BertJanssen-RelatividadGeneral-180

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Schwarzschild (sólo es más fácil calcularlo aquı́, debido a la simetrı́a de la solución), sino que ocu-
rre en general cerca de cualquier conjunto grande de masa y energı́a. Hay numerosos ejemplos
de galaxias y cuásares que están en posiciones (ligeramente) distintas en el cielo, pero muestran
exactamente el mismo espectro, indicando que en realidad se trata del mismo objeto. La luz de
estos objetos lejanos, inicialmente emitida en direcciones (ligeramente) distintas, está enfocada
al pasar cerca de otro objeto muy masivo más cercano. En este caso el objecto cercano realmente
actúa como una lente gravitacional, proyectando multiples imágenes en el cielo terrestre (véase
Figura 11.4). Este efecto ocurre en tres dimensiones, por lo que puede dar lugar a configuracio-
nes como la Cruz de Einstein (el cuásar QSO2237 + 0305, que proyecta 5 imágenes en forma de
cruz) o (secciones de) los anillos de Einstein que aparecen en las fotografı́as de campo profundo,
hechas por el Hubble Space Telescope. La distorsión de los objetos en estas imágenes nos puede
dar información sobre la cantidad y la distribución de la materia oscura en el universo.
El mismo efecto (aunque aún no observado) ocurre cerca de agujeros negros: el campo gra-
vitatorio de estos objetos es tan grande que la luz puede dar completamente la vuelta o incluso
llegar a orbitar el agujero negro. Los efectos de distorsión gravitacional de las imágenes son ma-
yores cuanto más uno se acerca (y no suele ser considerada en imágenes artı́sticas de agujeros
negros, por lo que éstas son poco fiables).
11.4. El efecto Doppler gravitacional
En la sección 9.3 ya habı́amos deducido la existencia de un efecto Doppler gravitacional a base
del Principio de Equivalencia e incluso habı́amos derivado unos primeros resultado cualitativos
para un campo gravitatorio constante a través de un ascensor acelerado. En esta sección quere-
mos hacer la derivación conmás cuidado con las herramientas de relatividad general y geometrı́a
diferencial. Sin embargo, el estudiante atento notará un paralelismo entre esta derivación y la de
la sección 9.3.
El efecto Doppler gravitacional no sólo ocurre para campos gravitacionales constantes, sino
para cualquier espaciotiempo estático. En grandes lı́neas, un espaciotiempo estático quiere decir
que existe un sistema de coordenadas donde podemos dividir las cuatro coordenadas en una
temporal, digamos t, y tres espaciales xi y que las componentes de la métrica gµν no dependen
de la coordenada temporal t. Además la simetrı́a t → −t de las soluciones estáticas impide que la
métrica tenga términos cruzados gti, de modo que la forma más general de una métrica estática
viene dada por
ds2 = gtt(x
k) dt2 − gij(xk) dxi dxj . (11.55)
Consideremos ahora dos observadores, llamados el emisor y el detector, en reposo en dos
posiciones diferentes del espaciotiempo, ambos equipados con un reloj atómico. Sean xµe = x
µ
e (τe)
y xµd = x
µ
d (τd) las lineas de universo de cada observador, parametrizados por el tiempo propio
de cada uno. El emisor emite con cierte regularidad señales hacia el detector, donde el intervalo
dτe entre dos emisiones viene dado por
dτ2e = gµν(xe) dx
µ dxν = gtt(xe) dt
2. (11.56)
Por otro lado, el intervalo entre dos detecciones dτd no necesariamente tiene que coincidir con
dτe, de modo que
dτ2d = (γ dτe)
2 = gtt(xd) dt
2, (11.57)
donde γ es el factor de dilatación temporal debido al campo gravitatorio y podemos obtener una
expresión para γ dividiendo ambas expresiones,
γ =
√
gtt(xd)
gtt(xe)
. (11.58)
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	III Relatividad General
	Los tests clásicos de la relatividad general
	El efecto Doppler gravitacional