Matemáticas financieras

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PATRIA 
SERIE
U
N
IVERSITA
RIA
www.editorialpatria.com.mx
E M P R E S A D E L G R U P O
interactivo en
esta edición
Esta obra presenta a las matemáticas financieras con un lenguaje ameno. Contiene ejercicios 
resueltos paso a paso cuya complejidad va aumentando, con la idea de que el alumno adquiera 
seguridad y confianza. Lo anterior le permitirá resolver los problemas propuestos al final de cada 
unidad o cualquiera relacionado que se les llegue a presentar en su vida académica o profesional. En 
la actualidad la matemática financiera ha adquirido una gran importancia por su utilidad en la 
administración, la economía y en las políticas públicas; así como en diversas ramas en donde es 
empleada, por ejemplo, como auxiliar de cálculos en la ingeniería económica para la valuación de 
inversiones en maquinaria, equipos, instalaciones, tecnología, infraestructura y en general, cualquier 
transacción que traiga consigo un proceso de evaluación del proyecto. No solo en estas áreas de 
inversión es útil la matemática financiera, un pequeño inversionista puede aplicarla para analizar 
opciones de crédito en la adquisición de bienes y servicios cotidianos que le permitan tener mejores 
condiciones de vida. La matemática financiera también es necesaria para toda persona que tenga la 
necesidad de utilizar el sistema financiero.
De entre las características que convierten a esta obra en una lectura indispensable para el alumno 
que curse cualquier carrera del área de ciencias sociales, económico-administrativo, destacan las 
siguientes:
Cuenta con breves, pero claras, explicaciones de los fundamentos teóricos matemáticos.
Explica a detalle los pasos necesarios para resolver los problemas propuestos que se 
plantean a lo largo de todas las unidades temáticas.
Es flexible, el lector puede utilizarlo según sus propias necesidades.
Los ejemplos y problemas expuestos están acompañados de breves textos, destacados con 
la etiqueta de Alerta, cuyo objetivo es preparar al lector para que esté pendiente de detalles 
importantes del contenido, que le serán útiles para la resolución de problemas.
Contiene más de 500 problemas para resolver, presentados en distintas categorías, según 
sus características, para ser resueltos con el apoyo de tecnología o bien relacionados con la 
experiencia cotidiana del lector.
Se incluye al final de cada unidad una sección de problemas reto.
Como una herramienta adicional, el texto se acompaña de un CD-ROM de apoyo, donde el estudian-
te puede encontrar, entre otras cosas: simuladores y respuestas a problemas seleccionados.
Jesús Rodríguez Franco / Elva Cristina Rodríguez Jiménez
Alberto Isaac Pierdant Rodríguez
C
M
Y
CM
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CY
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MATEMÁTICAS
FInAnCIErAS
II
ContenidoUNIDAD 1
Jesús Rodríguez Franco
Elva Cristina Rodríguez Jiménez
Alberto Isaac Pierdant Rodríguez
PRIMERA EDICIÓN EBOOK
MÉXICO, 2014
GRUPO EDITORIAL PATRIA
MATEMÁTICAS
FINANCIERAS
Dirección editorial: Javier Enrique Callejas
Coordinación editorial: Verónica Estrada Flores
Producción: Gerardo Briones González
Revisión Técnica: M.C. Alex Polo Velázquez
Universidad Autónoma Metropolitana Azcapotzalco ( U.A.M.)
Diseño de interiores: Jorge Martínez J. y Gustavo Vargas M.
Diseño de portada: Juan Bernardo Rosado Solís/Signx
Matemáticas Financieras. Serie Patria
© 2014, Jesús Rodríguez Franco, Alberto Isaac Pierdant Rodríguez y Elva Cristina Rodríguez Jiménez 
© 2014, Grupo Editorial Patria, S.A. de C.V.
Derechos reservados:
Renacimiento 180, Colonia San Juan Tlihuaca
Delegación Azcapotzalco, Código Postal 02400, México, D.F.
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana
Registro Núm. 43
ISBN ebook: 978-607-744-033-8 
ISBN Material Impreso: 978-607-438-722-3
Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de la presente obra 
en cualesquiera formas, sean electrónicas o mecánicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor.
Impreso en México
Printed in Mexico
Primera edición ebook: 2014
info editorialpatria.com.mx
www.editorialpatria.com.mx
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maitlo:info@editorialpatria.com.mx
Grupo Editorial Patria©
�
Semblanza autoral
Jesús rodríguez Franco
Profesor-investigador Titular “C” del Departamento de Política y Cultura en la Universidad Autónoma 
Metropolitana unidad Xochimilco (UAM-X). Profesor en la Facultad de Contaduría y Administración de 
la Universidad Nacional Autónoma de México (FCA-UNAM) de asignatura “B” en Matemáticas Finan-
cieras y Estadística. 
Estudió la carrera de Ingeniero en Comunicaciones y Electrónica en el Instituto Politécnico Nacional 
(IPN), tiene la maestría en Ciencias en la especialidad de Bioelectrónica del Centro de Investigación y 
Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional (CINVESTAV-IPN). Diplomados en: “Formación 
Docente para las Disciplinas Financiero Administrativas” (FCA-UNAM), “Formación Docente” y “La 
Estadística IX” (UAM-X).
Tiene 34 años de experiencia docente impartiendo cursos de matemáticas e informática. Cuenta con 
la acreditación de Profesor de Perfil Idóneo otorgada por la Secretaría de Educación Pública (SEP). 
Es miembro de la Academia de Matemáticas en la Facultad de Contaduría y Administración (UNAM), 
e integrante de la Comisión Dictaminadora en Matemáticas (FCA-UNAM). También es miembro del 
área de investigación “Desarrollo de las Matemáticas en las Ciencias Sociales” (UAM-X) y del Cuerpo 
Académico de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales (UAM-X y SEP), cuenta con el reconoci-
miento de Profesor Distinguido otorgado por la Facultad de Contaduría y Administración UNAM en 
