BertJanssen-RelatividadGeneral-202

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II’
I’ I
R
T r=cte
II
t=cte
Figura 12.4: La solución de Schwarzschild en coordenadas de Kruskal: la luz se mueve en lı́neas rectas con
ángulos de 45o, de modo que la orientación de los cono de luz es la misma en todo el espacio. La solución
de Schwarzschild consiste de 2 partes asintóticamente planas I y I’, conectadas por un agujero de gusano
en R = T = 0. Las regiones I y I’ están separado por un horizonte de sucesos de las regiones II y II’,
que contienen una singularidad espacial en el futuro y el pasado respectivamente. Las singularidades estan
representadas por la lı́nea gorda interrumpida y los horizontes por la lı́nea gorda ininterrumpida. Lı́neas de
t=cte y r=cte estan representadas respectivamente por las lı́neas finas interrumpidas y las lı́neas de puntos.
de modo que
T 2 − R2 = er/2M (r − 2M) (12.34)
No sólo estas coordenadas cubren las regiones I, II y II’ a la vez, sino también resulta que la
variedad tiene otra región asintóticamente plana extra, la región I’, que ninguna de las coorde-
nadas de Eddington-Finkelstein podı́a ver. Se puede demostrar que las coordenadas de Kruskal
forman la extensión máximade la solución de Schwarzschild, es decir, que cubren toda la variedad,
sin que queden más regiones por descubrir.
En estas coordenadas, tanto las geodésicas entrantes como las salientes forman ángulos de
45o con los ejes T y R, de modo que los conos de luz (los triángulos sólidos en Figura 12.4) se
comportan como en el diagrama del espacio de Minkowski. Sin embargo, de (12.34) vemos que
las curvas con r =cte forman hipérbolas y los planos t =cte forman ángulos más grandes para
tiempos más avanzados. El horizonte r = 2M es una superficie nula, ya que también forma
un ángulo de 45o con los ejes y se ve claramente que una partı́cula que entra en la región II no
podrá emitir señales a la región I y acabará en la singularidad (la lı́nea gorda punteada), que es
una superficie espacial y por lo tanto inevitable.
En la región II’ pasa justamente lo contrario: cualquier señal emitida desde aquı́ forzosamente
tiene que salir hacia las regiones asintóticamente planas I o I’. Una vez en estas regiones, ya no
hay manera de volver a la región II’. Ningún evento en las regiones I o I’ pueden influenciar lo
que ocurre en II’, ya que la región II’ está en el pasado de I y I’. Nótese que tanto en la zona II
como en la zona II’, la coordenada t es espacial y r es temporal, como ya habı́amos mencionado
antes.
En las coordenadas T y R, la solución no sólo es completamente regular en r = 2M , sino que
también es simétrica bajo la inversión de la coordenada temporal T → −T , como uno espera de
una solución estática. Obsérvese que bajo T → −T las regiones I y I’ son invariantes y II y II’
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