CUADERNILLO DE MATEMATICAS 2015

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MATEMÁTICA APLICADA 
PARA INGRESANTES 
TECNICATURA SUPERIOR EN HIGIENE Y SEGURIDAD EN EL TRABAJO. 
TECNICATURA SUPERIOR EN MECATRONICA. 
TECNICATURA SUPERIOR EN MANTENIMIENTO INDUSTRIAL. 
TECNICATURA SUPERIOR EN PROGRAMACIÓN. 
TECNICATURA SUPERIOR EN SEGURIDAD VIAL. 
 
 
Ing. Walter Alberto Cáseres 
 
 
2015 
 
 
 
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Cartilla de Ingreso 2015 
Matematica 
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CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
 Números Naturales y Enteros. Propiedades 
 Números Racionales. Propiedades. 
 Números Irracionales. Propiedades. Notación científica 
 Números Reales. Estructura algebraica 
 Números complejos. Estructura algebraica 
EXPRESIONES ALGEBRAICAS 
 
 Clasificación de las expresiones algebraicas 
 Polinomios. Valor numérico. Cero de un Polinomio 
 Operaciones entre polinomios. 
 Regla de Ruffini y Teorema del Resto 
 Teorema del Factor y Teorema Fundamental del Álgebra Factoreo 
 Expresiones algebraicas fraccionarias. Operaciones y Simplificación 
TRIGONOMETRIA 
 
 Ángulos y Sistemas de medición 
 Razones trigonométricas 
 Resolución de Triángulos Rectángulos 
 Circunferencia trigonométrica 
 Relación entre ángulos de distintos cuadrantes 
 Triángulos Oblicuángulos. Teoremas del Seno y del Coseno 
ECUACIONES 
 
 Clasificación General 
 Ecuaciones lineales 
 Sistemas de ecuaciones lineales 2x2 
 Ecuaciones Cuadráticas 
 Ecuaciones Racionales e Irracionales 
 Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas 
 Sistemas Mixtos 
 Ecuaciones e Identidades Trigonométricas 
FUNCIONES 
 
 Conceptos preliminares 
 Producto Cartesiano y Relación 
 Función. Conceptos generales 
 Función Constante 
 Función Lineal 
 Función Cuadrática 
 Funciones definidas por tramos 
 
 
 
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Símbolos matemáticos de uso frecuente 
 
Algunas letras del alfabeto griego 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CONJUNTOS NUMERICOS 
Introducción 
Un número es una idea que expresa una cantidad, ya sea por medio de una palabra o de 
un símbolo. El símbolo de un número recibe el nombre de numeral. 
Pensamos en números cuando contamos personas, vemos la hora, medimos la 
temperatura, comparamos velocidades, pesamos cuerpos, etc… 
A lo largo de la historia cada civilización adoptó un sistema de numeración propio. En la 
actualidad aún se usa, el sistema de numeración romana, que se desarrollo en la antigua 
Roma y se utilizó en todo su imperio. Era un sistema de numeración no posicional en el 
que se usan letras mayúsculas como símbolos para representar a los números: I, V, X, L, 
C , D , M 
El sistema universalmente aceptado actualmente (excepto algunas culturas) es el 
Sistema de Numeración Decimal. 
Es un sistema de numeración en el que las cantidades se representan utilizando como 
base el número diez, por lo que se compone de las cifras cero (0); uno(1): dos (2); tres (3); 
cuatro (4); cinco (5); seis (6); siete (7); ocho (8) y nueve (9). Este conjunto de símbolos se 
denomina números árabes. 
 
Objetivos 
 Definir a los conjuntos numéricos 
 Distinguir entre racional e irracional, entre real y complejo 
 Recordar la aritmética de los números reales y complejos 
 Adquirir habilidad en la resolución de situaciones problemática 
 
Conceptos previos 
 Conceptos básicos de lógica proposicional. 
 Teoría de Conjuntos 
 
Los números se agrupan en conjuntos o estructuras diversas; cada una contiene a la 
anterior y es más completa y con mayores posibilidades en sus operaciones. Están 
representadas en el siguiente mapa conceptual 
 
 
 
 
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Definición 
 
Los números Naturales son los números que usamos para contar u ordenar los elementos 
de un conjunto no vacio 
Simbólicamente: N = {1, 2, 3, 4, 5,....n, n+1,.....} 
 
Operaciones 
 
La suma y el producto de números naturales son siempre naturales. En cambio la 
diferencia no siempre es otro natural. Simbólicamente: 
 
Si a €N y b € N, entonces a + b € N (a y b se llaman términos o sumandos) 
Si a €N y b € N, entonces a . b € N (a y b se llaman factores) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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NUMEROS ENTEROS 
 
Para dar solución al problema que se presenta al restar números naturales donde el 
minuendo es igual o menor al sustraendo, se crearon otros números que amplia al 
conjunto de números naturales. 
Se agregan el número cero y los números opuestos a los naturales 
De ese modo 3 – 3 = 0 y 3 – 7 = -4 
 
Definición 
El conjunto de los números Enteros está formado por la unión de los naturales, el cero y 
los opuestos de los naturales 
Simbólicamente se expresan Z= {...... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, .....} 
 
Los números enteros permiten contar nuevos tipos de cantidades (como los saldos 
acreedores o deudores) y ordenar por encima o por debajo de un cierto elemento de 
referencia (las alturas sobre o bajo el nivel del mar o temperaturas superiores o inferiores a 
0 grados, los pisos de un edificio por encima o por debajo de la planta baja, etc…). 
 
 
En un gráfico de conjuntos se aprecia claramente que 
 
 
 
 
 
 
Se representa a los números enteros en una recta graduada, donde se elige un punto 
arbitrario para representar al 0 (al cual le llamaremos origen) y se adopta un segmento 
como unidad y la convención de que para la derecha estarán los números enteros 
positivos (naturales) y para la izquierda estarán los enteros negativos (opuestos de los 
naturales). 
 
 
 
 
 
 
 
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Operaciones en Z 
La suma y el producto de enteros es siempre otro entero. 
 
 
La diferencia a – b es considerada como la suma del minuendo más el opuesto del 
sustraendo a – b = a + ( -b ) donde a es el minuendo y b es el sustraendo 
 
 
 
La división entre los enteros a y b, con b≠ 0, arroja como resultados dos números enteros 
llamados cociente (q) y resto) 
A ase le dice dividendo y a b se le dice divisor. 
 
 
 
 
 
 
Caso particular: Si r = 0, entonces a = b.q 
 
 
 
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Se dice que la división es exacta, que “a es múltiplo de b”, que “a es divisible por b”, que 
“b es factor de a” o que “b es divide a a” 
 
 
 
La división por 0 no está definida. 
Ejemplos: 2: 0 y 0: 0 no existen!!!!! 
 
 
 
 
 
 
 
 
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En el caso de tener expresiones algebraicas (expresiones que combinan números y letras) 
puede aplicarse, de ser necesario, la definición de potenciación y así encontrar una 
expresión algebraica equivalente 
 
Productos notables 
Las siguientes expresiones resultan de aplicar la definición de potenciación y las 
propiedades de la suma y el producto. Reciben el nombre de productos notables 
 
 
 
 
 
 
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NUMEROS RACIONALES 
 
Dividir es repartir en partes iguales!!! 
Un grupo de 6 amigos juega a las cartas con un mazo de 
52cartas. 
El juego consiste en repartir todas las cartas y dejar el resto en 
el centro de la mesa. ¿Cuántas cartas le corresponden a cada 
uno? ¿Cuántas cartas quedan en el centro?¡Tu puedes deducir 
la respuesta!¿Y si se quiere repartir pero el dividendo es 
menor que el divisor? Por ejemplo 
Ejemplo: 
Juana quiere repartir 1 barra de chocolate entre sus 3 amigos. 
Entonces Juana da un terciode chocolate a cada uno. 
 
Definición 
 
Los Números Racionales son los números que se pueden 
escribir como el cociente de dos enteros. Esto es, los que se 
pueden expresar como fracción. En símbolos 
 
Los números racionales representan partes de un todo 
Las partes sombreadas de los siguientes objetos están representadas por números 
Racionales 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Q es un conjunto denso 
 
Entre dos números racionales hay infinitos números racionales. Esta afirmación podría 
justificarse sencillamente si tenemos en cuenta que la suma de racionales es siempre otro 
racional, el promedio será otro racional y estará comprendido entre ellos. 
Podríamos continuar indefinidamente el procedimiento de promediar dos números 
racionales encontrando siempre que hay otro racional entre dos racionales por más 
próximos que estén. Por ello decimos que Q es un conjunto denso 
 
 
 
 
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NUMEROS IRRACIONALES 
 
Todos los números racionales están representados por puntos sobre la recta numérica 
pero, ¿todos los puntos de la recta son representaciones de números racionales? La 
respuesta es NO!!! Existen otros números que junto a los racionales completan a la recta 
numérica. Ellos son los números irracionales 
 
Definición 
 
Los Números Irracionales son los números que no se pueden expresar como fracción. 
En símbolos 
 
 
Convertidos a la notación decimal son números con infinitas cifras no periódicas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Operando con números irracionales 
Las operaciones de suma, diferencia, producto, cociente y potenciación de números 
Irracionales no siempre arrojan como resultado a otro irracional. Algunas veces los 
resultados son racionales!! 
 
