Resumen Bases y Vectores Propios Intro al Álgebra lineal- SGD - Claudia Contreras Pedroza

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Tema II : Bases
° Sea H m subespacio vectorial del espacio V . Un conjunto de vectores B =3 ve , va . . . vn 4 en V
es una base de H si :
i ) B es un conjunto LI
Ñ H -_ Gen B
Pudiésemos concluir por lo tanto , que H- V .
o una base de V es un conjunto linealmente independiente que genera a V .
e El conjunto 3 es , er . . . en } es una base de IR
"
,
lo que se acostumbra a llamar
base estándar ( canónica) para IR
"
.
• Sea Ama matriz invertible de nxn
,
sus columnas forman una base para IR
"
(ya que
sus columnas son LI) .
° sea S = 3 E. Ei ti . . . t
"
4 . S es una base para el espacio vectorial Pn . A esta se
acostumbra a llamar base estándar para Rn .
Teorema del conjunto generador
seas =3 vrivr . . . Un } un conjunto en V y sea H -_ Gen } Uni Va . . . Un 4 ,
a) si uno de los vectores de S es una comb - lineal de algunos vectores
de S . entonces el conjunto formado a partir de S al eliminar ese vector , aún
genera a H .
b) Si Ht 304 , algún subconjunto de Sesma base paraH .
* una base se construye a partir de un conjunto generador descartando los
vectores innecesarios .
Por ejemplo : el Gen 3 4 , Vr , vz 4 = Gen341 Vrh , pa que si se tiene :
" =L ! ) i ml !) r vs =p})
Vz es C. Lineal de 5h t 3.Va , es decir vz se puede construir a partir de
vr y va , por
lo tanto basta con decir que el conjunto generador está
formado por vn y va .
* si el conjunto generador es LI , entonces ya es una base . Si no , y uno de los
vectores del conjunto es dependiente de los demás se puede eliminar
este vector . si hay más vectores se puede hacer lo = hasta que elconjuntoquede LI . Si el conjunto queda con un solo vector ese tiene que ser +0,
ya que AF 304 .
X Nota : Pn = base polinomial estándar ( 1 , t , tr . . . t
"
)
o las bases no son únicas
y son ordenadas ( indexadas)
Sofía Gallegos Durán
Observaciones :
1) Cada columna que no es pivote de una matriz A en su forma escalonada es
una combinación lineal de las columnas que sí son pivote .
2) Si A no está escalonada hay que escalonar hasta obtener una matriz
" B
"
. los
vectores columna que eran LI de la matriz A son los que en B son columnas
pivote , es decir las columnas pivote de B representan a lo que serian aquellas
columnas LI de A que no se ven con facilidad .
3) las columnas pivote de una matriz A forman una base para COIA
* una base es un conjunto generador que es lo más pequeño posible . A la vez
es un conjunto LI lo más grande posible .
* las columnas de A de tamaño mxn tienen que generar a Rm para
poder ser una base .
sistemas de coordenadas
Hay que imponer un sistema de coordenadas en V .
→ si la base B contienen vectores , entonces el sistema de coordenadas hará
que V actúe como IR
"
.
Eiemplo : B =3 vi , va , vz 4 , entonces V actúa como IR
?
Sea B una base para un espacio vectorial V . Asi , para cada X en V , existe
un conjunto único de escalares q . . . cn tal que,
× = Cr br t . . . Cnbn
• las coordenadas de X respecto de la base B son los pesos cr , . . . Cn tales que
× = crbn . . . tcnbn .
"
son las B- coordenadas de X
"
.
[ xsrs =/
Ejemplo : Hay que determinar × dados : B =3 br iba 4 para IR
'
i be = (f) y
br = (I ) y CXIB = (5) .
× = -2 (br ) t 3 ( ba) ⇒ - a (f) t z ( I ) = (b)
Eiemplo 2 : Encuentre EXJB , dados : x = (f) , br = (f) , ba = µ )
x -- ( 's ) = al
'
) tutti )
%
Í f. iii ) ⇒ (÷ ! :) i. × . .- KI
coordenadas en R
"
PB = 4 br , . . . bn 4 es una base , por lo que la ecuación vectorial
× = cnbr
.
. . t Cnbn es equivalente a × = PB LXJB
PB es la matriz del cambio de coordenadas de B a la base estándar en IR
"
.
Eiemplo :(¡g) ( Ya) = (f) ⇒ se puede expresar por : PBLXJB
= x
- - ~
-
br bz CXJB ×
Nota : dado que PB es invertible , entonces : Pj x = IXJB . Y viene de :
PBLXJB = X / P
"
B
P
-
YB . TYBEXJB = P
-
tslx)
[XJB =P
"
rslx] → × se convierte en su vector de
.
coordenadas B
Mapeo de coordenadas :
sea B =3 bn . . . , bn 4 una base para V . El mapeo Tlxl = [XJB es ma trans . lineal ,
inyectiva (1- 1) de V en IR
"
.
• o Una transformación lineal no a uno de un espacio vectorial V en un espacio vectorial W
se llama isomorfismo de V en W .
° la función T : V → IR
"
dada por TCXI = [XJB es un isomorfismo importante .
