BertJanssen-RelatividadGeneral-191

Vista previa del material en texto

Capı́tulo 12
La solución de Schwarzschild
No esperaba que se pudiera obtener una solución exacta de manera tan sencilla.
(A. Einstein, en una carta a K. Schwarzschild)
Ya hemos dicho en varias ocasiones que las ecuaciones de Einstein son muy difı́ciles de re-
solver, debido a su caracter no lineal, de modo que la superposición de dos soluciones no es una
nueva solución. No es difı́cil entender la razón fı́sica para esta no linealidad: sabemos que el espa-
cio se curva debido a su contenido demasa y energı́a. Pero la propia curvatura del espaciotiempo
contiene energı́a, de modo que la misma curvatura es una fuente de curvatura. En otras palabras,
la gravedad no sólo se acopla a la energı́a y la materia, sino también a sı́ misma, lo que resulta en
ecuaciones no lineales.
Einstein mismo creyó inicialmente que sus ecuaciones eran tan complicadas que nunca se
encontrarı́a una solución exacta. Sin embargo, pocos meses después de la publicación de la rela-
tividad general, en 1916, Karl Schwarzschild (1873 - 1916) halló la solución exacta de un objeto
estático con simetrı́a esférica y en los últimos 90 años decenas, si no cientos de soluciones exactas
han sido encontradas. En este capı́tulo discutiremos esta solución de Schwarzschild y su signifi-
cado fı́sico.
12.1. La derivación de la solución de Schwarzschild
La solución de Schwarzschild es una solución estática de las ecuaciones del vacı́o, con si-
metrı́a esférica. Por lo tanto es una buena descripción para el campo gravitatorio causado por
objetos masivos esféricos, como estrellas y planetas. En particular, son precisamente las geodési-
cas de la métrica de Schwarzschild que nos permite calcular correcciones relativistas a las órbitas
planetarias y la deflexión de la luz, como hemos visto en el Capı́tulo 11.
En ausencia de energı́a y materia, el tensor de energı́a-momento Tµν es cero y (la parte sin
traza de) las ecuaciones de Einstein se reducen a
Rµν = 0. (12.1)
A primera vista puede resultar extraño que las ecuaciones del vacı́o admiten soluciones no-
triviales, aparte del espacio de Minkowski. Pero justo gracias a la no linealidad existe una gran
clase de soluciones no-triviales del vacı́o. Las métricas que satisfacen la ecuaciones del vacı́o
(12.1) se llaman Ricci-planas. Las soluciones que son Ricci-planas en general no son planas, pero
sı́ son soluciones del vacı́o (en ausencia de una constante cosmológica).
La solución de Schwarzschild es la solución no-trivial más sencilla, debido a su gran cantidad
191
	IV Soluciones de las Ecuaciones de Einstein
	La solución de Schwarzschild
	La derivación de la solución de Schwarzschild