BertJanssen-RelatividadGeneral-213

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de escala implica una expansión o contracción de la sección espacial y marca por lo tanto una
escala en las secciones espaciales. La expansión del universo por lo tanto no se corresponde con
la imagen de diferentes galaxias alejándose unas de otras debido a los movimientos radiales
de cada una de ellas en un espacio fijo, sino más bien a la imagen del contenido de materia y
energı́a diluyéndose, debido a la constante creación de espacio, con el aumento del factor de
escala. Obsérvese que para k = 0, el factor de escala es adimensional, pero para k = ±1, a(t) tiene
dimensiónes L.
La métrica (13.20) se llama la métrica de Friedmann-Robertson-Walker (FRW), llamada ası́ por
el fı́sico-meteorólogo ruso Alexander Friedmann (1888 - 1925), el fı́sico americano Howard Ro-
bertson (1903 - 1961) y el matemático inglés Arthur Walker (1909 - 2001). Friedmann propuso
en 1922 la métrica (13.20) como Ansatz para el universo, dedujo las ecuaciones de Friedmann y
obtuvo una de las primeras soluciones realistas de un universo en expansión.5 En 1935 y 1936
Robertson yWalker demostraron independientemente que la métrica que propuso Friedmann es
el Ansatz más general que describe un universo homogéneo e isótropo. Las coordenadas en que
está escrita la métrica de FRW en (13.20) se suelen llamar coordenadas comóviles, ya que el tiempo
t es el tiempo propio de un observador que se mueve con la expansión del universo.
13.3. Las ecuaciones de Friedmann
Ya que tenemos la forma general de la métrica de un universo homogéneo e isótropo, po-
demos concentrarnos en el verdadero problema de la cosmologı́a relativista: la evolución del
universo, codificado en la dinámica del factor de escala a(t). Para esto hay que resolver la ecua-
ción de Einstein, utilizando el Ansatz que acabamos de derivar y la descripción apropiada de la
materia.
Para calcular los tensores de curvatura de la métrica (13.20), conviene escribirla como
ds2 = dt2 − a2(t) g̃ij(x) dxidxj , (13.22)
donde g̃ij(x) es la métrica de las secciones espaciales de curvatura constante, que hemos calcula-
do antes. No sólo de esta forma podemos tratar los tres casos k = −1, 0, 1 simultáneamente, sino
también resulta que el resultado es explicitamente independiente de las coordenadas utilizadas
en las secciones espaciales, ya que lo único que necesitamos saber es que
R̃ijkl = k(g̃ilg̃jk − g̃ikg̃jl), R̃ij = −2kg̃ij, R̃ = −6k. (13.23)
Un cálculo rutinario revela que los sı́mbolos de Christoffel non-cero son
Γtij = aȧ g̃ij , Γ
i
tj =
ȧ
a
δij, Γ
k
ij = Γ̃
k
ij , (13.24)
donde el punto indica derivar con respecto a la coordenada t y los Γ̃kij son los sı́mbolos de Chris-
toffel (13.6) de la métrica g̃ij . Del mismo modo el tensor de Ricci, el escalar de Ricci y el tensor de
Einstein vienen dados por
Rtt = 3
ä
a
, Rij = −
[
2k + aä + 2ȧ2
]
g̃ij , R = 6
[
a−2k +
ä
a
+
( ȧ
a
)2]
,
Gtt = −3
[
a−2k +
( ȧ
a
)2]
, Gij =
[
k + 2aä + ȧ2
]
g̃ij . (13.25)
5En 1927, dos años después de la muerte de Friedmann, el sacerdote belga George Lemaı̂tre (1894 - 1966) derivó inde-
pendientemente las ecuaciones de Friedmann y presentó varias soluciones cosmológicas. Por eso a veces se le denomina
(13.20) como la métrica de Friedmann-Lemaı̂tre-Robertson-Walker (FLRW).
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	IV Soluciones de las Ecuaciones de Einstein
	Cosmología relativista
	Las ecuaciones de Friedmann