mayo de 2013.
A la fecha ha publicado 12 libros de matemáticas como coautor, más de 15 artículos, en revistas espe-
cializadas de difusión, enfocados a la pequeña y mediana empresa mexicana, informática y educación. 
También ha coordinado un libro temático de matemáticas.
Ha presentado diferentes ponencias en ciclos de conferencias, congresos, encuentros, foros y simposios 
a nivel nacional e internacional. Ha participado en la organización en congresos, foros, ciclos de confe-
rencias, en semanas de matemáticas y en maratones de matemáticas financieras y estadística. También 
ha otorgado diversas entrevistas radiofónicas en Radio Educación, Radio UAEM y MVS-Noticias.
Es fundador y primer Presidente de la Academia de Matemáticas de la Facultad de Contaduría y Admi-
nistración (UNAM) de noviembre de 1999 a junio 2004. Fue representante ante el Consejo Académico 
del Departamento de Política y Cultura (UAM-X) y Colegiado de la División de Ciencias Sociales y 
Humanidades ante el Colegio Académico de la Universidad Autónoma Metropolitana periodo 2007-
2009. Fue Jefe del área de investigación “Desarrollo de las Matemáticas en las Ciencias Sociales” en 
el periodo 2003 a 2005 (UAM-X). 
Trabajó como Ingeniero en Comunicaciones y Electrónica en la Refinería 18 Marzo y en Dirección de 
Construcción y Obras de Petróleos Mexicanos (1984-1989). Ha sido profesor en la Escuela Superior de 
Ingeniería Mecánica y Eléctrica (ESIME) del Instituto Politécnico Nacional, en el Instituto Tecnológico 
de Monterrey División de Preparatoria Campus Ciudad de México y en la Universidad Latina Campus 
Sur.
�I
Elva Cristina rodríguez Jiménez
Profesora de matemáticas del Departamento de Política y Cultura en la Universidad Autónoma Metro-
politana Unidad Xochimilco (UAM-X) y profesora definitiva de asignatura “B” Estadística I y asignatura 
“A” Estadística II en la Facultad de Contaduría y Administración de la Universidad Nacional Autónoma 
de México (UNAM).
Estudió la licenciatura en Química Farmacobióloga con mención honorífica en la Facultad de Química 
de la Universidad Nacional Autónoma de México, los diplomados en “Matemáticas Aplicadas a la 
Economía” en la Facultad de Economía, el de “Formación Docente para las Disciplinas Financiero 
Administrativas” en la Facultad de Contaduría y Administración, ambos en la Universidad Nacional 
Autónoma deMéxico.
Tiene 19 años de experiencia docente impartiendo diferentes cursos de matemáticas, es miembro de 
la “Academia de Matemáticas” en la Facultad de Contaduría y Administración (UNAM). Es coautora de 
los libros: Libro electrónico Fundamentos de Matemáticas, producto PAPIME Fomento Editorial FCA-
UNAM, México, 2005; Estadística para Administración, Grupo Editorial Patria, segunda reimpresión, 
México, 2013 y Estadística aplicada II, Estadística en administración para la toma de decisiones, Grupo 
Editorial Patria, México, 2010. También ha participado en diferentes ponencias en ciclos de conferen-
cias, encuentros y foros a nivel nacional.
Participó en la investigación para el desarrollo de un método fotocolorimétrico para la determinación de 
metionina, para la Organización de Estados Americanos (OEA) y la División de Estudios de Posgrado 
de la Facultad de Química de la UNAM (1984). Ocupó el cargo de Jefe y subjefe del laboratorio de Ga-
ses, también como química analista en el laboratorio Analítico, experimental y de gases en la Refinería 
18 de Marzo (1985-1991).
Alberto Isaac Pierdant rodríguez
Profesor-investigador Titular “C” del Departamento de Política y Cultura en la Universidad Autónoma 
Metropolitana unidad Xochimilco (UAM-X) y socio director de Pierdant y Asociados, S.C.
Estudió la carrera de Ingeniero Industrial en el Instituto Politécnico Nacional (IPN), tiene la Maestría en 
Ingeniería en la especialidad de Planeación de la División de Estudios de Posgrado de la Facultad de 
Ingeniería de la UNAM. Es candidato a Doctor en Ciencias Sociales con especialidad en Sociedad y 
Educación en la Universidad Autónoma Metropolitana unidad Xochimilco. Ha participado en diferen-
tes cursos de actualización, entre los que destacan:“Evaluación Económica de Proyectos de Explora-
ción de Hidrocarburos I”, en la Universidad de los Andes-Banco Interamericano de Desarrollo, Bogotá, 
Colombia. “Evaluación Económica de Proyectos de Exploración de Hidrocarburos II”, en la Universi-
dad de los Andes-Banco Interamericano de Desarrollo, Bogotá, Colombia. “Petroleum Energy” en The 
Institutte of Energy Economics, Japan, septiembre-noviembre 1989, Tokio, Japón.
Tiene 35 años de experiencia docente impartiendo cursos de matemáticas e informática, cuenta con 
la acreditación de Profesor de Perfil Idóneo otorgada por la Secretaría de Educación Pública (SEP). 
Es miembro del área de investigación: “Desarrollo de las Matemáticas en las Ciencias Sociales” en la 
UAM-X y del Cuerpo Académico de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales (UAM-X y SEP). Ha 
publicado cuatro libros como autor y 10 de matemáticas como coautor, también ha publicado más de 
30 artículos científicos y de difusión enfocada a la educación, informática, a las políticas públicas y para 
la pequeña y mediana empresa mexicana. Ha presentado diferentes ponencias en ciclos de conferen-
cias, encuentros y foros a nivel nacional e internacional.
Fue fundador y en la actualidad director del despacho de consultoría Pierdant y Asociados, S.C. (1979). 
Dentro de consultoría ha elaborado trabajos para diversas empresas y organismos como SHCP, ISSSTE, 
la Comisión Federal de Electricidad, Petróleos Mexicanos, Coca-Cola FEMSA, el INBA, entre otros.
�II
Presentación
En la actualidad, la matemática financiera ha adquirido una gran importancia por su utilidad en la admi-