 
 
 
 
 
 
 
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¿Y si necesitáramos expresar a los números irracionales en forma decimal? 
Usamos las primeras cifras decimales. De ese modo se obtienen valores aproximados de 
los números irracionales. Entonces siempre se comete un error al tomar la notación 
decimal de un número irracional y el error cometido es menor que 1 unidad del orden de la 
última cifra conservada. 
 
 
 
Racionalización 
Si las raíces aparecen en el denominador, en muchos casos es necesario eliminarla. A 
este proceso se lo conoce con el nombre de Racionalización de denominadores 
 
 
 
Primer Caso: Un único término con raíz cuadrada en el denominador 
Se multiplica y divide por la raíz presente en el denominador 
 
 
 
Segundo Caso: Un único término con raíz mayor que 2 en el denominador 
Se multiplica y divide por la raíz presente en el denominador elevada a un exponente 
conveniente 
 
 
 
 
 
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Tercer Caso: En el denominador suma o resta de términos que contienen raíces 
cuadradas. Se multiplica y divide por el conjugado del denominador 
 
 
 
 
NUMEROS REALES 
 
Entre los racionales y los irracionales se completa la recta numérica. Es decir ya no queda 
ningún punto sobre la recta al que no le corresponda ya sea un número racional o un 
número irracional. Es por ello que se considera que si se unen los dos conjuntos, esto es, 
Racionales más Irracionales se forma un nuevo conjunto Definición 
El conjunto de los Números Reales es la unión del conjunto de los Racionales al conjunto 
de los Irracionales. Simbólicamente 
 
 
A la recta numérica se le dice recta real pues en ella se representan a todos los números 
reales y, viceversa, todo punto de la recta es la representación de un real. 
El conjunto R también tiene la propiedad de ser denso. De acuerdo a la definición se tiene 
el siguiente cuadro: 
 
 
 
 
 
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En un diagrama de Venn, se observa la relación entre los conjuntos 
 
 
 
 
Notación científica 
Cuando manejamos números muy grandes o muy pequeños tenemos dificultad para 
interpretarlos y para introducirlos en algunas calculadoras. Es usual, para ellos, 
representarlos mediante notación científica. Se dice que un número está expresado en 
notación científica cuando se escribe como el producto de un número mayor que 1 y 
menor que 10, multiplicado por una potencia entera de diez. 
 
 
 
El conjunto R tiene estructura algebraica de Campo o Cuerpo 
 
El conjunto R tiene estructura de Campo o Cuerpo pues las operaciones de suma y 
producto de números reales cumplen los siguientes axiomas: 
Si x, y, z € R, entonces: La suma y el producto son operaciones cerradas 
 
X + y € R (x.y) € R 
 
 
 
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La suma y el producto son operaciones conmutativas 
 
x + y =y + x x.y = y.x 
 
La suma y el producto son operaciones asociativas 
 
(x+y) + z = x + (y+z) (x.y). z = x. (y.z) 
 
El producto es distributivo respecto a la suma 
x. (x+z) = x.y + x.z 
 
Existen números reales que son neutros respecto de la suma y el producto 
0 es el neutro respecto de la suma pues x+0 = x 
1 es el neutro respecto del producto pues x.1 = x 
Todos los números reales tienen opuesto y, excepto el 0, todos tienen recíproco 
– x se dice inverso aditivo u opuesto de x 
1/x se dice inverso multiplicativo o recíproco de x 
 
 
 
 
 
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Orden en el conjunto R 
 
R es un conjunto ordenado. Esto es, dados dos números reales ha y b vale una y 
solo una de las siguientes afirmaciones 
a <b, a > b o a = b 
 
Propiedades de la Igualdad en R 
 
1) Si sumamos o multiplicamos a ambos miembros de una igualdad una misma 
constante se obtiene otra igualdad 
 
Si a = b, entonces a + c = b + c 
 
Si a = b, entonces a.c = b.c 
 
 
2) Si sumamos o multiplicamos miembro a miembro dos igualdades se obtiene otra 
igualdad 
 
Si a = b y c = d, entonces a + c = b + d 
 
 
 
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Si a = b y c = d, entonces a. c = b. d 
 
 
Propiedades de la desigualdad 
 
1) Si a ambos miembros de una desigualdad se suma una misma constante , la 
desigualdad se mantiene 
 
 Si a < b, entonces a+c < b+c 
 
 
2) Si a ambos miembros de una desigualdad se multiplica por una misma constante 
positiva la desigualdad se mantiene 
 
 Si a < b y c > 0, entonces a.c < b.c 
 
 
3) Si a ambos miembros de una desigualdad se multiplica por una misma constante 
negativa la desigualdad cambia de sentido 
 
 Si a < b y c < 0, entonces a.c>b.c 
 
Intervalos 
A menudo se trabaja con subconjuntos de números reales que representan semirrectas o 
segmentos de recta. La notación de Intervalos es muy conveniente 
 
 
 
 
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Modulo o Valor absoluto de un número real 
 
El valor absoluto o módulo de un número mide la distancia desde el número al origen. 
Se denota con |a|. 
 
 
 
Propiedades 
El valor absoluto de un número es siempre mayor o igual a cero |a| ≥ 0 
Los números opuestos tienen el mismo valor absoluto |a| = |-a| 
El valor absoluto es distributivo respecto del producto |a.b|= |a|.|b| 
El valor absoluto es distributivo respecto del cociente |a:b| = |a|:|b| 
 
 
 
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La séptima operación: Logaritmo de un número real 
 
Sea a, b ∈ R +, con b ≠1. Se define logaritmo del número a en base b a aquel número n 
que es el exponente necesario al que hay que elevar b para obtener a. Simbólicamente: 
 
 
a es llamado número logaritmado, b es llamado base del logaritmo y n valor del logaritmo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Propiedades del Logaritmo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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NUMEROS COMPLEJOS 
 
Los números complejos son combinaciones algebraicas 
de números reales con números imaginarios. 
¿Por qué surgen los números imaginarios? 
Las raíces de índice par de radicando negativo no tienen 
respuesta en R. Para dar solución a este problema se 
crea el número j. 
 
 
 
Definición: 
 
 
 
Potencia enésima de la unidad imaginaria 
 
Si n Є N, al dividir n en 4 puede expresarse como n = 4. q + r, donde q es el cociente y 
r es el resto. Entonces 0 ≤ r < 4 y la potencia enésima de j se calculan como: 
 
 
 
 
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Definición 
 
Se define al conjunto de los Números Complejos como 
C = { z / z = a + bj , a Є R y b Є R } 
a se dice componente real y b se dice componente imaginaria 
El conjunto C también tiene estructura de Campo, respecto de la suma y el producto 
 
 
Las relaciones entre los conjuntos numéricos estudiados se muestran en las siguientes 
Figuras: 
 
 
 
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Todo número complejo está asociado a otros llamados opuesto y conjugado 
 
 
 
Igualdad en C 
 
Dos números complejos son iguales si y solo si sus componentes respectivas son iguales. 
Esto es: a + bj = c + dj ; a = c ˄ b = d 
 
 
 
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Operaciones en c: 
 
Propiedades del conjugado: 
 
 
 
 
 
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Representación gráfica de los números complejos 
 
Todo número complejo z = a+bj se representa en el plano mediante el punto (a,b). 
Sobre el eje horizontal se representa a la componente real del complejo, por lo que a este 
eje se lo llama eje real. Sobre el eje vertical se representa a la componente imaginaria y 
por ello se lo llama eje imaginario 0. 
 
