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ESTUDIO DE LA DINÁMICA DE VORTICIDAD
EN EL FLUJO ESTABLE ALREDEDOR DE UN
CUERPO AHMED
POR
SERGIO DAVID LOBO BOLAÑO
TRABAJO DE GRADO
PRESENTADO AL DEPARTAMENTO DE
INGENIERÍA MECÁNICA
PARA OPTAR POR EL TÍTULO DE
INGENIERO MECÁNICO
DIRECTOR
JOSÉ RAFAEL TORO GÓMEZ
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
COLOMBIA
15/12/2016
ii
Agradecimientos
Quisiera agradecer a Dios por las oportunidades que me ha brindado.
También a mi mamá quien siempre me ha apoyado. A los profesores Toro,
Andrés Gonzalez y Omar López, por enseñarme y guiarme por el bello camino
de la mecánica de fluidos y la termodinámica. También, a Maria, pues su
ayuda fue fundamental en el desarrollo de este documento.
iii
iv
Índice general
1. Introducción 1
2. Descripción del Caso 3
3. Dinámica de la Vorticidad 5
3.1. Vorticidad y Velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.2. Evolución de la vorticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2.1. Amplificación y pliegues . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2.2. Reconexión de Vórtices . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.3. Topoloǵıa de lineas de corriente sobre superficies y cortes trans-
versales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4. Resultados y Análisis 13
4.1. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.2. Regiones de Estudio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.2.1. Región I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.2.2. Región II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
v
vi ÍNDICE GENERAL
4.2.3. Región III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.3. Análisis - Abstracción del flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5. Conclusiones 43
Índice de figuras
2.1. Modelo Ahmed, dimesiones originales [1]. El modelo usado
está a una escala 1:2 y solo se modeló la mitad izquirda a la
ĺınea punteada por simetŕıa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3.1. Velocidad inducida por vorticies. Vortices curvos en 3D indu-
cen velocidades auto-inducidas. [2] . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2. Amplificación y pliegue de vortices [2] . . . . . . . . . . . . . . 9
3.3. Reconección de vortices [2] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.4. Tipos de puntos cŕıticos en un capo direcional de 2D, en donde
p y q son parámetros usados para categorizar la forma del
campo alrededor del punto cŕıtico, y están relacionadas con la
variable del campo en un sistema de coordenadas centrada en
el punto cŕıtico. [3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.5. Ejemplos de esqueletos topológicos [17] . . . . . . . . . . . . . 12
4.1. Vorticidad en la dirección Y sobre planos cercanos a la cara
frontal del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.2. Vorticidad en la dirección Z en planos cercanos a la cara frontal
del modelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.3. Vorticidad en la dirección X sobre planos cercanos a la cara
frontal del modelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
vii
viii ÍNDICE DE FIGURAS
4.4. Ĺıneas de vorticidad sobre la supoerficie del cuerpo Ahmed. . . 17
4.5. Vista inferior de las lineas de vorticidad cerca a la cara fron-
tal del cuerpo Ahmed (Se observa además un contorno de la
velocidad en la dirección X) en y = 0,10m . . . . . . . . . . . 18
4.6. Punto cŕıtico cerca del borde . Ĺıneas de vorticidad, el plano
del contorno se ubica en x = 0,445m . . . . . . . . . . . . . . 18
4.7. Vorticidad en la dirección Y en un plano que pasa por el so-
porte cilindrico. x = 0,41m. // Lineas de vorticidad. . . . . . 19
4.8. Regiones de vorticidad en la dirección Y vista en planos a tres
diferenetes distancias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.9. Ĺıneas de vorticidad en la Región II. . . . . . . . . . . . . . . 20
4.10. Lineas de vorticidad en la región II. . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.11. Vorticidad en la dirección X a distintos cortes en la Región III 22
4.12. Vorticidad en X en la estela del modelo. . . . . . . . . . . . . 22
4.13. Lineas de vorticidad en la parte posterior y estela del modelo. 23
4.14. Lineas de corriente en la estela del modelo. Se observan clara-
mente la aparición de un vortice toroidal y de otro linear que
sale del borde superior. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.15. Vista esquemática de la estructura en la estela del cuerpo Ah-
med [4]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.16. Evolución de las ĺıneas de vorticidad sobre la estela del veh́ıcu-
lo en planos transversales a X. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.17. Esqueleto topológico en la región I en x = 0.45 m. . . . . . . . 27
4.18. Esqueleto topológico en la región II en x = 0.41 m atravesando
los soportes ciĺındricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
ÍNDICE DE FIGURAS ix
4.19. Esqueleto topológico en la región II después del soporte en x
= 0.38 m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.20. Puntos de silla medios (half-saddle point) S’ sobre la pared del
cuerpo [3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.21. Esqueleto topológico en x = 0.32 m. . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.22. Esqueleto topoógico en x = 0.25 m. . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.23. Esqueleto topológico en x = 0.20 m. . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.24. Comportamiento del flujo en la estela de un cuerpo Ahmed a
distintos ángulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.25. Ĺıneas de corriente en la estela del modelo a diferentes distan-
cia en el eje Z. La superior está en Z = 0.087 m y la inferior
en 0.044 m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.26. Esqueleto topológico en x = 0.044 m . . . . . . . . . . . . . . 34
4.27. Estructura de la estela en términos de lineas de corriente en
3D [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.28. Esqueleto topológico en x = 0..002 m. . . . . . . . . . . . . . . 36
4.29. Puntos cŕıticos del campo de vorticidad en 2D sobre planos
transversales a la dirección X. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.30. Esqueleto topológico en x = -0.025 m . . . . . . . . . . . . . . 37
4.31. Esqueleto topológico en x = -0.07 m . . . . . . . . . . . . . . 38
4.32. Esqueleto topológico en x = -0.15 m . . . . . . . . . . . . . . 39
4.33. Esqueleto topológico en x = -0.22 m . . . . . . . . . . . . . . 40
4.34. Esqueleto topológico en x = -0.30 m . . . . . . . . . . . . . . 41
x ÍNDICE DE FIGURAS
Índice de tablas
2.1. Dimensiones reales del modelo simulado . . . . . . . . . . . . 4
4.1. Reigiones de estudio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
xi
xii ÍNDICE DE TABLAS
Nomenclatura
Γ Circulación
~V Velocidad
u, v, w componentes de la velocidad
ω Vorticidad
ν viscosidad cinemática
ρ Densidad
D
Dt
Derivada total, material
× Producto cruz
· Producto punto
† Transpuesta
∇ Operador Grad
�ijk Śımbolo de Levi Civita
∇× Operador Curl
p Presión
xiii
xiv ÍNDICE DE TABLAS
Caṕıtulo 1
Introducción
La forma usual de describir un flujo es por medio de su campo de velo-
cidad y de presión. Es por esto que la mayoŕıa de solvers usados en CFD
usan este acercamiento para simular y calcular flujos. La velocidad es en-
tonces la cantidad que caracteriza el flujo cuya evolución se describe por las
ecuaciones de Navier-Stokes acopladas con la ecuación de continuidad. En
esta perspectiva, la vorticidad es un producto del campo de velocidad, parti-
cularmente, su rotacional. Sin embargo, podemos entender un flujo también
en términos de su vorticidad directamente, y viendo el campo de velocidad
como un resultado inducido por el campo de vorticidad.