nistración, la economía y en las políticas públicas, así como en diversas ramas en donde se emplea 
como la auxiliar de cálculos en la ingeniería económica para la valuación de inversiones en maquinaria, 
equipos, instalaciones, tecnología, infraestructura y, en general, cualquier inversión que signifique un 
proceso en el cual debe de realizarse una evaluación del proyecto. Pero no solo en estas áreas sofisti-
cadas de la inversión es útil la matemática financiera, ya que un pequeño inversionista puede utilizarla 
para analizar opciones de crédito en la adquisición de bienes y servicios cotidianos que le permitan 
tener mejores condiciones de vida. La matemática financiera también es necesaria para toda persona 
que tenga la necesidad de utilizar el sistema financiero.
El libro Matemáticas Financieras Serie Patria responde a los programas de bachillerato y licenciatura. 
Su estructura motiva al estudiante a ser el protagonista en la construcción de su aprendizaje, basado en 
el enfoque educativo por competencias en el ámbito constructivista, esto con el objetivo de potencia-
lizar el saber qué hacer en la vida académica y profesional; lo anterior lleva al estudiante al aprendizaje 
significativo. 
El libro presenta los conceptos con un lenguaje sencillo y ameno. Contiene de tres a cinco ejercicios 
resueltos (paso a paso) del ámbito nacional en cada subtema, inicia con los sencillos y aumenta su com-
plejidad, con la idea que el alumno adquiera seguridad y confianza. Lo anterior le permitirá resolver los 
problemas propuestos al final de cada unidad o cualquiera que se le llegue a presentar en la vida aca-
démica o profesional con éxito. Al inicio de cada unidad se plantean los objetivos y la sección ¿Qué sa-
bes?, en ella se exponen una serie de preguntas y problemas que permiten al estudiante recordar sus 
conocimientos previos o despertar la inquietud de conocer más del tema. También contiene pequeños 
cuadros de alerta como son: el histórico, que contiene breves biografías de personajes vinculados con 
la matemática o pasajes de la misma; para pensar, que encierra los pasos que se realizan mentalmente; 
de definiciones, para resaltar definiciones importantes, teoremas y conceptos; de advertencia, para 
indicar las operaciones y pasos que no deben realizarse. En las ocho unidades que conforman el libro 
se da una breve información teórica del subtema a estudiar y se plantean de dos a cuatro problemas 
resueltos paso a paso. Al final de cada unidad se cuenta con un formulario, un glosario, los problemas 
a resolver y la sección de problemas reto.
El contenido del texto está estructurado en ocho unidades.
Unidad 1 Exponentes, logaritmos y porcentajes. En nuestro país, la realidad comercial y, so-
bre todo, la financiera se han influenciado por los avances tecnológicos que más impactan a la 
sociedad. Dos de estos avances lo representan las calculadoras modernas y las computadoras. 
El manejo de estas y sus programas de cálculo permiten a los alumnos, profesores y analistas 
de datos financieros obtener resultados de manera rápida y certera y logra al mismo tiempo un 
máximo beneficio que se refleja en atractivos rendimientos en sus inversiones. Por esta razón nos 
hemos preocupado por incluir en esta unidad la forma de resolver las operaciones aritméticas 
básicas, exponentes, radicales, logaritmos, proporciones, regla de tres y porcentajes, utilizando 
estas herramientas indispensables en el aprendizaje de las matemáticas financieras. 
Unidad 2 Series y sucesiones. Inicia con las sucesiones o progresiones aritméticas, al explicar 
la forma de encontrar el n-ésimo término y la suma de los términos de la progresión. Después 
�III
ContenidoUNIDAD 1
se estudian las progresiones geométricas, se indica la forma de encontrar el n-ésimo término, 
número de términos y la suma total de términos en una serie. 
Unidad 3 Interés simple. Comienza con la explicación del concepto de interés simple, la tasa de 
interés y la forma de calcularlos. Se continúa con el interés simple o real, el ordinario o comercial, 
el monto, el valor presente o actual y el tiempo (plazo). También se incluye el descuento simple 
y se estudian los siguientes casos: el valor descontado o ganancia, tasa de rendimiento, valor de 
vencimiento, relación entre la tasa de descuento y la tasa de rendimiento, plazo y el pagaré. Por 
último, se ven las ecuaciones de valor equivalentes o de valor, la diferencia entre interés ordinario 
y exacto, ecuaciones de valor, descuento bancario y descuento comercial.
Unidad 4 Interés compuesto. Empieza con la forma de calcular el monto compuesto, la com-
paración delinterés simple con el compuesto, el valor actual o presente y el tiempo. Después 
se estudia el concepto y forma de cálculo de las tasas de interés equivalentes, efectivas y no-
minales. También se ve la aproximación a la tasa de interés y la ecuación de valor y de tiempo 
equivalente.
Unidad 5 Anualidades. En esta se muestra el cálculo del valor futuro, el valor presente, el plazo 
y la renta para las anualidades simples o vencidas, anticipadas y diferidas. Además, se incluye el 
estudio de la anualidad general y anualidades perpetuas.
Unidad 6 Amortización. Se inicia con la amortización gradual y tasa negativa. Se presentan 
casos sobre cómo es la amortización de una deuda, hipotecas, inflación, refinanciamiento de un 
crédito y fondos de amortización. Se continúa con la depreciación y se explica en qué activos 
se aplica y en cuáles no. Después, se explica la forma de utilizar los diferentes métodos como la 
línea recta, porcentaje fijo, suma de dígitos, de unidades de producción o servicio y de fondo 
de amortización. Tanto para la amortización como para la depreciación se enseña cómo utilizar 
