Tema 4 - Clase 2

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Tema 4: Elección Inter temporal de consumo y mercado de crédito 
 
CLASE 2 
 
Restricción presupuestaria y dotaciones 
 
Las familias reciben un ingreso de y1 e y2 bienes de consumo en los peŕıodos 1 y 2 respectivamente. 
Además, existe un mercado de crédito donde las familias pueden ahorrar o endeudarse en bonos o 
activos, a los que llamaremos bt (valores negativos se interpretan como deuda). Los activos pagan 
una tasa de interés real rt. Como en este modelo no existe el dinero, la tasa de interés bruta 1 + rt 
nos dice cuántas unidades de bienes recibiremos en el peŕıodo t + 1 si compramos 1 bono en el 
peŕıodo t. De este modo, si la familia demanda bt bonos en el peŕıodo t, recibirá (1 + rt)bt bienes 
de consumo en el peŕıodo t + 1. 
Con esta información construimos las restricciones presupuestarias flujo. A estas restricciones 
les ponemos el nombre de “flujo” para diferenciarlas de la restricción presupuestaria intertemporal 
que construiremos más abajo. La restricción presupuestaria flujo en el primer peŕıodo es 
 
c1 + b1 = y1 + (1 + r0)b0. 
 
La restricción presupuestaria flujo en t = 2 es 
 
c2 + b2 = y2 + (1 + r1)b1. 
 
Como el mundo se acaba al final del peŕıodo 2, vamos a imponer la restricción de que los consum- 
idores no pueden morir endeudados (¿quien les va a prestar algo de otro modo?). Esto equivale a agregar 
la restricción 
b2 ≥ 0. 
El ahorro en el peŕıodo t, que llamaremos st, consiste en la parte del ingreso total que no se 
consume: 
st = yt + rt−1bt−1 − ct 
 
i
`
ngreso 
˛
t
¸
otal en
x
t 
cons
`
u
˛
m
¸
o
x
en t 
El ingreso total es la suma del ingreso exógeno yt más el ingreso financiero rt−1bt−1 (el interés sobre 
los activos que el consumidor compró en el peŕıodo anterior). Es importante notar que el ahorro 
st es una variable flujo mientras que los activos bt son una variable stock. 
Usando la restricción presupuestaria flujo en un peŕıodo t arbitrario, 
 
ct + bt = yt + (1 + rt−1)bt−1, 
 
llegamos a la conclusión de que el ahorro es también igual al cambio en el stock de activos, 
 
bt = yt + rt−1bt−1 − ct + bt−1, 
 
 
por lo que 
` ˛
s
¸
t 
x 
st = bt − bt−1. 
En efecto, el ingreso que no uso para consumir aumenta mi stock de activos. 
 
El problema del consumidor y la restricción presupuestaria in- 
tertemporal 
Volviendo a la elección de consumo intertemporal, el problema de la familia es 
 
max 
c1,c2,b1,b2 
u(c1) + βu(c2) 
 
sujeto a 
 
c1 + b1 = y1 + (1 + r0)b0 
c2 + b2 = y2 + (1 + r1)b1 
b2 ≥ 0. 
Como en este modelo no hay descendientes, nadie va a querer morir con activos por lo que es 
óptimo elegir b2 = 0. De este modo, el problema del consumidor se simplifica a 
 
max 
c1,c2,b1 
u(c1) + βu(c2) 
 
sujeto a 
 
c1 + b1 = y1 + (1 + r0)b0 
c2 = y2 + (1 + r1)b1. 
Para simplificar la exposición, supongamos que los consumidores nacen sin activos, b0 = 0–esto 
no es para nada esencial y todo lo que sigue lo podemos hacer eliminando este supuesto Por lo tanto, 
el problema del consumidor se reduce a 
 
max 
c1,c2,b1 
u(c1) + βu(c2) 
 
sujeto a 
 
c1 + b1 = y1 (3) 
c2 = y2 + (1 + r1) b1. (4) 
 
Hay dos formas equivalentes de resolver este problema. La primera es construyendo una sola re- 
stricción presupuestaria, a la que llamaremos intertemporal, que resume el conjunto de posibilidades 
de consumo de la familia de todos los peŕıodos en una sola restricción. En particular, usando la 
1+r 
1+r 
1+r 
1+r1 
 
