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Álgebra Lineal
(Ejercicios por capítulos)
Profesor Javier Enrique Camargo García
(Con la colaboración de Daniel Herrera)
Escuela de Matemáticas
Universidad Industrial de Santander
Bucaramanga, 2015
Contenido
1. Geometría en R2 y R3 1
1.1. Definiciones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Rectas y planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3. Producto cruz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2. Sistemas de ecuaciones lineales 21
2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2. Métodos de solución directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3. Métodos iterados de solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.1. Método de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.2. Método de Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3. Matrices 35
3.1. Operaciones y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2. Inversa de un matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3. Método de Gauss-Jordan para calcular inversas . . . . . . . . . . . . 38
3.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4. Subespacios 49
4 Contenido
4.1. Generado, dependencia e independencia lineal . . . . . . . . . . . . . 49
4.2. Bases y dimensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.3. Transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.4. Más acerca de transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5. Valores y vectores propios 65
5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.2. Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.3. Diagonalización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6. Ortogonalidad 83
6.1. Nociones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.2. Complementos y proyecciones ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.3. Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . 86
6.3.1. Factorización QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.4. Diagonalización ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Referencias 95
Capítulo 1
Geometría en R2 y R3
1.1. Definiciones generales
En el desarrollo de estas notas trabajaremos en el espacio
R
n = {(x1, ..., xn) : x1, x2, ..., xn son reales}, n ∈ N.
Cada elemento de Rn le llamaremos vector . Si u es un vector, entonces escribiremos
u horizontal o verticalmente, según convenga como:
u = (x1, x2, ..., xn) o u =





x1
x2
...
xn





.
Los elementos de Rn los denotaremos por u, v o w. Si u, v ∈ Rn, entonces u =
(a1, ..., an) y v = (b1, ..., bn), donde a1, ..., an, b1, ..., bn están en R. Definimos:
u+ v = (a1 + b1, ..., an + bn),
y si α ∈ R,
αu = (αa1, ..., αan).
Cuando escribamos 0 ∈ Rn, hacemos referencia a 0 = (0, ..., 0). En el siguiente
teorema enunciaremos algunas propiedades de los vectores de Rn.
Teorema 1.1. Si u, v, w ∈ Rn y α, β ∈ R, entonces:
2 1. Geometría en R2 y R3
1. u+ v = v + u;
2. (u+ v) + w = u+ (v + w);
3. u+ 0 = u;
4. u+ (−u) = 0;
5. α(u+ v) = αu+ αv;
6. (α+ β)u = αu+ βv;
7. α(βu) = (αβ)u;
8. 1u = u.
La siguiente definición nos permite definir: ángulo, longitud, proyecciones y distancia
entre vectores, como veremos mas adelante.
Definición 1.2. Si u, v ∈ Rn, definimos el producto punto entre u = (a1, ..., an) y
v = (b1, ..., bn) por
u.v = a1b1 + ...+ anbn =
n
∑
i=1
aibi.
Este producto es también llamado producto escalar.
Las propiedades enunciadas en el siguiente teorema las utilizamos constantemente
cuando se involucre el producto escalar.
Teorema 1.3. Sean u, v, w ∈ Rn y α ∈ R. Entonces
1. u.v = v.u;
2. u.(v + w) = u.v + u.w;
3. (αu).v = α(u.v);
4. u.u ≥ 0 y u.u = o si y solo si u = 0.
Por la condición 4 del Teorema 1.3, podemos definir la norma o longitud de un
vector u ∈ Rn, denotado por ||u||, como ||u|| = (u.u) 12 = √u.u.
Teorema 1.4. Sean u ∈ Rn y α ∈ R. Entonces
1. ||u|| ≥ 0 y ||u|| = 0 si y solo si u = 0;
[Versión alpha
1.2. Rectas y planos 3
2. ||αu|| = |α|||u||.
El siguiente resultado muestra dos útiles desigualdades muy conocidas.
Teorema 1.5. Sean u, v ∈ Rn. Entonces
1. |u.v| ≤ ||u||||v|| (Desigualdad de Cauchy-Schwarz);
2. ||u+ v|| ≤ ||u||+ ||v|| (Desigualdad del triángulo).
Como ya definimos la norma de un vector, es natural y geométricamente conveniente
definir la distancia entre dos vectores como d(u, v) = ||u − v||, para cualesquiera
u, v ∈ Rn. Similar a los Teoremas 1.3 y 1.4, el siguiente resultado muestra propiedades
de la distancia entre dos vectores.
Teorema 1.6. Sean u, v, w ∈ Rn. Entonces
1. d(u, v) ≥ 0 y d(u, v) = 0 si y solo si u = v;
2. d(u, v) = d(v, u);
3. d(u, v) ≤ d(u,w) + d(w, v).
Otra aplicación del producto punto es definir el ángulo entre dos vectores. Sean
u, v ∈ Rn, definimos el ángulo entre u y v como θ ∈ R tal que
cos θ =
u.v
||u||||v|| .
Lo anterior muestra que u y v son perpendiculares o ortogonales si u.v = 0. Equi-
valentemente, podemos decir que dos vectores u y v son perpendiculares si satisfacen
la versión Rn del Teorema de Pitágoras; es decir, si ||u+ v||2 = ||u||2 + ||v||2.
Definición 1.7. Sean u, v ∈ Rn, con u 6= 0. Definimos la proyección de v sobre
u por
Proyu(v) =
u.v
u.u
u.
1.2. Rectas y planos
Esta sección se desarrolla en R2 o R3. Una recta que pasa por 0, es la familia de
múltiplos de un vector u (u es llamado vector director). Esto es, si u ∈ Rn, la recta
lu que pasa por 0 esta dada por la colección
lu = {αu : α ∈ R}.
Topología general]
4 1. Geometría en R2 y R3
Si adicionalmente, necesitamos que esta recta pase por un punto b ∈ Rn, solamente
sumamos b a cada punto de lu, como mostramos en la siguiente definición.
Definición 1.8. La ecuación vectorial de una recta l en R2 (o R3) es el conjunto
de puntos x ∈ R2 o (x ∈ R3) tal que
x = tu+ b,
donde u, b ∈ R2 (o u, b ∈ R3) y t ∈ R. u es lamado vector director. De forma
equivalente, dados u, b ∈ R2 (o u, b ∈ R3), podemos decir que
l = {tu+ b : t ∈ R}.
Supongamos que u =


a
b
c

 y b =


x0
y0
z0

, entonces la recta l esta dada por


x
y
z

 = t


a
b
c

+


x0
y0
z0

 .
Que se representa por las siguientes ecuaciones llamadas ecuaciones paramétricas:
x = at+ x0;
y = bt+ y0;
z = ct+ z0.
De manera similar obtenemos las ecuaciones paramétricas si u, b ∈ R2.
Para encontrar la ecuación de un plano, que solo tiene sentido en R3 por argumentos
dimensionales que abordaremos mas adelante, podemos definirlo como las familia de
puntos perpendiculares a un vector n que pasan por un punto p dado.
Definición 1.9. La ecuación normal de un plano P en R3 es el conjunto de puntos
x ∈ R3 tal que
n.(x− p) = 0 o equivalentemente n.x = n.p,
donde n, p ∈ R3. n es llamado vector normal del plano P.
Si n = (a, b, c), x = (x, y, z) y p = (x0, y0, z0), entonces P esta dado por una expresión
llamada ecuación general del plano P de la forma
ax+ by + cz = d,
donde d = ax0 + by0 + cz0.
[Versión alpha
1.3. Producto cruz 5
1.3. Producto cruz
El producto cruz o producto vectorial solo se define en R3 y será de utilidad por las
propiedades que enunciaremos en el Teorema 1.11.
Definición 1.10. Sean u, v ∈ R3. Definimos el producto cruz o producto vecto-
rial entre u y v, denotado por u× v, por
u× v = (u2v3 − u3v2, u3v1 − u1v3, u1v2 − u2v1),
donde u = (u1, u2, u3) y v = (v1, v2,v3).
Teorema 1.11. Sean u, v, w ∈ R3. Entonces
1. u× v = −(v × u);
2. (u× v).u = 0 y (u× v).v = 0;
3. u.(v × w) = (u× v).w;
4. ||u× v||2 = ||u||2||v||2 − (u.v)2.
Nótese que el producto vectorial u × v nos permite encontrar un vector en R3 per-
pendicular tanto a u como a v.
1.4. Ejercicios
1. Un vector en R2 o R3 se dibuja en posición estándar como una flecha de
(0, 0) o (0, 0, 0) al punto, como representamos en los siguientes ejemplos:
(−3, 1)
(−3, 1) en posición estándar
1
−1−2−3
b b b b
b
b
b
b
bbbb
b
b
b
b
(2,−2, 3)
(2,−2, 3) en posición estándar
1
2
3
b
b
b
b
bbbb
b
b
b
b
bb
1
2
Topología general]
6 1. Geometría en R2 y R3
a) Dibuje los vectores (5, 2), (0, 52 ), (−4, 0), (0.3,−1.6) y (−72 ,−4) de R2 en
posición estándar.
b) Dibuje los vectores (2, 4, 1), (−3, 0,−1), (23 ,−75 ,−23) y (−4,−3.2,−1.8) de
R
3 en posición estándar.
2. Dados dos puntos A y B,
−−→
AB representa el vector que parte de A y llega a B.
Por ejemplo, si A = (1, 1) y B = (−2,−1) el vector −−→AB se representa:
A
B
Vector
−−→
AB, donde A = (1, 1) y B = (−2,−1)
1
−1−2−3
b b b b
b
b
b
b
bbbb
b
b
b
b
Con lo que el vector en posición estándar se calcula como
−−→
AB = B − A =
(−2,−1) − (1, 1) = (−3,−2) y se representa como mostramos en el punto
anterior. Para cada uno de los siguientes pares de puntos, dibuje el vector
−−→
AB.
Luego calcule y vuelva a dibujar
−−→
AB como un vector en posición estándar.
a) A = (2,−2) y B = (3,−4).
b) A =
(
2, 32
)
y B =
(
1
2 , 3
)
.
c) A = (2,−1,−3) y B = (−4,−2, 0).
d) A = (3,−4, 5) y B = (−2, 3,−6).
3. Un viajero camina 4 km al norte y luego 5 km al noreste. Dibuje los vectores
desplazamiento que representen el viaje del caminante y dibuje un vector que
represente el desplazamiento neto del caminante desde el punto de partida.
4. Sean u = (2, 1) y v = (3,−2).
a) Dibuje en posición estándar u, v y −v.
b) Calcule y dibuje en posición estándar u+ v y u− v.
5. Considerando los vectores u = (−1, 3), v = (0,−7), w =
(
−34 , 12
)
y z =
(
3
2 , 2
)
,
realice las operaciones que se indican:
[Versión alpha
1.4. Ejercicios 7
a) −v − u.
b) −4w + 3u.
c) 23w + 2z.
d) (u− w)− (v + z).
e) 12(u+ v)− 43 (z −w).
6. Considerando los vectores x = (1, 2, 3), y = (−2, 0,−1), z =
(
3
5 ,−13 , 32
)
y
w = (−4,−2, 0), realice las operaciones que se indican:
a) x+ y − w.
b) −2z − 3w.
c)
√
2x+
√
2w.
d) (−x− y) + (−z − w).
e) 32(x+ y + w)− 30z.
7. Ilustre usando ejemplos, todas las propiedades enunciadas en los Teoremas 1.1,
1.3, 1.4, 1.5, 1.6 y 1.11.
8. Simplifique la expresión vectorial dada utilizando las propiedades de los vecto-
res en Rn.
a) 2(a− 3b) + 3(2b+ a).
b) −3(a− c) + 2(a + 2b) + 3(c − b).
9. Despeje el vector x en términos de los vectores a y b utilizando las propiedades
de los vectores en Rn.
a) x− a = 2(x− 2a).
b) x+ 2a− b = 3(x+ a)− 2(2a − b).
c) 2x− 3b = −(x+ 3a).
10. Dados u, v ∈ R2, a menudo podemos escribir cualquier vector w ∈ R2 como
combinación lineal de los vectores u y v; esto es, existen números reales α
y β tales que w = αu+ βv. Por ejemplo, (3, 32) es combinación lineal de (1, 0)
y (0, 1), pues (3, 32) = 3(1, 0) +
3
2(0, 1) y lo dibujamos:
Topología general]
8 1. Geometría en R2 y R3
(1, 0)
(0, 1)
(3, 3
2
)
3(1, 0)
3
2
(0, 1)
Por mostrar otro ejemplo, nótese que (1, 1) = 3(−1, 1) + 2(2,−1); es decir,
(1, 1) es combinación lineal de (−1, 1) y (2,−1). Entonces dibujamos los ejes
coordenadas con respecto a (−1, 1) y (2,−1) y localizamos (1, 1) de la siguiente
manera:
(−1, 1)
(2,−1)
(1, 1)
(4,−2)
(−3, 3)
Dibuje los ejes coordenados con respecto a u y v y localice w. Muestre gráfica-
mente que w es combinación lineal de u y v en cada caso.
a) u =
[
1
−1
]
, v =
[
1
1
]
y w = 2u+ 3v.
b) u =
[
−2
3
]
, v =
[
2
1
]
y w = −u− 2v.
c) u =
[
−2
−1
]
, v =
[
−2
1
]
y w = −u+ 2v.
11. Escriba el vector w como una combinación lineal de los vectores u y v.
a) u = (2, 5), v = (3, 1) y w = (4,−3).
b) u = (1, 1), v = (2, 2) y w = (−12 ,−12 ).
c) u =
[
3
−1
]
, v =
[
2
5
]
y w =
[
5
−13
]
.
d) u =
[
2
1
]
, v =
[
−1
2
]
y w =
[
−6
7
]
.
[Versión alpha
1.4. Ejercicios 9
12. Encuentre u · v en cada caso.
a) u =
[
−1
2
]
y v =
[
3
1
]
.
b) u =
[
2
−3
]
y v =
[
9
6
]
.
c) u =