Este acercamiento permite entender mejor la dinámica del flujo, es decir,
proporciona más información en cuanto a los mecanismos que impulsan al
flujoa ser como es. Particularmente, el estudio de simulaciones proporciona
información detallada sobre la estructura y la dinámica de un flujo, esto a su
vez ayuda a entender mucho mejor la f́ısica fundamental que encierra el flujo,
aśı como permitir el diseño de artefactos que interactúen apropiadamente con
los vórtices.
Tomar el acercamiento de la vorticidad también puede ser muy provechoso
e instructivo en la descripción de flujos a altos números de Reynolds. La razón
principal es que, como se verá más adelante, la vorticidad no puede crearse
o destruirse en el interior de un fluido homogéneo en condiciones normales,
y puede crearse solo en fronteras [5]. Además, la forma en la que una ĺınea
de vorticidad se mueve en el flujo permite en varias ocasiones tener una idea
1
2 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
cualitativa de cómo se distribuye la vorticidad en el fluido a partir de las
condiciones de frontera.
En este sentido, estudiar el flujo alrededor de un veh́ıculo es impulsado por
numerosas razones, siendo la disminución del arrastre o la sustentación las
principales de ellas. Sin embargo, un conocimiento detallado de la dinámica
del flujo permitiŕıa comprender los mecanismos que afectan el arrastre y la
sustentación, permitiendo aśı desarrollar estrategias y diseños efectivos que
ataquen problemas espećıficos.
El uso de simulaciones numéricas permite disminuir los costos en diseño
de automóviles pues es un complemento importante de resultados obtenidos
experimentalmente en túneles de viento. Sin embargo, para convertirse en
una alternativa completamente, las simulaciones deben demostrar su habili-
dad para reproducir con precisión los fenómenos elementales que se observan
en formas geométricas sencillas en pruebas en túneles de viento. Es por esta
razón, que en este documento se usará como modelo el denominado cuerpo
Ahmed [6], el cual es un modelo de carro simplificado pero cuya geometŕıa
permite obtener elementos caracteŕısticos en el flujo alrededor de automóvi-
les.
Siendo aśı, a partir de una solución RANS de las ecuaciones de Navier-
Stokes se buscará entender y describir el flujo alrededor de un cuerpo Ahmed
en términos del campo de vorticidad, puesto que como se mencionó anterior-
mente, a partir de la vorticidad se pueden entender más claramente algunos
mecanismos que caracterizan a un flujo.
El objetivo de este trabajo es entonces familiarizarse con la descripción
de flujos en términos del campo de vorticidad, en particular, describir el flujo
alrededor de un modelo Ahmed en condiciones estacionarias. Para lograr
este objetivo, se estudiará con detenimiento la dinámica de la vorticidad y a
partir de representaciones gráficas de los datos de la solución, se abstraerán
las caracteŕısticas principales de forma del campo de vorticidad.
Caṕıtulo 2
Descripción del Caso
Para este trabajo se usan los resultados del modelo computacional en
Ansys Fluent de Daniel Sebastián Velasco. Las dimensiones reales del cuerpo
Ahmed se muestran en la Figura 2.1, en la simulación realizada, se usó un
modelo escalado a la mitad en todas las dimensiones, además, la región de
simulación solo consta de la mitad del veh́ıculo, cortado por la ĺınea punteada
que se observa para reducir tiempo de computación puesto que el modelo es
simétrico a lo largo de este plano.
Figura 2.1: Modelo Ahmed, dimesiones originales [1]. El modelo usado está
a una escala 1:2 y solo se modeló la mitad izquirda a la ĺınea punteada por
simetŕıa.
Se simulan condiciones de túnel de viento, la velocidad se mantiene cons-
tante con un valor de 17 m/s. Es una simulaciòn RANS con modelo tur-
bulento k − �. Las dimensiones reales del modelo se muestran en la Tabla
3
4 CAPÍTULO 2. DESCRIPCIÓN DEL CASO
2.1.
Alto 0.144 m
Ancho 0.194 m (el modelo computacional
tiene solo 0.097 m)
Largo 0.522 m
Alto de soportes 0.025 m
Diámetro de soportes 0.015 m
Distancia entre soportes 0.235 m
Ángulo trasero 35 °
Tabla 2.1: Dimensiones reales del modelo simulado
El fluido utilizado en la simulación es naturalmente aire en condiciones
estándar. La región de simulación es suficientemente grande para despreciar
la interferencia de las paredes a excepción del piso que es donde se apoya el
modelo. El flujo se mueve la dirección −~i
Caṕıtulo 3
Dinámica de la Vorticidad
3.1. Vorticidad y Velocidad
La cantidad que probablemente más importa en la mecánica de fluidos
es la velocidad. Una cantidad derivada de ésta y también importante es su
gradiente. Sea el vector velocidad ~V = uî + vĵ + wk̂, entonces, el gradiente
de ~V es (
∇~V
)
ij
=
∂Vi
∂xj
(3.1)
En donde i ∈ {u, v, w} y j ∈ {x, y, z}. El gradiente de la velocidad es
un tensor, y como tal, puede descomponerse en una parte simétrica y otra
antisimétrica [7] de la siguiente forma:
∇~V = ~S + ~Ω (3.2)
La parte simétrica ~S es el operador tasa de deformación el cual se define
por
~S =
∇~V + (∇~V )†
2
(3.3)
5
6 CAPÍTULO 3. DINÁMICA DE LA VORTICIDAD
Por otra parte, la parte antisimétrica ~Ω llamada el operador rotación o
tensor de vorticidad es
~Ω =
∇~V − (∇~V )†
2
(3.4)
La dos contribuciones a la mano derecha de la ecuación 3.2 constituyen
una deformación pura y una rotación de cuerpo ŕıgido. En la deformación
pura, elementos de linea son extendidos o contráıdos, y las esferas son defor-
mados en cuádricas con ejes principales a lo largo de los vectores propios de
~S [8].