 
 
 
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C tiene estructura algebraica de Campo o Cuerpo 
El conjunto C tiene estructura algebraica de Campo respecto de las operaciones de Suma 
y Producto pues en él se cumplen las propiedades de: 
∀z1 ,z2 ,z3 € 1 C 
La suma y el producto son operaciones cerradas 
 
La suma y el producto son operaciones conmutativas 
 
La suma y el producto son operaciones asociativas 
 
El producto es distributivo respecto a la suma 
 
Existen números complejos que son neutros respecto de la suma y el producto 
0 es el neutro respecto de la suma pues z + 0 = z 
1 es el neutro respecto del producto pues z.1= z 
Todos los números complejos tienen opuesto y, excepto el 0, todos tienen recíproco 
–z se dice inverso aditivo u opuesto de z 
1/z se dice inverso multiplicativo o recíproco de z 
 
 
 
 
 
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LOGICA MATEMATICA 
 
El razonamiento matemático se apoya en la lógica, que trabaja con proposiciones. Una 
proposición simple es cualquier afirmación de la cual se pueda decir Verdadero o Falso, 
pero no ambos 
Ejemplo: 
“Estamos en año 2009” Es una proposición 
“¿Qué día es hoy? No es una proposición 
A las proposiciones simples las denotamos con las letras p, q, r,..etc. 
Las proposiciones simples pueden generar otras proposiciones llamadas compuestas 
En ellas aparecen palabras llamadas conectivos lógicos. 
Tanto la notación como su significado están en la siguiente tabla: 
 
 
 
Los valores de verdad de las nuevas proposiciones (p, pq, pq, pq, pq, pq) 
dependen de los valores de verdad de las proposiciones simples intervinientes. 
 
En particular: 
 
 
Algunas proposiciones se refieren a conjuntos y hacen afirmaciones sobre la frecuencia 
con la que se cumple una característica en el conjunto. 
Ejemplo: 
Todos los animales son cuadrúpedos 
 
 
 
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Algunos animales son carnívoros. Estas son frases que contienen cuantificadores: 
“Todos” y “Algún/os” 
Es muy frecuente expresarlos simbólicamente, más aún cuando la frase se refiere a 
conjuntos numéricos 
Sea A la característica a la que se refiere la frase y sea x un individuo cualquiera del 
conjunto, las notaciones correspondientes figuran en la siguiente tabla_ 
 
 
 TEORIA DE CONJUNTOS 
 
 
Un conjunto es cualquier colección (finita o infinita) de 
elementos de cualquier naturaleza. Todo conjunto está 
inmerso en otro conjunto llamado Universal 
Se denotan con letras mayúsculas y a sus elementos con 
minúsculas. Es usual representarlos por medio de 
Diagramas de Venn. 
En el siguiente cuadro presentamos algunas 
Definiciones y su correspondiente notación. 
Considere en los casos correspondientes dos 
Conjuntos Ay B. 
 
 
 
 
 
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NÚMEROS PRIMOS. 
 
Sea n Є N, con n>1, n es primo si y solo si tiene exactamente dos divisores positivos: 
1 y n 
Los primeros números primos son: 2 , 3 , 5 , 7 , 11, 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , etc. 
Todo número natural puede descomponerse como producto de factores primos 
Ejemplos: 
Expresar a 750, 480 y 1734 en su forma factoreada 
 
 
 
Máximo Común Divisor 
 
Dados dos números enteros a y b. 
Al número que es divisor de ambos y es el mayor de todos los divisores comunes se le 
llama máximo común divisor (mcd). El mcd(a,b) es igual al producto de todos los factores 
primos comunes entre a y b con su menor exponente 
 
Mínimo Común Múltiplo 
 
Al número que es múltiplo de ambos y es el menor de todos los múltiplos comunes se le 
llama mínimo común múltiplo (mcm). El mcm(a,b) es igual al producto de todos los factores 
primos comunes y no comunes con su mayor exponente 
Ejemplos 
 
 
 
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EXPRESIONES ALGEBRAICAS 
 
 
Introducción 
Desde sus remotos orígenes arraigados en Egipto, Arabia y la India veinte siglos antes de 
nuestra era, el álgebra ha sido considerada un método de expresión mediante fórmulas 
que permiten simplificar los cálculos numéricos. En ese entonces los problemas 
algebraicos aparecen formulados y resueltos de una manera verbal. 
Los polinomios, se han aplicado recientemente en la transmisión de la información. 
Durante los últimos años, el tráfico de datos por medio de las “carreteras” de la 
información ha crecido enormemente. Se pretende aumentar las velocidades de 
transmisión y conservar al mismo tiempo la integridad de los datos. Un método 
desarrollado para tal fin es el PET (Transmisión Codificada con Prioridades). Con él la 
información se distribuye en diferentes paquetes. Esta distribución se determina con base 
en polinomios. 
Objetivos generales 
 
 
 
Conceptos previos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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MAPA CONCEPTUAL 
 
 
 
EXPRECIONES ALGEBRAICAS 
 
Llamamos Expresión Algebraica Real a toda combinación de letras y/o números reales 
vinculados entre sí por las operaciones de suma, resta, multiplicación y potenciación de 
exponente racional. 
Ejemplos: 
 
 
A los números intervinientes les llamamos coeficientes y a las letras variables 
 
 
 
 
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Clasificación de las Expresiones Algebraicas 
Según las operaciones que afecten a las variables, las expresiones algebraicas se 
clasifican en: 
 
 
Las Expresiones Algebraicas Racionales Enteras, también llamadas Polinomios, son 
aquellas donde las variables están afectadas por las operaciones de suma, resta, producto 
y potencia de exponente entero no negativo. 
 
Las Expresiones Algebraicas Racionales Fraccionarias son aquellas donde al menos 
una variable está afectada a un exponente entero negativo o figura en el denominador. 
 
 
Las Expresiones Algebraicas Irracionales son aquellas donde al menos una variable 
está afectada a un exponente fraccionario o figura bajo un signo de radicación. 
 
 
 
 
 
 
TEORIA DE LOS POLINOMIOS 
 
Monomios 
Es toda expresión algebraica entera en la que no intervienen las operaciones de suma y 
resta. Es decir, un monomio es un polinomio de un solo término. 
 
Grado de un Monomio 
Es la suma de los exponentes de las letras (o variables) que contiene. 
Ejemplos: 
 
 
 
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Monomios Semejantes 
 
Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal. 
Ejemplos: 
 
 
 
POLINOMIO 
 
Un polinomio es la suma de dos o más monomios. El grado de un polinomio es el grado 
del monomio de mayor grado que participa en él 
Casos particulares. 
Binomio: Es el polinomio formado por la suma algebraica de dos monomios 
Trinomio: Es aquel que es la suma algebraica de tres monomios 
Cuatrinomio: Es el polinomio formado por cuatro monomios 
Ejemplos: 
 
 
 
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Polinomio Homogéneo 
Un polinomio se dice homogéneo cuando todos sus términos son del mismo grado. 
Ejemplos: 
 
Si el polinomio es en la variable x se representa simbólicamente como: 
 
Donde: 
n Є Z, n≥ 0 se llama grado del polinomio P y se escribe n = grP(x) 
ai Є R se denominan coeficientes del polinomio 
an ≠ 0 se denomina coeficiente principal y a0 se denomina término independiente 
Ejemplos: 
 
 
 
 
 
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VALOR NUMERICO DE UN POLINOMIO 
 
 
Ejemplo: 
 
CERO DE UN POLINOMIO 
 
 
 
Polinomio Ordenado 
Un polinomio en una variable esta ordenado cuando todos sus términos están dispuestos 
de modo que los exponentes aumenten o disminuyan desde el primer término hasta el 
último. 
Ejemplos: 
 
 
Polinomio Completo 
Un polinomio en una variable está completo cuando figuran todas las potencias de la 
variable menores al grado del polinomio. 
Ejemplos: 
 
Si un polinomio está incompleto, es posible completarlo escribiendo las potencias de la 
variable que faltan con coeficiente cero. 
Ejemplo: 
 
 
 
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Polinomio Nulo 
Llamamos polinomio nulo a aquel que tiene todos sus coeficientes cero 
Se escribe P(x) = 0 y se dice de él que no posee grado. 
 
Polinomio Opuesto 
 
Esto es la suma de un polinomio con su opuesto es el polinomio Nulo 
Ejemplo: 
 
Igualdad entre Polinomios 
Dos polinomios son iguales cuando tienen el mismo grado y los coeficientes de los 
términos semejantes son iguales. 
En símbolos: 
 
 
 
 
Operaciones con Polinomios: 
 
La suma, producto y división de polinomios gozan de las mismas propiedades que las 
correspondientes operaciones entre reales. 
 
 
 
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Suma de Polinomios 
Aplicando la propiedad asociativa, se agrupan los términos semejantes y se obtiene un 
polinomio de grado menor o igual al grado del polinomio de mayor grado. 
 
Resta de Polinomios 
Se suma al polinomio minuendo el opuesto del polinomio sustraendo. 
 
Producto de polinomios 
Aplicando la propiedad distributiva y la propiedad de la potenciación de potencias de igual 
base, se obtiene un polinomio cuyo grado es igual a la suma de los grados de los 
polinomios intervinientes. 
 
