BertJanssen-RelatividadGeneral-226

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t
k=0
k=−1
Figura 13.6: El universo de Milne como una sección del espacio de Minkowski: el universo de Milne es la
parte del espacio de Minkowski contenida dentro del cono de luz futuro del origen (parte en blanco). Las
secciónes espaciales con k = −1 en las coordenadas FRW son superficies de puntos a la misma distancia
temporal del origen (lineas continuas). Las secciones planas (k = 0, lineas discontinuas) de las habituales
coordenadas cartesianas sı́ cubren todo el espacio. Obsérvese que la coordenada t del universo de Milne
(k = −1) no es la misma coordenada que la coordenada temporal en cartesianas.
propiedades geométricas y las formas de la métrica de anti-De Sitter en la sección ??.
El universo de Milne
El universo de Milne es una solución del las ecuaciones del vacı́o, en ausencia de materia, de
radiación, e incluso de una constante cosmológica. En otras palabras, ρM = ρrad = ρΛ = 0. En
este caso, las ecuaciones de Friedmann,
( ȧ
a
)2
= −a−2k, ä
a
= 0, (13.71)
dejan dos posibilidades: o bien k = 0, ó bien k = −1. El primer caso es trivial, ya que sólo permite
la solución a(t) = a0, una constante, y la solución es fácilmente identificable como el espacio de
Minkowski.
El otro caso, k = −1, el universo de Milne, tiene como solución a(t) = t (más una constante
de integración, que se puede absorber en una redefinición de la coordenada t), de modo que la
métrica del universo de Milne coge la forma
ds2 = dt2 − t2
[
dχ2 + sinh2 χ dΩ22
]
. (13.72)
A primera vista parece que la solución es singular para t → 0. Sin embargo, al calcular el
tensor de Riemann para obtener algún invariante de curvatura, vemos que
Rtitj = Rijkl = 0. (13.73)
En otras palabras, también para el caso k = −1, ¡el universo de Milne no es más que el espacio
de Minkowski! Para ser más exactos: es un trozo de él: la métrica (13.72) representa la sección
de Minkowski que está contenida dentro del cono de luz futuro del origen de las coordenadas
(t, χ, θ, ϕ) (véase Figura 13.6). Las secciones espaciales son los conjuntos de puntos a la misma
distancia temporal t del origen y por la signatura lorentziana del espacio de Minkowski tienen
curvatura constante negativa (obsérvese que la coordenada temporal t en la métrica (13.72) no
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