Herramientas algenbra lineal (29)

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vectores,
{(1,−1, 0, 1, 1), (0, 1, 0,−1, 1), (1, 0, 0, 0, 2), (2,−1, 0, 0, 1)}.
Determinar una base de F y ampliarla a una base de R5.
Solución:
Este ejercicio se corresponde con el ejercicio 13 del tema anterior, que pasamos a
resolver calculando rangos de matrices.
dimF = rango

1 0 1 2
−1 1 0 −1
0 0 0 0
1 −1 0 0
1 1 2 1
 = rango

1 0 1 2
0 1 1 1
0 0 0 0
0 −1 −1 −2
0 1 1 −1
 =
rango

1 0 1 2
0 1 1 1
0 0 0 0
0 0 0 −1
0 0 0 −2
 = 3.
Observamos que el rango de las tres primeras columnas de la matriz es dos, por lo
que las columnas 1,2,4 son linealmente independientes, y puesto que la dimensión
es tres, tenemos que una base es: {(1,−1, 0, 1, 1), (0, 1, 0,−1, 1), (2,−1, 0, 0, 1)}
Completemos esta base hasta conseguir una de R5.
Como rango
 1 0 1−1 1 0
1 −1 0
 = 3, entonces,
rango

1 0 2 | 0 0
−1 1 −1 | 0 0
0 0 0 | 1 0
1 −1 0 | 0 0
1 1 1 | 0 1
 = 5.
y por tanto la base de R5 buscada es
{(1,−1, 0, 1, 1), (0, 1, 0,−1, 1), (2,−1, 0, 0, 1), (0, 0, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 0, 1)}.
— — —
86 CAPÍTULO 3. MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES
30. Probar que
{(0, 1, 0), (
√
2
2
, 0,
√
2
2
), (
√
2
2
, 0,−
√
2
2
)}
es una base ortonormal de R3.
Solución:
Sea A la matriz formada por los vectores dados, basta probar si AtA = I
A =
0
√
2
2
√
2
2
1 0 0
0
√
2
2
−
√
2
2

AtA =
 0 1 0√2
2
0
√
2
2√
2
2
0 −
√
2
2
0
√
2
2
√
2
2
1 0 0
0
√
2
2
−
√
2
2
 =
1 0 00 1 0
0 0 1
 .
— — —
31. Considerar en R3 el producto escalar:
〈(x1, x2, x3), (y1, y2, y3)〉 = x1y1 + x1y2 + x2y1 + 2x2y2 + x2y3 + x3y2 + 3x3y3.
Estudiar si las familias de vectores siguientes son, o no, bases ortonormales, respecto
de este producto escalar.
a) {(1, 0, 0), (−1, 1, 0), (1,−1, 1)}
b) {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}
c) { 1√
5
(1, 0, 0),
1√
2
(−1, 1, 1), 1√
3
(1, 1, 1)}
d) { 1√
3
(0, 0, 1), (1, 0, 0),
1√
6
(3,−3, 1)}
Solución:
El producto escalar de dos vectores podemos obtenerlo matricialmente de la forma
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(x1, x2, x3)
1 1 01 2 1
0 1 3
y1y2
y3
 = x1y1 + x1y2 + x2y1 + 2x2y2 + x2y3 + x3y2 + 3x3y3
Por lo tanto para estudiar si las familias dadas forman o no, una base ortonormal,
basta hacer el producto de matrices StAS donde S es la matriz de la famila de
vectores y A la matriz del producto escalar.
a) S =
1 −1 10 1 −1
0 0 1
,
 1 0 0−1 1 0
1 −1 1
1 1 01 2 1
0 1 3
1 −1 10 1 −1
0 0 1
 =
1 0 00 1 0
0 0 2
 .
Luego no es ortonormal. Observamos que es ortogonal, pero el tercer vector no tiene
norma uno.
b) S = I por lo que StAS = A 6= I, por lo tanto la base no es ortonormal.
c) 
1√
5
0 0
− 1√
2
1√
2
1√
2
1√
3
1√
3
1√
3

1 1 01 2 1
0 1 3


1√
5
− 1√
2
1√
3
0 1√
2
1√
3
0 1√
2
1√
3
 =

1
5
0 2√
15
0 3 6√
6
2√
15
6√
6
10
3
 6= I,
por lo que los vectores no constituyen una base ortonormal.
d)  0 0 1√31 0 0
3√
6
− 3√
6
1√
6
1 1 01 2 1
0 1 3

 0 1
3√
6
0 0 − 3√
6
1√
3
0 1√
6
 = I.
Por lo tanto la familia de vectores es una base ortonormal del espacio.
— — —