BertJanssen-RelatividadGeneral-200

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de luz es tanta que las geodésicas nulas salientes forman un ángulo de 90o con el eje r. Una señal
de luz, emitido desde allı́ radialmente hacia el exterior, se quedará a distancia fija r = 2M del
centro. Para r < 2M , la inclinación de los conos es aún mayor e incluso las geodésicas salientes
están dirigidas hacia el centro y acaban en la singularidad.
De estas observaciones podemos derivar dos efectos fı́sicos importantes de la solución de Sch-
warzschild. Primero, dado que tanto las señales de luz, tanto entrantes como salientes, emitidas
desde la región r < 2M están dirigida hacia el centro, vemos que el radio de Schwarzschild actúa
como un horizonte de sucesos. Como escribió el ı́sico estadounidense David Finkelstein (1929 - ) en
1958, “la superficie r = 2M es [...] verdaderamente una membrana unidireccional: las influencias
causales sólo pueden atravesarla en una dirección.” Ningún evento en la región r < 2M puede
influenciar lo que ocurre fuera del radio de Schwarzschild ya que los conos de luz no alcanzan
hasta la región exterior. Para un observador exterior es por lo tanto imposible obtener informa-
ción sobre lo que occure dentro, ya que desde allı́ ninguna señal puede escapar hacia el infinito.
Lo mismo ocurre para partı́culas (u observadores) masivos: una vez cruzado el horizonte, ya no
hay manera de volver a la región asintóticamente plana.
Una singularidad rodeada por un horizonte de sucesos, que evita ver lo que pasa dentro del
horizonte, es un agujero negro, uno de los fenómenos más violentos en la Naturaleza. Obsérvese
que el horizonte r = 2M no es una superficie temporal, sino una superficie nula, ya que es la su-
perficie en la que se mueven las señales de luz emitidas hacia el exterior desde este punto. Merece
la pena enfatizar que la apareción del horizonte es una propiedad global, debido a la orientación
de los conos de luz en toda la región r ≤ 2M , es decir, debido a la estructura causal de la solu-
ción de Schwarzschild. Localmente es espacio es completamente regular en r = 2M , sin ninguna
propiedad geométrica particular. Un observador puntual en caı́da libre no notarı́a ningún efecto
fı́sico al cruzar el horizonte. Esto es una consecuencia del Principio de Equivalencia, que sigue
válido en cualquier punto del espaciotiempo en general y el el radio de Schwarzschild en parti-
cular.
El segundo efecto fı́sico se trata de la singularidad: dado que tanto las geodésicas entrantes co-
mo las salientes acaban en la singularidad y dado que cualquier partı́cula (u observador) masivo
siempre queda confinado dentro de su propio cono de luz, está claro que también las partı́cu-
las masivas acabarán inevitablemente en la singularidad. Es imposible quedarse en reposo a un
r = r0 < 2M fijo del centro. Cualquier curva temporal o nula que cruce el horizonte está desti-
nada a darse con la singularidad y desaparecer del espaciotiempo. Esto es una consecuencia de
que para r < 2M la coordenada r es una coordenada temporal, como ya mencionamos antes, y
que la singularidad en r = 0 es una superficie espacial (no temporal) y además está en el futu-
ro causal de cualquier observador que se atreve cruzar el horizonte. Una vez cruzado r = 2M ,
avanzar en la dirección radial y acabar en la singularidad es igual de inevitable que en el espacio
de Minkowski evolucionar en el tiempo y cruzar una superficie temporal t = t0.
En realidad ya hemos visto algunas de estas propiedades de la geometrı́a dentro del radio de
Schwarzschild de una u otra forma en las Figuras 12.1 y 12.2, pero allı́ aparecieron en las coor-
denadas (t, r, θ, ϕ), que son solamente fiables en la región r > 2M . Ahora, en las coordenadas de
Eddington-Finkelstein podemos afirmar estas conclusiones, ya que son regulares en el horizonte,
como se puede ver de la forma de la métrica en estas coordenadas. De (12.26) vemos que
dt = dt̃ − 2M
r
(
1 − 2M
r
)−1
dr, (12.28)
de modo que sustituyendo esta expresión en la métrica (12.13) obtenemos la siguiente expresión
para la solución de Schwarzschild en coordenadas avanzadas de Eddington-Finkelstein:
ds2 =
(
1 − 2M
r
)
dt̃2 − 4M
r
dt̃dr −
(
1 +
2M
r
)
dr2 − r2dΩ22. (12.29)
Esta claro que la métrica ya no diverge en r = 2M , aunque gtt sea cero.
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6Estrictamente hablando el cambio de coordenadas (12.26) sólo está definido para r > M . Sin embargo es fácil ver
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