1
2
3

 y v =


2
3
1

.
d) u =


0
−1
0

 y v =


0
0
1

.
e) u = (1,
√
2,
√
3, 0) y v = (4,−
√
2, 0,−5).
13. Encuentre ‖u‖ y proporcione un vector unitario en la dirección de u.
a) u =
[
−1
2
]
.
b) u =
[
2
−3
]
.
c) u =


1
2
3

.
d) u =


0
−1
0

.
e) u = (1,
√
2,
√
3, 0).
14. Encuentre la distancia d(u, v) entre u y v en cada caso.
a) u =
[
−1
2
]
y v =
[
3
1
]
.
b) u =
[
2
−3
]
y v =
[
9
6
]
.
c) u =


1
2
3

 y v =


2
3
1

.
Topología general]
10 1. Geometría en R2 y R3
d) u =


0
−1
0

 y v =


0
0
1

.
e) u = (1,
√
2,
√
3, 0) y v = (4,−
√
2, 0,−5).
15. Determine si el ángulo entre u y v es agudo, obtuso o recto.
a) u =
[
2
1
]
y v =
[
1
−3
]
.
b) u =


2
−1
1

 y v =


1
−2
−1

.
c) u = (5, 4,−3) y v = (1,−2,−1).
d) u = (1, 2, 3, 4) y v = (−3, 1, 2,−2).
e) u = (1, 2, 3, 4) y v = (5, 6, 7, 8).
16. Encuentre el ángulo entre u y v.
a) u =
[
2
1
]
y v =
[
1
−3
]
.
b) u =


2
−1
1

 y v =


1
−2
−1

.
c) u = (5, 4,−3) y v = (1,−2,−1).
d) u = (1, 2, 3, 4) y v = (−3, 1, 2,−2).
e) u = (1, 2, 3, 4) y v = (5, 6, 7, 8).
17. Sea A = (−3, 2), B = (1, 0) y C = (4, 6). Pruebe que el △ABC es un triángulo
rectángulo.
18. Sea A = (1, 1,−1), B = (−3, 2,−2) y C = (2, 2,−4). Pruebe que el △ABC es
un triángulo rectángulo.
19. Encuentre el ángulo entre una diagonal de un cubo y una arista adyacente.
20. Un cubo tiene cuatro diagonales. Demuestre que ningún par de ellas son per-
pendiculares.
21. Un paralelogramo tiene diagonales determinadas por los vectores d1 = (2, 2, 0)
y d2 = (1,−1, 3). Demuestre que el paralelogramo es un rombo (todos los lados
tienen igual longitud) y determine la longitud del lado.
[Versión alpha
1.4. Ejercicios 11
22. El rectángulo ABCD tiene vértices en A = (1, 2, 3), B = (3, 6,−2) y C =
(0, 5,−4). Determine las coordenadas del vértice D.
23. Determine el punto de intersección de las rectas:





x = 2− 3s
y = 3 + 2s
z = 4 + 2s
y





x = 5 + 2t
y = 1− 3t
z = 2 + t
24. Encuentre la proyección de v sobre u; Proyu(v), represente estos vectores grá-
ficamente y verifique que v − Proyu(v) es ortogonal a u.
a) u =
[
1
−1
]
y v =
[
3
−1
]
.
b) u =
[
3
5
−45
]
y v =
[
1
2
]
.
c) u =


2
3
−23
−13

 y v =


2
−2
2

.
25. Encuentre el área del triángulo cuyos vértices son los puntos A, B y C.
a) A = (1,−1), B = (2, 2) y C = (4, 0).
b) A = (−1, 2), B = (0,−1) y C = (2,−1).
c) A = (3,−1, 4), B = (4,−2, 6) y C = (5, 0, 2).
26. Encuentre todos los valores del escalar k para el cual los dos vectores u y v son
ortogonales.
a) u = (1, 2) y v = (−2k, k).
b) u = (2,−1) y v = (k2,−k).
c) u =
[
2
3
]
y v =
[
k + 1
k − 1
]
.
d) u =


1
−1
2

 y v =


k2
k
−3

.
27. Describa todos los vectores v =
[
x
y
]
que son ortogonales a u =
[
3
1
]
.
Topología general]
12 1. Geometría en R2 y R3
28. Si a y b son reales fijos, describa todos los vectores v = (x, y) que son ortogo-
nales a u = (a, b).
29. (Teorema de Pitágoras en Rn.) Demuestre que u, v ∈ Rn son perpendicu-
lares si y solo si ||u+ v||2 = ||u||2 + ||v||2.
30. Muestre un ejemplo de vectores u y v en R3 tales que ||u+ v||2 6= ||u||2 + ||v||2.
31. En que condiciones se tienen las siguientes igualdades para los vectores u y v
en R2 o R3:
a) ‖u+ v‖ = ‖u‖+ ‖v‖.
b) ‖u+ v‖ = ‖u‖ − ‖v‖.
32. Demuestre que (u+ v) · (u− v) = ‖u‖2 −‖v‖2 para todos los vectores u y v en
R
n.
33. Demuestre que ‖u+ v‖2 + ‖u− v‖2 = 2 ‖u‖2 + 2 ‖v‖2 para todos los vectores
u y v en Rn.
34. Dibuje un diagrama que muestrea u, v, u+ v y u− v en R2 y use el ejercicio
anterior para deducir un resultado acerca de los paralelogramos.
35. Demuestre que u · v = 14 ‖u+ v‖
2− 14 ‖u− v‖
2 para todos los vectores u y v en
R
n.
36. Demuestre que ‖u+ v‖ = ‖u− v‖ si y solo si u y v son ortogonales.
37. Dibuje un diagrama que muestre a u, v, u+ v y u− v en R2 y use el ejercicio
anterior para deducir un resultado acerca de los paralelogramos.
38. Demuestre que u+ v y u− v son ortogonales en Rn si y solo si ‖u‖ = ‖v‖.
39. Dibuje un diagrama que muestre a u, v, u+ v y u− v en R2 y use el ejercicio
anterior para deducir un resultado acerca de los paralelogramos.
40. Demuestre que si u es ortogonal tanto a v como a w, entonces u es ortogonal
a v + w.
41. Demuestre que si u es ortogonal tanto a v como a w, entonces u es ortogonal
a sv + tw, para todos los escalares s y t.
42. Demuestre que u es ortogonal a v − Proyu(v) para todos los vectores u y v en
R
n, donde u 6= 0.
43. Muestre las siguientes propiedades de las proyecciones:
[Versión alpha
1.4. Ejercicios 13
a) Demuestre que Proyu (Proyu(v)) = Proyu(v).
b) Demuestre que Proyu (v − Proyu(v)) = 0.
c) Explique (a) y (b) geométricamente.
44. En la siguiente figura se sugiere otro método para demostrar la desigualdad
de Cauchy-Schwarz, donde se muestra que, en R2 o R3, ‖Proyu(v)‖ ≤ ‖v‖.
Demuestre que esto es equivalente a la desigualdad de Cauchy-Schwarz.
Proy
u
(v)
v
u
45. Si P = (0, 1) y d = (2, 1), podemos encontrar una recta en R2 con vector
director d y que pasa por P , como mostramos en la Definición 1.8, por l =
{(x, y) : (x, y) = t(2, 1) + (0, 1), t ∈ R}. Luego la ecuación vectorial de esta
recta es
[
x
y
]
= t
[
2
1
]
+
[
0
1
]
.
De donde se deducen las ecuaciones paramétricas
{
x = 2t
y = t+ 1
.
Además, esta recta la representamos como sigue:
P = (0, 1)
(x, y) = t(2, 1) + (0, 1)
d = (2, 1)
Escriba la ecuación de la recta que pasa por P con vector director d en forma
vectorial y en forma paramétrica, y represente esta recta gráficamente.
Topología general]
14 1. Geometría en R2 y R3
a) P =
[
−2
−1
]
y d =
[
−1
3
]
.
b) P =
[
3
−3
]
y d =
[
−1
1
]
.
c) P =


0
0
0

 y d =


1
−1
4

.
d) P = (3, 1, 2) y d = (1, 0, 5).
e) P = (1, 2,−1) y d = (0, 1, 0).
46. Proporcione la ecuación vectorial de la recta que pasa por P y Q.
a) P =
[
1
−2
]
y Q =
[
3
0
]
.
b) P = (−2,−1) y Q = (1, 2).
c) P =


4
−1
3

 y Q =


2
1
3

.
d) P = (−2, 0,−1) y Q = (2, 0, 1).
47. Como mostramos en la Definición 1.9, si P = (0, 2, 3) y el vector normal es
n = (1, 0, 2), entonces la ecuación normal de un plano esta dada por
(1, 0, 2).(x, y − 2, z − 3) = 0.
Resolviendo, tenemos que la ecuación general del plano es
x+ 2z = 6.
Además, se representa gráficamente por
P = (0, 2, 3)
n = (1, 0, 2)
x + 2z = 6
[Versión alpha
1.4. Ejercicios 15
Escriba la ecuación normal y general del plano que pasa por P y tiene vector
normal n.
a) P =


0
1
0

 y n =


3
2
1

.
b) P =


−3
1
2

 y n =


1
0
5

.
48. Proporcione la ecuación general del plano que pasa por P , Q y R.
a) P =


1
1
1

, Q =


4
0
2

 y R =


0
1
−1

.
b) P =


1
0
0

, Q =


0
1
0

 y R =


0
0
1

.
c) P = (1, 1,−1), Q = (0, 1, 2) y R = (2, 1, 1).
d) P = (1, 0, 0), Q = (0, 1, 0) y R = (1, 1, 1).
49. De la misma forma como se mostró la ecuación vectorial y las ecuaciones pa-
ramétricas de una recta, podemos hacerlo para un plano. Si u y v son vectores
directores de un plano y P un punto arbitrário, tenemos que la ecuación vec-
torial esta dada por
x = su+ tv + P, donde s, t ∈ R.
Si escribimos u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3) y P = (x0, y0, z0) tenemos las
ecuaciones paramétricas:





x = su1 + tv1 + x0
y = su2 + tv2 + y0
z = su3 + tv3 + z0
.
Escriba la ecuación vectorial y ecuaciones paramétricas del plano que pasa por
P con vectores directores u y v en cada caso:
a) P =


