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Proyecto de Iniciación a la Investigación
Estudio comparativo de diferentes
tipos de agujeros negros
Por
Jose Marı́a Pérez Poyatos
Tutor
Bert Janssen
Departamento de Fı́sica Teórica y del Cosmos
Universidad de Granada
Julio de 2016
Imagen tomada de la pelı́cula Interstellar
Resumen
Los agujeros negros son una de las más exóticas e interesantes soluciones que pueden ser
obtenidas a partir de las ecuaciones de campo de Einstein. De hecho, la solución de Schwarzs-
child fue la primera solución exacta obtenida de estas ecuaciones, unas ecuaciones que el mismo
Albert Einstein pensaba que jamás serı́an resueltas. Los agujeros negros han sido estudiados du-
rante mucho tiempo por cientı́ficos tan importantes como pueden ser Stephen Hawking o Roger
Penrose, contribuyendo enormemente en este campo e incluso descubriendo algunas de las pro-
piedades cuánticas de estos objetos. El hecho de que tengan un punto singular en su interior,
donde la curvatura se hace infinita y las ecuaciones pierden su validez completamente, suscita
interés incluso hoy en dı́a, ya que la gravedad parece ser imparable y ninguna fuerza conocida
es capaz de oponerse a ella para llegar a un estado estable sin singularidad. En este proyecto es-
tudiaremos los agujeros negros que históricamente han sido importantes por diversas razones,
como el ya mencionado agujero negro de Schwarzschild, con el cual estableceremos el procedi-
miento seguido en el resto de apartados para estudiar la estructura causal de los diferentes casos
que trataremos. Todos los casos estudiados tienen un alto grado de simetrı́a, con lo cual pueden
ser abordados de una forma relativamente sencilla con unos conocimientos más o menos básicos
sobre Fı́sica y Geometrı́a Diferencial. También estudiaremos espacios que no presentan un agu-
jero negro, como son los espacios de De Sitter y de anti-De Sitter, para conocer sus principales
propiedades para luego, posteriormente. sı́ introducir un agujero negro de tipo Schwarzschild y
estudiar unas estructuras causales que no suele ser frecuente encontrar en la bibliografı́a.
Índice
1. Introducción y motivación del proyecto 4
2. Agujero negro de Schwarzschild 7
2.1. Derivación de la solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2. Estudio de los horizontes de la solución de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3. Estructura causal de la solución de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3. Agujero negro de Reissner-Nordström 14
3.1. Formalismo de Palatini y derivación de la solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2. Estudio de los horizontes de la solución de Reissner-Nordström . . . . . . . . . . . . 17
3.3. Estructura causal de las diferentes soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3.1. Estructura causal del agujero negro de Reissner-Nordström subextremal . . . 18
3.3.2. Estructura causal del agujero negro de Reissner-Nordström extremal . . . . . 22
4. Espacio de De Sitter 26
4.1. Derivación de la solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2. Estructura causal de la solución de De Sitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.3. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5. Espacio de Anti De Sitter 31
5.1. Estructura causal de la solución de anti De Sitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.2. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6. Agujero negro de Schwarzschild en el espacio de De Sitter 35
6.1. Estudio de los horizontes de la solución de Schwarzschild De Sitter . . . . . . . . . . 35
6.2. Caso subextremal R0 > 3
√
3M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6.2.1. Estructura causal del caso subextremal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6.2.2. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.3. Caso extremal R0 = 3
√
3M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.3.1. Estructura causal del caso extremal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.3.2. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
7. Agujero negro de Schwarzschild en el espacio de anti-De Sitter 43
7.1. Estudio de los horizontes de la solución de Schwarzschild Anti De Sitter . . . . . . . 43
7.2. Estructura causal de la solución de Schwarzschild Anti De Sitter . . . . . . . . . . . . 44
7.3. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
8. Conclusiones finales 48
9. Bibliografı́a 50
1 INTRODUCCIÓN Y MOTIVACIÓN DEL PROYECTO 4
1. Introducción y motivación del proyecto
Antes de estudiar los diferentes tipos de agujeros negros, debemos conocer las matemáticas que
se esconden tras ellos y las ideas básicas que sustentan la teorı́a de la Relatividad General. Para
empezar, las ecuaciones de campo de Einstein en unidades tales que c = 1:
Rµν −
1
2
Rgµν = −8πGTµν (1.1)
son unas ecuaciones tensoriales. Esto es ası́ debido al Principio de Covariancia Generalizado, que
nos dice que no hay ningún observador privilegiado y que las leyes de la fı́sica han de escribirse
de idéntica forma en todos los sistemas de referencia, tanto inerciales como no inerciales, es por
ello que nuestras ecuaciones deben escribirse en términos de objetos que transformen bien ante
cambios de coordenadas, y estos son escalares, vectores y tensores. Por otro lado, estas ecuaciones
manifiestan “la idea más feliz de la vida de Einstein”, que fue la identificación del campo gravita-
torio con la geometrı́a del espacio, por lo que gravedad y geometrı́a dependı́an ı́ntimamente una
de otra, lo que es una consecuencia del Principio de Equivalencia, según el cual observadores en
caı́da libre en un campo gravitatorio son localmente equivalentes a observadores en el vacı́o. Es
por ello, que sus ecuaciones de campo debı́an relacionar la geometrı́a del espacio con las fuentes
de campo gravitatorio, que son la masa (como en la teorı́a newtoniana) y además, la energı́a, que
es una de las grandes lecciones de la Relatividad Especial, y es que masa y energı́a son las dos
caras de una misma moneda. Esto es lo que refleja la parte derecha de la ecuación, donde aparece
el tensor de energı́a-momento, que contiene toda la información del contenido energético de la
solución estudiada. En la parte izquierda de la ecuación, tenemos el tensor de Ricci que a su vez
es contracción del tensor de Riemann, que refleja la geometrı́a del espacio; el escalar de Ricci, que
es la traza del tensor de Ricci; y la métrica, que es lo que buscamos al resolver estas ecuaciones.
