BertJanssen-RelatividadGeneral-169

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y por lo tanto la geometrı́a local del espacio, pero no determinan la topologı́a de las soluciones,
que es una propiedad global. La topologı́a del espacio viene determinada (entre otras cosas) por
las condiciones de contorno, cosa que no entra en las ecuaciones de Einstein, sino que hay que
poner a mano. Dos espacios pueden tener la misma estructura geométrica, pero una topologı́a
distinta. Un ejemplo muy sencillo es el caso del espacio plano. Tanto el espacio de Minkowski
cuadrimensional R1,3
ds2 = dt2 − dx2 − dy2 − dz2 (10.49)
como el producto directo del espacio de Minkowski bidimensional con el toro R1,1 × T 2
ds2 = dt2 − dx2 − R21dθ2 − R22dϕ2, (10.50)
con R1 y R2 los radios del toro y θ, ϕ ∈ [0, 2π], son soluciones de las ecuaciones del vacı́o y ambas
son planas, ya que Rµνρλ = 0. A escalas ℓ ≪ R1, R2, un observador no es capaz de ver la dife-
rencia entre estas dos soluciones, ya que en cada punto se puede hacer el cambio de coordenadas
local y = R1θ, z = R2ϕ, de modo que las métricas de las dos soluciones son la misma. Sin em-
bargo la topologı́a es muy diferente. Por ejemplo, cualquier curva en R1,3 se puede contraer a un
punto, mientras que una curva enroscada a lo largo de θ en R1,1 × T 2 no es contraı́ble. En gene-
ral es difı́cil determinar la estructura topológica (como la presencia de asas o ciclos no-triviales,
véase el caso e en la Figura 10.3) a base de la métrica gµν .
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