BertJanssen-RelatividadGeneral-88

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cuyas componentes Lij = 12ε
ijkℓk nos dan el familiar momento angular tridimensional, mientras
que las componentes L0i = tpi − xiE son una cantidad fı́sica de poca relevancia en la fı́sica
newtoniana.
Derivando el momento angular con respecto al tiempo propio, obtenemos que
dLµν
dτ
=
dxµ
dτ
pν + xµ
dpν
dτ
− dx
ν
dτ
pµ + xν
dpµ
dτ
= m0(u
µuν − uνuµ) + xµfν − xνfµ, (5.40)
donde en la segunda igualdad hemos utilizado la definición (5.33) del momento pµ y la segunda
ley de Newton (5.36). El primer término de esta igualdad es idénticamente cero por la antisi-
metrı́a, mientras que en los últimos dos términos reconocemos el momento de fuerza relativista,
Mµν = xµfν − xνfµ. (5.41)
La ecuación (5.40) toma por lo tanto la forma
dLµν
dτ
= Mµν , (5.42)
lo que implica que el momento angular está conservado, mientras el momento de fuerza es cero.
Por otro lado, ya hemos dicho en las secciones 2.3 y 3.3 que las Leyes de Maxwell son cova-
riantes bajo transformaciones de Lorentz y no necesitan por lo tanto una corrección relativista.
Matemáticamente esto quiere decir que los objetos que aparecen en la teorı́a de Maxwell ya com-
binan de manera natural en cuadrivectores y tensores.
La densidad de carga ρ y la densidad de corriente ~ = ρ~v forman las componentes de un
cuadrivector jµ y los potenciales φ y ~A combinan en el cuadrivector Aµ
jµ =
(
ρ
~
)
, Aµ =
(
φ
~A
)
. (5.43)
Las transformaciones de jµ y Aµ bajo un boost vienen dadas por (3.37) y (3.42).
Los potenciales φ y ~A dan lugar a los campos electromagnéticos ~E y ~B a través de las identi-
dades (3.39), o en componentes
Ei = −(∂t ~A)i − (~∇φ)i = −∂0Ai + ∂iA0,
Bi = ǫijk(~∇)j( ~A)k = −ǫijk∂jAk = −
1
2
ǫijk(∂
jAk − ∂kAj). (5.44)
En otras palabras podemos definir un tensor antisimétrico Fµν de rango (2, 0)9
Fµν = ∂µAν − ∂νAµ, (5.45)
cuyas componentes (0i) son las componentes del campo eléctrico, F 0i = −Ei, y (ij) las del cam-
po magnético, F ij = −ǫijkBk. El tensor Fµν se llama el tensor electromagnético. Explı́citamente
tenemos (ejerc.)
Fµν =




0 −E1 −E2 −E3
E1 0 −B3 B2
E2 B3 0 −B1
E3 −B2 B1 0




. (5.46)
9El correspodiente tensor Fµν de rango (0, 2) se define simplemente bajando los ı́ndices a través de la métrica:
Fµν = ηµρηνλF
ρλ. Ojo, el signo de algunas de las componentes de Fµν será diferente que el de las componentes
correspondientes de F µν .
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