Excel para elaborar cuadros de amortización y depreciación.
Unidad 7 Análisis de proyectos de inversión. En esta unidad se muestra la metodología em-
pleada en el ámbito financiero para realizar un proyecto de inversión, como es el caso del análisis 
de flujo de efectivo de un proyecto y su variabilidad, al emplear los conocimientos adquiridos 
en las unidades anteriores. Se estudia la forma de calcular el valor presente en la metodología 
denominada Valor Actual Neto (VAN) y el costo de capital (TIR) para calcular el valor presente de 
un proyecto de inversión.
Unidad 8 Bonos y obligaciones. Se estudia lo referente a bonos y obligaciones como princi-
pales mecanismos de financiamiento para proyectos de inversión pública y privada. También a 
conocer y operar las operaciones básicas relativas a los bonos de descuento puro, las relativas a 
bonos de cupón, rendimiento actual y rendimiento al vencimiento.
Es importante mencionar que los resultados de los problemas resueltos pueden variar un poco debido 
a los que se obtengan. Esto se debe a la forma en que esté programada la calculadora con respecto a 
la fracción decimal o el número de fracciones decimales que utilice.
Se espera que con Matemáticas Financieras Serie Patria, nuestros lectores puedan resolver los pro-
blemas financieros que se les presenten.
Los autores
Grupo Editorial Patria©
IX
UnIDAD 1 Exponentes, logaritmos 
y porcentajes 1
1.1 Exponentes 2
1.2 Exponentes enteros 3
1.3 Exponente negativo 4
1.4 Radicales 5
1.5 Suma de radicales semejantes 
1.6 Suma y resta de radicales del mismo índice 
con subradical diferente 
1.7 Multiplicación de radicales del mismo índice 7
1.8 División de radicales del mismo índice 8
1.9 Redondeo 
1.10 Notación científica 9
1.11 Propiedades de los logaritmos base 10 10
1.12 Únicos números cuyos logaritmos son enteros 11
1.13 Propiedades de los logaritmos 13
1.14 Antilogaritmo 14
1.15 Logaritmos naturales 15
1.16 Tanto por ciento 16
Problemas para resolver 23
Problemas reto 26
UnIDAD 2 Series y sucesiones 27
2.1 Introducción 
2.2 Sucesiones o progresión aritmética 28
2.3 Progresiones aritméticas 30
Contenido
X
Contenido
2.4 Progresiones geométricas 33
2.5 Aplicaciones 38
Problemas para resolver 42
Problemas reto 43
UnIDAD 3 Interés simple 45
3.1 Introducción 46
3.2 Cálculo del monto 53
3.3 Valor presente o actual 55
3.4 Cálculo del tiempo o plazo 57
3.5 Descuento simple 59
3.6 Valor descontado o ganancia 60
3.7 Tasa de rendimiento 62
3.8 Valor de vencimiento 63
3.9 Tasa de descuento 64
3.10 Relación entre la tasa de descuento 
y la tasa de rendimiento 65
3.11 Plazo 67
3.12 Pagaré 68
3.13 Aplicaciones 71
3.14 Inversión en cetes 72
3.15 Inversión en udis 73
3.16 Ecuaciones de valor equivalente o de valor 75
Problemas para resolver 80
Problemas reto 84
UnIDAD 4 Interés compuesto 85
4.1 Introducción 
4.2 Monto 86
4.3 Comparación del interés simple 
con el interés compuesto 93
4.4 Valor actual o presente 95
4.5 Tasas equivalentes, efectivas y nominales 100
4.6 Ecuación de valor 105
4.7 Tiempo equivalente 110
Grupo Editorial Patria©
XI
4.8 Inflación 113
Problemas para resolver 120
Problemas reto 122
UnIDAD 5 Anualidades 123
5.1 Introducción 124
5.2 Anualidades a perpetuidad o anualidad perpetua 
5.3 Anualidades vencidas 125
5.4 Anualidades anticipadas 138
5.5 Anualidades diferidas 147
5.6 Anualidades generales 166
5.7 Anualidades generales anticipadas 176
5.8 Anualidad general diferida 177
5.9 Anualidad general variable 178
5.10 Anualidades perpetuas 183
Problemas para resolver 191
Problemas reto 194
UnIDAD 6 Amortización y depreciación 195
6.1 Introducción 196
6.2 Inflación 209
6.3 Unidades de inversión (udi) 212
6.4 Fondos de amortización 213
6.5 Depreciación 216
6.6 Depreciación e inflación 226
6.7 Método de la suma de dígitos o enteros 229
6.8 Método de unidades de producción o servicio 231
6.9 Método del fondo de amortización 234
Problemas para resolver 241
Problemas reto 244
XII
Contenido
UnIDAD 7 Análisis de proyectos de inversión 245
7.1 Introducción 246
7.2 Metodologías de evaluación de inversiones 247
7.3 Método del valor actual neto (van) 248
7.4 Método de la tasa interna de rendimiento (tir) 
o costo de capital 252
7.5 Análisis de inversiones con van y tir 255
Problemas para resolver 262
Problemas reto 263
UnIDAD 8 Bonos y obligaciones 265
8.1 Introducción 266
8.2 Bonos de descuento puro o bonos cupón cero 267
8.3 Bonos con cupón, rendimiento actual 
y rendimiento al vencimiento 268
Problemas para resolver 275
Problemas reto 
Referencias bibliográficas 276
Bibliografía final 277
UNIDAD 1
Exponentes, logaritmos 
y porcentajes
OBJETIVOS
 Identificar y manejar expresiones algebraicas con exponentes enteros positivos, negativos 
y fraccionarios.
 Aprender a dividir, multiplicar y reducir expresiones con radicales.
 Convertir expresiones con radicales a exponentes fraccionarios.
 Conocer y comprender el sistema de logaritmos y sus propiedades.
 Aprender a encontrar el logaritmo de base a, base 10 y base e.
 Aprender a encontrar el antilogaritmo de base 10.
 Realizar el cálculo e interpretación de los porcentajes.
 Aprender a utilizar la calculadora y hoja de cálculo Excel, con exponentes radicales y 
logaritmos.
 Comprender la trascendencia de los temas estudiados y su importancia en la aplicación 
en matemáticas financieras.
¿QUÉ SABES?
Aplica tus conocimientos y encuentra los resultados de cada problema
 Encontrar el resultado de las operaciones aritméticas 9 + 6 × 4 - 5 + 48/8 =
 El producto de las potencias (x3)(x 6) es igual a: ______________.
 Encontrar el resultado utilizando calculadora y computadora: [(2)(6)]3 =
2
Exponentes, logaritmos y porcentajesUNIDAD 1
 Encontrar el resultado utilizando calculadora y computadora: 
1
3
3




