BertJanssen-RelatividadGeneral-68

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2
1
|e ’ >
|e >
2
|e >1
|e ’ >1
1
(M )
1
2
(M ) 2
2
(M )
1
2
(M )−1−1
−1
−1
Figura 4.1: La descomposición de los vectores de base |ej ′〉 en la base {|ei〉}. Las componentes (M−1)ij
forman una matriz N × N que parametriza el cambio de base.
4.2. Espacios vectoriales y duales
Consideramos el espacio vectorial N -dimensional RN , con un origen O y una base {|ei〉},
formado por N vectores linealmente independientes. A cada punto x de RN se le asigna un
vector de posición |x〉, que se descompone en la base {|ei〉} como
|x〉 = x1|e1〉 + x2|e2〉 + ... + xN |eN 〉 = xi|ei〉. (4.1)
(Nótese que estamos utilizando el convenio de sumación.) La descomposición |x〉 en la base {|ei〉}
es única y los números xi son las componentes de |x〉 en la base {|ei〉}. Otra manera de representar
el vector |x〉 es a través de sus componentes, como un vector de columna
|x〉 =





x1
x2
...
xN





. (4.2)
En vez de trabajar en la base {|ei〉}, podrı́amos haber escrito |x〉 en una base distinta {|ei′〉},
donde la descomposición serı́a
|x〉 = x′i|ei′〉. (4.3)
Para encontrar la relación entre las dos bases, descomponemos los vectores de base |ei′〉 en la
base {|ei〉} (véase Figura 4.1),
|ej ′〉 = (M−1)ij |ei〉, (4.4)
donde (M−1)ij es la componente i del vector |ej ′〉 en la base {|ei〉}.2 Desde el punto de vista
matemático M−1 es la matriz N × N que parametriza la transformación entre las dos bases.
Dado que el vector |x〉 en (4.1) y (4.3) es el mismo y que la relación entre las dos bases viene
dada por (4.4), tiene que haber una relación entre las componentes xi y x′i. No es difı́cil ver que
las componentes transforman como
x′i = M ij x
j , (4.5)
donde la matriz M es la inversa de M−1,
M ij(M
−1)jk = δ
i
k = (M
−1)ijM
j
k, (4.6)
donde δij son las componentes de la matriz identidad l1
( l1)ij = δ
i
j =
{
0 cuando i 6= j,
1 cuando i = j.
(4.7)
2Aquı́ estamos suponiendo por simplicidad que las dos bases tienen el mismo origen. Si no es ası́, la transformación
es de la forma |ej ′〉 = (M−1)ij |ei〉 + |a〉.
68
	I El Principio de la Relatividad y la Relatividad Especial
	Álgebra de tensores y transformaciones ortogonales
	Espacios vectoriales y duales