0
0
0

, u =


2
1
2

 y v =


−3
2
1

.
Topología general]
16 1. Geometría en R2 y R3
b) P =


4
−1
3

, u =


1
1
0

 y v =


−1
1
1

.
c) P = (1, 1, 2), u = (2, 0,−2) y v = (1, 1, 1).
d) P = (1, 1, 1), u = (0,−1, 1) y v = (1, 2, 0).
50. Considere la ecuación vectorial x = P + t(Q− P ) donde P y Q corresponden
a puntos distintos P y Q en R2 o R3.
a) Encuentre el punto medio de PQ cuando P = (2,−3) y Q = (0, 1).
b) Encuentre el punto medio de PQ cuando P = (1, 0, 1) y Q = (4, 1,−2).
c) Encuentre los dos puntos que dividen PQ del inciso (a) en tres partes
iguales.
d) Encuentre los dos puntos que dividen PQ del inciso (b) en tres partes
iguales.
51. Considere L la recta que pasa a través del punto P = (1,−1, 1) y tiene vector
director d = (2, 3,−1). Para cada uno de los siguientes planos P, determine si
L y P son paralelos, perpendiculares o ninguno de los dos.
a) P = {(x, y, z) : 2x+ 3y − z = 1}.
b) P = {(x, y, z) : 4x− y + 5z = 0}.
c) P = {(x, y, z) : x− y − z = 3}.
d) P = {(x, y, z) : 4x+ 6y − 2z = 0}.
52. El plano P1 tiene la ecuación 4x − y + 5z = 2. Para cada uno de los planos
P del ejercicio anterior, determine si P1 y P son paralelos, perpendiculares o
ninguno de los dos.
53. En cada uno de los siguientes ejercicios, determine las ecuaciones paramétricas
de la recta de intersección de los planos dados:
a) 2x+ 3y − 4z + 5 = 0 y −3x+ 2y + 5z + 6 = 0.
b) 3x− 2y − 5z + 4 = 0 y 2x+ 3y + 4z + 8 = 0.
c) −x+ 2y + z = 0 y 2x− y + 2z + 8 = 0.
54. En cada uno de los siguientes ejercicios, determine un par de planos cuya
intersección sea la recta dada:
[Versión alpha
1.4. Ejercicios 17
a)





x = 2− 3t;
y = 3 + t;
z = 2− 4t.
b) x−2−2 =
y−3
4 =
z+4
3 .
c)





x = 4t;
y = 5t+ 1;
z = −t+ 2.
55. Determine si el conjunto de puntos esta o no en la misma recta:
a) {(2, 3,−2), (4,−2,−3), (0, 8,−1)};
b) {(−1, 1, 0), (1, 2, 3), (−3, 0,−3), (−13 , 43 , 1)};
c) {(−2, 4, 2), (3, 5, 1), (4, 2,−1)}.
56. Encuentre la ecuación vectorial de la recta en R2 que pasa a través de P =
(2,−1) y es perpendicular a la recta con ecuación general 2x− 3y = 1.
57. Encuentre la ecuación vectorial de la recta en R2 que pasa a través de P =
(2,−1) y es paralela a la recta con ecuación general 2x− 3y = 1.
58. Encuentre la ecuación vectorial de la recta en R3 que pasa a través de P =
(−1, 0, 3) y es perpendicular al plano con ecuación general x− 3y + 2z = 5.
59. Encuentre la ecuación vectorial de la recta en R3 que pasa a través de P =
(−1, 0, 3) y es paralela a la recta con ecuaciones paramétricas





x = 1− t
y = 2 + 3t
z = −2− t
.
60. Encuentre la ecuación normal del plano que pasa por P = (0,−2, 5) y es
paralelo al plano con ecuación general 6x− y + 2z = 3.
61. Encuentre el conjunto de todos los puntos que son equidistantes de los puntos
P = (1, 0,−2) y Q = (5, 2, 4).
62. Encuentre el conjunto de todos los puntos que son equidistantes de los puntos
P = (1, 0, 0) y Q = (0, 1, 0).
63. Encuentre la distancia desde el punto Q hasta la recta L en cada caso:
Topología general]
18 1. Geometría en R2 y R3
a) Q = (2, 2) y L con ecuación vectorial
[
x
y
]
=
[
−1
2
]
+ t
[
1
−1
]
.
b) Q = (0, 1, 0) y L con ecuación vectorial


x
y
z

 =


1
1
1

+ t


−2
0
3

.
64. Encuentre la distancia desde el punto Q hasta el plano P en cada caso:
a) Q = (2, 2, 2) y P con ecuación general x+ y − z = 0.
b) Q = (0, 0, 0) y P con ecuación general x− 2y + 2z = 1.
65. Encuentre el punto R sobre L que esté más cerca de Q en cada caso del Ejercicio
63.
66. Encuentre la distancia entre las rectas paralelas en cada caso:
a)
[
x
y
]
=
[
1
1
]
+ s
[
−2
3
]
y
[
x
y
]
=
[
5
4
]
+ t
[
−2
3
]
.
b)


x
y
z

 =


1
0
−1

+ s


1
1
1

 y


x
y
z

 =


0
1
1

+ t


1
1
1

.
67. Encuentre la distancia entre los planos paralelos en cada caso:
a) 2x+ y − 2z = 0 y 2x+ y −2z = 5.
b) x+ y + z = 1 y x+ y + z = 3.
68. Encuentre el ángulo agudo entre los planos con las ecuaciones dadas:
a) x+ y + z = 0 y 2x+ y − 2z = 0.
b) 3x− y + 2z = 5 y x+ 4y − z = 2.
69. Calcule u× v
a) u =


0
1
1

 y v =


3
−1
2

.
b) u =


3
−1
2

 y v =


0
1
1

.
[Versión alpha
1.4. Ejercicios 19
c) u =


−1
2
3

 y v =


2
−4
−6

.
d) u =


1
1
1

 y v =


1
2
3

.
70. Demuestre que e1 × e2 = e3, e2 × e3 = e1 y e3 × e1 = e2.
71. Con la definición del producto cruz, demuestre que u× v es ortogonal a u y v.
72. Con la ayuda del producto cruz, encuentre la ecuación normal del plano.
a) El plano que pasa por P = (1, 0,−2) paralelo a u =


0
1
1

 y v =


3
−1
2

.
b) El plano que pasa por el origen y tiene vectores directores u = (−1, 2, 3)
y v = (1, 1, 1).
c) El plano que pasa por P = (0,−1, 1), Q = (2, 0, 2) y R = (1, 2,−1).
73. Sean u y v vectores en R3 y θ el ángulo entre u y v.
a) Demuestre que ‖u× v‖ = ‖u‖ ‖v‖ sen θ.
b) Demuestre que el área A del triángulo determinado por u y v (como se
muestra en la figura) está dada por
A = 1
2
‖u× v‖
u
v
Figura: Área determinado por u y v.
c) Use el resultado del inciso (b) para calcular el área del triángulo con
vértices A = (1, 2, 1), B = (2, 1, 0) y C = (5,−1, 3).
Topología general]
20 1. Geometría en R2 y R3
[Versión alpha
Capítulo 2
Sistemas de ecuaciones lineales
2.1. Introducción
Definición 2.1. Una ecuación lineal en las variables x1, ..., xn es una ecuación
que se puede escribir como
a1x1 + ...+ anxn = b, (2.1)
donde los coeficientes a1, ..., an y el término constante b son números reales. Además,
una solución de (2.1) es un vector (s1, ..., sn) ∈ Rn tal que a1s1 + ...+ ansn = b.
Definición 2.2. Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto finito de
ecuaciones lineales; es decir, se escribe de la forma:
a11x1 + ...+ a1nxn = b1;
a21x1 + ...+ a2nxn = b2;
...
am1x1 + ...+ amnxn = bm.
El anterior es un sistema de ecuaciones lineales de n variables x1, ..., xn, y m ecuacio-
nes. Además, una solución del sistema es un vector (s1, ..., sn) ∈ Rn que es solución
de cada una de las m ecuaciones. Finalmente, el conjunto solución es la familia de
todas las soluciones del sistema.
Como veremos en el desarrollo de los ejercicios, un conjunto solución de un sistema
de ecuaciones lineales se presenta en una y solo una de las siguientes alternativas:
1. El sistema tiene una única solución,
22 2. Sistemas de ecuaciones lineales
2. El sistema tiene infinitas soluciones, ó
3. El sistema no tiene solución.
2.2. Métodos de solución directa
Si tenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
a11x1 + ...+ a1nxn = b1;
a21x1 + ...+ a2nxn = b2;
...
am1x1 + ...+ amnxn = bm,
tenemos dos matrices importantes asociados a este sistema:
La matriz de coeficientes definida por





a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
...
...
...
am1 am2 ... amn





.
La matriz aumentada definida por





a11 a12 ... a1n | b1
a21 a22 ... a2n | b2
...
...
... | ...
am1 am2 ... amn | bm





.
Si el sistema es tal que b1 = b2 = ... = bm = 0, diremos que el sistema de ecuaciones
lineales es un sistema homogéneo. Para un sistema homogéneo el sistema siempre
va tener solución; es decir, si tenemos un sistema homogéneo, entonces el sistema
tiene única solución o infinitas soluciones.
Definición 2.3. Dos matrices del mismo tamaño A y B se dicen equivalentes por
renglones si existe una secuencia de las siguientes operaciones que convierta una
en la otra:
1. Intercambio de dos renglones.
[Versión alpha
2.2. Métodos de solución directa 23
2. La multiplicación de un renglón por una constante diferente de cero.
3. La adición de un multiplo de un renglón a otro renglón.
Las operaciones descritas se conocen como operaciones elementales.
Teorema 2.4. Dos sistemas de ecuaciones lineales tienen el mismo conjunto solu-
ción si sus matrices aumentadas son equivalentes por renglones.
El primer método de solución se trata, como sugiere el Teorema 2.4, de encontrar
la matriz aumentada del sistema y hacer operaciones elementales (Definición 2.3)
para encontrar un sistema de ecuaciones “más simple” que nos permita fácilmente
encontrar la solución.
Una matriz se dice escalonada si satisface las siguientes propiedades:
1. Cualquier renglón que se componga enteramente de ceros esta en la parte in-
ferior.
2. En cada renglón distinto de cero, la primera entrada distinta de cero, denomi-
nada la entrada principal , se encuentra en una columna a la izquierda de
cualquier entrada principal debajo de ella.
Definición 2.5 (Eliminación gaussiana). Este método consiste en encontrar una
matriz escalonada equivalente por renglones a la matriz aumentada del sistema. Se
puede describir paso a paso de la siguiente forma:
1. Escriba la matriz aumentada del sistema de ecuaciones lineales.
2. Utilice operaciones elementales para reducir la matriz aumentada a la forma
escalonada.
3. Mediante sustitución hacia atrás, resuelva el sistema equivalente que correspon-
de a la matriz reducida.
Cuando llegamos al paso 3 en la definición anterior, y el sistema tiene solución, como
mencionamos anteriormente, el sistema puede tener una única solución o infinitas
soluciones. En caso que tenga infinitas soluciones existe más de una manera de asignar
parámetros expresando las variables correspondientes en términos de otras variable;
estas últimas se conocen como variables libres.
Definición 2.6. El rango de una matriz es el número de renglones distintos de cero
en su forma escalonada.
Topología general]
24 2. Sistemas de ecuaciones lineales
El siguiente resultado es de utilidad para identificar cuantas variables libres debemos
usar en la solución de un sistema de ecuaciones lineales con infinitas soluciones.
Teorema 2.7 (Teorema del rango). Sea A la matriz de coeficientes de un sistema
de ecuaciones lineales con n variables. Si el sistema es consistente (tiene solución),
entonces
número de variables libres = n− rango(A).
Terminamos esta sección describiendo el método de eliminación por Gauss-Jordan
que resulta muy similar a la eliminación gaussiana.
Definición 2.8. Diremos que una matriz se encuentre en forma escalonada redu-
cida si satisface:
1. Cualquier renglón formado enteramente de ceros se encuentra en la parte infe-
rior.
2. La entrada principal en cada renglón distinto de cero es un 1.
3. Cada columna que contiene un 1 en su entrada principal, tiene ceros en cual-
quier otro sitio.
Definición 2.9 (Eliminación por Gauss-Jordan). Este método consiste en en-
contrar una matriz escalonada reducida equivalente por renglones a la matriz aumen-
tada del sistema. Se puede describir paso a paso de la siguiente forma:
1. Escriba la matriz aumentada del sistema de ecuaciones lineales.
2. Utilice operaciones elementales para reducir la matriz aumentada a la forma
escalonada reducida.
3. Si el sistema es consistente (tiene solución), resuelva para las variables princi-
pales en términos de cualquier variable libre restante.
El método de solución por Gauss-Jordan muestra de manera inmediata, sin ningún
cálculo adicional, la solución del sistema.
2.3. Métodos iterados de solución
Sea
A =





a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
. . .
...
an1 an2 · · · ann





