BertJanssen-RelatividadGeneral-171

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newtoniana presupone un sistema de coordenadas preferido (un espacio y un tiempo absoluto).1
La condición del campo gravitatorio débil permite escribir la métrica como una perturbación
del espacio de Minkowski
gµν = ηµν + ε hµν , (11.1)
con ε ≪ 1 el parámetro de expansión. Tomando en cuenta que hasta primer orden en ε, la métrica
inversa toma la forma
gµν ≈ ηµν − ε hµν , (11.2)
en primera aproximación los sı́mbolos de Christoffel y el tensor y el escalar de Ricci vienen dados
por (ejerc)
Γρµν ≈
1
2
ε ηρλ
[
∂µhλν + ∂νhµλ − ∂λhµν
]
,
Rµν ≈
1
2
ε ∂2hµν , R ≈
1
2
ε ∂2h, (11.3)
donde h = ηµνhµν es la traza de la perturbación de la métrica, ∂
2 = ηµν∂µ∂ν es el d’alambertiano
en el espacio deMinkowski y donde hemos fijado los grados de libertad no-fı́sicos de hµν a través
de la elección de gauge
∂µhµν −
1
2
∂νh = 0. (11.4)
En primera aproximación, las ecuaciones de Einstein para un campo gravitatorio débil se con-
vierten entonces en
1
2
ε
[
∂2hµν −
1
2
ηµν∂
2h
]
≈ −κTµν. (11.5)
También resultará útil la versión de esta ecuación sin traza, es decir, la aproximación para campo
débil de (10.22),
1
2
ε∂2hµν ≈ −κ
[
Tµν −
1
2
ηµνT
]
, (11.6)
donde T = ηµνTµν . Obsérvese que la ecuación de Einstein (11.6) toma la forma de una ecuación
de ondas inhomegénea para hµν . Discutiremos esta propiedad en más detalle en en Capı́tulo ??.
La segunda condición, que todas las velocidades consideradas sean no-relativistas, implica
que podemos utilizar el mismo parámetro de expansión ε para el movimiento de las partı́culas,
ya que v ∼ ε ≪ 1. En particular, el tiempo propio (5.25) de una partı́cula moviéndose en un
campo gravitatorio es por lo tanto en primera aproximación igual al tiempo en el sistema de
referencia:
dτ ≈ dt. (11.7)
Una partı́cula que se mueve con velocidad v ∼ ε viaja una distancia dxi en el intervalo de tiempo
dt de modo que
dxi ∼ ε dt, (11.8)
y por lo tanto para cualquier función f(xi, t) vemos que
∂tf ∼ ε ∂if. (11.9)
En otras palabras, la derivada de una función con respecto al tiempo es un orden en ε mayor que
el gradiente y pueden ser despreciada en comparación con éstas.
Con estas aproximaciones, no sólo podemos ver que las ecuaciones de Einstein se reducen
a la ecuación de movimiento de una partı́cula en un potencial gravitatorio, sino que también
1Aquı́ vemos que en realidad el tiempo absoluto de Newton no es más que la coordenada temporal del sistema de
referencia donde todas las partı́culas se mueven a velocidades no relativistas y el espacio absoluto a las superficies t
constantes en estas coordenadas.
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