El operador rotación está directamente relacionado con la vorticidad, la
cual se define como el rotacional de la velocidad
~ω = ∇× ~V
Puede mostrarse que el operador rotación puede escribirse en términos
del vector vorticidad como [7]
Ωij = −
1
2
�ijkωk (3.5)
De tal forma que en la rotación de cuerpo ŕıgido, los elementos de linea
permanecen con longitud constante y las esferas permanecen siendo esferas
mientras rotan con una velocidad angular (I.3.5 de [9])
~Ω =
1
2
~ω
Entonces vemos que la vorticidad está relacionada con una rotación, o
velocidad angular local del fluido. Como se mencionó anteriormente, la vor-
ticidad se define como: ~ω = ∇ × ~V . Por lo tanto, cada punto en el fluido
tiene asociado un vector vorticidad, y el espacio completo del fluido puede
ser pensado como cubierto por lineas de vorticidad (vortex lines) las cuales
son tangentes en todos los puntos a los vectores de vorticidad. Estas lineas
de vorticidad representan los ejes locales de giro de las part́ıculas de fluido en
cada punto. En dos dimensiones, la vorticidad es la suma de las velocidades
angulares de cualquier par de ĺıneas mutuamente perpendiculares e infinite-
simales que pasen por el punto en cuestión. Para rotación de cuerpo ŕıgido,
3.2. EVOLUCIÓN DE LA VORTICIDAD 7
cada linea perpendicular al eje de rotación tiene la misma velocidad angular,
por lo tanto la vorticidad es la misma en cada punto e igual a dos veces la
velocidad angular [10].
La velocidad inducida por la vorticidad ω que ocupa el volúmen U se
calcula a partir de la ley de Biot-Savart:
~V (~x, t) =
1
4π
∫
U
~ω × (~x− ~r)
|~x− ~r|3
(3.6)
Las velocidades inducidas por estructurales vorticales en 2 y 3 dimensio-
nes se muestran en la figura 3.1. Algo importante es la aparición de velocida-
des auto-inducidas en vorices curvileneos en 3D, las cuales son responsables
de movimiento tipo leapfrog por ejemplo, en lo anillos de vorticidad (puede
verse: https://www.youtube.com/watch?v=SPBMEXX5xBI).
Figura 3.1: Velocidad inducida por vorticies. Vortices curvos en 3D inducen
velocidades auto-inducidas. [2]
3.2. Evolución de la vorticidad
Cuando no existen factores que producen torques, la dinámica de fluidos
se puede interpretar geométricamente en términos de las leyes de Helmholtz
[10]:
https://www.youtube.com/watch?v=SPBMEXX5xBI
8 CAPÍTULO 3. DINÁMICA DE LA VORTICIDAD
Las ĺıneas de vorticidad nunca terminan en el fluido. Ellas forman ca-
minos cerrado o terminan en las fronteras, y la circulación es la misma
para cada contornoencerrado por la linea de vorticidad.
Una linea del fluido (linea fluida o material [5]) que en cualquier instante
de tiempo coincide con una linea de vorticidad coincidirá con una linea
de vorticidad para siempre. (las lineas de vorticidad son, como fueron,
congeladas al fluido.)
En una ĺınea de vorticidad, la razón entre vorticidad y el producto entre
la densidad del fluido y la longitud de la ĺınea permanece constante al
pasar el tiempo (ω/lρ). Por lo tanto, si la linea de vorticidad es estirada,
la vorticidad se incrementa.
En general, śı existen factores que generan torque, siendo las fuerzas vis-
cosas uno de ellos. Para conocer entonces cómo evoluciona la vorticidad en
un fluido no ideal es necesario incluir la viscosidad. La ecuación de evolu-
ción de la vorticidad se obtiene al aplicar el rotacional a las ecuaciones de
Navier-Stokes, en un fluido incompresible
D~V
Dt
= −∇p
ρ
+ ν∇2~V (3.7)
El rotacional de la ecuación 3.7 es
D~ω
Dt
= ~ω · ∇~V + ν∇2~ω (3.8)
El lado derecho de la ecuación 3.8 contiene dos términos. El primer
término, ~ω · ∇~V , puede descomponerse en una parte paralela ~ω · ∇~V‖ y otra
perpendicular ~ω · ∇~V⊥ al vector vorticidad. La parte perpendicular se encar-
ga de rotar el vector vorticidad, y la parte paralela se encarga de alargar o
acortar su magnitud |~ω|[11]
3.2. EVOLUCIÓN DE LA VORTICIDAD 9
Figura 3.2: Amplificación y pliegue de vortices [2]
3.2.1. Amplificación y pliegues
El efecto de la amplificación del primer término puede entenderse fácil-
mente si consideramos una linea de vorticidad alineada con la dirección X
ωx > 0. Si tal linea se encuentra en un área de estiramiento del fluido
∂u
∂x
> 0,
el término ωx
∂u
∂x
es positivo. Como resultado, Dωx
Dt
> 0, lo que conlleva al incre-
mento de la vorticidad ωx. Puede mostrarse anaĺıticamente que el crecimiento
de vorticidad puede llegar a infinito sin la presencia de efectos viscosos. El
crecimiento en la vorticidad causado por el término de amplificación inv́ıscida
es contrabalanceado por el término difusivo. Los dos términos al lado derecho
de la ecuación 3.8 compiten entre śı.
En el flujo sin viscosidad la circulación de un tubo de vorticidad es cons-
tante Γ =
∫
S
ωxdS = Const[5], el incremento de ωx resulta en la disminución
del área transversal S. El tubo se vuelve más delgado. La difusión actúa en
contra y hace al tubo más grueso. En algunas regiones del flujo puede que la
amplificación sea más fuerte que la difusión, entonces, el tubo de vorticidad
delgado pierde estabilidad y se pliega[12] (figura 3.2). Como muestra Chorin
[13], el plegamiento es un mecanismo necesario para prevenir el crecimiento
exponencial de la vorticidad, de hecho, al estirarse los vórtices, su magnitud
se incrementa y su sección transversal disminuye, de tal forma que la enerǵıa
asociada con ellos creceŕıa a menos que los vórtices se acomodaran de tal
forma que la velocidad inducida por ellos se cancele, y el plegamiento logra
10 CAPÍTULO 3. DINÁMICA DE LA VORTICIDAD
tal cancelación [12].
3.2.2. Reconexión de Vórtices
Consideremos el anillo de vorticidad en la figura 3.3. Dado los movimien-
tos convectivos o la influencia de vórtices vecinos, el anillo de vorticidad se
deforma. Debido a la auto-inducción, dos lados opuestos del anillo se unen.
Tan pronto como dos elementos con diferente signo de vorticidad se acercan,
comienzan a cancelarse entre śı por difusión mutua. Los vórtices desaparecen
en el área de contacto. Dos pequeños vórtices se crean a partir del grande.
Figura 3.3: Reconección de vortices [2]
La enerǵıa de los vórtices pequeños es igual a la enerǵıa del vórtice grande
con una pequeña pérdida causada por la disipación. El proceso de reconexión
puede observarse a escalas mayores. El decaimiento y rompimiento de los
vórtices de punta detrás de un avión procede de acuerdo a este mecanismo
(ver: https://www.youtube.com/watch?v=Tfi8BLca07M&t=46s).