=
−
 Encontrar el resultado utilizando calculadora y computadora: 893 =
 Encontrar el resultado utilizando calculadora y computadora: 5 7 8 7− =
 Encontrar el resultado utilizando calculadora y computadora: 2 11 3 483 3( ) =
 Completar el cuadro
Logaritmo Característica Mantisa
Log3 = 0.4771
 Encontrar el resultado utilizando calculadora y computadora: log 9993 =
 Andrea compró un refrigerador en $5 400.00; ella dio 20% de enganche del 
precio del refrigerador. ¿Cuánto pagó de enganche (en pesos)?
1.1 Exponentes
La potenciación es la operación que toma una expresión algebraica como factor dos o más veces, y al 
resultado de la operación se le llama potencia.
Si x ∈ R y n ∈ N entonces:
xn = (x)(x) … (n) = n-ésima potencia de x
Ï Ô Ì Ô Ó
n factores
n entero positivo es el exponente
x es la base
 ■ La primera potencia de una expresión es: x1 = x
 ■ La segunda potencia de una expresión es: x2 = (x)(x)
 ■ La tercera potencia de una expresión es: x3 = (x)(x)(x)
Problema resuelto
 1. a) 25 = 2 ⋅2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 32 c) (x + 1)2 = (x + 1)(x + 1)
 b) 123 = 12 ⋅ 12 ⋅ 12 = 1 728 d ) (x + a)n = (x + a)(x + a) …, n = 1, 2, 3…
Una expresión algebraica se obtiene al combinar una o varias operaciones, 
con números y símbolos, ejemplo: 4x2, 7x + 4a, 6 8 5x x+
En la calculadora la tecla para encontrar la potencia de una expresión es la siguiente:
yx o ∧ Encontrar la elevación a potencia.
Problema resuelto
 2.
 