 
 
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División de Polinomios Numéricos: 
 
División de monomios entre si 
El cociente de dos monomios es otro monomio cuyo coeficiente se obtiene dividiendo los 
coeficientes de los monomios dados y la parte literal es el resultado de aplicar la propiedad 
de cocientes de potencias de la misma base. El resultado no siempre es un monomio. 
Ejemplos: 
 
División de un polinomio por un monomio 
Para dividir un polinomio en un monomio se aplica la propiedad distributiva. El resultado no 
siempre es un polinomio 
Ejemplo: 
 
División de Polinomios entre si 
Sean P(x) y Q(x) dos polinomios con Q(x) ≠ 0, tal que gr P(x) ≥ grQ(x) 
Entonces existen dos polinomios únicos C(x) y R(x) tales que: 
P(x) = Q(x).C(x) + R(x) con gr R(x) < grQ(x). 
Llamaremos a P(x) dividendo, a Q(x) divisor, a C(x) cociente y a R(x) resto. 
También puede expresarse: 
 
Cuando R(x) = 0 la división es exacta por lo que P(x) = Q(x).C(x) y se dice que Q(x) es un 
factor de P(x) o que P(x) es divisible por Q(x). 
De ese modo se tendrá que: 
 
Algoritmo de la división 
Sean P(x) y Q(x) tal que grP(x) ≥ grQ(x). Para realizar la división P(x):Q(x) se procede del 
siguiente modo 
1) Ordenar en forma decreciente a ambos. Completar al dividendo 
2) Para calcular el 1º término del cociente, dividir el término de mayor grado de 
P(x) por el término de mayor grado del divisor 
3) Luego se multiplica el término del cociente recién obtenido por todos los términos del 
divisor y se coloca el resultado abajo de los términos de P(x) que le sean semejantes. 
Luego se resta y se considera este resultado, un resto parcial, como el próximo dividendo 
4) Se repiten los paso 2 y 3 
5) Detener el proceso cuando el grado del resto es menor que el grado del divisor. 
 
 
 
 
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Caso particular 
 
Si grQ(x) = 1, entonces R = constante (polinomio de grado cero). 
En particular si Q(x) es de la forma Q(x) = x – b, se puede aplicar un algoritmo más sencillo 
que se conoce con el nombre de Regla de Ruffini. 
REGLA DE RUFFINI 
 
 
 
Y un resto R que se obtienen con el siguiente algoritmo: 
1º paso: En el primer renglón se colocan los coeficientes de P(x) ordenado y completo 
2º paso: En el segundo renglón se coloca el valor “b” a la izquierda de los demás números 
ya colocados 
3º paso: En el tercer renglón se colocarán los coeficientes del cociente y el resto del 
siguiente modo: 
 
 
 
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Teorema del Resto: 
 
Al dividir P(x) en (x – b), el resto de la división es el valor numérico del polinomio P(x) 
particularizado para x = b. Esto es: R = P (b) 
 
 
 
 
 
 
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Teorema del Factor 
 
Sea P(x) un polinomio de grado n y b una constante. Se dice que 
b es un cero de P(x) ↔ (x-b) es un factor de P(x) 
Esto es equivalente a afirmar que 
b es un cero de P(x) ↔ P(x) es divisible por (x – b ) 
Observación 
Si (x-b) es un factor de P(x), entonces existe un polinomio C(x) tal queP(x) = (x-b).C(x) 
 
 
 
 
 
 
 
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Teorema Fundamental del Algebra 
 
 
Teorema sobre el Numero Cero 
 
 
 
 
 
Extensión de la Regla de Ruffini: 
 
 
 
 
 
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Extensión del Teorema del Resto 
 
 
 
 
 
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FACTOREO DE POLINOMIOS 
 
Factorear un polinomio es expresarlo como producto de polinomios primos. 
Caso particular 
 
 
Entonces p(x) puede ser factoreado en la forma 
 
P( x ) = an ( x – x1 ).( x – x2 )…( x – xn ) 
 
Donde cada binomio de la forma (x – xi) es un factor primo. 
Las estrategias de factoreo más usadas son las siguientes: 
 
Factor común 
 
Una expresión algebraica es factor común de todos los términos de un polinomio cuando 
aparece multiplicando en cada uno de esos términos. 
 
 
 
 
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Factor Común en Grupo 
 
Una expresión algebraica puede no tener un único factor común en todos los términos sino 
factores comunes distintos en cada grupo de términos. Si luego de asociar 
convenientemente se puede extraer un único factor común habremos factoreado. 
 
 
 
Diferencia de Cuadrados 
Todo polinomio que es diferencia de cuadrados es igual al producto de la diferencia de las 
bases de dichos cuadrados por la suma de las mismas, es decir: 
 
 
 
 
 
 
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Trinomio Cuadrado Perfecto 
 
 
 
Para encontrar el binomio adecuado se procede del siguiente modo: 
i) Se busca a los cuadrados y se determina a sus bases 
ii) Se comprueba que el otro término sea el duplo de las bases de dichos cuadrados 
iii) Se analizan los signos y se determina si corresponde al cuadrado de una suma o al 
cuadrado de una diferencia. 
 
 
 
Cuatrinomio Cubo Perfecto 
 
 
Para encontrar el binomio adecuado se procede del siguiente modo: 
i) Se busca a los cubos y se determina a sus bases 
ii) Se comprueba que los otros términos sean el triple del cuadrado de una base por la otra 
base alternativamente 
 
 
 
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iii) Se analizan los signos y se determina si corresponde al cubo de una suma o al cubo de 
una diferencia 
 
 
Suma o Diferencia de Potencias de Igual Grado 
 
Estos polinomios se factorean usando la suma o diferencia de las bases según 
sean.Todas las posibilidades se resumen en la siguiente tabla: 
 
 
 
 
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EXPRECIONES ALGEBRAICAS RACIONALES FRACCIONARIAS 
 
Se llama expresión algebraica fraccionaria al cociente indicado entre dos polinomios, 
siempre que el denominador no sean ni el polinomio nulo ni polinomios constantes. 
Ejemplos: 
 
 
Valor Numérico de una Expresión Algebraica Fraccionaria 
Se llama Valor Numérico de una expresión algebraica fraccionaria al número real que se 
obtiene al sustituir la variable por determinados valores. 
Ejemplo: 
 
Pero la expresión no está definida para x = 2, dado que la división por cero no existe. 
 
Se llama Dominio (Dom) de una expresión algebraica real al conjunto de valores reales 
que le podemos asignar a las variables de modo que las operaciones en las que 
intervienen sean posibles en el conjunto de los Números Reales. 
 
 
 
EXPRESIONES ALGEBRAICAS EQUIVALENTES: 
 
Dos expresiones algebraicas se dicen iguales o equivalentes cuando tienen iguales 
valores numéricos para cualquier sistema de valores asignados a sus letras. 
 
Simplificación 
Simplificar una expresión algebraica racional fraccionaria significa dividir su numerador y 
denominador por un mismo factor. 
Cuando por sucesivas simplificaciones resultan el numerador y el denominador primos 
entre sí, la expresión fraccionaria se dice reducida a su mínima expresión. 
Para facilitar el proceso de simplificación se deben factorear numerador y denominador. 
Entonces las expresiones serán equivalentes cuando una expresión se ha obtenido de otra 
tras un proceso de simplificación y esto será válido en el dominio de la expresión de 
partida. 
 
 
 
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Ejemplo: 
 
 
Operaciones entre expresiones algebraicas fraccionarias 
Se procede del mismo modo que entre números fraccionarios. 
 
Suma algebraica 
1º paso: Factorear todos los denominadores e indicar el dominio de la expresión 
2º paso: Calcular el mcm entre los denominadores 
3º paso: Aplicar el mismo algoritmo que la suma entre números fraccionarios 
 
 
 
Producto de expresiones algebraicas fraccionarias 
1º paso: Factorear tanto numeradores como denominadores, indicar el dominio de la 
expresión 
2º paso: Aplicar el mismo algoritmo que entre números fraccionarios, simplificando si es 
posible 
 
 
 
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División de expresiones algebraicas fraccionarias 
1º paso: considerar al cociente como el producto del dividendo por el inverso del divisor. 
2º paso: Factorear tanto numeradores como denominadores, indicar el dominio de la 
expresión 
3º paso: Aplicar el algoritmo del producto entre números fraccionarios, simplificando si es 
posible. 
 