,
[Versión alpha
2.3. Métodos iterados de solución 25
una matriz cuadrada. Diremos que A tiene diagonal estrictamente dominante
si |aii| >
∑
j 6=i |aij |, para cada i ∈ {1, ..., n}.
Consideremos sistemas de ecuaciones lineales [A : b] donde A es una matriz cuadrada
con diagonal estrictamente dominante. En esta situación tenemos dos maneras -muy
similares entre si- de encontrar soluciones aproximadas por métodos iterados.
2.3.1. Método de Jacobi
Sea [A : b] un sistema de ecuaciones lineales donde A ∈ Mn×n es una matriz cuadrada
con diagonal estrictamente dominante y b ∈ Rn. El sistema en su forma expandida
se representa:a11x1 + ...+ a1nxn = b1;
a21x1 + ...+ a2nxn = b2;
...
an1x1 + ...+ annxn = bn.
(2.2)
En cada ecuación i, despejamos la respectiva variable xi:
x1 =
b1 −
∑
j 6=1 a1jxj
a11
;
x2 =
b2 −
∑
j 6=2 a2jxj
a22
;
...
xn =
bn −
∑
j 6=n anjxj
ann
.
Damos un valor inicial para cada variable x10, x20, ..., xn0 y reemplazamos en las
ecuaciones anteriores para encontrar x11, x21, ..., xn1 de la siguiente forma:
x11 =
b1 −
∑
j 6=1 a1jxj0
a11
;
x21 =
b2 −
∑
j 6=2 a2jxj0
a22
;
...
xn1 =
bn −
∑
j 6=n anjxj0
ann
.
Topología general]
26 2. Sistemas de ecuaciones lineales
Repetimos este proceso para encontrar x12, x22, ..., xn2 reemplazando los valores en-
contrados para x11, x21, ..., xn1.
x12 =
b1 −
∑
j 6=1 a1jxj1
a11
;
x22 =
b2 −
∑
j 6=2 a2jxj1
a22
;
...
xn2 =
bn −
∑
j 6=n anjxj1
ann
.
De esta manera, inductivamente si conocemos x1k, x2k, ..., xnk, para algún k, podemos
encontrar x1k+1, x2k+1, ..., xnk+1,
x1k+1 =
b1 −
∑
j 6=1 a1jxjk
a11
;
x2k+1 =
b2 −
∑
j 6=2 a2jxjk
a22
;
...
xnk+1 =
bn −
∑
j 6=n anjxjk
ann
.
y afirmamos que x11, x12, x13, ... converge a la solución del sistema x1; la sucesión
x21, x22, x23, ... converge a la solución del sistema x2; y xn1, xn2, xn3, ... converge a la
solución del sistema xn. Esto es, entre más veces realice este proceso iterativo podrá
encontrar una mejor aproximación (x1k, x2k, ..., xnk) a la solución del sistema 2.2.
2.3.2. Método de Gauss-Seidel
Este método es muy similar al método de Jacobi, se puede decir que es una versión
mejorada del método de Jacobi pues, con menos iteraciones podemos encontrar una
mejor aproximación de la solución. Consideremos igual un sistema de ecuaciones
lineales [A : b], donde A es una matriz con diagonal estrictamente dominante.
[Versión alpha
2.3. Métodos iterados de solución 27
a11x1 + ...+ a1nxn = b1;
a21x1 + ...+ a2nxn = b2;
...
an1x1 + ...+ annxn = bn.
(2.3)
En cada ecuación i, despejamos la respectiva variable xi:
x1 =
b1 −
∑
j 6=1 a1jxj
a11
;
x2 =
b2 −
∑
j 6=2 a2jxj
a22
;
...
xn =
bn −
∑
j 6=n anjxj
ann
.
Igual, damos valores iniciales arbitrarios x10, x20, ...., xn0, la diferencia es que ahora
para encontrar cada término utilizamos la solución inmediatamente anterior así:
x11 =
b1 −
∑
j 6=1 a1jxj0
a11
;
Ahora para encontrar x21 usamos x11,
x21 =
b2 − a21x11 −
∑n
j=3 a2jxj0
a22
;
x31 =
b3 − a31x11 − a32x21 −
∑n
j=4 a2jxj0
a33
;
para obtener xn1 por
xn1 =
bn −
∑n−1
j=1 anjxj1
ann
Repitiendo este proceso construimos paso a paso la sucesión {(x1k, x2k, ..., xnk)}∞k=1,
que converge a la solución (x1, x2, ..., xn) de 2.3.
Topología general]
28 2. Sistemas de ecuaciones lineales
2.4. Ejercicios
1. Determine cuáles de las ecuaciones con variables x, y y z, son lineales. Si alguna
ecuación no es lineal, explique por qué.
a) x− πy + 3
√
5z = 0.
b) x2 + y2 + z2 = 1.
c) x−1 + 7y + z = sin
(
π
9
)
.
d) 2x− xy − 5z = 0.
e) 3 cos x− 4y + z =
√
3.
2. Muestre que el vector v es solución del sistema de ecuaciones lineales dado:
a)
2x− y = 0
3x+ y − z = 1
x− y − z = −1
; v =
[
1
3 ,
2
3 ,
2
3
]
.
b)
2x− y + 2z = 0
4x+ y + 2z = 1
x+ 2y − z = −1
; v =
[
−72 , 4, 112
]
.
c)
x− y = 0
x+ y + z = 1
2x+ z = 1
; v =
[
1, 1,−1
]
.
3. Encuentre las matrices aumentadas de los sistemas lineales.
a)
x− y = 0
2x+ y = 3
b)
2x1 + 3x2 − x3 = 1
x1 + x3 = 0
−x1 + 2x2 − 2x3 = 0
4. Encuentre un sistema de ecuaciones lineales que tenga la matriz dada como su
matriz aumentada.
a)


0 1 1 | 1
1 −1 0 | 1
2 −1 1 | 1


b)


1 −1 0 3 1 | 2
1 1 2 1 −1 | 4
0 1 0 2 3 | 0


[Versión alpha
2.4. Ejercicios 29
5. Determine cuales de las siguientes matrices se encuentran en forma escalonada,
forma escalonada reducida o ninguna de las dos.
a)


2 4 1
0 −1 2
0 0 0


b)


0 0 1
0 1 0
1 0 0


c)


1 0 1
0 1 5
0 0 4


d)


7 0 1 0
0 1 −1 4
0 0 0 0


e)




1 2 3
1 0 0
0 1 4
0 0 1




f )


1 0 0 −2
0 1 0 0
0 0 1 −1


6. Dibuje gráficas que correspondan a los sistemas de ecuaciones lineales dados.
Determine geométricamente si cada sistema tiene solución única, un número
infinito de soluciones o ninguna solución. Luego resuelva cada sistema algebrai-
camente para confirmar su respuesta.
a)
x+ y = 0
2x+ y = 3
b)
x− 2y = 0
2x− 4y = 1
c)
x+ y = 1
2x+ 2y = 2
d)
x− 2y = 7
3x+ y = 7
7. Demuestre que las matrices dadas son equivalentes por renglones y encuentre
una secuencia de operaciones elementales que conviertan A en B.
Topología general]
30 2. Sistemas de ecuaciones lineales
a) A =
[
1 2
3 4
]
; B =
[
3 −1
1 0
]
b) A =


2 0 −1
1 1 0
−1 1 1

 ; A =


3 1 −1
3 5 1
2 2 0


8. Utilice las operaciones elementales para reducir las matrices dadas a su forma
escalonada y su forma escalonada reducida.
a)
[
1 1
2 3
]
b)
[
−1 6
4 2
]
c)
[
2 −4 −2
3 1 6
]
d)


1 −2 3
−4 5 −6
−1 1 1


e)


2 −4 8
3 5 8
−6 0 4


f )


−1 1 0
0 −1 1
1 1 0


g)
[
3 −6 −3
5 10 5
]
9. Resuelva el sistema de ecuaciones dado usando eliminación gaussiana o por
Gauss-Jordan.
a)
x1 + 2x2 − 3x3 = 9
2x1 − x2 + x3 = 0
4x1 − x2 + x3 = 4
b)
3x1 + 6x2 − 6x3 = 9
2x1 − 5x2 + 4x3 = 6
5x1 − 28x2 − 26x3 = −8
c)
x+ 2y = −1
2x+ y + z = 1
−x+ y − z = −1
[Versión alpha
2.4. Ejercicios 31
d)
x1 − 3x2 − 2x3 = 0
−x1 + 2x2 + x3 = 0
2x1 + 4x2 + 6x3 = 0
e)
x1 + x2 − x3 = 7
4x1 − x2 + 5x3 = 4
2x1 + 2x2 − 3x3 = 0
f )
x1 + x2 − x3 = 7
4x1 − x2 + 5x3 = 4
6x1 + x2 + 3x3 = 18
g)
3w + 3x+ y = 1
2w + x+ y + z = 1
2w + 3x+ y − z = 2
h)
−x1 + 3x2 − 2x3 + 4x4 = 2
2x1 − 6x2 + x3 − 2x4 = −1
x1 − 3x2 + 4x3 − 8x4 = −4
i)
−2x− y + 3z = 0
−3x+ 4y − z = 0
5x+ 3y + 2z = 0
j )
x+ 2y − z = 4
3x+ 4y − 2z = 7
k)
x+ 2y − 4z = 4
−2x− 4y + 8z = −8
l)
w − 2x+ y + z = 2
3w + 2y − 2z = −8
4x− y − z = 1
3w + 3y − z = 0
m)
x+ y = 4
2x− y = 7
3x+ 2y = 8
n)
w + x+ 2y + z = 1
w − x− y + z = 0
x+ y = −1
w + x+ z = 2
ñ)
a+ b+ c+ d = 10
a+ 2b+ 3c+ 4d = 30
a+ 3b+ 6c+ 10d = 65
a+ 4b+ 8c+ 15d = 93
Topología general]
32 2. Sistemas de ecuaciones lineales
10. Determine por inspección; es decir, sin realizar ningún cálculo, si el sistema de
ecuaciones lineales con la matriz aumentada dada tiene solución única, infinitas
soluciones o ninguna solución. Justifique sus respuestas.
a)


0 0 1 | 2
0 1 3 | 1
1 0 1 | 1


b)


3 −2 0 1 | 1
1 2 −3 1 | −1
2 4 −6 2 | 0


11. ¿Para qué valor o valores de k, si hay alguno, los sistemas de ecuaciones lineales
tendrán: ninguna solución, solución única o infinitas soluciones?
a)
kx+ y = −2
2x− 2y = 4
b)
x+ ky = 1
kx+ y = 1
c)
x+ y + z = 2
x+ 4y − z = k
2x− y + 4z = k2
d)
x+ y + kz = 1
x+ ky + z = 1
kx+ y + z = −2
12. Proporcione ejemplos de sistemas homogéneos de m ecuaciones lineales con n
variables con m = n y con m > n que tengan:
a) un número infinito de soluciones.
b) una solución única.
13. Encuentre la recta de intersección entre los planos representados por las ecua-
ciones generales.
a) 3x+ 2y + z = −1 y 2x− y + 4z = 5.
b) 4x+ y − z = 0 y 2x− y + 3z = 4.
c) x+ y = 0 y x− z = 0.
14. Muestre un ejemplo que satisfaga cada una de las siguientes afirmaciones y
justifique ampliamente su respuesta.
a) Tres planos diferentes que tengan una recta de intersección común.
[Versión alpha
2.4. Ejercicios 33
b) Tres planos que se intercepten en pares, pero que no tengan un punto
común de intersección.
c) Tres planos, exactamente dos de los cuales son paralelos.
d) Tres planos que se intercepten en un solo punto.
15. Determine si las rectas x = p + su y x = q + tv se intersecan y, si lo hacen,
encuentre su punto de intersección.
a) p =


−1
2
1

 ; q =


2
2
0

 ; u =


1
2
−1

 ; v =


−1
1
0

.
b) p =


3
1
0

 ; q =


−1
1
−1

 ; u =


1
0
1

 ; v =


2
3
1

.
16. Sean p = (1, 2, 3), u = (1, 1,−1) y v = (2, 1, 0). Describa todos los puntos
q = (a, b, c) tales que la recta a través de q con vector director v intersecala
recta con la ecuación vectorial x = p+ su.
17. Resuelva el sistema de ecuaciones lineales.
a)
x+ y − 2z = 4
x+ 3y − z = 7
2x+ y − 5z = 7
.
b)
3w + 8x− 18y + z = 35
w + 2x− 4y = 11
w + 3x− 7y + z = 10
.
18. Encuentre ecuaciones paramétricas para la recta de intersección de los planos
x+ 2y + 3z = 4 y 5x+ 6y + 7z = 8.
19. Encuentre el punto de intersección de las siguientes rectas, si existe.


