BertJanssen-RelatividadGeneral-192

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de simetrı́a. Para empezar es estática, lo que significa en grandes lı́neas que no hay evolución en
el tiempo y por lo tanto existe un sistema de coordenadas en que la métrica es independiente de
la coordenada temporal. Además no puede haber términos cruzados del tipo gti dtdx
i, ya que la
presencia de estos términos romperı́a la invariancia t → −t de las soluciones estáticas. Luego, la
simetrı́a esférica implica que el espacio tiene una simetrı́a SO(3), es decir, que es invariante bajo
rotaciones ortogonales en tres dimensiones.1 Existen por lo tanto unas coordenadas angulares θ
y ϕ tales que las secciones espaciales t = t0 se puedan escribir como
ds2 = −f(r)dr2 − r2
(
dθ2 + sin2 θdϕ2
)
, (12.2)
donde r es la coordenada radial. En principio el factor delante de la parte angular puede ser una
función arbitraria h2(r), pero con un cambio de coordenadas r̃ = h(r) siempre se puede escribir
la métrica en la forma (12.2).
Sabemos que las ecuaciones de Einstein son demasiado difı́ciles de resolver directamente,
pero gracias a la simetrı́a de la solución de Schwarzschild podemos escribir un Ansatz (una pro-
puesta) de la forma
ds2 = e2A(r)dt2 − e2B(r)dr2 − r2
(
dθ2 + sin2 θdϕ2
)
, (12.3)
con A(r) y B(r) dos funciones que quedan por determinar. Nótese cómo el Ansatz refleja la
simetrı́a esférica y el hecho de que la solución es estática en la ausencia de términos cruzados y
el hecho de que A y B son funciones de r únicamente. La idea ahora es sustituir este Ansatz en
las ecuaciones del vacı́o (12.1) para determinar A y B.
No es difı́cil calcular los sı́mbolos de Christoffel. Los sı́mbolos no-triviales vienen dados por
(ejerc.):
Γrtt = e
2(A−B)A′, Γθrθ = r
−1, Γϕθϕ = cotg θ,
Γttr = A
′, Γϕrϕ = r
−1, Γrϕϕ = −r sin2 θ e−2B,
Γrrr = B
′, Γrθθ = −re−2B, Γθϕϕ = − sin θ cos θ,
(12.4)
de modo que las componentes del tensor y el escalar de Ricci que no son cero son (ejerc.)
Rtt = −e2(A−B)
[
A′′ + (A′)2 − A′B′ + 2r−1A′
]
,
Rrr = A
′′ + (A′)2 − A′B′ − 2r−1B′,
Rθθ = e
−2B
[
rA′ − rB′ + 1
]
− 1,
Rϕϕ = sin
2 θ Rθθ,
R = −2e−2B
[
A′′ + (A′)2 − A′B′ + 2r−1(A′ − B′) + r−1
]
+ 2r−1 (12.5)
donde la prima denota la derivada con respecto a r. Igualar todas las componentes del tensor de
Ricci a cero, como exige las ecuaciones de Einstein, nos hace resolver un sistema de 4 ecuaciones
diferenciales no-lineales acopladas para dos incógnitas. En principio este sistema está sobrede-
terminado y no tiene soluciones, pero veremos que no todas las ecuaciones son independientes.
Multiplicando Rtt por e
−2(A−B) y sumándolo con Rrr obtenemos que
0 = e−2(A−B)Rtt + Rrr = −2r−1(A′ + B′), (12.6)
1Ojo, esto no implica que las secciones espaciales sean R3. La solución de Schwarzschild misma ya es un contraejem-
plo, como veremos en breve.
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