3.3. Topoloǵıa de lineas de corriente sobre
superficies y cortes transversales
Dos de las vistas mas usuales en 2D son las lineas del coeficiente de
skin-friction sobre la superficie de un cuerpo y los vectores de velocidad
https://www.youtube.com/watch?v=Tfi8BLca07M&t=46s
3.3. TOPOLOGÍA DE LINEAS DE CORRIENTE SOBRE SUPERFICIES Y CORTES TRANSVERSALES11
Figura 3.4: Tipos de puntos cŕıticos en un capo direcional de 2D, en donde p
y q son parámetros usados para categorizar la forma del campo alrededor del
punto cŕıtico, y están relacionadas con la variable del campo en un sistema
de coordenadas centrada en el punto cŕıtico. [3]
proyectados sobre cortes (superficies imaginarias) en el flujo. Estos son dos
ejemplos de campos vectoriales de dos dimensiones definidos sobre superficies
2D. Otro ejemplo es el usado en este documento, en donde se usa el campo
de vorticidad proyectado sobre cortes para entender el flujo en términos de
~ω. Con el propósito de estudiar la topoloǵıa de estos campos, se construyen
lineas de corriente, construidas de tal forma que sus tangentes son en todos
los puntos paralela al vector de campo. Para el campo de velocidad, si este
es solución de las ecuaciones de Navier-Stokes, estos campos de streamlines
o campos direccionales son continuos excepto en singularidades aisladas, o
puntos cŕıticos, en donde la dirección del campo no está definida puesto que
la magnitud del vector es cero. La ecuación de continuidad restringe a que
las lineas de corriente no colisionen entre śı [3].
Muchas cosas interesantes pueden ocurrir en un campo direccional, pe-
ro topológicamente hablando, las únicas caracteŕısticas que distinguen un
12 CAPÍTULO 3. DINÁMICA DE LA VORTICIDAD
campo dado son el ordenamiento de sus puntos cŕıticos y el carácter de su
comportamiento en las fronteras del dominio. La estructura topológica de
un campo no nos revela todo, pero puede ayudar a nuestro entendimiento.
Entender las caracteŕısticas del varios tipos de puntos cŕıticos permite al
observar agregar detalles que no siempre son claramente visibles.
La teoŕıa de puntos cŕıticos y la topoloǵıa matemática aplicada a flujos
(ver [14]) definen ciertas reglas que los puntos cŕıticos deben obedecer. Los
tipos de puntos cŕıticos se muestran en la figura 3.4.
Las reglas topológicas se explican ampliamente en [3], [14] y [15]. Un
esqueleto topológico consiste en todas las órbitas periódicas y lineas de
corriente que convergen (en cualquier dirección del tiempo) a un punto de
silla (separatriz) o a un punto cŕıtico sobre una frontera sin deslizamiento.
Los esqueletos topológicos proporcionan una segmentación de los campos
vectoriales en 2D como se ve en la figura 3.5.
Figura 3.5: Ejemplos de esqueletos topológicos [17]
Caṕıtulo 4
Resultados y Análisis
4.1. Generalidades
Debido a la condición de no deslizamiento, las paredes del cuerpo Ah-
med generan vorticidad. La difusión hace que esta vorticidad generada sobre
la pared entre al flujo en donde después es transportada por el campo de
velocidad. Esto es lo que primero se observó en los contornos de las compo-
nentes del campo de vorticidad, en donde dependiendo de la orientación de
la superficie, una de ellas se pronunciaba más que las otras.
Vemos primero en la figura 4.1 la generación de vorticidad en la dirección
Y, es decir, ωy. Se observa como ωy tiene una magnitud intensa cerca de la
cara lateral del veh́ıculo, la cual forma un plano definido por el vector −~k.
Como el cuerpo Ahmed se encuentra en reposo, en condiciones del túnel
de viento, se genera vorticidad tal que su campo de velocidad inducido en
la cercańıa cumple la condición de no deslizamiento. Esto se observa en la
figura 4.1 en dónde muy ceca a la pared cuya normal está en la dirección
−~k se observa una gran magnitud de vorticidad ωy. Dada la presencia de la
pared del veh́ıculo, la velocidad la velocidad pasa de 0 m/s a 17 m/s en la
dirección −~k, por lo tanto
∂u
∂z
< 0
13
14 CAPÍTULO 4. RESULTADOSY ANÁLISIS
Figura 4.1: Vorticidad en la dirección Y sobre planos cercanos a la cara frontal
del modelo
y como los gradientes en las otras direcciones son insignificantes
ωy =
∂w
∂x
− ∂u
∂z
> 0
En x = 0,42m de la figura 4.1 se observan además dos regiones con
vorticidades opuestas de magnitud similar. Esto se debe a que en este plano
comienza el soporte ciĺındrico del cuerpo Ahmed, y por lo tanto, separa el
flujo en dos partes una a la derecha del cilindro y otra la izquierda de este.
Por la regla de la mano derecha vemos fácilmente porqué ambos lados tienen
signos diferentes.
De igual manera, en la figura 4.2 se muestra la componente Z del vector
vorticidad en tres planos ubicados en las mismas posiciones que en la figura
4.1. En este caso, las regiones alta ωz se crean sobre las caras superior e
inferior del modelo las cuales forman cada una un plano en las direcciones ~j
y −~j.
La generación de vorticidad se da igual que en el caso anterior pero en este
caso, los gradientes ocuren en la dirección Y. Recordamos que en x = 0,42m
se encuentra el soporte ciĺındrico, vemos en estos contornos que también
ocurre algo interesante en este plano. Desde x = 0,45 se observa una pequeña
región aislada con ωz positiva cerca al borde de la cara inferior del modelo,
además, en x = 0,42 se observa más fuerte esta región acompañada de un
pico procedente del piso. Esto se relaciona con lo que ocurre en el mismo
plano en la figura 4.1 en donde se crean dos corrientes opuestas de vorticidad,
4.1. GENERALIDADES 15
Figura 4.2: Vorticidad en la dirección Z en planos cercanos a la cara frontal
del modelo.
precisamente ωy es la que levanta a ωz del piso.
Con la vorticidad en el eje X paso algo diferente ya que no hay ningún
plano que genere vorticidad en esta dirección en la misma forma que en
las otras direcciones. Esta vorticidad aparece por dos razones diferentes. La
primera es el borde curvo de la cara frontal del modelo, el cual produce una
rotación del flujo creando ωx en donde se encuentran las dos caras curvas.
La segunda, es debida a los gradientes de velocidad que tuercen las lineas
de vorticidad en la dirección X conviertiendo aśı la vorticidad en las otras
direcciones en ωx y de paso aumentando su magnitud (stretching).
Figura 4.3: Vorticidad en la dirección X sobre planos cercanos a la cara frontal
del modelo.
En la figura 4.3 se observa como se forma una región de vorticidad en
X cerca al borde. En x = 0,42m se observan dos regiones separadas de
16 CAPÍTULO 4. RESULTADOS Y ANÁLISIS
vorticidad positiva, separada por una de vorticidad negativa ωx debida a la
forma del soporte ciĺındrico y los gradientes de velocidad.