x
y
z

 =


1
2
3

+ s


1
−1
2

 y


x
y
z

 =


5
−2
−4

+ t


−1
1
1

.
20. Determine si el vector v es una combinación lineal de los vectores restantes.
a) v = (1, 2), u1 = (1,−1) y u2 = (2,−1).
b) v = (3, 1,−2), u1 = (1, 1, 0) y u2 = (0, 1, 1).
c) v = (1, 2, 3), u1 = (1, 1, 0) y u2 = (0, 1, 1).
d) v = (6, 2, 1, 2), u1 = (1,−1, 0, 1), u2 = (−1, 0, 1, 1) y u3 = (1, 1, 1, 1).
e) v = (1, 2, 0, 1), u1 = (2, 1, 1,−1) y u2 = (2,−1, 2, 1).
Topología general]
34 2. Sistemas de ecuaciones lineales
[Versión alpha
Capítulo 3
Matrices
3.1. Operaciones y propiedades
Como hemos visto, una matriz es un arreglo rectangular de números llamados en-
tradas o elementos de la matriz. Para una matriz A de n filas y m columnas, en su
manera general escribimos
A =





a11 a12 · · · a1m
a21 a22 · · · a2n
...
...
. . .
...
an1 an2 · · · anm





.
En adelante, algunas veces, denotaremos la matriz A = (aij)i≤n,j≤m.
Definición 3.1 (Suma y multiplicación por escalar). Sean A = (aij)i≤n,j≤m y
B = (bij)i≤n,j≤m matrices de n filas por m columnas, y α ∈ R. Entonces:
1. A+B = (aij)i≤n,j≤m + (bij)i≤n,j≤m = (aij + bij)i≤n,j≤m, y
2. αA = α(aij)i≤n,j≤m = (αaij)i≤n,j≤m.
De manera natural tenemos
A−B = A+ (−1)B = (aij − bij)i≤n,j≤m.
En el siguiente teorema enunciamos propiedades de la suma y multiplicación por
escalar. 0 representa la matriz de ceros.
36 3. Matrices
Teorema 3.2. Sean A,B y C matrices del mismo tamaño y α y λ números reales.
1. A+B = B +A,
2. (A+B) + C = A+ (B + C),
3. A+ 0 = A,
4. A+ (−A) = 0,
5. α(A+B) = αA+ αB,
6. (α+ λ)A = αA+ λA,
7. α(λA) = (αλ)A,
8. 1A = A.
Definición 3.3 (Multiplicación matricial). Sean A de n filas y m columnas y B
de m filas y k columnas; escribimos A = (aij)i≤n,j≤m y B = (bij)i≤m,j≤k, entonces
AB = C = (cij)i≤n,j≤k es una matriz de n filas y k columnas, donde para cada i, j,
las entradas están definidas por
cij = ai1b1j + ai2b2j + ...+ aimbmj =
m
∑
k=1
aikbkj.
Nótese que cada cij es el producto punto entre la i-ésima fila de la matriz A por la
j-ésima columna de la matriz B. Si k ∈ N, denotamos por Ik la matriz de k × k tal
que las entradas son 1 si hace parte de la diagonal y 0 si no hace parte de la diagonal;
esto es, Ik = (tij)i,j≤k donde tij = 0 si i 6= j, y tii = 1 para cada i ∈ {1, ..., k}. Ik le
llamamos la matriz identidad de k × k.
Teorema 3.4. Sean A,B y C matrices y α ∈ R.
1. A(BC) = (AB)C,
2. A(B +C) = AB +AC,
3. (A+B)C = AC +BC,
4. α(AB) = (αA)B = A(αB),
5. ImA = A = AIn, donde A es de m × n y In y Im representan las matrices
identidad de tamaño respectivo.
[Versión alpha
3.2. Inversa de un matriz 37
Definición 3.5. Sea A = (aij)i≤n,j≤m de n filas y m columnas. Definimos la trans-
puesta de A, denotada por AT , como la matriz AT = (aji)i≤n,j≤m de m filas y n
columnas; es decir, AT es la matriz que resulta al intercambiar las filas y las columnas
de A.
Una matriz A se dice simétrica si A = AT y se dice antisimétrica si A = −AT .
Finalizamos esta sección con algunas propiedades de la transpuesta.
Teorema 3.6. Sean A y B matrices y α un número real.
1. (AT )T = A,
2. (A+B)T = AT +BT ,
3. (αA)T = αAT ,
4. (AB)T = BTAT ,
5. (Ar)T = (AT )r, donde r ∈ N y Ar = AA...A (r-veces).
3.2. Inversa de un matriz
Definición 3.7. Sea A una matriz de n×n, la matriz inversa de A es una matriz
que denotamos por A−1 de n× n, con la propiedad que
AA−1 = A−1A = In.
Si A−1 existe, diremos que A es invertible.
Teorema 3.8. Si A =
[
a b
c d
]
y ad− bc 6= 0, entonces A es invertible y
A−1 =
1
ad− bc
[
d −b
−c a
]
.
Además, si ad− bc = 0, entonces A no es invertible.
A continuación mostramos algunas propiedades de la inversa de una matriz.
Teorema 3.9. Sean A y B matrices invertibles de n× n y α 6= 0. Entonces:
1. A−1 es invertible y (A−1)−1 = A.
Topología general]
38 3. Matrices
2. αA es invertible y (αA)−1 = 1
α
A−1.
3. AB es invertible y (AB)−1 = B−1A−1.
4. An es invertible, para cualquier entero no negativo n, y (An)−1 = (A−1)n.
En la Definición 2.3 se mostró cuales son la operaciones elementales sobre una matriz.
Definición 3.10. Una matriz cuadrada se dice matriz elemental si se puede ob-
tener al realizar una operación elemental de la matriz identidad.
Sean A una matriz de n×n y E una matriz elemental. No es difícil verificar que si a
A le hacemos la operación elemental asociada a E, entonces la respuesta es la matriz
EA. Con esta observación, si A es equivalente por renglones a la matriz identidad
In, entonces existen E1, ..., Ek matrices elementales tales que Ek...E1A = In; esto es
A−1 = Ek...E1.
Teorema 3.11. Sea A una matriz de n × n. Las siguientes afirmaciones son equi-
valentes:
1. A es invertible.
2. Ax = b tiene solución única para cada b ∈ Rn.
3. Ax = 0 tiene solamente la solución trivial.
4. La forma escalonada reducida por renglones de A es In.
5. A es producto de matrices elementales.
3.3. Método de Gauss-Jordan para calcular inversas
Sea A una matriz de n×n. Supongamos que A es invertible; es decir, existen E1, ..., Ek
matrices elementales tales que Ek...E1A = In. De esta forma, si consideramos parale-
lamente las operaciones elementales que realizamos a A también a la matriz identidad
In, obtenemos Ek...E1In que claramente es A−1.
Este proceso lo podemos hacer de forma más simple, tomando la matriz ampliada
[A : In] realizar operaciones elementales a esta matriz ampliada para obtener In en
lugar de A y la matriz resultante en el lado derecho es justo A−1. La secuencia paso
a paso sería:
[Versión alpha
3.4. Ejercicios 39
[A : In] → [E1A : E1In] → [E2E1A : E2E1In] → ...
... → [Ek...E1A : Ek...E1In] = [In : A−1].
3.4. Ejercicios
1. Sean A =
[
3 0
−1 5
]
, B =
[
4 −2 1
0 2 3
]
, C =


1 2
3 4
5 6

 , D =
[
0 −3
−2 1
]
,
E =
[
4 2
]
, F =
[
−1
2
]
. Calcule las operaciones indicadas (si es posible).
a) A+ 2D.
b) 2D − 5A.
c) B − C.
d) B − CT .
e) AB.
f ) B2.
g) D +BC.
h) BTB.
i) E(AF ).
j ) F (AF ).
k) FE.
l) EF .
m) BTCT − (CB)T .
n) DA−AD.
ñ) A3.
o) (I2 −A)2.
2. Proporcione un ejemplo de una matriz A de 2 × 2 distinta de cero tal que
A2 = 0.
3. Sea A =
[
2 1
6 3
]
. Encuentre B y C matrices de 2×2, tales que AB = AC, pero
B 6= C.
Topología general]
40 3. Matrices
4. Sea A una matriz cuadrada de n× n.
a) Demuestre que A+AT es simétrica y A−AT es antisimétrica.
b) Demuestre que las matrices AAT y ATA son simétricas.
5. Demuestre que toda matriz cuadrada se puede escribir como la suma de una
matriz simétrica y una matriz antisimétrica.
6. Sea A =
[
a b
c d
]
. Demuestre que A es invertible si y solo si ad − bc 6= 0.
Además, si A−1 existe, encuentre A−1.
7. Demuestre que cualquier matriz elemental es invertible y que la inversa es
nuevamente una matriz elemental.
8. Escriba el sistema dado de ecuaciones lineales como una ecuación matricial de
la forma Ax = b.
a)
x1 − 2x2 + 3x3 = 0
2x1 + x2 − 5x3 = 4
.
b)
−x1 + 2x3 = 1
x1 − x2 = −2
x2 + x3 = −1
.
9. Sea A =
[
0 1
−1 1
]
.
a) Calcule A2, A3, ..., A7.
b) ¿Qué es A2001? ¿Por qué?
10. Sea B =
[
1√
2
− 1√
2
1√
2
1√
2
]
. Encuentre y justifique B2011.
11. Sea A =
[
1 1
0 1
]
. Encuentre una fórmula para An (n ≥ 1) y verifique su fórmula
usando inducción matemática.
12. Sea A =
[
cos θ − sin θ
sin θ cos θ
]
.
a) Demuestre que A2 =
[
cos 2θ − sin 2θ
sin 2θ cos 2θ
]
.
[Versión alpha
3.4. Ejercicios 41
b) Demuestre, mediante inducción matemática, que An =
[
cosnθ − sinnθ
sinnθ cosnθ
]
para n ≥ 1.
13. Resuelva la ecuación para X, dado que A =
[
1 2
3 4
]
y B =
[
−1 01 1
]
.
a) X − 2A+ 3B = 0.
b) 3X = A− 2B.
c) 2(A+ 2B) = 3X.
d) 2(A−B + 2X) = 3(X −B).
14. Demuestre que, para matrices cuadradas A y B, AB = BA si y sólo si (A −
B)(A+B) = A2 −B2.
15. Si B =
[
a b
c d
]
, encuentre las condiciones de a, b, c y d para las que AB = BA.
a) A =
[
1 1
0 1
]
.
b) A =
[
1 −1
−1 1
]
.
c) A =
[
1 2
3 4
]
.
16. Encuentre las condiciones de a, b, c y d para los que B =
[
a b
c d
]
conmuta
tanto con
[
1 0
0 0
]
como con
[
0 0
0 1
]
.
17. Demuestre que, si AB y BA están ambas definidas, entonces AB y BA son
ambas matrices cuadradas.
18. Una matriz cuadrada se llama triangular superior si todas las entradas abajo
de la diagonal principal son cero. Por tanto, la forma de una matriz triangular
superior es








∗ ∗ · · · ∗ ∗
0 ∗ · · · ∗ ∗
0 0
. . .
...
...
...
... ∗ ∗
0 0 · · · 0 ∗








Topología general]
42 3. Matrices
donde las entradas marcadas * son arbitrarias. Una definición más formal de
tal matriz A = (aij)i,j≤n es que aij = 0 si i > j. Demuestre que el producto de
dos matrices triangulares superiores n× n es triangular superior.
19. Mediante inducción, demuestre que para toda n ≥ 1, (A1 +A2 + · · ·+An)T =
AT1 +A
T
2 + · · ·+ATn .
20. Mediante inducción, demuestre que para toda n ≥ 1, (A1A2 · · ·An)T = ATn · · ·AT2 AT1 .
21. a) Demuestre que si A y B son matrices simétricas de n×n, entonces también
lo es A+B.
b) Demuestre que si A es una matriz simétrica de n × n, entonces también
lo es kA para cualquier escalar k.
22. a) Proporcione un ejemplo para demostrar que si A y B son matrices simé-
tricas de n× n, entonces AB no necesita ser simétrica.
b) Demuestre que, si A y B son matrices simétricas de n× n , entonces AB
es simétrica si y sólo si AB = BA.
23. Una matriz cuadrada se llama antisimétrica si AT = −A. ¿Cuáles de las si-
guientes matrices son antisimétricas?
a)
[
1 2
−2 3
]
.
b)
[
0 −1
1 0
]
.
c)