 
 
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APANDICE 
 
Expresiones algebraicas enteras primas y compuestas 
 
 
Una expresión algebraica se dice prima cuando sólo es divisible por si misma y la unidad. 
Es decir no puede factorearse en el conjunto de las expresiones algebraicas con 
coeficientes reales. 
En cambio una expresión algebraica que admite otros divisores distintos de la unidad y de 
si misma se llama compuesta 
 
 
 
 
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El máximo común divisor (mcd) de dos o más expresiones algebraicas enteras se 
obtiene formando el producto de los factores primos comunes con su menor exponente. 
Se denota con mcd [A, B], donde A y B son las expresiones algebraicas consideradas. 
 
El mínimo común múltiplo (mcm) de dos o más expresiones algebraicas enteras se 
obtiene formando el producto de los factores primos comunes y no comunes con su mayor 
exponente. 
 
 
 
TRIGONOMETRÍA 
 
Introducción 
La palabra TRIGONOMETRIA proviene del griego Trigonom: triangulo y Metrom: medida. 
Entonces significa “MEDIDA DE TRIANGULOS”. 
Desde sus orígenes, la TRIGONOMETRIA estudia: las relaciones entre los lados y los 
ángulos del triangulo. 
 
 
 
 
 
 
65 
 
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Como asítambién las propiedades y las aplicaciones de las funciones trigonométricas de 
ángulos. 
 
 El estudio del tema abarca: 
 
- Trigonometría Plana, que se ocupa de triángulos contenidos en el plano. 
 
 
 
 
 
 
 
Trigonometría Esférica, que se ocupa de triángulos que forman parte de la superficie de 
una esfera. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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En la vida diaria .empleamos trigonometría? 
Con frecuencia nos encontramos con situaciones como: 
 
 
 
 
 
- determinar a que distancia del piso esta la 
ventana de un edificio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- determinar la altura de un muro - 
determinar el peso que soportan los tirantes . de lacubierta 
 
 
 
 
 
- calcular la resultante de un sistema de fuerzasEn todos los casos, para dar solución a las situaciones planteadas, aplicamos 
 
 
 
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TRIGONOMETRÍA 
 
Entonces: 
 
 
 
En esta oportunidad vamos a encarar el tratamiento del tema TRIGONOMETRÍA PLANA. 
 
Objetivos 
 
 
 
Conceptos previos 
 
 
ANGULOS 
 
Ángulo plano es la porción de plano determinada por la rotación de una semirrecta desde 
una posición inicial hasta una posición final. El origen de la semirrecta es llamado vértice 
del ángulo. 
 
 
 
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Sea O el origen de la semirrecta y sean P y Q dos puntos cualesquiera de la semirrecta en 
posición inicial y final respectivamente. 
 
Denotaremos con Q O ˆ P al ángulo, o con cualquier letra griega, por ejemplo θ, 
O al vértice y OP y OQ a las semirrectas inicial y final respectivamente. 
La medida del ángulo Q O ˆ P es la “cantidad de rotación”, respecto al vértice requerida 
para mover la semirrecta OP sobre la semirrecta OQ en sentido contrario a las agujas del 
reloj. Es en definitiva cuanto se “abre” el ángulo. 
 
Ángulos especiales 
 
 
 
 
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Sistemas de medición 
Sistema Sexagesimal Unidad: Grado sexagesimal Ej.: 30º 20' 35'' 
Sistema Circular Unidad: Radian Ej.: 2 rad. 
Sistema Centesimal Unidad: Grado centesimal Ej.: 100ºc 
Los sistemas de medición de ángulos mas usados son Sexagesimal y Circular. 
 
Sistema Sexagesimal 
La unidad es el grado, que es la 180 ava parte de un ángulo llano giro. Los submúltiplos 
son: minutos y segundos que a su vez son 60 avas partes de su anterior. 
 
 
 
De la definición se deduce que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
70 
 
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Conversión de un ángulo en grados minutos y segundos a grados y viceversa 
 
 
 
 
 
 
 
 Sistema Circular y Longitud de Arco 
En el sistema Circular o Radial la unidad de medida es el radian. 
Para precisarlo recordemos que todo ángulo con vértice en el centro de cualquier 
circunferencia determina un arco sobre la misma. Llamemos α al ángulo, r al radio de la 
circunferencia y s al arco determinado por el ángulo. 
 
 
 
 
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Se define al ángulo de 1 radian como el ángulo que determina un arco de circunferencia 
cuya longitud es igual al radio de la circunferencia. 
 
 
Para medir cualquier otro ángulo, usando como unidad de medida el radian, se debe 
contar la cantidad de veces que el arco determinado en la circunferencia lo contiene al 
radio de la circunferencia. 
 
En este caso el arco determinado por α contiene 3 radios entonces diremos que 
Α = 3 radianes = 3 rad. 
 Responde: .Si consideramos otra circunferencia con el mismo centro, la 
medida del ángulo cambia? 
El sistema Circular es el que se trabaja generalmente en la práctica ya que permite operar 
con los números Reales abstractos. 
Podemos dar el valor de los ángulos medidos en radianes usando la abreviatura rad o no 
 
Relación entre arco, radio y ángulo 
En una circunferencia de radio “r”, la longitud “s” de un arco que subtiende un ángulo 
central de α radianes es: 
 
 
 
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Relaciones de equivalencias entre los dos sistemas 
 
De la definición de radian y de grado se desprende que: 
 
 
 Para realizar equivalencias entre los sistemas usamos proporcionalidad directa: 
 
 
 
 
 
 
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De este modo se deducen los siguientes valores, también muy frecuentes: 
 
 
 
 
 
 
 
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RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 
 
Antes de definir a las seis razones trigonométricas vamos a nombrar los elementos de un 
triangulo rectángulo. 
 
 
 
Se define RAZONES TRIGONOMÉTRICAS de un ángulo agudo en un triangulo 
rectángulo a los siguientes cocientes: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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De la definición se desprende que: 
 
 
 
Dado que la hipotenusa es siempre mayor que cualquiera de los catetos se desprende 
que, en un triangulo rectángulo, para cualquiera de sus ángulos agudos se cumple que: 
 
 
 
 
 
 
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APLICACIÓN DE TRIGONOMETRÍA EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 
Otro de los conceptos que aplicamos para dar solución a las situaciones planteadas es 
elde ANGULO DE ELEVACION Y ANGULO DE DEPRESION. 
 
 
 
 
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Resolución de Triángulos Rectángulos 
 
 
 
 
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Considerando un sistema de ejes cartesianos, es 
posible representar cada una de las razones 
trigonométricas por medio de segmentos. Para ello se 
considera una circunferencia de radio unidad centrado 
en el origen de coordenadas, llamada 
“circunferencia trigonométrica”. En ella podremos 
analizar que sucede con los valores de las razones 
trigonométricas cuando el valor del ángulo está 
comprendido entre 0o y 360o (0 a 2π rad). 
De este modo podremos resolver situaciones 
problemáticas que son modeladas por triángulos 
oblicuos. 
Considere un ángulo, θ, con vértice en el origen de 
coordenadas, el lado fijo sobre el eje de las abscisas y 
el lado móvil en el primer cuadrante. 
Sea P(x, y) un punto sobre la circunferencia 
determinado por la intersección del lado móvil del 
ángulo con la circunferencia. 
 
 
 
 
 
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La proyección del punto P sobre el eje x, determina el punto Q. El triangulo POQ es un 
triangulo rectángulo con catetos de longitudes x e y. 
 
Por ala definición se tiene que: 
 
 
 
SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 
 
Los signos de las razones trigonométricas tienen que ver con las abscisas y ordenadas del 
punto P, y estas coordenadas tendrán distintos signos según en qué cuadrante este 
ubicado P. 
 
 
 
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VALORES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES. 
 
 
 
RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS 
A partir de los resultados anteriores y aplicando el Teorema de Pitágoras en el triangulo 
POQ se tiene que: 
 
 
 
de lo que se deduce que: 
 
Llamada RELACION FUNDAMENTAL O RELACION PITAGORICA. Y como: 
 
 
 
 
 
 
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Se tiene que: 
 
 
 
Además a partir de la relación (1) podemos deducir otras relaciones. 
 
 
 
Si en la expresión (1) dividimos ambos miembros por sen2 se tendrá que: 
 
 
Si en la expresión (1) dividimos ambos miembros por cos2 se tendrá que: 
 
 
 
Entonces se tienen las siguientes relaciones: 
 
 
 
APLICACIONES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 
 
Problema Directo: A partir de un determinado ángulo α, determinar el valor de las razones 
trigonométricas. 
Ejemplo: 
Si α = 20º30 determine el valor del sen α 
La calculadora debe estar preparada para trabajar en sistema sexagesimal (DEG) 
Sen 20º 30= 0,35 
 
Problema Inverso: Conocido el valor de una razón trigonométrica, queremos calcular el 
valor del ángulo. Con frecuencia se nos presenta el problema de determinar los ángulos 
 
 
 
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de un triangulo conocidos los lados del mismo, tal como se plantea en la siguiente 
situación. 
 