Se puede decir entonces que en general, se forma un aro de vorticidad
que rodea al modelo y cuya deformación en la dirección X produce regiones
aisladas de alto ωx cerca a los bordes. Sin embargo, este comportamiento se
ve interrumpido por la presencia de los soportes y es por esto que se separará
el flujo en tres regiones distintas.
4.2. Regiones de Estudio
Durante el análisis del flujo se encontró que existen tres regiones par-
ticulares del flujo que requieren ser estudiadas con detalle. Estas regiones,
como se observa en la tabla 4.1 se corresponden con la geometŕıa del modelo
Ahmed y de los soportes ciĺındricos.
Región Posición (m)
I. Antes del primer soporte x > 0,42
II. Entre soportes 0,42 > x > 0,19
III. Cola y estela x < 0,19
Tabla 4.1: Reigiones de estudio
Los contornos mostrados hasta ahora pertenecen todos a la primera re-
gión, en la cual la vorticidad comienza a generarse en cada una de las paredes.
4.2.1. Región I
En esta región la vorticidad es nula antes de llegar al modelo excepto
la componente Z la cual proviene del piso. En la figura 4.4 se muestran
algunas ĺıneas de vorticidad sobre la cara frontal del modelo y se observa
cómo las lineas se curvan sobre la superficie. Estas lineas se obtienen en
Tecplot usando surface line como linea de corriente y las tres componentes
del vector vorticidad.
Se puede ver directamente el aro o anillo de vorticidad que se forma
4.2. REGIONES DE ESTUDIO 17
Figura 4.4: Ĺıneas de vorticidad sobre la supoerficie del cuerpo Ahmed.
alrededor del modelo, uniendo las zonas individuales que se observaban en
los contornos. En las esquinas se ve cómo las lineas de vorticidad se curvan en
los bordes en la dirección X dando lugar a las zonas de ωx positivas. Además,
se forma un aparente punto cŕıtico cerca a la zona de estancamiento en la
forma de un centro.
Como se dijo anteriormente, el piso genera vorticidad en la dirección Z,
por lo tanto, el anillo formado alrededor del modelo debe interactuar con la
vorticidad generada en el piso. Estas lineas de vorticidad son horizontales
y se tuercen en la dirección X dados los gradientes de velocidad. Esto se
observa en la figura 4.5, en donde las lineas de vorticidad cercanas al piso se
doblan rodeando el carro. Toda la vorticidad que se genera en la dirección Z
(derecha de la figura 4.5) se tuerce y se observa la región de ωx positiva en
la figura 4.3.
Por lo tanto, dada la interacción entre las lineas horizontales y las que
rodean el modelo, debe haber un punto, o una linea/lineas que separen estos
comportamientos de la vorticidad, ya que las lineas de vorticidad no pueden
encontrarse ni mucho menos sobreponerse en lugares en donde ~ω 6= 0 [16]. Si
se observan las lineas de vorticidad en uno de estos planos, es decir, sin tener
en cuenta la componente X, se puede hacer claro la existencia de los diferentes
comportamientos del campo de vorticidad dada la interacción entre sus dos
partes (la vorticidad generada por el piso y la generada por las paredes del
Ahmed). En la figura 4.6 se muestran las lineas de vorticidad y se observa
que cerca a la esquina inferior derecha existe un punto en donde las ĺıneas
’deciden’ cuál camino tomar.
18 CAPÍTULO 4. RESULTADOS Y ANÁLISIS
Figura 4.5: Vista inferior de las lineas de vorticidad cerca a la cara frontal
del cuerpo Ahmed (Se observa además un contorno de la velocidad en la
dirección X) en y = 0,10m
Figura 4.6: Punto cŕıtico cerca del borde . Ĺıneas de vorticidad, el plano del
contorno se ubica en x = 0,445m
4.2. REGIONES DE ESTUDIO 19
4.2.2. Región II
El punto cŕıtico que aparece en la región I creado por el borde curvo de
la cara frontal del modelo Ahmed se encuentra con la superficie del soporte
ciĺındrico. En la figura 4.7 se muestra cómo la pared del soporte divide com-
pletamente el flujo, y por lo tanto, se forman dos regiones independientes de
vorticidad como se muestra a la derecha.
Figura 4.7: Vorticidad en la dirección Y en un plano que pasa por el soporte
cilindrico. x = 0,41m. // Lineas de vorticidad.
La continuidad del aro de vorticidad se rompe debido al soporte, esto se
prolonga hasta poco después del cilindro. En la tercera imagen de la figura
4.8 se muestra la estela que dejan los soportes, en donde se destacan dos
zonas de vorticidades opuestas.
Las ĺıneas de vorticidad que se muestran en la figura 4.7 son sin tener
en cuenta la componente X de la vorticidad. En general, sigue ocurriendo lo
mismo que en la Región I con respecto a la ésta componente, los gradientes
de velocidad estiran y tuercen las ĺıneas de vorticidad como se muestra en la
figura 4.9.
El comportamiento de las ĺıneas de vorticidad en el plano ZY revela la
existencia de nuevos puntos cŕıticos los cuales aparecen solo en las compo-
nentes ωz y ωy del campo de vorticidad.
La componente ωx se comporta de acuerdo a lo que se observa en la
20 CAPÍTULO 4. RESULTADOS Y ANÁLISIS
Figura 4.8: Regiones de vorticidad en la dirección Y vista en planos a tres
diferenetes distancias.
Figura 4.9: Ĺıneas de vorticidad en la Región II.
figura 4.9, es decir, hay puntos donde tanto la componente Y como la Z se
anulan, sin embargo, la componente X no. Se observa además en que los
puntos cŕıticos que aparecen en la figura 4.10 son diferentes al que aparece
en la figura 4.6,el cual está sobre un borde y parece crearse precisamente
4.2. REGIONES DE ESTUDIO 21
por la presencia de este. Los puntos cŕıticos de la Región II parecen moverse
desde el centro del soporte hasta reacomodarse en el borde de nuevo como
se acerca en la secuencia de cuadros de la figura 4.10
Figura 4.10: Lineas de vorticidad en la región II.
Vemos entonces que esta región se caracteriza por el movimiento de los
puntos cŕıticos en Y y Z desde los soportes hacia lo bordes. Ademas las lineas
de vorticidad se tuercen pronunciadamente sobre la cara lateral del modelo,
esto hace que las lineas de vorticidad se hagan casi paralelas a la dirección
X, y por el mecanismo de stretching, la magnitud de la vorticidad en esta
dirección aumenta.