• Cada cálculo de espacio vectorial en V se reproduce con exactitud en W , y viceversa .
Cualquier e.v con una base de n vectores es indistinguiblemente un espacio de IR
"
.
Dimensiones de un espacio vectorial :
→ si un e. v V tiene una base B , entonces cualquier conjunto que contenga más de n
vectores es L . D .
→ Si m e. v V tiene una base de n vectores , entonces cualquier otra base de V debe tener
exactamente n vectores
.
→ si V es generado por m conjunto finito de vectores , entonces se dice que tiene
dimensión finita . Sino es una dimensión infinita .
* la dimensión de V = dim V es el número de vectores en una base para V .
→ la dimensión del espacio 304--0
→ dim IR
"
en
→ base estándar de Pn ( polinomios) tiene ntr vectores . dim Pn = htt
→ la base estándar de Mmxn tiene mn vectores , dim Mmxn = m . n
→ si H es un subespacio del e. v V , entonces dim HE dimv
→ dim NUI ( Al = no . variables libres de Ax = 0 . H dim COICAI = no columnas LI de A
Espacio fila
o A es una matriz de mxn , cada fila de A tienen entradas , : cada fila se
identifica con un vector en IR
"
.
• El conjunto de todas las C. L de los vectores fila se denomina espacio fila de
A
.
Cada fila tiene n entradas , por lo que Fila IAI es m subespacio de IR
"
.
Nota : como las filas de A son las columnas de At
,
se puede decir ColAtt en vez
÷ :
f.¡ ¡ ÷
.
! :?) . amo :
rr = l- 2 , 5 , 8 1 01 - 17 )
rr = (1,3 , - 5) 115 ) } El espacio fila de A es el subconjunto de IRS generadorz = (3,11 , -19 , 7,11 PM 3 rn , Vz , rz , va } . Fila (A) = 4h , Vz , rz , va }
ra = ( 117 , -13 , 51-3 )
Ojo : se pueden escribir así o en vertical .
* los rectores del espacio Fil LAI son vectores de IR
"
y por lo tanto , son m subesp .
de IR
"
.
* Si dos matrices Ay B son equivalentes por filas , entonces sus espacios fila son
iguales .
* si B está en forma escalonada , las filas de B + O forman una base para el
espacio fila de A , así como para el de B
⇒mio : a-
↳÷! :{H ! ! !}:)
se obtiene que los vectores que generan al espacio Fit IAI son :
( 11012 , - 1 , 2) y l 01-1 , -5,5 ,
- 3) 11 tb puedo escoger a 11,012 , -112) y a
12 , - ti -113 , 1) .
a.
como esos vectores son LI
,
entonces cualquiera de esos 2 pares de vectores
es una base para el espacio fila de A .
* Para determinar una base del espacio NULLAI se necesita la forma
escalonada reducida de A .
* El número de columnas y vectores fila LI en una matriz A es el mismo .
* la dimensión del espacio fila es la misma que la del espacio column
El Teorema del Rango
El rango de A es la dimensión del espacio columna de A .
La dimensión del espacio fila de A es el rango de At , entonces las dimensiones
del espacio columna y del espacio fila de una matriz A de mxn son iguales ,
e iguales al rango de A .
Esta dimensión común , el rango de A , tb es igual al número deposicionespivote en A y satisface "
rango A t dim Nut (Al = n
* n = n° de columnas
Ejemplo :
mxn
a) A es una matriz de 7×9 , con un rango de 7 y un espacio nulo de 2 , además
su n = 9 . 7 + 2 = 9
Rango DIM h
A NULA)
b) una matriz A de 6×9 no puede tener un espacio nulo de dimensión 2 , porque
si lo tuviese su rango sería 7 , sin embargo las columnas de A son
vectores en R
'
, por lo que la dim Coll A) no puede ser superior a 6 , entonces
el rango de A no podría ser mayor a 6 .
|
Propiedades importantes :
Rango de una matriz y su inversa :
Cambio de base
→ En un espacio vectorial V de dimensión n , para cada × en V podemosobtenerlas coordenadas del vector × en la base B , LXJB , y asi para + bases .
Entonces , sean B =3bnibr . . . bn } y 0--44,4 . . . cn } bases de un e. v. V
entonces existe una Única matriz p :B→ C de nxn tal que :
[XJC = PEXJB , donde las columnas de P son los C- coordenadas de los
vectores de la baseB , es decir , P -- [ [bici [bic , . . . [ tonto)
XP :B → C es la matriz de cambio de coordenadas de B a C .
* En otras palabras : lamultiplicación de P :B→ C convierte a las b- coordenadas
en C coordenadas .