A pesar de que a priori, esos tres objetos no están relacionados, lo están ı́ntimamente a través
de la conexión. La conexión es un objeto matemático no tensorial que nos indica cómo cambia
un vector de un espacio tangente a otro al hacer transporte paralelo en la variedad, y es que los
vectores viven en los espacios tangentes a las variedades.Y es que en una variedad arbitraria, los
espacios tangentes cambian de punto a punto. Necesitamos un representante de un vector dado
perteneciente a un espacio tangente en otro espacio tangente, y la forma de hacerlo es gracias a la
conexión. La conexión, a priori, es totalmente arbitraria: diferentes conexiones, nos darán diferen-
tes nociones de curvatura. Pero existe una conexión preferida, que posee la importante cualidad
de que se relaciona con la métrica de la forma:
Γρµν =
1
2
gρλ
�
∂µgλν + ∂νgµλ − ∂λgµν
�
, (1.2)
donde asumimos el convenio de ı́ndices repetidos de Einstein; un mismo ı́ndice arriba y abajo
en una expresión significa sumatorio sobretodos los valores que pueda tomar dicho ı́ndice. Esta
conexión cumple las siguientes dos propiedades:
Tρµν = Γ
ρ
µν − Γρνµ = 0 ; ∇µgνρ = 0 (1.3)
La primera de ellas nos dice que el tensor de torsión es nulo, y por ende, la conexión es simétrica.
La consecuencia geométrica de este hecho, es que el cuadrilátero formado por dos vectores, ha-
ciendo transporte paralelo de ambos, es cerrado. La segunda, nos dice que la derivada covariante
de la métrica es nula, por lo que podemos conmutar la derivación con la subida y bajada de ı́ndi-
5 1 INTRODUCCIÓN Y MOTIVACIÓN DEL PROYECTO
ces, operación que se realiza con el tensor métrico. A partir de la conexión, podemos definir el
tensor de Ricci
Rµν = R λµλν = ∂µΓ
λ
λν − ∂λΓλµν + ΓλµσΓσλν − ΓλλσΓσµν, (1.4)
que también está relacionado con la métrica, de tal forma que sólo aparecen ecuaciones diferen-
ciales de segundo orden para la ésta, que era otro de nuestros objetivos, ya que las ecuaciones
diferenciales en fı́sica son siempre de segundo orden dado que siempre tenemos dos condiciones
de contorno. Como podemos ver, estas ecuaciones van a ser altamente no lineales, lo que va a
hacer que no se conozcan soluciones generales a las mismas.
En este proyecto, vamos a tratar con agujeros negros, que son soluciones exactas de la ecuaciones
de campo de Einstein. Son objetos en cuyo interior se encuentra una singularidad fı́sica, es decir, un
punto del espacio- tiempo en el que las ecuaciones se desmoronan y donde tenemos una curvatura
infinita. Esta singularidad está aislada del resto del espacio-tiempo por un horizonte de sucesos,
lugar a partir del cual, una vez cruzado, no hay retorno, ya que ni siquiera la luz es capaz de
salir. Existen soluciones sin horizonte, pero nosotros aplicaremos la hipótesis de censura cósmica
propuesta por el fı́sico matemático Roger Penrose, según la cual estos objetos no existen en la
naturaleza.
Como hemos dicho, en nuestras soluciones van a aparecer singularidades, es decir, puntos del
espacio-tiempo donde alguna de las componentes de la métrica va a divergir, y conviene distinguir
los dos casos posibles:
• Singularidades fı́sicas: son lugares del espacio-tiempo donde la curvatura se hace infinita y
nuestras ecuaciones no son válidas ahı́.