22 CAPÍTULO 4. RESULTADOS Y ANÁLISIS
Figura 4.11: Vorticidad en la dirección X a distintos cortes en la Región III
4.2.3. Región III
Esta región es la más interesante de todas. Como ya se vio en la cara
frontal del veh́ıculo, los bordes curvos inducen una vorticidad en la dirección
X, lo mismo sucede en la parte posterior en donde la sección cambia con
un ángulo constante. El vértice en donde se unen las tres aristas en donde
comienza el cambio de sección se convierte en una zona de alt́ısima vorticidad
en X (figura 4.11). Esto se debe a que la pendiente produce una región de
baja presión y alta velocidad sobretodo en el centro del modelo (plano de
simetŕıa). Esta alta velocidad arrastra las lineas de vorticidad cercanas al
plano de simetŕıa más hacia la estela, haciendo que la esquina superior se
retrase y aśı, esto hace que las lineas de vorticidad se curven produciendo
zonas con vorticidad alternante, en este caso rojo-azul, rojo en la esquina
atrasada, y azul en el centro adelantado, como se observa en la figura 4.11.
Figura 4.12: Vorticidad en X en la estela del modelo.
4.2. REGIONES DE ESTUDIO 23
Figura 4.13: Lineas de vorticidad en la parte posterior y estela del modelo.
Se observan entonces dos parejas de vórtices en la dirección X, una supe-
rior y otra inferior (la pareja de cada vórtice no se observa pues se encuentra
del otro lado del plano de simetŕıa, es importante notar que la simetŕıa en
los vórtices se presenta en forma de anti-simetŕıa, pues los otros dos vórtices
que no se observan son de signos opuestos a los mostrados en esta parte del
modelo). La parte superior tiene mucha más intensidad que la inferior según
permiten ver los contornos en la figura 4.12.
Las lineas de vorticidad que dan lugar a estos contornos se muestran en
la figura 4.13, en donde se puede observar como las lineas se tuercen en la
dirección X y -X para producir las regiones con alta vorticidad ωx.
Si bien ya se dijo que son vórtices, esto se hace evidente al ver la forma que
las lineas de corriente del flujo se comportan en esta zona, pues hasta ahora
solo hemos visto las lineas de vorticidad, que no necesariamente siempre son
vórtices. En la figura 4.14 se observa que un grupo de lineas gira alrededor
de donde se encuentra la región con alta vorticidad en los contornos de la
figura 4.12, además, como se mencionó anteriormente, se aprecia una zona de
recirculación sobre la pendiente en donde las lineas de corriente van en contra
de la dirección del flujo potencial, asimilándose a la estructura mostrada en
la figura 4.15.
La evolución en el espacio de las ĺıneas de vorticidad puede observarse
en la figura 4.16 en donde se muestra como aparecen nuevos puntos cŕıticos,
esta vez, de distinta naturaleza a los ya encontrados. Se muestra además un
contorno de ωx para poder tener la imagen 3D de lo que sucede. Lo interesante
es que además existen lineas separatrices que conectan os diferentes puntos
24 CAPÍTULO 4. RESULTADOS Y ANÁLISIS
Figura 4.14: Lineas de corriente en la estela del modelo. Se observan clara-
mente la aparición de un vortice toroidal y de otro linear que sale del borde
superior.
Figura 4.15: Vista esquemática de la estructura en la estela del cuerpo Ahmed
[4].
cŕıticos y dividen el flujo en áreas con cada una con un comportamiento
particular.
4.3. ANÁLISIS - ABSTRACCIÓN DEL FLUJO 25
Figura 4.16: Evolución de las ĺıneas de vorticidad sobre la estela del veh́ıculo
en planos transversales a X.
Estas lineas de vorticidad proyectadas en planos serán muy útiles a conti-
nuación, en donde se abstraen las caracteŕısticas principales del flujo en cada
región.
4.3. Análisis - Abstracción del flujo
La mayoŕıa de nuestro pensamiento sobre flujos en 3 dimensiones es en
términos de vistas 2D de los campos o lo que va sobre superficies f́ısicas como
en la figura 4.4. Aunque las vistas en 2D están limitadas en la información
que almacenan, juegan un papel importante pues para nuestra imaginación es
26 CAPÍTULO 4. RESULTADOS Y ANÁLISIS
más sencillo tratar con cosas en 2D. Una forma de analizar un flujo es a través
de vectores proyectados en cortes (superficies imaginarias) en el flujo (como
las ĺıneas de vorticidad mostradas en la figura 4.16). A la hora de estudiar el
flujo, los vectores se unen y forman “ĺıneas de corriente” aunque generalmente
se pueden ignorar sus magnitudes y solo enfocarse en la dirección. En este
caso, el vector que define las ĺıneas de corriente es la vorticidad, y las ĺıneas
de corriente propiamente se llaman ĺıneas de vorticidad o vortex lines.
Empezamos entonces abstrayendo las ĺıneas de vorticidad en planos YZ
en las distintas regiones para comprender los cambios principales en la topo-
loǵıa del flujo. Lo primero que se debió observar de la sección anterior es la
existencia de puntos cŕıticos en dichos planos en dónde el vector vorticidad
cambia drásticamente de dirección. Estos puntos separan zonas dentro del
plano, y las ĺıneas de vorticidad que convergen a estos puntos (en tiempo in-
finito) son las separatrices. Los diagramas de puntos cŕıticos con separatrices
se conocen como esqueletos topológicos [7] .
En la región I, se forma un punto cŕıtico (en rojo) sobre el borde pro-
nunciado de la cara frontal, y este punto se desliza sobre dicho vértice. El
esqueleto topológico que describe esta situación se muestra en la figura 4.17.
Los puntos rojos son dos puntos de silla que dividen el espacio en diferentes
zonas. La zona delimitada por las separatrices 235 y el piso determinan una
zona en donde las ĺıneas de vorticidad continúan su recorrido casi que sin
alterarse. Después, viene la zona delimitada por 34, en donde aparecen órbi-
tas ćıclicas cerradas y se forma un centro. Las lineas 1254 determinan una
zona interna en donde la vorticidad sigue pegada al carro y lo rodea comple-
tamente formando un anillo. Este anillo sin embargo se genera muy cerca de
la superficie, y luego, al encontrarse con las separatrices, se divide entre las
diferentes zonas. Finalmente, la zona delimitada por 125 externa corresponde
a las lineas que vienen horizontalmente pero que rodean al carro.
Resulta, que la aparición de los soportes ciĺındricos afecta la posición de
los puntos cŕıticos anteriores en la figura 4.17. Debido a la cercańıa del piso
con la parte inferior del modelo, estos puntos deben existir, pues en algún
punto la vorticidad debe cambiar de dirección con el fin de cumplir con las
condiciones de frontera. Hasta ahora, esos puntos se hab́ıan formado muy
cerca del borde del modelo, sin embargo, la presencia del cilindro, traslada
estos puntos hacia más adentro, cerca del centro de estos como se ve en la
figura 4.19.