V
[ Jc × CJB
µ Y
[xp←
P :C→ B
CXJB
^ →IR
p -1 :C→ B IR"
las columnas de P :C → B l matriz) son LI , además es matriz cuadrada
e invertible . i. :
[XJB = P
"
LXJO
Ejemplo : determine P :B -7C , dadas las bases : B =3rtt , # ttti , 2T } y
C- 31 , htt 1 1 tttt
' } , y además determine [STZTJC
Entonces
,
htt = 011) t 111ft) t 011tttti)
B } 4tttE-3.pt Olrttlt 1 lrttttr )
* = - aiií + antes + o , " "»
,
" l ! ? })
Para determinar [ St 2TJc :
St 2T = 3. (1) + 211 tt ) t 0 (Htt E)
:
. Estaba = (%)
Ejemplo 2 :
bn = ( I ) , ba = (I ) , en = ( In) , cr = ( Iss) , B =3 bi , bate y C-- 34144
Encuentre la matriz de cambio de coordenadas de Bac .
[beso = (¥
,) y Ebola = (%)
[ en cil abr y la cisl !) .ba
la criba bate fa ? !
-
I :?) - ( jo ! Es ? )
i. lbic = Es ) y [bala = Es)
la matriz de cambio de coordenadas es i
P :B → C = [ Ebrio [ bala ] = Esto )
* Para ir de C→ B encontrar la inversa P :B -7C
Cambio de base en IR
"
si B =3 bn.bz . . - bn Y es una base y
E es la base estándar =3 es , er . . - en}
en IR
"
,
entonces lbrtq = br y lo = para los otros vectores en B .
P : B → E = PB y PB = P = lbr , ba . . . bn]
Tema I : vectores propios
° Un vector propio de una matriz A denxn es un vector x t de 0 , tal que
Ax = A x , para 7 m escalar cualquiera .
° Donde X es el valor propio de A .
• Si X +0 , entonces × es el vector propio correspondiente o asociado al
valor propio A .
Ejemplo :
A- = ( } bz) u = f } ) , eres un vector propio de A , porque :
Kitt:) -1¥ . - a = - en
Ejemplo 2 : demuestre que 7=7 es valor propio de la matriz anterior .
AX = 7 X
Es Ax - 7-x = O
X LA - TI) = O
A -7 I
= (fgbz ) - z ( f ? ) = (
-
§ -6g ) ⇒ 7-sí es un valor propio
- de A .
Columnas LD
,
sol 70 .
los vectores propios se encuentran escalonando :
(II ; :) - ( i
-
III ) " ⇒ x. ( I ) , con x. ⇒ oaaa
~
v. L vector de esa forma es un
vector propio correspondiente
A 1--7
Observación : X es un valor propio de la matriz A de nxn si y solo si :
LA - XI) X = O tiene una solución no trivial CFO)
Espacio propio
El conjunto de todas las soluciones de la - II) x = O es el espacio
nulo de la matriz ( A - t I) . Ese conjunto es un subespacio de IR
"
y se llama espacio propio de A correspondiente al valor propio X .
Hx = { X e IR
" / LA - A Ilx = O }
• El espacio propio consiste en el vector cero ( que Nf es un vector propio ) y
de todos los vectores propios correspondientes al valor propio X .
Para encontrar una base :
• si me dan una matriz A y un valor propio de esa matriz (a) hago :
1) A - y I
2) Escalona el resultado de 1 hasta llegar a la reducida igualando a 0 .
LA - XI) × = O
3) saco soluciones , veo si hay v. L . Escribo como gen , los vectores sol son
la base .
* los valores propios de una matriz triangular son las entradas de sudiagonalprincipal .
* Arx = Xx
El valor propio cero :
si una matriz tiene un valor propio cero , entonces se debe tener :
A
AX = OX = 0 , con × #O
le> Esto va a cumplirse sólo si la matriz A Nf es invertible .
Si A es invertible . entonces 7+0 .
o si X es un valor propio de A , con el FO , entonces tz es un valor propio
de A !
• A y A
" tienen el mismo vector propio correspondiente a 7 y ¥
respectivamente .
° El conjunto { ve . . . , vr Y que corresponde a vectores propios que corresponden a
+ valores propios de una matriz A de nxn es LI .
• si 0 es un valor propio de A , entonces A no es invertible .
Ecuación característica :
• un sistema homogéneo , Axe O tiene sólo Va sol trivial si su det (A) = 0
y tiene A sol . si su OUTA #
0
.
• Con el fin de Obtener los valores propios de la matriz Al que hacen que el
sistema homogéneo tenga co soluciones se utiliza la siguiente ecuación :
det l A - XII = O
les ecuación característica de la matriz A .
• m escalar × es un valor propio de A de nxrr si y solo sí X satisface a la
ecuación característica de A .
O si A es una matriz de nxn , entonces detl A - II ) es un polinomio de grado n
llamado polinomio característico de A .
* Multiplicidad alqebráica : cuántas veces sale repetida la raíz de un número
Por eremplo : Dr -10 , Ari Xz = 9 . 10 tiene multiplicidad 1 y el 9 , 2 .
Similitud :
si A- y B son matrices de nxn , A es similar a B si tienen el mismo polinomio característico
y . : los mismos valores propios con las mismas multiplicidades .
• Esto quiere decir que existe una matriz P invertible , tal que P
-1 AP = B
ó A = PBP
"
, y por
lo tanto A es similar a B
Observaciones :
° Hay matrices que no son similares a pesar de tener los mismos valores propios .
° Similitud no es lo mismo que equivalencia por filas .