0 3 −1
−3 0 2
1 −2 0

.
d)


0 1 2
−1 0 5
2 5 0

.
24. Demuestre que la diagonal principal de una matriz antisimétrica debe consistir
completamente de ceros.
25. Si A y B son matrices de n × n antisimétricas, ¿en qué condiciones AB es
antisimétrica?
26. Demuestre que, si A es una matriz de n×n, entonces A−AT es antisimétrica.
[Versión alpha
3.4. Ejercicios 43
27. La traza de una matriz A = (aij)i,j≤n de n× n es la suma de las entradas en
su diagonal principal y se denota mediante tr(A). Esto es,
tr(A) = a11 + a22 + · · ·+ ann.
Si A y B son matrices de n × n, demuestre las siguientes propiedades de la
traza
a) tr(A+B) = tr(A) + tr(B).
b) tr(kA) = ktr(A), donde k es un escalar.
28. Demuestre que si A y B son matrices de n× n, entonces tr(AB) = tr(BA).
29. Si A es cualquier matriz, ¿a qué es igual tr(AAT )?
30. Demuestre que no hay matrices de A y B de 2× 2 tales que AB −BA = I2.
31. Encuentre la inversa de la matriz dada (si existe).
a)
[
4 7
1 2
]
.
b)
[
1 2
3 4
]
.
c)
[
3 4
6 8
]
.
d)
[
0 1
1 0
]
.
e)
[
a −b
b a
]
.
f )
[
a−1 b−1
c−1 d−1
]
, donde ni a, b, c ni d son 0.
32. Sea A =
[
1 2
2 6
]
, b1 =
[
3
5
]
, b2 =
[
−1
2
]
, y b3 =
[
2
0
]
.
a) Encuentre A−1 y úsela para resolver los tres sistemas Ax = b1, Ax = b2
y Ax = b3.
b) Resuelva los tres sistemas al mismo tiempo mediante la reducción por
renglones de la matriz aumentada [A | b1b2b3], usando la eliminación de
Gauss-Jordan.
Topología general]
44 3. Matrices
c) Cuente cuidadosamente el número total de multiplicaciones individuales
que realizó en (a) y en (b). Debe descubrir que, incluso para este ejemplo
de 2×2, un método usa menos operaciones. Para sistemas más grandes, la
diferencia es incluso más pronunciada, y esto explica por qué los sistemas
de cómputo no usan uno de dichos métodos para resolver sistemas lineales.
33. Demuestre que la matriz identidad In de n× n es invertible y que I−1n = In.
34. a) Proporcione un contraejemplo para demostrar que (AB)−1 6= A−1B−1.
b) ¿En qué condiciones de A y B, (AB)−1 = A−1B−1? Argumente amplia-
mente su afirmación.
35. Mediante inducción, demuestre que si A1, A2, ..., An son matrices invertibles del
mismo tamaño, entonces el producto A1A2 · · ·An es invertible y (A1A2 · · ·An)−1 =
A−1n · · ·A−12 A−11 .
36. Proporcione un contraejemplo para demostrar que (A+B)−1 6= A−1 +B−1.
37. Resuelva la ecuación matricial dada para X. Simplifique sus respuestas tanto
como sea posible. (En palabras de Albert Einstein, “todo debe hacerse tan
simple como sea posible, pero no más sencillo”.) Suponga que todas las matrices
son invertibles.
a) XA−1 = A3.
b) AXB = (BA)2.
c) (A−1X)−1 = (AB−1)−1(AB2).
d) ABXA−1B−1 = I +A.
38. Sean A =


1 2 −1
1 1 1
1 −1 0

, B =


1 −1 0
1 1 1
1 2 −1

, C =


1 2 −1
1 1 1
2 1 −1

, D =


1 2 −1
−3 −1 3
2 1 −1

.
Encuentre una matriz elemental E que satisfaga la ecuación dada.
a) EA = B.
b) EB = A.
c) EA = C.
d) EC = A.
e) EC = D.
f ) ED = C.
g) ¿Existe una matriz elemental E tal que EA = D? ¿Por qué sí o por qué
no?
[Versión alpha
3.4. Ejercicios 45
39. Encuentre la inversa de la matriz elemental dada.
a)
[
3 0
0 1
]
.
b)
[
1 2
0 1
]
.
c)
[
0 1
1 0
]
.
d)
[
1 0
−12 1
]
.
e)


1 0 0
0 1 −2
0 0 1

.
f )


0 0 1
0 1 0
1 0 0

.
g)


1 0 0
0 c 0
0 0 1

, c 6= 0.
h)


1 0 0
0 1 c
0 0 1

, c 6= 0.
40. Sea
A =
[
1 0
−1 −2
]
.
Encuentre una secuencia de matrices elementales E1, E2, ..., Ek tales que
Ek · · ·E2E1A = I2. Use esta secuencia para escribir A y A−1 como produc-
tos de matrices elementales.
41. a) Demuestre que si A es invertible y AB = 0, entonces B = 0.
b) Ofrezca un contraejemplo para demostrar que el resultado en el inciso
41a) puede fallar si A no es invertible.
42. a) Demuestre que si A es invertible y BA = CA, entonces B = C.
b) Ofrezca un contraejemplo para demostrar que el resultado en el inciso
41a) puede fallar si A no es invertible.
Topología general]
46 3. Matrices
43. Una matriz cuadrada A se llama idempotente si A2 = A. (La palabra idem-
potente viene de la palabra latina idem, que significa “igual”, y potere, que
significa “tener poder”. Por tanto, algo que es idempotente tiene “la misma
potencia” cuando se eleva al cuadrado.)
a) Encuentre tres matrices de 2× 2 idempotentes.
b) Demuestre que la única matriz de n×n idempotente invertible es la matriz
identidad In.
44. Demuestre que si una matriz simétrica es invertible, entonces su inversa tam-
bién es simétrica.
45. Demuestre que si A y B son matrices cuadradas, y AB es invertible, entonces
A y B son invertibles.
46. Use el método de Gauss-Jordan para encontrar la inversa de la matriz dada (si
existe).
a)
[
1 2
3 4
]
.
b)
[
1 a
−a 1
]
.
c)


2 0 −1
1 5 1
2 3 0

.
d)


1 −1 2
3 1 2
2 3 −1

.
e)


1 1 0
1 1 1
0 1 1

.
f )


a 0 0
1 a 0
0 1 a

.
g)




0 −1 1 0
2 1 0 2
1 −1 3 0
0 1 1 −1




.
[Versión alpha
3.4. Ejercicios 47
h)




