BertJanssen-RelatividadGeneral-173

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La componente (tt) de la ecuación de Einstein (11.6) es por lo tanto
ε∆htt ≈ κρ0, (11.17)
donde hemos despreciado las derivadas temporales ∂2t frente al laplaciano ∆ = ∂i∂
i. De (11.1) y
(11.13) sabemos que en primera aproximación podemos identificar εhtt con dos veces el potencial
gravitatorio, de modo que (11.17) se convierte en
∆Φ ≈ 1
2
κρ0. (11.18)
Una comparación con la ecuación de Poisson (5.58) fija la constante de proporcionalidad de
(10.20) en κ = 8πGN .
En resumen, tanto la Segunda Ley de Newton (5.57) como la ecuación de Poisson (5.58) están
contenidas dentro de la relatividad general, en el lı́mite donde el campo gravitatorio es débil
y todas las velocidades consideradas son mucho más bajas que la velocidad de la luz, es decir,
cuando tanto los efectos de la curvatura del espacio como los efectos de la relatividad especial
son despreciables. Este es efectivamente el rango de validez que uno esperarı́a para la mecánica
y la gravedad newtoniana.
11.2. El perihelio de Mercurio
Einstein propuso tres tests para comprobar su relatividad general: el avance del perihelio de
Mercurio, la deflexión de la luz por un objeto masivo y la dilatación gravitacional del tiempo,
conocidos hoy como los tres tests clásicos. Estos tests son más fáciles en la presencia de un obje-
to masivo estático con simetrı́a esférica. Como ya hemos mencionado en la sección anterior, la
métrica que describe un espaciotiempo de tal objeto es la métrica de Schwarzschild,
ds2 =
(
1 − 2M
r
)
dt2 −
(
1 − 2M
r
)−1
dr2 − r2
(
dθ2 + sin2 θdϕ2
)
, (11.19)
donde la constante M = GNm, con dimensión L, es una medida para la masa m del objeto. Para
el Sol, M corresponde aproximadamente a 1,5 km (para más detalles sobre la derivación de esta
métrica y su significado fı́sico referimos al Capı́tulo 12).
El test del avance del perihelio de Mercurio consiste en que la relatividad general predice una
corrección relativista a la primera ley de Kepler en las órbitas de los planetas: en lugar de que el
planeta siga órbitas perfectamente elı́pticas (en ausencia de otros planetas), la trayectoria tiene
en primera aproximación la forma de un elipse que gira lentamente en el plano de la órbita, de
modo que el perihelio, la posición más cercana al Sol, se mueve cierto ángulo 2πε a lo largo de
un cı́rculo con respecto a su perihelio anterior (véase Figura 11.1)
Para entender bien el argumento relativista, es conveniente repasar brevemente el cálculo
newtoniano. Es interesante observar que ambos cálculos llegan a las mismas ecuaciones (salvo
correcciones relativistas) por argumentos totalmente distintos.
En el formalismo newtoniano, la manera más fácil de calcular las órbitas de las planetas es a
partir de la ley de conservación demomento angular L y la ley de conservación de energı́aE para
una partı́cula con masa m0 (con m0 ≪ M/GN ) en un potencial newtoniano V (r) = −m0M/r,
m0r
2ϕ̇ = L,
1
2
m0(ṙ
2 + r2ϕ̇2) − m0M
r
= E, (11.20)
donde hemos asumido, sin pérdida de generalidad, que la partı́cula se mueve en el plano ecua-
torial θ = π/2. Sustituyendo ϕ̇2 en la ley de conservación de energı́a por su valor en función de
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	III Relatividad General
	Los tests clásicos de la relatividad general
	El perihelio de Mercurio