Los puntos cŕıticos ahora están sobre una ĺınea paralela al eje de los
4.3. ANÁLISIS - ABSTRACCIÓN DEL FLUJO 27
Figura 4.17: Esqueleto topológico en la región I en x = 0.45 m.
cilindros y descentrados con respecto a la altura. Esto se debe a que dada la
geometŕıa del área transversal del cilindro (un circulo) el contacto entre el
flujo y la superficie del cilindro colapsa a una ĺınea recta que pasa paralela a
su eje de simetŕıa. Además, dados los gradientes de velocidad en esta región,los puntos cŕıticos se suben más hacia el carro y no permanecen a una altura
media. Otro cambio topológico importante es que las separatrices laterales
ahora terminan en el piso, en la figura 4.19 las separatrices 1 y 3 bajan al
piso mientras que en la figura 4.17 estas ĺıneas veńıan casi paralelas al piso.
Esto da lugar a nuevos puntos de silla llamado puntos de silla medios, puesto
que se encuentran sobre una superficie y lucen como en los puntos S’ en la
figura 4.20.
Lo que se encuentra es que los puntos tratan de regresar a su posición
original de antes de encontrarse con los soportes (es decir, los bordes). En la
figura 4.21 los puntos cŕıticos suben y se mueven hacia afuera, tratando de
28 CAPÍTULO 4. RESULTADOS Y ANÁLISIS
Figura 4.18: Esqueleto topológico en la región II en x = 0.41 m atravesando
los soportes ciĺındricos.
alcanzar los bordes. El anillo original que recubŕıa el modelo sigue cortado
pues la separatriz 2 se conecta con la superficie desde abajo, y no permite el
paso de la región interior 45 a la exterior 2. Esto persiste en el próximo corte
en x = 0.25 m mostrado en la figura 4.22 y 4.23.
Los puntos comienzan a moverse hacia fuera quedando cada vez más cerca
de los bordes. Después de esto en x = 0.19 m se entra en contacto con el
segundo soporte, y se repite lo mismo que sucedió con el primer soporte. Sin
embargo, en x = 0.09 m comienza el cambio de sección y el comportamiento
es diferente. Nos enfocaremos ahora en estudiar la región trasera del veh́ıculo
y las estructuras que ah́ı se forman. En estudios anteriores, especialmente en
los de Ahmed [6], se caracterizó el tipo de estructuras que se forman en la
estela del modelo dependiendo del ángulo de inclinación de la parte trasera
como se ve en la figura 4.24.
4.3. ANÁLISIS - ABSTRACCIÓN DEL FLUJO 29
Figura 4.19: Esqueleto topológico en la región II después del soporte en x =
0.38 m.
Se observa que se forman diferentes estructuras dependiendo del ángulo
de la parte trasera. En la figura 4.25 se muestran las ĺıneas de corriente para el
caso estudiado en diferentes planos. Existen cuatro configuraciones distintas
dependiendo del ángulo, además, existen dos ángulos cŕıticos. Según [4], estos
ángulos corresponden a 12° y 30°. Como el ángulo del modelo usado aqúı es
de 35°, se espera entonces caer en la imagen (d) de la figura 4.24.
Efectivamente, se observa ese comportamiento en el plano que pasa por
X = 0.087, correspondiente a la mitad del modelo. Además, vemos que al
alejarnos, se crea una burbuja de separación.
Al alejarnos del plano de simetŕıa se obtienen dos vórtices de similar ta-
maño. Sin embargo, esos dos vórtices hacen parte de una misma ĺınea de
vorticidad que se envuelve en forma de toro y por lo tanto produce dos vórti-
30 CAPÍTULO 4. RESULTADOS Y ANÁLISIS
Figura 4.20: Puntos de silla medios (half-saddle point) S’ sobre la pared del
cuerpo [3]
ces hermanos de direcciones opuestas. Otro punto importante es la aparición
de regiones con alta vorticidad en X como se ve en la figura 4.11, en donde
también se forman dos vórtices hermanos uno en la parte superior y otro en
la parte inferior del modelo.
En la figure 4.26 se observa cómo la forma que envuelve el modelo se
deforma y esto produce que las separatrices se alejen de la superficie del
carro. Perpendicular al papel (es decir, en 3 dimensiones, ambas “orejas”
se encuentran más atrás que el resto de la figura lo que produce un par
de vorticidades en sentido opuesto como se ve en los contornos. Como la
condición de flujo es simétrica, la oreja derecha también debe estar atrasada
lo que produce otro par de vorticidad pero de signo opuesto a la que se
observa en el contorno de la figura 4.11 . Es decir, el panorama completo
(en colores) visto de izquierda a derecha seŕıa: Rojo-Azul-Rojo-Azul y no
completamente simétrico como se esperaŕıa (Rojo-Azul-Azul-Rojo)
Por lo tanto ambas orejas son el origen de lo que se observa en la figura
4.27, en dónde el vórtice que no está pintado debe girar en sentido opuesto.
Es importante mantener siempre cerca la tercera componente de la vortici-
dad pues sin ella el estudio no es completo. Entonces, aun sobre la pendiente,
se observa que el vórtice toroidal y los laterales no se encuentran totalmen-
4.3. ANÁLISIS - ABSTRACCIÓN DEL FLUJO 31
Figura 4.21: Esqueleto topológico en x = 0.32 m.
te separados, pues ambos están dentro de la misma región en el esqueleto
topológico, y por ende, su comportamiento debe ser similar.
Mientras seguimos llegando al plano de origen, se crean dos nuevos puntos
cŕıticos de tipo silla, los cuales se observan en la figure 4.28. El mecanismo
es simple, las ĺıneas de vorticidad que conforman las orejas se arquean tanto
que eventualmente se tocan, como son separatrices, esto está permitido, una
vez se tocan, forman un punto cŕıtico de silla que da lugar a un centro ines-
table (a diferencia del centro que existe debajo del veh́ıculo, este centro bajo
perturbaciones colapsa en forma de espiral). De esta manera, se observa que
se separan las regiones correspondiente a los vórtices laterales y al toroidal.
En la zona interna aparecen las lineas de vorticidad que explican el vórtice
toroidal mostrado claramente en la figura 4.25, y las orejas completamente
cerradas dan lugar a los vórtices laterales contrarrotantes, uno de ellos visible
en la figura 4.14
32 CAPÍTULO 4. RESULTADOS Y ANÁLISIS
Figura 4.22: Esqueleto topoógico en x = 0.25 m.
Figura 4.23: Esqueleto topológico en x = 0.20 m.
4.3. ANÁLISIS - ABSTRACCIÓN DEL FLUJO 33
Figura 4.24: Comportamiento del flujo en la estela de un cuerpo Ahmed a
distintos ángulos.
Figura 4.25: Ĺıneas de corriente en la estela del modelo a diferentes distancia
en el eje Z. La superior está en Z = 0.087 m y la inferior en 0.044 m.
La naturaleza de estos puntos cŕıticos en 2D puede conocerse fácilmente
calculando el Jacobiano del campo en el punto donde éste se anula, y encon-
trando los valores propios de este. En particular (figura 4.29), siguiendo este
procedimiento se determinó la naturaleza de ambos puntos como de silla y
34 CAPÍTULO 4. RESULTADOS Y ANÁLISIS
Figura 4.26: Esqueleto topológico en x = 0.044 m
como un centro inestable [17]. El comportamiento de los nuevos puntos de
silla parece ser el de buscar alejarse el uno del otro, mientras que los puntos
originales en la parte inferior parecen acercarse.