Problema Operación Teclas en la calculadora Resultado en pantalla
a) (23) = 8 2 y x 3 = 8
b) (43) = 64 4 ∧ 3 = 64
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3
1.2 Exponentes enteros
 ❚ 1.2.1 Producto de potencias de igual base
(an)(am) = an + m
Problema resuelto
 4. a) (32)(34) = 36 = 729 c) (a2)(a6) = a4 + 6 = a10
 b) (123)(122) = 125 = 248 832 d ) (x + a)2(x + a)3 = (x + a)5
Problema resuelto
 3. Con la hoja de cálculo Excel
 a) Con la función = POTENCIA(número, potencia)
 b) Con el acento circunflejo = número[alt gr] + [^] potencia
Problema resuelto
 5.
 
Problema Operación Teclas en la calculadora Resultado en pantalla
a) (22)(24) = 22 + 4 = 26 = 64 2 y x 2 × 2 y x 4 = 64
b) (43)(42) = 64 × 16 = 1 024 3 ∧ 4 × (2 ∧ 4) = 1 024
 ❚ 1.2.2 Elevar una potencia a otra potencia
(an)m = a(n)(m)
Problema resuelto
 6. a) (42)3 = 42 · 3 = 46 = 4 096 d ) (22)6 = 22 · 6 = 212 = 4 096
 b) (82)4 = 82 · 4 = 88 = 16 777 216 e) ((x + m)3)5 = (x + m)3 · 5 = (x + m)15
 c) (42)3 = 4(2)(3) = 46 = 4 096 f ) (25)4 = 2(5)(4) = 220 = 1 048 576
4
Exponentes, logaritmos y porcentajesUNIDAD 1
 ❚ 1.2.3 Producto elevado a una potencia n
El producto elevado a una potencia se calcula con la siguiente expresión:
[(a)(b)]n = (a)n(b)n
Problema resuelto
 7. a) [(2)(3)]2 = (22)(32) = 4 × 9 = 36
 b) [(4)(3)]3 = (43)(33) = 64 × 27 = 1 728
 c) [(8)(5)]4 = (84)(54) = 4 096 × 625 = 2 560 000
 d ) [(x + 1)(x + a)]2 = (x + 1)2(x + a)2
 e) [(2)(5)]2 = (22)(52) = (4)(25) = 100
 f ) [(3)(2)]3 = (33)(23) = (27)(8) = 216
 ❚ 1.2.4 Elevar un cociente a una potencia n
El producto elevado a una potencia se calcula con la siguiente expresión:
a
b
a
b
b
n n
n