 
Figura 2: Restricción presupuestaria intertemporal 
 
restricción (3) resolvemos para b1 = y1 − c1 y reemplazamos el resultado en (4) obteniendo 
c2 = y1 + (1 + r1)(y1 − c1). 
Dividimos por 1 + r1 y ordenamos los términos para llegar a 
 c2 
c1 + = y1 
1 + r1 
 y2 
+ . (5) 
1 + r1 
 
 
La ecuación (5) es la restricción presupuestaria intertemporal y surge de la posibilidad de 
endeudarse o ahorrar la cantidad que se desee a la tasa de interés r1. De hecho, al reemplazar b1 
lo que estamos suponiendo es que b1 puede tomar cualquier valor, ya sea positivo o negativo. 
La restricción presupuestaria intertemporal nos dice varias cosas importantes. Primero, cuando 
existen mercados de crédito podemos pensar que el consumidor enfrenta una sola restricción pre- 
supuestaria. Segundo, bajo esta única restricción presupuestaria intertemporal el valor presente del 
consumo (el lado izquierdo de (5)) es igual al valor presente del ingreso (el lado derecho de (5)).1 
Tercero, la restricción presupuestaria intertemporal nos dice que el precio relativo del consumo en 
el peŕıodo 2 en términos de consumo en el primer peŕıodo es 1 . Y la razón es la siguiente: si 
1 
dejo de consumir 1 
1 
unidades de consumo en t = 1 e invierto esa cantidad en el bono, mañana 
obtengo 1 × (1 + r1) = 1 bienes de consumo. En otras palabras, el mercado de crédito me 
permitió transformar 1 unidades de consumo en t = 1 en una unidad de consumo en t = 2. Pero 
1 
ésto no es otra cosa que la definición de precio relativo. A partir de este razonamiento surge de 
inmediato que una suba en la tasa de interés real implica que el consumo futuro se hace más barato 
1Si los activos iniciales b0 no son cero debemos agregar el término (1 + r0)b0 del lado derecho de (5). 
1 2 
1 + r1 
1 + r1 
relativo al consumo presente. La Figura 2 muestra la restricción presupuestaria intertemporal en 
los ejes (c1, c2). Note que la restricción presupuestaria tiene pendiente − (1 + r1) y pasa a través 
del punto de dotación inicial (y1, y2). 
El problema del consumidor entonces se reduce al de maximizar la utilidad (1) sujeto a la 
restricción presupuestaria intertemporal (5). El Lagrangiano de este problema es 
L = u (c ) + βu (c ) − λ 
 
c 
 c2 
+ − y —
 y2 
 
,
 
 
donde λ es el multiplicador de Lagrange. Las condiciones de primer orden son 
 
∂L 
∂c1 
= 0 ⇒ uJ (c1) = λ (6) 
∂L 
= 0 ⇒ βuJ (c ) = 
 λ 
 
(7) 
∂c2 2 1 + r1 
∂L 
∂λ 
= 0 ⇒ c1 
 c2 
+ = y1 
1 + r1 
 y2 
+ 
1 + r1 
(8) 
 
Sustituyendo (6) en (7) obtenemos 
 
uJ (c1) = (1 + r1) βuJ (c2) . (9) 
 
La condición (9) es la Ecuación de Euler y juega un rol fundamental en macroeconomía . Dis- 
tintas versiones de esta ecuación aparecen invariablemente en todos los modelos macroeconómicos 
dinámicos que usamos. Por lo tanto es importante entender su intuición económica. Consideremos 
reducir el consumo en el peŕıodo 1 en una unidad para comprar un bono y aśı consumir más en 
el futuro. Recuerde que uJ(c1) es el valor marginal de incrementar el consumo un poquito en el 
peŕıodo 1. Equivalentemente, una reducción del consumo en t = 1 tiene un costo marginal de 
uJ(c1). Esa unidad de consumo que dejé de consumir la invierto en un bono que paga (1 + r1) 
bienes de consumo en t = 2. El valor de un incremento marginal del consumo en el peŕıodo 2 es 
uJ(c2), por lo que el incremento marginal de la utilidad en t = 2 de los (1 + r1) bienes adicionales es (1 
+ r1)uJ(c2). Sin embargo, desde el punto de vista del peŕıodo 1 (que es cuando dejo de consumir 
para comprar el bono) el valor marginal de subir c2 a través de esta estrategia es β(1 + r1)uJ(c2), 
ya que el consumidor es impaciente y descuenta las utilidades futuras con el factor β. Un agente 
actuará de manera óptima cuando el costo marginal de bajar el consumo en t = 1 se iguale al 
beneficio marginal de incrementar el consumo en t = 2. Esto es, la condición (9) se debe cumplir 
bajo la elección óptima del consumo.1 
1 
1+r 
Con la interpretación de que 1 
1 
es el precio relativo entre c2 y c1, note que una forma 
alternativa de escribir la ecuación de Euler (9) es 
 