• Singularidades de coordenadas: son aquellas que aparecen por usar un sistema coordenado
concreto. Un cambio de coordenadas la hace desaparecer o bien la lleva a otro punto que
antes del cambio de coordenadas era completamente regular. Un ejemplo serı́a el origen en
coordenadas polares planas.
En nuestro estudio, van a aparecer diferentes tipos de geodésicas, que son las lı́neas que las
partı́culas libres siguen por la variedad. Los dos tipos de geodésicas que vamos a encontrarnos
son los siguientes:
• Geodésicas nulas: son las trayectorias que siguen los rayos luminosos. La norma de sus vec-
tores tangentes es nula, lo que equivale a decir que gµν ẋµ ẋν = 0
• Geodésicas temporales: son las trayectorias que siguen las partı́culas materiales. La norma
de sus vectores tangentes es la unidad gµν ẋµ ẋν = 1.
En nuestro estudio, supondremos simetrı́a esférica y estaticidad. La simetrı́a esférica hace que nos
baste con estudiar las geodésicas radiales, que son aquellas que van en dirección radial, pudiendo
ser entrantes o salientes.. La estaticidad consiste en la invariancia de la métrica ante inversiones
temporales, y será la causante de la conservación de la energı́a por unidad de masa a lo largo de
las geodésicas, ecuación que se plantea de la forma gtt ṫ = E.
Estudiar agujeros negros consiste en conocer la estructura causal de los mismos, que es el conjunto
de puntos que pueden influenciar a otros, este es el motivo por el cual estudiamos el comporta-
mientos de las geodésicas, ya que conociendo las trayectorias de los rayos luminosos podemos
1 INTRODUCCIÓN Y MOTIVACIÓN DEL PROYECTO 6
conocer el cono de luz futuro de cualquier observador en cualquier lugar. Esto es importante, ya
que según la Relatividad Especial, un observador se mueve dentro de su cono de luz futuro y
no puede salir de él, ya que eso supondrı́a velocidades superiores a la de la luz. En Relatividad
Especial, los conos de luz eran de la forma:
Figura 1: Conos de luz en Relatividad Especial
Veremos que en un espacio curvo, la variedad de conos que aparecen es bastante más amplia e
interpretaremos su forma y orientación, ya que variarán de un punto a otro precisamente por la
curvatura. Lo importante es que el tiempo dentro de un cono de luz siempre va sobre la bisectriz
que pasa sobre su vértice, por lo que un observador en reposo se moverá en estos diagramas a lo
largo de dicha bisectriz.
La motivación que nos lleva a estudiar estos objetos es la siguiente:
• Como hemos mencionado antes, son soluciones exactas a las ecuaciones de Einstein. Co-
mo mencionábamos al principio, el propio Einstein pensaba que no podrı́an obtenerse de
sus ecuaciones soluciones exactas. En concreto, las que estudiaremos aquı́ presentan mucha
simetrı́a.
• Esta simetrı́a es la que hace que se puedan obtener de una forma relativamente sencilla y
siguiendo el proceso presentado aquı́.
• Históricamente, han resuelto problemas que la Gravitación Universal de Newton no podı́a,
como la precesión del perihelio de Mercurio y dan correcciones de orden superior a las tra-
yectorias predichas por Newton.
• Una de ellas es posible que represente nuestro universo en el futuro: se trata de la solución
de De-Sitter.
• Han cambiado nuestra forma de entender el espacio el tiempo, haciendo que ambos sean
dinámicos e intercambiables y no meros espectadores como lo eran para la mecánica newto-
niana.
8 CONCLUSIONES FINALES 48
8. Conclusiones finales
En este proyecto hemos visto diferentes tipos de agujeros negros, cada uno con sus peculiaridades.
Al comienzo vimos la estructura del agujero negro de Schwarzschild, que presentaba una singula-
ridad fı́sica protegida con un horizonte de sucesos, el cual actuaba como membrana unidireccional
para las influencias causales. En las coordenadas avanzadas vimos que la singularidad se situaba
en el futuro de todo observador que se adentrase hacia el horizonte, de forma que las influencias
causales no podı́an salir de la singularidad hacia el resto del universo. Sin embargo, en las retra-
sadas vimos que esa singularidad se situaba en el pasado de todo observador, de forma que las
influencias causales podı́an salir de la singularidad pero no entrar. Este comportamiento tan dife-
rente era debido a que con cada una de las coordenadas estábamos viendo una parte diferente de
la variedad diferencial.
Posteriormente, hicimos la extensión natural del agujero negro anterior, que era añadirle una carga
eléctrica no trivial. Esto cambió por completo la solución existiendo, dependiendo de la relación
entre la masa y la carga, uno o dos horizontes que protegı́an una singularidad muy diferente.
