BertJanssen-RelatividadGeneral-177

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y
x
φ
r
R0
φ
0
Figura 11.2: La ecuación de la recta en R2 en coordenadas polares (r, ϕ): las constantes de integración R0
y ϕ0 representan respectivamente la distancia de la recta hasta el origen y el ángulo con respecto al eje x.
Con una derivación idéntica al caso de las geodésicas temporales, obtenemos el análogo de la
ecuación (11.27) (donde otra vez u = 1/r),
( du
dϕ
)2
+ u2 =
k2
ℓ2
+ 2Mu3, (11.40)
y derivando con respecto a ϕ la ecuación relativista de Binet para geodésicas nulas,
d2u
dϕ2
+ u = 3Mu2. (11.41)
Obsérvese que tanto el momento angular ℓ como la medida para la energı́a k han desaparecido
de la ecuación. Al tratarse de partı́culas sin masa, que se mueven siempre con la velocidad de la
luz, estas cantidades están en realidad determinadas por la distancia r al centro de gravedad.
Hay un lı́mite en que esta ecuación es fácil de resolver de manera exacta: cuando M = 0, la
solución de Schwarzschild (11.19) se reduce al espacio de Minkowski in coordenadas esféricas y
en esta caso la solución de (11.41) viene dada por
u(ϕ) = R−10 sin(ϕ − ϕ0). (11.42)
En la expresión en términos de r,
r sin(ϕ − ϕ0) = R0, (11.43)
reconocemos la ecuación de la recta en R2 en coordenadas polares, donde R0 representa la dis-
tancia de la recta hasta el origen y ϕ0 el ángulo con respecto al eje x (véase Figura 11.2), lo que
efectivamente es el resultado esperado para una geodésica nula en el espacio de Minkowski.
Igual que para el perihelio de Mercurio, intentaremos resolver la ecuación de Binet (11.41) en
el lı́mite donde el término a la derecha es una perturbación del resultado newtoniano, sólo que
ahora nuestro parámetro adimensional viene dado por
ε =
3M
R0
. (11.44)
Exigir por lo tanto que ε ≪ 1 es considerar sólo geodésicas cuya distancia R0 hasta el centro
del potencial gravitatorio sea mucho más grande que M , es decir, geodésicas que pasan lejos del
objeto en el centro.4 En este caso la ecuación de Binet (11.41) se puede escribir como
d2u
dϕ2
+ u = εR0u
2, (11.45)
4Como comparación: en el Capı́tulo 12 veremos que el horizonte del agujero negro neutro y estático está localizado en
el radio de Schwarzschild r = 2M .
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