BertJanssen-RelatividadGeneral-59

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Las leyes de Maxwell
~∇ · ~E = ρ, ~∇ · ~B = 0, (3.33)
~∇× ~E = −1
c
∂t ~B, ~∇× ~B =
1
c
(
~ + ∂t ~E
)
, (3.34)
junto con la fuerza de Lorentz
~F = e
(
~E +
~v × ~B
c
)
(3.35)
describen las interacciones de campos eléctricos ~E, magnéticos ~B, densidades de cargas ρ y den-
sidades de corrientes ~. Una de sus consecuencias es la ley de conservación de la carga
∂tρ + ~∇ · ~ = 0. (3.36)
Está claro que el Principio de la Relatividad relaciona ciertas magnitudes que aparecen en
las leyes de Maxwell. Por ejemplo, una corriente no es más que carga en movimiento, ~ = ρ~v,
de modo que lo que para un observador O parece una corriente, es una carga estática para el
observador O′ que viaja con la misma velocidad v que la carga. Cargas y corrientes están por lo
tanto relacionadas a través de una transformación de Lorentz (suponiendo que los sistemas deO
y O′ están orientados como en la sección anterior y que la carga se mueve a lo largo del eje x),
ρ′ =
ρ − vjx/c2
√
1 − v2/c2
, j′x =
jx − vρ
√
1 − v2/c2
. (3.37)
Obsérvese que la ley de conservación de carga (3.36) es invariante bajo las transformaciones de
Lorentz (3.19) y (3.37) (ejerc.). La conservación de la carga es por lo tanto válida para todos los
observadores, tal como esperarı́amos de una propiedad tan importante.
Según la ley de Gauss (3.33a), una carga estática causa un campo eléctrico estático, mientras la
ley de Ampère (3.34b) dice que una corriente causa un campo magnético. Por lo tanto al pasar la
carga, O verá un campo magnético que está ausente para O′. Esto es posible porque los campos
~E y ~B se transforman bajo una transformación de Lorentz como
E′x = Ex, E
′
y =
Ey − vBz/c
√
1 − v2/c2
, E′z =
Ez + vBy/c
√
1 − v2/c2
,
B′x = Bx, B
′
y =
By + vEz/c
√
1 − v2/c2
, B′z =
Bz − vEy/c
√
1 − v2/c2
. (3.38)
Es un ejercicio instructivo comprobar que las ecuaciones de Maxwell transforman de manera
covariante bajo las transformaciones (3.19), (3.37) y (3.38).
Como hemos visto en la sección 1.4, las ecuaciones homogéneas de Maxwell (3.33b) y (3.34a)
implican que existen unos potenciales electromagnéticos φ y ~A, tales que
~E = −~∇φ − 1
c
∂t ~A, ~B = ~∇× ~A, (3.39)
y que podemos escribir las ecuaciones inhomogéneas de Maxwell (3.33a) y (3.34b) como
1
c2
∂2t φ − ∇2φ = ρ,
1
c2
∂2t ~A − ∇2 ~A =
1
c
~, (3.40)
si suponemos que φ y ~A satisfacen el gauge de Lorenz
1
c
∂tφ + ~∇ · ~A = 0. (3.41)
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