= ≠; si 0
Problema resuelto
 8. a) 
2
3
2
3
4
9
2 2
2



 = = d ) 
8
7
8
7
4096
2401
4 4
4



 = =
 b) 
4
7
4
7
64
343
3 3
3



 = = e) 
5
6
5
6
25
36
2 2
2



 = =
 c) 
6
7
6
7
36
49
0 73469388
2 2
2




=





 = = . f ) 
3
7
3
7
27
343
0 078717
3 3
3




=





 = = .
1.3 Exponente negativo
Se encuentra al dividir dos potencias de igual base, con un exponente menor en el numerador y mayor 
en el denominador.
a
a
a a
2
3
2 3 1= =− −
Se conoce a 1/a como el inverso multiplicativo de a, cuando a ≠ 0.
a
a
− =1
1
Problema resuelto
 9. a) ax
a
x
− =1 b) m xy
m
xy
2 1
2
( )− =
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5
1.4 Radicales
 ❚ 1.4.1 Exponentes fraccionarios
El exponente fraccionario se obtiene de extraer una raíz a una potencia.
a an n1 = ; con a ∈ R+ y n ≠ 0
n es el índice de la raíz
a cantidad subradical o radicando
 símbolo del radical
 c) 4-3 = 0.015625 e) a
a a2 3
2
3
2
4
4 64
− = =
 d ) 3
1
3
1
9
0.1112
2
= = =− f ) 
1
2
1
1
2
1
1
2
1
1
512
1
0.001953
512
9
9 9
9




=




= =
= = =
−
Problema resuelto
 10. a) x x3 4 34= c) ( ) ( )x a x a+ = +2 5 25
 b) am a m1 3 3= d ) 8 81 2 2=
yx o x1/y o ∧ teclas para encontrar raíces con índice igual a dos o superior a dos.
Si el índice es un número par, entonces la raíz es un número positivo y debe satisfacer:
a c c an n= ⇔ =
Si c n = a y n es un entero positivo, entonces c es la raíz n-ésima de a.
Problema resuelto
 11. a) (-3)2 = 9, entonces: la raíz cuadrada de 9 es +3 y -3, 9 32 = ±
 b) (-2)3 = -8, entonces: la raíz cúbica de -8 es solamente -2, − = −8 23
a
n a la raíz es positiva y negativa
n a la raíz es solamente negativa
n
Si es par y positiva entonces:
Si es impar y negativa entonces:




Si m y n son enteros, la base a diferente de cero y la potencia fraccionaria es m/n, se puede expresar 
como radical, en donde n es el índice del radical, a es el subradical y m el exponente del subradical.
a am n mn=
6
Exponentes, logaritmos y porcentajesUNIDAD 1
Con la hoja de cálculo Excel
Problema resuelto
 12. a) 8 8 3253 5 3= = c) 3 6 3 36 3 36 ( 3.30 )( 3 ) 9.923 3 1 3( )= = = =
 b) 
1
2
109
1
2
10 44 5 22=



 =( . ) . d ) − = − = −27 27 3
3 1 3( )
Problema resuelto
 13.
 