 
 
 
 
 
 
El estudio que sigue se basa en la simetría de los puntos de los distintos cuadrantes, 
respecto a los ejes de coordenadas y al centro. 
 
Relación entre ángulos del 1º y 2º cuadrante 
 
Sea α un ángulo del 1o cuadrante, entonces existe β del 2° cuadrante llamado 
Suplementario a α. Esto es β = 180o- α, y se tendrá que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Relación entre ángulos del 1º y 3º cuadrante 
Sea α un ángulo del 1o cuadrante, entonces existe β en el 3° cuadrante tal que 
β = 180°+ α y se tendrá que: 
 
 
 
 
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Relación entre ángulos del 1º y 4º cuadrante 
Sea α un ángulo del 1o cuadrante, entonces existe β en el 4° cuadrante tal que 
β =360°– α y se tendrá que: 
 
 
 
 
 
 
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Para la resolución de estos triángulos se emplean los siguientes teoremas: 
 
Teorema del Seno 
En cualquier triangulo, las longitudes de los lados son proporcionales a los senos de los 
ángulos opuestos correspondientes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Teorema del Coseno 
 
En cualquier triangulo ABC se tiene: 
 
 
 
 
En forma directa se emplea cuando se conocen dos lados y el ángulo comprendido pero 
también puede usarse en el caso indirecto cuando se conocen los tres lados y se desean 
calcular los ángulos del triangulo. 
 
 
 
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Una aplicación del teorema del coseno es la formula de Heron: 
 
 
 
 
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APENDICE 
 
 
Para resolver la situación planteada al inicio del capitulo, como tantas otras que se 
presentan en la vida diaria, vamos a repasar algunos conceptos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ÁNGULOS INTERIORES DE UN POLÍGONO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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TEOREMA DE PITAGORAS 
 
 
 
 
 
 
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TEOREMA DE TALES 
 
 
 
 
Como consecuencia del teorema de Tales se puede enunciar el teorema fundamental de 
 
SEMEJANZA DE TRIANGULOS. 
 
Toda paralela a uno de los lados de un triangulo, divide a los otros dos en segmentos 
proporcionales, por lo que forman un triangulo semejante al primero. 
 
 
 
 
 
 
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ECUACIONES 
 
Introducción 
En casi todas las ramas de la Matemática las ecuaciones aparecen como protagonistas 
centrales pues ellas permiten describir en forma exacta y sencilla la situación problemática 
o el fenómeno del que se esté hablando. 
En esta Unidad nos limitaremos a rever todos los tipos de ecuaciones y los métodos de 
resolución vistos en la escuela secundaria, preparándolos para poder enfrentar los temas 
de mayor complejidad en los que aparecerán otros tipos de ecuaciones definidos en 
nuevos conjuntos. Un ejemplo de ello son las ecuaciones matriciales, las que no se 
podrían resolver si no se manejan las ecuaciones sencillas y los métodos más simples de 
cálculo. 
 
Objetivos 
 
Conceptos previos 
 
 
 
 
Una ecuación es una igualdad donde figuran una o más incógnitas. 
Resolver una ecuación es encontrar el o los valores de las incógnitas que verifican la 
igualdad. A dichos valores se les llama raíces o soluciones de la ecuación. 
Ejemplos: 
 
 
 
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Clasificación de las ecuaciones de acuerdo a las soluciones 
 
De acuerdo a las soluciones las ecuaciones se clasifican en: 
 
 
 
 
Clasificación de las ecuaciones de acuerdo a las expresiones 
 
El siguiente cuadro representa la clasificación de las ecuaciones, correspondiéndose 
exactamente con la clasificación de las expresiones 
A su vez se dan ejemplos de las que se verá en este curso. 
 
 
 
 
 
 
 
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Una ecuación algebraica es una igualdad entre expresiones algebraicas en la que 
intervienen una o varias incógnitas. 
Los miembros de una ecuación son las expresiones que están a ambos lados del signo 
igual. Así, se llama primer miembro a la de la izquierda y segundo miembro al de la 
derecha. 
Ejemplo: 
 
 
 
 
 
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Un valor es solución si se verifica ala ecuación. Esto es, si se sustituyen las soluciones en 
lugar de la/s incógnitas, convierten ala ecuación en identidad. 
Ejemplo: 
 
 
 
 
 
 
Se llama así al proceso de hallar la/las solución/es de una ecuación. 
Para resolverla se transforma la ecuación dada, aplicando propiedades, en una ecuación 
equivalente de la forma x = K, cuya solución es inmediata. 
La ecuación equivalente tiene las mismas soluciones que la ecuación original. 
 
 
 
 
 
5X + 2 = -3X2 + 4 
 
 
 
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Propiedades que se aplican en la resolución de una ecuación 
 
1) Propiedad simétrica: Los miembros de una igualdad pueden conmutarse entre si 
Esto es: Si a = b entonces b = a 
 
Se aplica esta propiedad para que la incógnita aparezca en el 1er miembro de la ecuación. 
 
Ejemplo: si -3 =2 - 5y →2 - 5y = - 3 
 
2) Propiedad uniforme para la suma: Si se suma una constante, positiva o negativa, 
a ambos miembros de una igualdad, la misma se mantiene. 
Esto es: Si a = b, entonces a + c = b + c 
 
Se usa cuando se quiere eliminar un término de un miembro de la ecuación, 
posteriormente se aplica el axioma de los elementos opuestos 
 
Ejemplo: Si 2x + 3 = - 1 →2x + 3 - 3 = - 1 - 3 →2x = - 4 
 
3) Propiedad cancelativa para la suma: Si una constante, positiva o negativa, esta 
sumando en ambos miembros de una igualdad, puede cancelarse 
Esto es: Si a + c = b + c, entonces a = b 
 
 
 
4) Propiedad uniforme para el producto: Si se multiplica una constante no nula, 
positiva o negativa, a ambos miembros de una ecuación, se mantiene la igualdad. 
Esto es: Si a = b y c ≠ 0, entonces a.c = b.c 
 
Se usa cuando se quiere eliminar un factor de un miembro de la ecuación, posteriormente 
se aplica el axioma de los elementos recíprocos 
 
 
 
5) Propiedad cancelativa para el producto: Si una constante no nula, positiva o 
negativa, está multiplicando en ambos miembros de una igualdad, puede cancelarse 
Esto es: Si a.c = b.c con c≠0, entonces a = b 
 
 
 
1) Si los dos miembros de una ecuación se elevan a una misma potencia o se les 
extrae una misma raíz, siempre que este definida, la igualdad subsiste. 
 
Se aplica cuando se quiera eliminar una potencia o un radical de algún miembro de una 
ecuación: 
 
 
 
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Una ecuación lineal real en una variable es una ecuación de la forma ax+b= 0 donde a y b, 
coeficientes de la ecuación, son números reales y x es la variable. 
Toda ecuación real de primer grado en una incógnita tiene exactamente una raíz real. 
 
Ejemplo: 
 
 
 
 
 
A una ecuación lineal en una variable ax+b= 0 le podemos asociar una ecuación lineal en 
dos variablesy = ax+b. Dicha ecuación representa geométricamente una recta en el plano. 
 
 
 
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Si hacemos y = 0 en esa ecuación se obtiene la ecuación en 1o grado en una variable 
ax+b= 0. Entonces la raíz de la ecuación ax+b= 0 representa la abscisa del punto donde la 
recta y = ax+b intercepta al eje X. 
 
Ejemplo: 
La ecuacion3x - 12 = 0 tiene por raíz x = 4 
La grafica de la ecuación y = 3x - 12 intercepta el eje X en (4 , 0 ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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RESOLUCION DE ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO 
 
 
 
 
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RESOLUCION DE PROBLEMAS MEDIANTE ECUACIONES DE PRIMER GRADO* 
 
“Plantear una ecuación significa expresar en símbolos matemáticos una condición 
formulada con palabras; es una traducción de un lenguaje corriente al lenguaje de las 
fórmulas matemáticas. Las dificultades que podamos tener al plantear ecuaciones son 
dificultades de traducción. En primer lugar, hemos de comprender totalmente la condición. 
En segundo lugar, hemos de estar familiarizados con las formas de expresión 
matemática.” George Polya 
 
¿Como expresar lenguaje Matemático consignas dadas en lenguaje Coloquial? 
 