√
2 0 2
√
2 0
−4
√
2
√
2 0 0
0 0 1 0
0 0 3 1




.
Topología general]
48 3. Matrices
[Versión alpha
Capítulo 4
Subespacios
4.1. Generado, dependencia e independencia lineal
Definición 4.1. Un vector v es combinación lineal de v1, ..., vk si existen escalares
c1, ..., ck tales que v = c1v1 + ... + ckvk. Los escalares c1, ..., ck son llamados los
coeficientes de la combinación lineal.
Sea A la matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales, digamos con n
variables y m ecuaciones, entonces el sistema lo podemos escribir por [A : b], donde
b ∈ Rm. De la Definición 4.1, es fácil aceptar la siguiente observación:
Observación 4.2. Un sistema de ecuaciones lineales con matriz aumentada [A : b]
es consistente si y solo si el vector b es combinación lineal de las columnas de A.
Definición 4.3. Si S = {v1, ..., vk} es un conjunto de vectores de Rn, entonces el
conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores de S sellama el espacio
generado de S y notaremos por gen{v1, ..., vk} o gen(S).
El espacio generado, como veremos más adelante, esta muy ligado al concepto de
dependencia e independencia lineal que definimos a continuación.
Definición 4.4. Un conjunto de vectores {v1, ..., vk} de Rn se dice linealmente de-
pendiente si existen escalares no todos cero c1, ..., ck tales que c1v1+...+ckvk = 0. En
caso contrario decimos que el conjunto {v1, ..., vk} es linealmente independiente.
Una manera de estudiar la dependencia o independencia lineal es, como su nombre lo
dice, mirar si uno de los vectores “depende” de los demás, esto es, un vector es com-
binación lineal de los otros vectores del conjunto. De la Definición 4.4, si {v1, ..., vk}
50 4. Subespacios
es linealmente dependiente, entonces existen escalares no todos cero, c1, ..., ck tales
que
c1v1 + c2v2 + ...+ ckvk = 0.
Luego, si cj 6= 0, para algún j ∈ {1, ..., k}, entonces despejando
cjvj = (−c1)v1 + ...+ (−cj−1)vj−1 + (−cj+1)vj+1 + ...+ (−ck)vk.
Como cj 6= 0, podemos escribir vj por
vj =
(
−c1
cj
)
v1 + ...+
(
−cj−1
cj
)
vj−1 +
(
−cj+1
cj
)
vj+1 + ...+
(
−ck
cj
)
vk,
es decir, vj es combinación lineal de los demás vectores o depende de los demás
vetores. Similarmente, si ningún vector es combinación lineal de los otros vectores
decimos que el conjunto es linealmente independiente.
Teorema 4.5. Sea {v1, ..., vk} un conjunto de vectores de Rn. Si {v1, ..., vk} es li-
nealmente independiente y w /∈ gen{v1, ..., vk}, entonces {v1, ..., vn, w} es linealmente
independiente.
Con el siguiente resultado enunciamos algunas propiedades importantes de los con-
ceptos definidos en esta sección.
Proposición 4.6. Sea {v1, ..., vk} un conjunto de vectores de Rn.
1. Si k > n, entonces {v1, ..., vk} es linealmente dependiente.
2. Si k < n, entonces gen{v1, ..., vn} 6= Rn.
Terminamos este capítulo con un resultado que relaciona la independencia lineal con
el espacio generado.
Teorema 4.7. Sea {v1, ..., vn} un conjunto de vectores de Rn. Entonces, {v1, ..., vn}
es linealmente independiente si y solo si gen{v1, ..., vn} = Rn.
4.2. Bases y dimensión
Definición 4.8. Un subconjunto V ⊂ Rn es un subespacio de Rn, si V 6= ∅ y:
1. v1 + v2 ∈ V para cada v1, v2 ∈ V .
[Versión alpha
4.2. Bases y dimensión 51
2. αv ∈ V para cualquier v ∈ V y α ∈ R.
A continuación mostramos algunos ejemplos de subespacios:
Teorema 4.9. Sean v1, ..., vk vectores de R
n. El espacio generado gen{v1, ..., vk} ⊂
R
n es un subespacio.
Los siguientes son ejemplos de subespacios asociados a matrices.
Definición 4.10. Sea A una matriz de m× n. Definimos:
1. Espacio renglones de A, ren(A) espacio generado por los renglones de A.
2. Espacio de columnas de A, col(A) espacio generado por las columnas de A.
3. Espacio nulo de A, nul(A) = {v ∈ Rn : Av = 0}; es decir, la solución del
sistema homogéneo [A : 0].
Definición 4.11. Sea V un subespacio de Rn. Un conjunto de vectores β = {v1, ..., vk}
es una base de V si
1. {v1, ..., vk} es linealmente independiente, y
2. gen{v1, ..., vk} = V .
Teorema 4.12. Sea V un subespacio de Rn. Si β1 = {v1, ..., vk} y β2 = {w1, ..., wl}
son base de V , entonces k = l; es decir, cualquier base de un subespacio tiene la
misma cantidad de vectores.
El teorema anterior muestra que la dimensión de un subespacio es única.
Definición 4.13. Sea V un subespacio de Rn. Si β = {v1, ..., vk} es una base de V ,
entonces diremos que V tiene dimensión k y escribimos dim(V ) = k.
Sea A una matriz de m×n. Sabemos que para A, asociamos los subespacios col(A), ren(A)
y nul(A).
Teorema 4.14. Sea A una matriz de m×n. Entonces dim(col(A)) = dim(ren(A)).
En adelante usaremos las siguientes convenciones:
1. ρ(A) = dim(col(A)) = dim(ren(A)) se conoce como rango de A.
Topología general]
52 4. Subespacios
2. ν(A) = dim(nul(A)) se conoce como nulidad de A.
El siguiente resultado, como vernos constantemente, nos será de gran utilidad.
Teorema 4.15 (Teorema del Rango). Si A es una matriz de m× n, entonces
ρ(A) + ν(A) = n.
Con los resultados expuestos en esta sección podemos dar un teorema fundamental
para matrices invertibles:
Teorema 4.16. Sea A una matriz de n × n. Las siguientes afirmaciones son equi-
valentes:
1. A es invertible.
2. Ax = b tiene un única solución para cualquier vector b ∈ Rn.
3. Ax = 0 tiene solo solución trivial.
4. La forma escalonada reducida de A es In.
5. A es el producto de matrices elementales.
6. ρ(A) = n.
7. ν(A) = 0.
8. Las columnas de A son linealmente independientes.
9. Las columnas de A generan Rn.
10. Las columnas de A forman una base de Rn.
11. Los renglones de A son linealmente independientes.
12. Los renglones de A generan Rn.
13. Los renglones de A forman una base de Rn.
[Versión alpha
4.3. Transformaciones lineales 53
4.3. Transformaciones lineales
Definición 4.17. Sean V ⊂ Rn y W ⊂ Rm subespacios. Una función T : V → W
se conoce como transformación lineal si:
1. T (v1 + v2) = T (v1) + T (v2), para cualesquiera vectores v1, v2 ∈ V ;
2. T (αv) = αT (v), para cada α ∈ R y v ∈ V .
Si A es una matriz de m× n, podemos definir TA : Rn → Rm por TA(x) = Ax para
cada x ∈ Rn.
Teorema 4.18. Si A es una matriz de m × n, entonces TA : Rn → Rm es una
transformación lineal.
Recíprocamente si T : Rn → Rm es una transformación lineal podemos encontrar
una matriz AT que represente la transformación T como mostramos en el siguiente
teorema:
Teorema 4.19. Sea T : Rn → Rm una tranformación lineal. Si β = {e1, ..., en} es
la base canónica de Rn, entonces
AT = A = [ T (e1) T (e2) ... T (en) ]
es la matriz tal que T (x) = Ax, para cada x ∈ Rn.
Definición 4.20. Sean V un subespacio de Rn y β = {v1, ..., vk} una base de V .
Si v ∈ V , entonces existen únicos α1, ..., αk ∈ R tales que v = α1v1 + ... + αkvk.
Definimos el vector coordenadas de v en términos de β, denotado como [v]β , por el
vector en Rk:
[v]β = (α1, ..., αk).
A continuación mostramos otro ejemplo de transformación lineal.
Teorema 4.21. Sean V un subespacio de Rn y β = {v1, ..., vk} una base de V .
Entonces, T : V → Rk definida por T (v) = [v]β es una transformación lineal.
Definición 4.22. Sea T : V → W una transformación lineal. Decimos que:
1. T es inyectiva, si siempre que T (v) = 0, tenemos que v = 0.
2. T es sobreyectiva, si para cada w ∈ W existe v ∈ V tal que T (v) = w.
Topología general]
54 4. Subespacios
3. T es un isomorfismo si T es inyectiva y sobreyectiva. Además, si T es un
isomorfismo diremos que V y W son isomorfos y escribimos V ∼= W .
Teorema 4.23. Para cualquier subespacio V de Rn y β = {v1, ..., vk} base de V , la
transformación lineal T : V → Rk definida por T (v) = [v]β es un isomorfismo. De
esto, V ∼= Rk.
El isomorfismo usando el vector coordenadas nos permite representar matricialmen-
te una transformación lineal de muchas maneras dependiendo de las bases, como
mostramos en el siguiente resultado.
Teorema 4.24. Sean V ⊂ Rn, W ⊂ Rm subespacios, β1 = {v1, ..., vk} base de V y
β2 = {w1, ..., wl} base de W . Si T : V → W es una transformación lineal, entonces
existe una matriz AT (β1β2) = A de l × k, tal que
[T (v)]β2 = A[v]β1 ,
para cada v ∈ V . Además,
A = [ [T (v1)]β2 [T (v2)]β2 ... [T (vk)]β2 ].
4.4. Más acerca de transformaciones lineales
Como vimos en el Teorema 4.24, cualquier transformación lineal se puede representar
con una matriz. Así, es natural referirnos a nulidad y rango de una transformación.
Definición 4.25. Sean T : V → W una transformación lineal y β1 = {v1, ..., vn} y
β2 = {w1, ..., wm} bases de V y W , respectivamente. Definimos:
1. ρ(T ) = ρ(AT (β1β2)), llamamos el rango de T .
2. ν(T ) = ν(AT (β1β2)), llamamos la nulidad de T .
Es importante resaltar que el rango y la nulidad de una transformación lineal no
dependen de la selección de las bases; es decir, si β1 y λ1 son bases de V , y β2 y λ2
son bases de W , entonces ν(AT (β1β2)) = ν(AT (λ1λ2)) y ρ(AT (β1β2)) = ρ(AT (λ1λ2)).
A continuación mostramos como caracterizar transformación inyectiva y sobreyecti-
va, usando el rangoy la nulidad.
Teorema 4.26. Sea T : V → W una transformación lineal. Entonces:
1. T es inyectiva si y solo si ν(T ) = 0.
[Versión alpha
4.5. Ejercicios 55
2. T es sobreyectiva si y solo si ρ(T ) = dim(W ).
Sean U, V y W subespacios, y sean T : U → V y L : V → W transformaciones
lineales. Entonces L ◦ T : U → W es una transformación lineal. Con el siguiente
resultado mostramos que la composición de transformaciones es equivalente a la
multiplicación de matrices.
Teorema 4.27. Sean U, V y W subespacios, y β1, β2 y β3 bases de U, V y W ,
respectivamente. Si T : U → V y L : V → W son transformaciones lineales, entonces
AL◦T (β1β3) = AL(β2β3)AT (β1β2).
Definición 4.28. Sea T : V → W una transformación lineal. Decimos que T es
invertible si AT (β1β2) es invertible, para algunas bases β1 de V y β2 de W . Además,
si T es invertible, podemos definir T−1 : W → V una transformación lineal tal que
[T−1(w)]β1 = A
−1
T (β1β2)
[w]β2 ,
para cada w ∈ W .
4.5. Ejercicios
1. Determine si el vector b está en el generador de las columnas de la matriz A.
a) A =


1 2 3
4 5 6
7 8 9

 ; b =


10
11
12

.
b) A =


1 −1 0
1 −1 1
−1 0 1

 ; b =


−2
1
3

.
2. Demuestre que R2 = gen
([
2
−1
]
,
[
−1
2
])
.
3. Demuestre que R3 = gen




1
1
1

 ,


1
1
−1

 ,


−1
1
1



.
4. Demuestre que u, v y w están todos en gen(u, u + v, u+ v + w).
Topología general]
56 4. Subespacios
5. Determinar si los conjuntos de vectores son linealmente independientes o lineal-
mente dependientes. Si, para alguno de ellos la respuesta puede determinarse
por inspección (esto es, sin cálculos), establezca por qué. Para cualquier con-
junto que sea linealmente dependiente, encuentre una relación de dependencia
entre los vectores.
a)





3
1
4

 ,


−2
1
−1





.
b)





1
1
1

 ,


1
2
3

 ,


1
−1
2





.
c)





3
2
2

 ,


2
1
3

 ,


1
2
−6





.
d)





0
1
2

 ,


2
1
3

 ,


2
0
1





.
e)





2
−3
7

 ,


−5
1
1

 ,


4
3
0

 ,


3
1
5





.
f )





3
4
5

 ,


6
7
8

 ,


0
0
0





.
g)











1
4
3
0




,




2
3
4
5




,




3
2
2
4











.
h)











0
0
0
1




,




0
0
2
1




,




0
3
2
1




,




4
3
2
1











.
i)











3
−1
1
−1




,




−1
3
1
−1




,




1
1
3
1




,




−1
−1
1
3











.
6. Responda detalladamente cada una de las siguientes preguntas:
[Versión alpha
4.5. Ejercicios 57
a) Si las columnas de una matriz A de n×n son linealmente independientes
como vectores en Rn, ¿cuál es el rango de A?
b) Si los renglones de una matriz A de n×n son linealmente independientes
como vectores en Rn, ¿cuál es el rango de A?
7. Responda detalladamente cada una de las siguientes preguntas:
a) Si los vectores u, v y w son linealmente independientes, ¿u + v, v + w y
u+ w también son linealmente independientes?
b) Si los vectores u, v y w son linealmente independientes, ¿u − v, v − w y
u− w también son linealmente independientes?
8. Suponga que S = {v1, ..., vk, v} es un conjunto de vectores de Rn, para algún n,
y que v es una combinación lineal de v1, ..., vk . Si S′ = {v1, ..., vk}, demuestre
que gen(S) = gen(S′).
9. a) Suponga que el vector w es una combinación lineal de los vectores u1, ..., uk
y que cada ui es una combinación lineal de los vectores v1, ..., vm. Demues-
tre que w es una combinación lineal de v1, ..., vm y por tanto gen(u1, ..., uk)
⊆ gen(v1, ..., vm).
b) En el inciso (a), suponga además que cada vj también es una combinación
lineal de u1, ..., uk. Demuestre que gen(u1, ..., uk) = gen(v1, ..., vm).
c) Use el resultado del inciso (b) para demostrar que
R
3 = gen




1
0
0

 ,


1
1
0

 ,


1
1
1




[Sugerencia: Se sabe que R3 = gen(e1, e2, e3)].
10. Sea {v1, ..., vk} un conjunto linealmente independiente de vectores en Rn y sea
v un vector en Rn. Suponga que v = c1v1+ c2v2+ ...+ ckvk con c1 6= 0. Pruebe
que {v, v2, ..., vk} es linealmente independiente.
11. Sea {v1, ..., vk} ⊂ Rn un conjunto linealmente independiente. Demuestre que si
w /∈ gen{v1, ..., vk}, entonces {w, v1, ..., vk} es linealmente independiente.
12. En cada caso, encuentre vectores v y w para que el conjunto de vectores genere
el espacio respectivo:
a) {(1, 2,−1), v, w} genere R3.
b) {(1, 2, 2), (0, 1,−1), v} genere R3.
Topología general]
58 4. Subespacios
c) {(1, 1, 2,−1), (1, 1, 0, 3), v, w} genere R4.
d) {(1,−1,−1, 1), (2, 1, 1, 3), v, w} genere R4.
13. En cada caso, encuentre vectores v y w para que el conjunto de vectores sea
linealmente independiente:
a) {(4, 1,−1), v, w}.
b) {(1, 3, 2), (0, 0,−1), v}.
c) {(1,−1, 2,−1), (1, 1, 0, 3), v, w}.
d) {(−1, 1,−1, 2), (2, 1,−3, 1), v, w}.
14. Demuestre que, si las columnas de B son linealmente dependientes, entonces
también lo son las columnas de AB.
15. Demuestre que, si los renglones de A son linealmente dependientes, entonces
también lo son los renglones de AB.
16. Muestre detalladamente cuales de los siguiente conjuntos son subespacios.
a) {(0, 0)}.
b) {(x, y, z) ∈ R3 : x = y = 2z}.
c) {(x, y, z) ∈ R3 : z = −3x, y = 0}.
d) {(x, y, z) ∈ R3 : x− z + 2y − 1 = 0}.
e) {(x, y, z) ∈ R3 : |x− y| = |y − z|}.
f ) {(x, y) ∈ R2 : y ≥ 0}.
g) {(x, y) ∈ R2 : x2 − y = 0}.
h) {(x, y) ∈ R2 : xy = 0}.
i) {(x, y, z, w) ∈ R4 : x− 2y + z + w = 0}.
j ) {(x, y, z, w) ∈ R4 : x− 2yz + w = 0}.
k) {(x, y, z, w) ∈ R4 : x+ y + w = 0}.
17. Muestre un conjunto S ⊂ R2 tal que:
a) s1 + s2 ∈ S para cualesquiera s1, s2 ∈ S, pero existen α ∈ R y s ∈ S
donde αs /∈ S.
b) αs ∈ S para cada s ∈ S y α ∈ R, pero existen s1, s2 ∈ S tales que
s1 + s2 /∈ S.
18. Sean v1, ..., vk vectores de Rn, demostrar que gen{v1, ..., vk} es subespacio de
R
n.
[Versión alpha
4.5. Ejercicios 59
19. Determine si b ∈ col(A) y w ∈ ren(A) en cada caso:
a) A =
[
1 0 −1
1 1 1
]
, b =
[
2
3
]
y w =
[
−1 1 1
]
b) A =