βuJ(c2) 
= 
uJ(c1) 
 
 
1 
. 
1 + r1 
1+r1 
1 1 1 1 1 + r1 
2 2 1 1 1 + r1 
1 1 1 1 2 
1 1 1 + r1 
El lado izquierdo de la ecuación es la tasa marginal de sustitución entre c2 y c1 (cuantas unidades 
de c1 estoy dispuesto a renunciar para consumir una unidad adicional de c2), mientras que el lado 
derecho es el precio relativo de c2 en términos de c1 (cuantas unidades de c1 necesito para comprar 
una unidad adicional de c2). Por lo tanto, ́esta también es la ecuación usual que estudiamos en 
microeconomía que nos dice que, en el óptimo, la tasa marginal de sustitución entre dos bienes 
debe igualarse a su precio relativo. 
Las incógnitas del problema del consumidor son c1 y c2. Las condiciones (5) y (9) constituyen un 
sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, c∗1 y c2∗: la elección óptima debe satisfacer la restricción 
presupuestaria intertemporal y la ecuación de Euler. Las demandas ́optimas de consumo presente 
y consumo futuro son funciones que toman la siguiente forma 
c∗ = cd 
 
r , y + 
 y2
 
(10) 
c∗ = cd 
 
r , y + 
 y2
 
(11) 
 
¿Por qué las demandas son una función del valor presente de los ingresos en vez de una función 
donde y1 e y2 aparecen como argumentos separados? La razón matemática es que y1 e y2 siempre 
aparecen en la forma y1 + y2 . Además de la matemática, este resultado tiene una importante 
intuición económica: el consumo en cada peŕıodo no es únicamente una función del ingreso corriente 
de ese peŕıodo sino una función del valor presente de todos los ingresos, corriente y futuros. Este 
resultado, que surge de la posibilidad de usar los mercados de crédito para cambiar el patrón 
temporal del consumo, es la base de la teoŕıa moderna del consumo. Como veremos más adelante, 
esta teor´ıa del consumo difiere fundamentalmente de la teor´ıa del consumo keynesiana. 
Una vez que tenemos las demandas de consumo en cada peŕıodo, podemos encontrar la demanda 
de activos b1 usando la restricción presupuestaria flujo en t = 1, b1 = y1 − c1, o bien 
 
b∗ = bd (r , y , y ) = y 
— cd 
 
r , y +
 y2 
 
.
 
 
La demanda de bonos no es únicamente una función del valor presente del ingreso. La intuición es 
que si el ingreso corriente es muy alto relativo al ingreso futuro, el consumidor tendrá incentivos 
a ahorrar parte de ese ingreso para transferir parte de su riqueza corriente hacia el futuro. Esto 
implica que la demanda de bonos debe ser creciente en y1. 
La Figura 3 muestra la elección óptima de consumo en tres casos diferentes. El panel de 
la izquierda nos muestra una situación donde el consumidor elige una canasta de consumo que 
satisface c1 < y1, por lo que el consumo en el primer peŕıodo es menor a su ingreso. La diferencia 
entre el consumo y el ingreso es el ahorro, o acumulación de activos b∗1 > 0. El ahorro positivo del 
consumidor le permite financiar un consumo futuro c2 mayor a su dotación futura y2. El gráfico del 
medio nos muestra la situación opuesta, donde c1 es mayor que y1. El mercado de crédito le permite 
al consumidor financiar ese mayor consumo corriente endeudándose en la cantidad b∗1 = y1 − c1 < 0. 
1 
1 
En el segundo peŕıodo el consumo c2 es menor al ingreso y2. La diferencia es el pago del principal 
c 
 