 
 
 
 
 
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Se denomina así a la consideración simultánea de dos ecuaciones de primer grado con 
dos incógnitas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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SOLUCION DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 
 
Resolver un sistema de ecuaciones lineales significa encontrar, si existen, el o los puntos 
en común que posean las rectas que intervienen en el sistema. Llamamos conjunto 
solución al conjunto de pares ordenados que verifican a todas las ecuaciones a la vez. Un 
sistema de Ecuaciones Lineales puede tener: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Son muy usados los métodos que a continuación se describen para resolver, 
analíticamente, sistemas de ecuaciones: Ellos son: método de sustitución, método de 
igualación, método de reducción y el método por determinantes 
 
Método de Sustitución 
 
Consiste en despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones y sustituir su 
expresión en la otra, la cual se transformara en una ecuación con una sola incógnita la 
cual se puede resolver. Una vez determinado el valor de dicha incógnita se obtiene, de 
inmediato, el valor de la otra al reemplazarlo en la expresión donde ella se encuentra 
despejada. 
 
 
Método de Igualación 
El método de igualación consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones e 
igualar sus expresiones, obteniendo así una ecuación con una incógnita. Una vez resuelta 
se obtiene fácilmente el valor de la otra incógnita. 
 
 
 
 
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Método de Reducción 
Consiste en lograr que una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente en las dos 
ecuaciones para que, al restarlas miembro a miembro, se elimine dicha incógnita, dando 
lugar a una ecuación con solo la otra incógnita. Se resuelve dicha ecuación y el valor de la 
incógnita se sustituye en una de las ecuaciones primitivas, y con ello se puede obtener el 
valor de la otra incógnita. 
 
 
 
 
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Método por Determinantes 
 
 
Se trabaja solamente con los coeficientes de las incógnitas y se forman los siguientes 
determinantes: 
 
 
 
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Calculo de las soluciones: 
 
 
Análisis del determinante del sistema: 
 
 
 
 
Valor de un determinante: 
 
El valor del determinante de segundo orden se encuentra por medio de la siguiente regla: 
 
 
 
 
 
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Raíces o soluciones 
 
Toda ecuación de 2° grado tiene exactamente dos raíces complejas. 
 
 
Ecuaciones cuadráticas en una y dos variables 
 
 
 
 
 
 
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Caso 1: Ecuaciones incompletas 
Llamamos ecuación incompleta de 2° grado a aquella donde b = 0 o c = 0 
En los casos donde b = 0 se llega al valor de x con solo despejar 
 
 
 
 
En los casos donde c = 0 se llega al valor de x factoreando 
 
 
 
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Caso 2: Ecuaciones completas 
 
 
- método de completar cuadrados 
- por medio de la formula general 
- usando las propiedades de las raíces 
 
METODO DE COMPLETAR CUADRADOS 
 
Este método consiste en convertir a una expresión que posee un término cuadrático y uno 
lineal, como mínimo, en una expresión que contenga un trinomio cuadrado perfecto y que 
posteriormente se podrá factorear 
 
Ejemplo: 
 
 
 
 
 
 
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- Queda formado un trinomio cuadrado perfecto donde x puede despejarse de dos modos 
distintos 
 
 
CALCULO DE LAS RAICES POR LA FORMULA de BHASKARA 
 
 
 
que se emplea para determinar las raíces de la ecuación. En esta fórmula se observa que 
las soluciones dependen del signo del radicando presente en la misma. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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NATURALEZA DE LAS RAICES 
 
 
 
 
 
 
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Usando las propiedades de las raíces se puede factorear el polinomio cuadrático como así 
también encontrar las raíces en caso de ser desconocidas. 
 
 
 
 
 
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Esto nos permite factorear el trinomio presente en el primer miembro de la ecuación, los 
que sean cuadrados perfectos y los que no 
 
 
 
 
 
 
Esta propiedad se aplica para la resolución de las ecuaciones de manera mental, 
buscando dos números que sumen –b y que multiplicados arrojen el resultado c 
 
 
 
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APLICACIONES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Se llaman así a las ecuaciones poli nómicas de 4°que presentan la siguiente forma: 
 
Este tipo de ecuaciones, como cualquier ecuación polinómicas de 4° grado, tiene 
exactamente cuatro raíces, que pueden ser todasreales, dos reales y dos complejas, o 
todas complejas. 
 
 
 
 
 
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Son todas las ecuaciones donde las incógnitas aparecen al menos una vez bajo el signo 
de radicación. La resolución se basa en la aplicación de las propiedades de las 
operaciones de los números reales, especialmente las de la radicación y/o potenciación. 
 
 
 
 
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Las ecuaciones exponenciales más sencillas son de la forma 
 
Para resolver ecuaciones exponenciales, en algunas oportunidades se puede aplicar 
propiedades de la potenciación, pero en todos los casos se puede aplicar las propiedades 
de los logaritmos. Ambas se detallan a continuación 
 
 
Propiedades: 
 
Igualdad entre potencias de la misma base: Si dos potencias con la misma base son 
iguales, entonces los exponentes también deben serlo: 
 
 
Propiedad uniforme del logaritmo: si en una igualdad se aplica logaritmo de la misma 
base miembro a miembro, la igualdad se mantiene 
 
 
 
 
 
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Las ecuaciones logarítmicas más sencillas presentan la forma: 
 
 
 
 
 
 
 
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Un sistema de ecuaciones exponenciales (o logarítmicas) es un conjunto de ecuaciones 
exponenciales (o logarítmicas) cuyas soluciones comunes se pretende hallar. También 
pueden presentarse sistemas de ecuaciones mixtos, o sea sistemas integrados por 
ecuaciones exponenciales, logarítmicas y/o algebraicas. 
 
 
 
 
 
 
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Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran relaciones 
trigonométricas, verificables para cualquier valor permitido de la variable o variables que 
se consideren (es decir, para cualquier valor que pudieran tomar los ángulos sobre los que 
se aplican las relaciones). 
Estas identidades son útiles para: 
- simplificar expresiones que incluyen funciones trigonométricas 
- en el cálculo de integrales de funciones no-trigonométricas 
Las identidades más importantes son las siguientes: 
 
 
 
 
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Dichas identidades sirven para probar otras. El método de demostración más usual 
consiste en partir de un miembro de la igualdad y llegar al otro miembro. 
 
 
Resolver una ecuación trigonométrica en el intervalo [0 , 2 π ] es encontrar todos los Las 
ecuaciones trigonométricas son aquellas donde la/s incógnitas son ángulos. 
Ángulos menores o iguales a un giro que verifican la ecuación. 
Las estrategias a emplear son diversas. La elección del método depende de la ecuación 
en sí. A continuación damos ejemplos de algunos casos típicos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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a) Ecuaciones que se puede expresar usando una única razón trigonométrica 
 
b) Ecuaciones que se pueden resolver como una ecuación cuadrática 
 
 
 
 
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c) Ecuaciones que se pueden resolver factoreando 
 
 
 
 
 
 
 
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FUNCIONES 
 
Introducción 
 
Uno de los conceptos matemáticos más útiles es el de función. A estas alturas el 
estudiante ya está familiarizado con ellas. El propósito de este capítulo es repasar las 
definiciones y características de las funciones matemáticas más elementales y resaltar su 
importancia debido a las aplicaciones en las ciencias. 
Ejemplos: 
 
1) En la factura de energía eléctrica se prevé el pago de $26 por concepto de impuestos y 
$2,50 por cada KWh consumido. ¿Cuánto se debe pagar si se consumen 320KWh? 
Esta es una correspondencia entre el consumo de energía eléctrica (en KWh) y el costo 
(en $) 
 
2) Ramiro conduce su automóvil a una velocidad constante de 1.000 m/min. ¿Cuál es el 
espacio recorrido por el móvil al cabo de 10 minutos? 
En este ejemplo se hace corresponder al espacio (en m) recorrido por el móvil con el 
tiempo (en min) transcurrido. 
 
3) Un compañía de teléfono posee el número gratuito 0800737842467 que corresponde a 
0800SERVICIOS. Otro de sus teléfonos disponibles es 080025436837 que es fácil de 
recordar pues corresponde a 0800CLIENTES. ¿Qué número habrá que marcar para 
comunicarse con 
0800VENTAS? ¿Qué palabra corresponderá a 08002667727? 
Esta es una correspondencia entre números y letras. 
 
Objetivos generales 
 
 
 
Conceptos previos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
143 
 
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Par ordenado 
 
Se llama par ordenado de números reales a dos números reales dados en un cierto 
orden. 
Notación: Al par ordenado formado por los números x e y , en ese orden, se lo representa 
entre paréntesis: ( x , y ) 
Se dice que x es la primera componente e y es la segunda componente 
Se representan en un sistema de ejes formado por dos rectas perpendiculares. Dichos 
ejes reciben el nombre de ejes coordenados Es usual disponer los valores de x en el eje 
horizontal y los valores de y en el eje vertical. Al punto de intersección le llamamos origen 
de coordenadas. 
Cada par ordenado está representado por un punto del plano y recíprocamente, cada 
punto del plano tiene coordenadas que se representan por un par ordenado. 
 