1 1 −3
0 2 1
1 −1 −4

 , b =


1
1
0

 y w =
[
2 4 −5
]
20. Encuentre un valor de a, si es posible, para que el conjunto {(−1, 2, 1), (−2, a, 1), (5, 2,−1)}
sea linealmente dependiente.
21. En los siguientes ejercicios proporcione bases y dimensión de ren(A), col(A) y
nul(A).
a) A =
[
1 0 −1
1 1 1
]
b) A =


1 1 −3
0 2 1
1 −1 4


c) A =


1 1 0 1
0 1 −1 1
0 1 −1 −1


d) A =
[
2 −4 0 2 1
−1 2 1 4 4
]
e) A =
[
−1 3 2
2 −6 −4
]
f ) A =


1 −1 2
3 1 4
−1 0 4


g) A =


1 −1 2 3
0 1 4 3
1 0 6 5


h) A =


0 4 2 0
0 0 1 6
1 0 −1 2


i) A =


0 0 1
0 0 2
1 2 4


Topología general]
60 4. Subespacios
j ) A =


1 2 3
0 0 4
0 0 6


22. Demuestre que si β1 y β2 son bases de un espacio vectorial V , entonces β1 y
β2 tienen la misma cantidad de vectores.
23. Sea A una matriz de m×n que representa la matriz de coeficientes del sistema
de ecuaciones lineales homogéneo Ax = 0. Demostrar que la solución de Ax = 0
es un subespacio de Rn.
24. Encuentre todos los posibles valores de ρ(A) y ν(A) dependiendo del número
real a.
a) A =


1 2 a
−2 4a 2
a −2 1


b) A =


a 2 −1
3 3 −2
−2 −1 a


25. Determine si el siguiente conjunto de vectores es base de R3.
a) {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)}
b) {(1,−1, 3), (−1, 5, 1), (1,−3, 1)}
c) {(1, 4,−1), (2, 1, 2), (−3, 3,−4)}
d) {(1,−2, 1), (−1,−1, 4), (3,−3, 3)}
26. Determine si el siguiente conjunto de vectores es base de R4.
a) {(1,−1, 1,−1), (2, 0, 0, 1), (4,−2, 2, 1), (7,−3, 3,−1)}
b) {(1, 0, 0, 1), (0, 1, 1, 0), (1,−2,−2, 1), (0, 2, 2, 1)}
c) {(1, 1,1, 0), (1, 1, 0, 1), (1, 0, 1, 1), (0, 1, 1, 1)}
d) {(1,−1, 0, 0), (0, 1, 0,−1), (0, 0,−1, 1), (−1, 0, 1, 0)}
27. Si A es una matriz de m×n, demuestre que todo vector de nul(A) es ortogonal
a todo vector de ren(A).
28. Si A y B son matrices de n × n tales que ρ(A) = ρ(B) = n, demuestre que
ρ(AB) = n.
29. Demuestre que ρ(AB) ≤ ρ(B).
[Versión alpha
4.5. Ejercicios 61
30. Muestre ejemplos de matrices A y B tales que ρ(AB) < ρ(B).
31. Demuestre que ρ(AB) ≤ ρ(A).
32. Muestre ejemplos de matrices A y B tales que ρ(AB) < ρ(A).
33. Demuestre que para cualquier matriz A, ρ(A) = ρ(AT ).
34. Sean A de m× n y B de n× k. Demuestre que ρ(AB) ≤ mı́n{ρ(A), ρ(B)}.
35. Sean A y B matrices de n × n. Demuestre que si B es invertible, entonces
ρ(AB) = ρ(BA) = ρ(A).
36. Si B = CAD, donde C y D son matrices invertibles, demuestre que ρ(B) =
ρ(A).
37. Demuestre que para matrices A y B de m× n, ρ(A+B) ≤ ρ(A) + ρ(B).
38. Muestre un ejemplo de matrices A y B de m × n, tales que ρ(A + B) <
ρ(A) + ρ(B).
39. Si A es una matriz de n × n, demuestre que ρ(A) < n si y solo si existe un
vector x ∈ Rn con x 6= 0 y Ax = 0.
40. Suponga que A es una matriz tal que para cualquiera k renglones son lineal-
mente independientes mientras que para cualesquiera k + 1 renglones son li-
nealmente dependientes. Demuestre que ρ(A) = k.
41. Suponga que T : R3 → R2 es una transformación lineal. Entonces:
a) Si T (−1, 2, 5) = (1, 2, 3) calcule T (2,−4,−10).
b) Si T (1,−1, 2) = (1, 1, 1) y T (1, 3, 2) = (−1, 3, 1), encuentre T (1, 5, 2).
c) Si T es sobreyectiva, calcular ν(T ).
42. Sean V = {(x, y, z, w) ∈ R4 : x − 2y + z = 0} y W = {(x, y, z, w) ∈ R4 : x =
2y y z = w = 0}. Encuentre una transformación lineal T : V → R2 tal que
Nu(T ) = W .
43. Sean V = {(x, y, z) ∈ R3 : 2x − y + 3z = 0} y T : V → R3 definida por
T (x, 2x+ 3z, z) = (x, z, 2x − z).
a) Encuentre la matriz de representación A en términos de las bases β1 =
{(1, 2, 0), (0, 3, 1)} y β2 la base canónica de R3.
b) Encuentre la matriz de representación B en términos de las bases β1 =
{(1, 2, 0), (0, 3, 1)} y β2 = {(1, 1, 0), (1,−1, 0), (0, 0, 1)}.
Topología general]
62 4. Subespacios
c) Encuentre matrices invertibles P y Q tales que PA = BQ.
44. Demuestre que si T : V → W es una transformación lineal y dim(V ) = dim(W ),
entonces T es inyectiva si y solo si T es sobreyectiva.
45. Para cualquier subespacio V de Rn y β = {v1, ..., vk} una base de V , demos-
trar que la transformación lineal T : V → Rk definida por T (v) = [v]β es un
isomorfismo.
46. Demuestre que las siguientes funciones son transformaciones lineales.
a) T (x, y) = (x+ y, x− y)
b) T (x, y) = (x, x)
c) T (x, y) = (−y, x+ 2y, 3x − 4y)
d) T (x, y, z) = (x− y + z, 2x− y + 3z)
e) T (x, y, z) = (x+ z, y + z, x+ y)
f ) T (x, y, z) = (x+ z, 0, x + y)
47. Muestre con ejemplos que las siguientes funciones no son transformaciones
lineales.
a) T (x, y) = (y2, x)
b) T (x, y) = (|x|, |y|)
c) T (x, y) = (xy, x+ y)
d) T (x, y) = (x+ 1, y − 1)
e) T (x, y, z) = (x, y, 1)
f ) T (x, y, z) = (ex, ey, ez)
48. Usando bases canónicas, encuentre la representación lineal de cada una de las
transformaciones lineales definidas en el Ejercicio 46.
49. Determine si cada transformación lineal definida en el Ejercicio 46 es inyectiva,
sobreyectiva, isomorfismo o ninguna de las anteriores.
50. Determine para cada transformación lineal definida en el Ejercicio 46, ρ(T ) y
ν(T ).
51. Encuentre en cada caso, si es posible, una transformación lineal que satisfaga
las condiciones señaladas:
a) T : R3 → R3 tal que ν(T ) = 1 y im(T ) = {(x, y, z) : x = 2y}.
[Versión alpha
4.5. Ejercicios 63
b) T : R3 → R3 tal que nul(A) = col(A), donde A es una matriz que repre-
senta la transformación lineal T .
c) T : R3 → R3 tal que nul(T ) = {(x, y, z) : x + 2y − 3z = 0} y im(T ) =
{(x, y, z) : x = 2y = −z}.
52. Encuentre la representación matricial de cada una de las transformaciones li-
neales en términos de las bases indicadas.
a) T : R2 → R3 definida por T (x, y) = (x−y, x+y, 2y); β1 = {(1, 1), (1,−1)},
β2 = {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}.
b) T : R3 → R3 definida por T (x, y, z) = (x + 2z,−x + y + z, 2x + z); β1 =
β2 = {(1, 0, 1), (−1,−1, 1), (0, 1, 0)}.
c) T : R3 → R2 definida por T (x, y, z) = (x+y−2z, y+3z); β1 = {(1,−1, 2),
(0, 1, 0), (2, 1, 1)}, β2 = {(1, 2), (1,−1)}.
Topología general]
64 4. Subespacios
[Versión alpha
Capítulo 5
Valores y vectores propios
Este capítulo lo desarrollamos en matrices cuadradas con coeficientes reales.
5.1. Introducción
Definición 5.1. Sea A una matriz de n × n. Un número real λ es llamado valor
propio de A si existe un vector v ∈ Rn, v 6= 0, tal que Av = λv.
Como vimos en el capítulo anterior, una matriz A de n × n es una transformación
lineal TA : Rn → Rn tal que TA(u) = Au, para cada u ∈ Rn. Con esta interpre-
tación geométrica, λ es un valor propio de A si existe un vector no nulo v tal que
su transformación TA(v) es un multiplo escalar de v o los vectores v y TA(v) son
paralelos.
Si consideramos la matriz de rotación, para 0 < θ < π,
Aθ =
[
cos θ − sen θ
sen θ cos θ
]
,
representa la transformación lineal que a cada vector u ∈ R2, TAθ (u) rota u un ángulo
θ en sentido positivo; es decir, no existe un vector diferente de cero v tal que v y
TAθ(v) sean paralelos y por tanto, Aθ no tiene valores propios.
Es importante resaltar que si estudiamos valores propios sobre los números complejos
C, toda matriz tiene valores propios. Sin embargo, para nuestros objetivos solamente
consideraremos valores propios sobre R. Por esta razón, tiene sentido decir que una
matriz no tiene valores propios.
66 5. Valores y vectores propios
Definición 5.2. Sean A una matriz de n× n y λ un valor propio de A. Definimos
el espacio propio asociado a λ por
Eλ = {v ∈ Rn : Av = λv}.
Nótese que el espacio propio se puede escribir como Eλ = {v ∈ Rn : (A−λIn)v = 0};
esto es Eλ = Nu(A−λI). Con esta observación es inmediata la prueba del siguiente
teorema.
Teorema 5.3. Sea A una matriz de n × n. Si λ es un valor propio de A, entonces
Eλ es un subespacio de R
n.
Nótese que como λ es un valor propio de A, existe un vector v 6= 0 tal que v ∈ Eλ;
es decir 1 ≤ dim(Eλ) ≤ n, para cualquier espacio propio Eλ.
5.2. Determinantes
En esta sección introducimos la noción de determinante y lo usamos como una he-
rramienta para encontrar valores propios de una matriz.
Definición 5.4. Sea A = (aij)i,j≤n una matriz de n × n. El determinante de A se
define de manera inductiva por:
Si A es una matriz de 2× 2,
det(A) = det
([
a b
c d
])
= ad− bc.
Si A es una matriz de 3× 3,
det(A) = det((aij)i,j≤3) = a11det(A11)− a12det(A12) + a13det(A13),
donde A1j es una matriz de 2×2 que resulta al quitar la primera fila y j−ésima
columna de A, para cada j ∈ {1, 2, 3}.
En general, para cualquier matriz A de n× n,
det(A) = a11det(A11)− a12det(A12) + ...+ (−1)n+1det(A1n) =
=
n
∑
j=1
(−1)1+ja1jdet(A1j),
donde A1j es una matriz de n− 1× n− 1 que resulta al quitar la primera fila
y j−ésima columna de A, para cada j ∈ {1, ..., n}.
[Versión alpha
5.3. Diagonalización 67
Algunas propiedades útiles de los determinantes las presentamos en el siguiente teo-
rema.
Teorema 5.5. Sea A una matriz de n× n.
1. Si B se obtiene al intercambiar dos renglones o columnas de A, entonces
det(B) = −det(A).
2. Si A tiene renglones o columnas linealmente dependientes, entonces det(A) = 0.
3. Si B se obtiene al multiplicar un renglón o columna de A por k ∈ R, entonces
det(B) = kdet(A).
4. Si A es una matriz de n× n, entonces det(kA) = kndet(A).
5. Si B es una matriz de n× n, entonces det(AB) = det(A)det(B).
6. Si A,B y C son matrices idénticas excepto que el i−ésimo renglón o columna
de C sea la suma de los i−ésimos renglones o columnas de A y B, entonces
det(C) = det(A) + det(B).
7. Si B se obtiene al sumar un múltiplo de un renglón o columna de A a otro
renglón o columna, entonces det(B) = det(A).
Sabemos que una matriz es invertible si y solo si los renglones y columnas son li-
nealmente independientes. Así, por