂L
∂θ̇
θ̇ − L = 1
2
mR2θ̇2 − 1
2
mR2Ω2 sin2 θ −mgR cos θ = cte.
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A pesar que existe un v́ınculo reónomo, el tiempo no aparece expĺıcitamente
en la lagrangeana para este v́ınculo particular.
H se conserva pero no es la enerǵıa del sistema, la enerǵıa es
E = T + V =
1
2
mR2θ̇2 +
1
2
mR2Ω2 sin2 θ −mgR cos θ ̸= H
La relación entre enerǵıa y hamiltoniana es
E = H +mR2Ω2 sin2 θ,
considerando que H = cte únicamente si θ no vaŕıa en el tiempo se conser-
vará la enerǵıa.
En esta clase vimos que:
Si la lagrangeana no depende expĺıcitamente del tiempo ∂L/∂t = 0
entonces la función hamiltoniana es una constante de movimiento
H =
n∑
j=1
∂L
∂q̇j
q̇j − L = cte.
Una condición suficiente para que L no dependa del tiempo es que
el tiempo sea homogéneo para el sistema, por ejemplo, como ocurre
en un sistema aislado.
Si el potencial no depende de las velocidades y las relaciones con-
stitutivas no dependen del tiempo, entonces
H = Enerǵıa.
La identificación de H con la enerǵıa y la conservación de H son
independientes.
Encontramos una estrecha relación entre tiempo y enerǵıa:
si el tiempo es homogéneo se conserva la enerǵıa (bajo las condi-
ciones indicadas más arriba). La relación entre tiempo y enerǵıa
aparece una y otra vez en distintas áreas de la f́ısica.
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