En este caso era evitable y no estaba necesariamente en el futuro de todo observador sino en
un lugar del espacio, aunque se podı́a llegar a ella siguiendo trayectorias no geodésicas. Si el
observador se dejaba llevar por la gravedad, descubrimos que llega un punto en el ésta se vuelve
repulsiva pudiendo volver de nuevo a cruzar los horizontes y volver a salir a una nueva zona
asintóticamente plana.
A continuación estudiamos dos espacios soluciones del vacı́o de la acción de Einstein-Hilbert con
constante cosmológica, que podı́a interpretarse como la densidad de energı́a del vacı́o. Uno de
ellos, el espacio de De Sitter, poseı́a una constante cosmológica positiva y representaba un universo
en expansión o contracción exponencial. Era un espacio isótropo, en el que cada observador se
podı́a creer en reposo y ver su propio horizonte cosmológico, una zona de corrimiento infinito al
rojo que cualquier cosa que la atravesase, perderı́a contacto causal para siempre con el observador
de referenciaen el caso de la expansión y una zona de la cual surgı́an los objetos que no tenı́an
contacto causal con este observador para estarlo en el caso de la contracción. El espacio de anti-De
Sitter, poseı́a un valor negativo de la constante cosmológica y no presentaba horizontes de ningún
tipo, ni cosmológico ni de sucesos. La caracterı́stica que definı́a a este espacio era la existencia de
geodésicas periódicas, tanto nulas como temporales. Mientras que las nulas llegaban en un tiempo
finito al infinito, las temporales no eran capaz de hacerlo, debido a que su amplitud dependı́a de
su energı́a y se necesitaba una energı́a infinita para que pudiesen llegar.
La extensión natural de estos espacios, y más sencilla, es añadir un agujero negro. En el caso de De
Sitter, daba lugar a dos tipos de soluciones, una con dos horizontes en la cual tenı́amos una parte
que correspondı́a a puro Schwarzschild y otra a puro De Sitter separadas por una región central
delimitada por un horizonte de sucesos en la parte más cercana a Schwarzschild y un horizonte
cosmológico en la zona más próxima a De Sitter. Este horizonte cosmológico no era absoluto, al
igual que en De Sitter, sino que dependı́a del observador, ya que lejos del agujero negro, el espacio
es isótropo viendo todas las caracterı́sticas de De Sitter. La otra solución, poseı́a un único horizonte
degenerado, ya que nuestras coordenadas eran las de un observador que se situaba justo en el
horizonte y eso hacı́a que no fuesen muy fiables. Dicho observador en unas coordenadas, ve que
todo cae a la singularidad que es de tipo espacial, por situarse en el futuro de todo observador
cayente. En las otras coordenadas, todo se veı́a empujado hacia la zona de De Sitter y, como la
gravedad decae como el cuadrado de la distancia, en esa zona es despreciable y cada observador
49 8 CONCLUSIONES FINALES
se puede creer en reposo viendo un horizonte cosmológico.
Finalmente, al añadir el agujero negro en el espacio de De Sitter, tenı́amos un horizonte de sucesos,
que protegı́a una singularidad espacial, y una zona que asintóticamente era el espacio de anti-
De Sitter, en el que las geodésicas eran asintóticamente periódicas, ya que la parte que no lo era
decrece muy rápidamente una vez fuera del horizonte.
En todo este proyecto hemos repetido el mismo proceso para encontrar la solución, es decir, par-
tir de un Ansatz para la métrica que reflejase todas las caracterı́sticas que buscábamos (simetrı́a
esférica y estaticidad) e insertarlo en las ecuaciones de Einstein. Pero existen muchas soluciones
que no son de este tipo, es el caso del agujero negro de Kerr, que no es esféricamente simétrico ni
estático, lo cual hace que el procedimiento para encontrar la métrica que lo describe sea diferente
al presentado aquı́. Esperamos en años sucesivos desarrollar los métodos que permiten llegar a
este tipo de soluciones a la par que emplear herramientas matemáticas más sofisticadas para es-
tudiar la estructura causal de estos espacios de forma más sencilla, como lo son los diagramas de
Penrose.
REFERENCIAS 50
9. Bibliografı́a
Referencias
[1] Carroll, S.M. 2004. Spacetime and Geometry. An introduction to General Relativity. University
of Chicago.
[2] d’ Inverno, R. 1998. Introducing Einstein’s Relativity. University of Southampton.
[3] Janssen. B. 2013. Teorı́a de la Relatividad General. Universidad de Granada.
[4] Feynmann. R.P. 1995. Feynman Lectures on Gravitation. Addison-Wesley Publishing Com-
pany.
[5] Poisson, E. 2004. A relativist’s toolkit. The Mathematics of Black-Hole Mechanics. Cambridge
University Press.