BertJanssen-RelatividadGeneral-87

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donde ~a = d~v/dt es la aceleración newtoniana. Por lo tanto las componentes espaciales de αµ no
son simplemente (proporcionales a) la aceleración newtoniana, sino también tienen un término
proporcional a (~v · ~a)~v. Nótese además que el trivector ~a no es una cantidad invariante bajo
transformaciones de Lorentz (y por lo tanto no es absoluta, ~a′ 6= ~a), en contraste con lo que
dijimos en la sección 2.2. En el fondo esto es de esperar, puesto que dos observadores distintos,
que ven moverse la partı́cula con velocidades diferentes, deben medir aceleraciones diferentes,
si queremos asegurar que en ningún sistema de referencia la velocidad de la partı́cula puede
superar la velocidad de la luz.
El cuadrivector momento pµ se define de manera análoga (pero, ojo, no igual) al momento
newtoniano
pµ = m0u
µ, (5.33)
donde m0 es la masa (de reposo) de la partı́cula. Dado que m0 es un invariante y u
µ un cua-
drivector, está claro que también pµ lo es. De la definición se ve que las componentes espaciales
de pµ corresponden al momento newtoniano con un factor de corrección relativista pi = γm0v
i,
mientras la componente temporal es la energı́a cinética E relativista,
pµ = γ
(
m0
m0~v
)
=
(
E
~p
)
. (5.34)
Bajo un boost (3.19), las componentes de pµ transforman como (3.31). La norma de pµ es un
invariante y viene dada por
pµp
µ = m20. (5.35)
Nótese que esta expresión no es más que la formulación covariante de (3.32). La masa m0 de una
partı́cula es un invariante, simplemente porque es la norma del cuadrivector pµ.
La versión relativista de la segunda ley de Newton viene dada por
fµ =
dpµ
dτ
, (5.36)
donde fµ es el cuadrivector fuerza, cuyas componentes espaciales son proporcionales a la fuerza
newtoniana ~F y la componente temporal f0 = ~v · ~F al trabajo realizado por ~F por unidad de
tiempo,
fµ = γ
(
~v · ~F
~F
)
(5.37)
Obsérvese que en términos de la aceleración cuadrimensional se puede escribir la segunda ley
de Newton como
fµ = m0α
µ. (5.38)
Sin embargo es importante darse cuenta de que, aunque formalmente análoga a ~F = m0~a, esta
ecuación es tanto conceptualmente como fı́sicamente muy distinta a su homóloga newtoniana.
De (5.36) podemos ver que mientras que no actúe ninguna fuerza fµ sobre una partı́cula el
cuadrivector pµ se conserva. Obsérvese que por lo tanto la ley de la conservación de la energı́a
y la ley de la conservación del momento, en la fı́sica newtoniana dos leyes independientes, en
realidad corresponden a diferentes componentes de la misma ecuación cuadrimensional.
Finalmente, la definición del momento angular en la dinámica relativista es un poco más sutil.
La generalización del momento angular tridimensional ~ℓ = ~r × ~p no es un cuadrivector, sino un
tensor antisimétrico,8
Lµν = xµpν − xνpµ, (5.39)
8Esta definición del momento angular es general para cualquier número de dimensiones. El caso de un espacio tridi-
mensional es especial, porque entonces un tensor antisimétrico es equivalente a un vector, a través del tensor de Levi-
Civita: ℓi = εijk xjpk. Nótese que de este modo también recuperamos el conocido caso de que el momento angular en
dos dimensiones viene dado por una sola componente, (es decir: es un escalar): ℓ = εij xipj .
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