Notación: 
 
Los puntos se suelen representar con letras mayúsculas seguidos del par ordenado 
formado por sus coordenadas. Ejemplos: A(-1, 2) ; B(3,0) 
Para ubicar un punto en el plano conocidas sus coordenadas se deben seguir los 
siguientes pasos 
1) A partir del origen de coordenadas desplazarse sobre el eje horizontal tantas unidades 
como indique la 1o componente (hacia la derecha si es positiva y hacia la izquierda si es 
negativa). Este dato es la abscisa del punto. Si su valor es cero significa que el punto 
pertenece al eje Y 
2) A partir de allí, marcamos hacia arriba (si es positivo) o hacia abajo (si es negativo) el 
valor de la 2° componente del par. Este dato es la ordenada del punto. Si su valor es 0 
(cero) no desplazarse. Si su valor es cero significa que el punto pertenece al eje X 
3) Queda así ubicado el punto A(x,y) en el plano. 
 
 
 
 
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Producto Cartesiano 
 
Sean dos conjuntos A y B. Se define Producto Cartesiano A x B como: 
A x B = {( x , y) / x Є A e y Є B } 
Esto es, el producto cartesiano AxB está formado por todos los pares ordenados que se 
pueden formar de tal modo que la 1° componente pertenece a A y la 2° componente 
pertenece a B. 
Si los conjuntos son finitos, el resultado de A x B se podrá enumerar, en caso contrario 
solo se podrá representar de modo general 
 
 
 
 
 
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A las correspondencias entre los elementos dedos conjuntos las llamamos Relaciones 
Binarias 
 
 
 
Dados dos conjuntos A y B se dice que R es una relación entre A y B si es cualquier 
subconjunto del producto cartesiano A x B 
En símbolos R⊆AXB 
Caso particular A = B = ℝ 
 
 
 
 
 
 
 
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En esta oportunidad vamos a recordar el tema de funciones definidas en R. 
 
 
 
En los dos primeros ejemplos se vinculan cantidades fijas y cantidades a determinar. A las 
primeras llamaremos constantes y a las segundas variables. 
A su vez en cada uno de los problemas consideramos dos variables, consumo de energía 
y monto a pagar; espacio recorrido y tiempo trascurrido. 
En el primer caso observe que el monto a pagar depende de la energía consumida. 
Diremos que el monto a pagar es la variable dependiente y el consumo de energía es la 
variable independiente. 
Del mismo modo es claro que, en el caso del vehículo que se desplaza a una velocidad 
constante, el espacio recorrido dependerá del tiempo transcurrido. 
La variable dependiente será el espacio recorrido y la variable independiente será el 
tiempo transcurrido. 
Vemos que en estos problemas podemos responder a las preguntas porque cada valor de 
la variable independiente le corresponde un único valor de la variable independiente. 
Sin embargo, en el último ejemplo esto no sucede. Si las variables son números y letras 
del teclado del teléfono se ve claramente que a cada número le corresponde más de una 
letra, por lo que no podemos responder a la segunda de las preguntas. 
Analizaremos solo aquellas relaciones que hacen corresponder a cada valor de la variable 
independiente con un único valor de la variable dependiente. 
 
Conceptos generales 
 
Definición: Dados dos conjuntos no vacios A y B, se llama FUNCIÓN de A en B a una 
correspondencia tal que a cada elemento del conjunto A le asigna un único elemento del 
conjunto B. 
 
 
 
 
 
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Notación: 
Es usual designar con “x” a cualquier elemento del conjunto de partida y con “y” a 
cualquier elemento del conjunto de llegada. Se dice que “x” es la variable independiente 
y que “y” es la variable dependiente 
 
A las funciones se les llama f, g, h, etc y se indica 
 
f : A →B o f : y = f(x) 
 
Esta ultima notación se lee “y es función de x” o “y es imagen de x por medio de f” 
Si A y B son subconjuntos de números reales se dice que las funciones son FUNCIONES 
ESCALARES o NUMERICAS
 
En diagramas de Venn, la identificación de las funciones es sencilla 
 
 
El caso a) no es función pues se observa que hay un elemento de A a quien le 
corresponde dos elementos de B. Pero los casos b) y c) si lo son pues cumplen la 
definición Dominio y Rango de una función: 
 
Sea y = f(x) una función 
 
Llamamos Dominio de f (Dom f) al conjunto de valores que puede tomar la variable 
independiente 
 
Llamamos Rango de f (Rgo f) al conjunto de valores que puede tomar la variable 
dependiente 
 
 
 
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En cuanto a las funciones expresadas por fórmulas se distinguen dos formas: 
 
Forma explicita 
 
Se dice que una función está en su forma explícita cuando las variables x e y, están 
relacionadas por una ecuación de la forma: y = f(x). 
Ejemplo: y = 2x 
 
Forma implícita 
 
Se dice que una función está en su forma implícita cuando las variables x e y, están 
relacionadas por una ecuación de la forma F(x, y) = 0 
Ejemplo: 3x + y - 5 = 0 
 
En cuantos a las funciones expresadas en notación de conjuntos se distinguen dos 
formas: 
 
Por enumeración o extensión: 
 
Cuando se enumeran todos los pares de valores relacionados por medio de la función 
Ejemplo: f {(1,2),(2,4),(3,6),(4,8)} 
 
Por propiedad o comprensión: 
 
Cuando se indica mediante una formula la propiedad que cumplen los pares (x,y) 
Ejemplo: f {(x, y)/ y = 2x} 
 
En cuantos a las funciones dadas por tablas 
 
Estas son prácticas si son pocos los datos; de lo contrario serian tablas muy grandes y 
difíciles de manejar a menos que se disponga de un programa informático para graficar. 
 
 
 
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Respecto de las formas gráficas 
 
Se pueden representar por medio de Diagramas de Venn y Gráficos cartesianos 
La grafica en diagramas de Venn sería posible pues son pocos los valores, de lo contrario 
no es una representación práctica 
 
 
 
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Si toda recta vertical corta a la grafica de una relación en uno y solo un punto, entonces la 
relación es función. 
 
 
 
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En distintas circunstancias se hace necesario conocer la intersección de la grafica de f con 
los ejes coordenados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Intersección con el eje de las abscisas: Ceros de la función 
 
Son los puntos de la forma P(x; 0) de la grafica. Pueden o no existir. A los valores de x que 
satisfacen esta condición se les llama ceros de la función 
Entonces surge la siguiente definición: 
x = a es un cero de f si y solo si f(a) = 0 
 
Intersección con el eje de las ordenadas: f(0) 
 
Es el punto Q(0 ; y) de la grafica. Puede o no existir. Al valor de y que satisface esta 
condición se le llama f(0) (se lee f de cero. 
 
 
 
 
Se dice que la función y=f(x) es creciente en el intervalo (a, b) si se cumple que: 
 
 
 
 
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Se dice que una función y= f(x) es decreciente en el intervalo (a, b) si se cumple que: 
 
 
 
 
 
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Se dice que la función f alcanza un máximo absoluto en el punto a del dominio si para 
todo x perteneciente al mismo, x ≠ a, la imagen de x es menor que la de a. 
Simbólicamente escribimos: 
 
 
 
 
 
 
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En el curso de nivelación para ingresar a la Universidad Tecnológica Nacional, Facultad 
Regional Tucumán, consideramos pertinente repasar en particular a las siguientes: 
 Funciones Algebraicas Racionales Enteras (o polinomiales) 
 Función constante 
 Función lineal 
 Función cuadrática 
 Funciones definidas por tramos 
 
 
 
 
 
 
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 - Se observa que si x = 0, entonces y = b. Por lo tanto la grafica pasa por el punto (0,b) . 
Se deduce que b es la ordenada del punto donde la recta corta el eje Y, por ello el nombre 
de ordenada al origen 
 
 
 
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- Observando la siguiente tabla de valores se deduce que cada vez que a “x” se le 
aumenta una unidad, “y” varia m unidades. Esto es, m representa la variación (aumento o 
disminución) de la variable dependiente por cada unidad que aumenta la variable 
independiente. A m se le llama pendiente, dado que está relacionada con la inclinación de 
la recta. 
 
Al único cero de la función lineal, se le llama abscisa al origen y se le representa con la 
letra a .Se deduce que a es la abscisa del punto (a,0). 
 
 
 
 
La recta, representación grafica de la función lineal, se puede obtener mediante dos 
procedimientos: 
i) Conociendo P1 y P2, puntos de paso: Dado que por dos puntos pasa una única