 
Figura 3: Decisión de consumo intertemporal 
 
más los intereses de la deuda tomada en el primer peŕıodo capturado por el término b∗1 (1 + r1) < 0. 
Finalmente, el gráfico de la derecha nos muestra una situación donde el consumidor no es ni 
acreedor ni deudor: elige consumir su dotación de bienes en cada peŕıodo. Note que la existencia 
de mercados de crédito le permite al consumidor obtener un nivel de utilidad mayor a si estuviese 
forzado a consumir su ingreso exógeno en cada peŕıodo. (¿Por que?) 
 
 
Ejemplo: función de utilidad logaŕıtmica 
Supongamos que la función de utilidad es logaŕıtmica 
 
u(c) = ln(c). 
 
En este caso, uJ (c) = 1/c, por lo que la ecuación de Euler (9) viene dada por 
 
1 1 
= (1 + r1)β 
c1 2 
o, 
c2 = β(1 + r1)c1. (12) 
 
Reemplazando esta condición en la restricción presupuestaria intertemporal y resolviendo para c1 
encontramos 
 c2 
c1 + = y1 
1 + r1 
 y2 
+ 
1 + r1 
c + 
β(1 + r1)c1 
= y
 
1 1 + r1 1 
 y2 
+ 
1 + r1 
(1 + β)c1 = y1 y2 
+ 
1 + r1 
 
1 
 
−
 
1 
1 
1 + β β (1 + r1) 
o bien, 
 
 
Por lo tanto, 
c = 
 1 
y 
1 1 + β 1 
 
β 
+ 
 y2 
. (13) 
1 + r1 
 
 
La demanda de bonos es 
c2 = 
1 + β 
[y1 (1 + r1) + y2] . (14) 
 
bd = y1 − c1 
= y1 1 y
 
1 + β 1 
+
 y2 
1 + r1 
 β 
= y1 
1 + β 
 1 y2 
— 
1 + β 1 + r 
,
 
 
o bien 
bd = 
 β 
 
y 
—
 y2 
 
(15) 
 
Como vemos, la demanda de bonos aumenta cuando sube el ingreso corriente y disminuye (o sube 
el endeudamiento) cuando sube el ingreso futuro. 
 
 
Forma equivalente de resolver el problema del consumidor 
Arriba mencionamos que hab´ıa dos maneras equivalentes de resolver el problema del consumidor. 
En la primera constrúımos la restricción presupuestaria intertemporal y maximizamos la utilidad del 
consumidor sujeto a esta única restricción. La segunda forma de resolver el problema es escribiendo 
el Lagrangiano con las dos restricciones presupuestarias flujo (3) y (4). Llamemos λ1 y λ2 a los 
multiplicadores de Lagrange de esas Restricciones. Entonces podemos escribir el siguiente 
Lagrangiano 
 
L = u (c1) + βu (c2) − λ1 [c1 + b1 − y1] − λ2 [c2 − y2 − (1 + r1) b1] 
 
1 
donde la maximización se hace eligiendo consumo presente y futuro, c1 y c2, y la demanda de 
activos b1. Las condiciones de primer orden de este problema son 
∂L 
∂c1 
= 0 ⇒ uJ (c1) = λ1 
 
(16) 
∂L 
∂c2 
∂L 
= 0 ⇒ βuJ (c2) = λ2 (17) 
 
 
∂b1 
∂L 
 
 
∂λ1 
∂L 
 
 
∂λ2 
= 0 ⇒ λ1 = λ2 (1 + r1) (18) 
= 0 ⇒ c1 + b1 = y1 (19) 
= 0 ⇒ c2 = y2 + (1 + r1) b1 (20) 
 
Sustituyendo (16) y (17) en (18) encontramos la ecuación de Euler 
 
uJ (c1) = (1 + r1) βuJ (c2) . 
 
Usando (19) y (20) podemos recuperar la restricción presupuestaria intertemporal 
 c2 
c1 + = y1 
1 + r1 
 y2 
+ , 
1 + r1 
15 
 
que, junto con la ecuación de Euler, forman el mismo sistema de dos ecuaciones en las dos incógnitas 
c1 y c2 que encontramos arriba.