BertJanssen-RelatividadGeneral-14

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k k
φ φ φ
m m m
L L0 0
α−1 α+1α
αα−1 α+1
Figura 1.1: Una serie de masas m están conectadas a través de muelles con constante k y posición de
equilibrio L0. En la situación de equilibrio (arriba) las masas están separadas por la distancia L0. En la
situación general (abajo) el desplazamiento de la masa m de la posición de equilibrio está caracterizado por
φα.
Conceptualmente las teorı́as de campos son un poco diferentes que los sistemas discretos. Por
lo tanto es útil estudiar la conexión con la mecánica analı́tica discreta, antes de tratar a fondo el
electromagnetismo. Desde el punto de vista mecánico, una teorı́a de campos no es nada más que
una teorı́a con un número infinito (continuo) de grados de libertad. Son aplicables por lo tanto
las mismas técnicas que ya conocemos de (por ejemplo) el formalismo lagrangiano, sólamente
tomando en cuenta la sutileza de tomar de manera adecuada el lı́mite continuo. En esta sección
revisaremos cómo tomar este lı́mite.
Consideramos un sistema que consiste de una serie infinita (pero contable) de masas iguales
alineadas a lo largo del eje x y conectadas por muelles idénticos de tamañoL0 y constante elástica
k. Supondremos además que las masas sólo se puedenmover en la dirección x (Véase Figura 1.1).
Tomamos como coordenadas generalizadas qα(t) la posición de la α-ésima masa m
qα(t) = αL0 + φα(t), (1.1)
donde el indice α ∈ Z corre de −∞ a ∞ y φα(t) mide la desviación de la posición de equilibrio.
Las velocidadas generalizadas por lo tanto vienen dadas por q̇α = φ̇α. La energı́a potencial es
proporcional al cuadrado de la desviación de los muelles del tamaño de equilibrio y viene dada
por
V =
1
2
∑
α
k(qα+1 − qα − L0)2 =
1
2
∑
α
k(φα+1 − φα)2. (1.2)
Podemos por lo tanto escribir el lagrangiano como
L =
1
2
∑
α
mφ̇2α −
1
2
∑
α
k(φα+1 − φα)2
=
1
2
∑
α
L0
[m
L0
φ̇2α − kL0
(φα+1 − φα
L0
)2]
, (1.3)
donde en la última igualdad hemos sacado un factor L0 por razones que se harán claras un poco
más adelante. Las ecuaciones de movimiento vienen dadas por
m
L0
φ̈α = kL0
(φα+1 − φα
L20
)
− kL0
(φα − φα−1
L20
)
. (1.4)
Aquı́ no estamos interesados en intentar resolver estas ecuaciones, sino queremos saber qué ocu-
rre con el lagrangiano y la ecuaciones de movimiento en el lı́mite donde la posición de equilibrio
L0 tiende a cero.
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