En las siguientes figuras se muestra el desarrollo de las lineas separatrices.
La interacción entre separatrices da lugar a nuevos puntos cŕıticos. Eventual-
mente los puntos cŕıticos colapsan al llegar al suelo o encontrarse y aniqui-
larse. Las lineas separatrices dividen el flujo en zonas con comportamientos
particulares, de esta manera se pueden aislar los diferentes mecanismos y
entender como interactúan.
De esta manera, mediante el uso de estos esqueletos topológicos se logran
explicar las principales caracteŕısticas del flujo encontradas en términos de
la vorticidad. Esto a su vez se ajusta con lo observado directamente del
campo de velocidad, confirmando aśı lo propuesto. Dado que la solución de
4.3. ANÁLISIS - ABSTRACCIÓN DEL FLUJO 35
Figura 4.27: Estructura de la estela en términos de lineas de corriente en 3D
[1]
la simulación es el campo de velocidad, es muy importante realizar esta última
comprobación, pues el campo de vorticidad se calculó a partir del campo de
velocidad solución de las ecuaciones de Navier-Stokes promediadas (RANS).
Dado que en el modelo presentado solo hay dos dimensiones, la dirección
X debe ser incluida para poder entender completamente la f́ısica del flujo.
Dados los gradientes de velocidad, vemos que estos dibujos en realidad están
deformados a lo largo de la dirección X, dando lugar a las distintas zonas de
vorticidad en X. Es importante tener en cuenta los contornos de ωx para poder
imaginarse de forma correcta la forma en la que los esqueletos topológicos se
deforman. Ladeformación en principio puede verse en la figura 4.13.
Queda pendiente entonces aplicar las reglas topológicas encontradas en
[3] (caṕıtulo 3.3).
36 CAPÍTULO 4. RESULTADOS Y ANÁLISIS
Figura 4.28: Esqueleto topológico en x = 0..002 m.
Figura 4.29: Puntos cŕıticos del campo de vorticidad en 2D sobre planos
transversales a la dirección X.
4.3. ANÁLISIS - ABSTRACCIÓN DEL FLUJO 37
Figura 4.30: Esqueleto topológico en x = -0.025 m
38 CAPÍTULO 4. RESULTADOS Y ANÁLISIS
Figura 4.31: Esqueleto topológico en x = -0.07 m
4.3. ANÁLISIS - ABSTRACCIÓN DEL FLUJO 39
Figura 4.32: Esqueleto topológico en x = -0.15 m
40 CAPÍTULO 4. RESULTADOS Y ANÁLISIS
Figura 4.33: Esqueleto topológico en x = -0.22 m
4.3. ANÁLISIS - ABSTRACCIÓN DEL FLUJO 41
Figura 4.34: Esqueleto topológico en x = -0.30 m
42 CAPÍTULO 4. RESULTADOS Y ANÁLISIS
Caṕıtulo 5
Conclusiones
Al estudiar los contornos de velocidad, vorticidad, gradientes, lineas de
corriente, ĺıneas de vorticidad y otras cantidades se puede concluir lo siguien-
te:
El campo de vorticidad presenta ciertos puntos cŕıticos cuando se miran
solo dos de sus componentes. En particular, las componentes Z y Y. Estos
puntos cŕıticos dividen el flujo en zonas cada una con un comportamiento
particular.
Los grandes gradientes de velocidad cerca de las superficies tuercen y
estiran las ĺıneas de vorticidad. Esto produce una gran componente de vor-
ticidad en X la cual no se genera directamente en las paredes. Esto ocurre
notoriamente en la cara frontal del veh́ıculo y en la parte trasera. Cuando
comienza la parte inclinada, los gradientes de velocidad tuercen las ĺıneas de
vorticidad muy pronunciadamente sobre los vértices superiores. Esto genera
un par de vórtices en direcciones contrarias a cada lado del modelo.
Visualizar el campo en solo 2D permite entender mejor la dinámica de
los puntos ćıtricos y separatrices sin embargo, es necesario siempre tener en
cuenta la tercera dimensión pues aśı la perspectiva es incompleta. A partir de
los contornos de vorticidad en X, es posible darle carácter tridimensional a
las ĺıneas de vorticidad en el plano YZ. Esto precisamente, es lo que produce
el par de vórtices que giran en sentido contrario a cada lado del cuerpo
Ahmed como se mencionó anteriormente. Los diagramas mostrados pueden
43
44 CAPÍTULO 5. CONCLUSIONES
ser torcidos hacia dentro y fuera del papel y como resultado se obtendŕıan
dichos pares de vórtices.
Los puntos cŕıticos son formados por esquinas o bordes. La tendencia
de estos, mientras siguen en un entorno encerrado es a continuar cerca de
los bordes. Sin embargo, cuando las restricciones desaparecen, estos tienden
aparentemente a unirse y desvanecerse.
Los puntos cŕıticos interactúan. Las separatrices y los puntos cŕıticos
determinan el flujo alrededor del veh́ıculo, especialmente en la estela. La
adición y aniquilación de estos es lo que determina el flujo en la estela, dando
lugar a vórtices toroidales y pares de vórtices contra-rotantes.
En la estela del veh́ıculo entonces se producen dos estructuras importan-
tes: La primera, un vórtice toroidal casi totalmente en el plano YZ y segundo,
un par de vórtices contra-rotantes a cada lado del modelo, uno en la parte
superior y su pareja en la parte inferior del veh́ıculo. Estos 5 vórtices inter-
actúan de acuerdo a los puntos cŕıticos y separatrices mostrados arriba, y
eventualmente desaparecen.
Dado el tipo de simulación, no es posible observar las estructuras de
vorticidad a pequeñas escalas, sino solo las grandes. Para seguir estudiando
el efecto de la vorticidad en la estela del veh́ıculo y cómo los vórtices grandes
se desvanecen en pequeñas estructuras de acuerdo a lo visto en el capitulo
3 seŕıa necesario la implementación de un método diferente al RANS, como
LES o DES.
Queda pendiente la realización de diagramas que incluyan la dirección X
para tener el panorama completo. De igual manera, un estudio pertinente
seŕıa el de variar el número de Reynolds aśı como el ángulo de la pendiente
en la cara posterior del cuerpo Ahmed.
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	Introducción
	Descripción del Caso
	Dinámica de la Vorticidad
	Vorticidad y Velocidad
	Evolución de la vorticidad
	Amplificación y pliegues 
	Reconexión de Vórtices
	Topología de lineas de corriente sobre superficies y cortes transversales
	Resultados y Análisis
	Generalidades
	Regiones de Estudio
	Región I
	Región II
	Región III
	Análisis - Abstracción del flujo
	Conclusiones