Operación Teclas en la calculadora Resultado en pantalla
a) 16 24 = 4 xn 16 = 2
b) 161/4 = 2 1 ÷ 4 = Min C 16 y x RM = 2
Para otro tipo de calculadora
c) 64 2 8284 = . 4 SHIFT x 64 = 2.828
d ) 271/3 = 3 ( 1 ÷ 3 ) = Min C 27 ∧ RM ) = 3
Problema resuelto
a) Con la función = RAIZ(número), solo se obtiene la raíz cuadrada de un número. Por ejemplo, 
la expre sión 9 32 = , en Excel con la función = RAIZ(9)
b) Con el acento circunflejo = número[alt gr ] + [ ̂ ] potencia. Por ejemplo, la expresión 27 33 = , en 
Excel = 27 ˆ (1/3)
Problema resuelto
Problemas en Excel
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7
1.5 Suma de radicales semejantes
En los radicales semejantes se deben sumar algebraicamente los coeficientes, y la suma de estos es el 
coeficiente del radical común.
Problema resuelto
 14. a) 2 5 4 5 2 4 5
2 5
4 472
− = −
= −
= −
( )
.
 c) 3 9 4 9 ( 3 4 ) 9
7( 3 )
21.0
+ = +
=
=
 b) 2 7 3 7 2 3 7
5 7
5 2 645
13 228
+ = +
=
= ×
=
( )
.
.
 d ) 5 6 3 6 2 6 (5 3 2 ) 6
4 6
4 2.4494
9.80
− + = − +
=
= ×
=
1.6 Suma y resta de radicales del mismo índice 
con subradical diferente
Problema resuelto
 15. a) 2 5 3 9 2 2 236 3 3
4 472 9
4 528
− = −
= −
= −
( . ) ( )
.
.
 d ) 5 64 2 10 5 8 2 3 162
40 6 324
46 324
+ = +
= +
=
( ) ( . )
.
.
 b) 4 16 3 7 4 4 3 2 64
16 7 937
23 937
+ = +
= +
=
( ) ( . )
.
.
 e) 3 21 7 6 4 6 3 4 58 7 4 6
13 748 3 6
6 399
− + = + − +
= −
=
( . ) ( )
.
.
 c) 5 25 4 11 5 5 4 3 3166
25 13 26
38 266
+ = +
= +
=
( ) ( . )
.
.
 f ) 6 26 3 6 2 6 6 5 099 3 2 6
30 59 6
28 145
− + = + − +
= −
=
( . ) ( )
.
.
1.7 Multiplicación de radicales del mismo índice
En la multiplicación de radicales del mismo índice se deben multiplicar los radicales, y el resultado de 
esta operación es el nuevo subradical, siendo el índice el mismo en el nuevo radical.
a b a bn n n( ) = ( )( )
Problema resuelto
 16. a) 5 9 5 9 45 6 7( ) = × = = . c) 3 5 4 12 3 2 236 4 3 464
6 708 13 8564
92
( ) = [ ]
=
=
( . ) ( . )
( . )( . )
.9952
 b) 3 27 3 27 81 9( ) = × = = d ) 64 10 4 2 15 8 6173 3( ) = =( . ) .
8
Exponentes, logaritmos y porcentajesUNIDAD 1
1.8 División de radicales del mismo índice
En la división de radicales del mismo índice se obtiene un radical con el mismo índice y el cociente de 
ambos radicales.
a
b
a
b
n
n
n=
 e) 2 81 27 2 4 32 3
2 12 96
25 96
3 3( ) = ×
=
=
( . )
( . )
.
 f ) 5 25 3 18 2 5 5 3 4 24264 2
25 12 72792 2
( ) + = [ ] +
= +
=
( ) ( . )
( )( . )
3318 198 2
320 198
.
.
+
=
Problema resuelto
 17. a) 12
5
12
5
2 4
1 549
=
=
=
.
.
 d ) 84
11
84
11
7 636
1 969
3
3
3
3
=
=
=
.
.
 b) 
9
25
9
25
0.36
0.6
=
=
=
 e) 93
4
93
4
23 25
1 876
5
5
5
5
=
=
=
.
.
 c) 81
27
81
27
3
1 44
3
3
3
3
=
=
= .
 f ) 48
11
48
11
4 36364
1 445
4
4
4
4
=
=
=
.
.
Problema resuelto
Resuelve las ecuaciones exponenciales
 18. a) 1
12
1
0 125
6
1
12
1
12 6
12
12
+



 = +




+



 =
i
i
.
( ++
+ =
= −
0 020833
1
12
1 13169
12
1 13169 1
612
12
1 12
. )
.
( . )
i
i
ii
i
i
= − 
=
=
12 1 13169 1
12 0 01036
0 1243
0 0833( . )
( . )
.
.
66
 b) e
e
e
e
= +




−
= −
= −
=
1
0 22
6
1
1 03667 1
1 2412 1
0 2
6
6
.
( . )
.
. 4412
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9
1.9 Redondeo
Redondeo de una cantidad hacia arriba a cuatro cifras.
Problema resuelto
 19.
 
Número Redondeo
a) 0.204688 0.2047
b) 9.711768 9.712
c) 0.7988745 0.7989
Problema resuelto20.
 
Número Redondeo
a) 0.6184142 0.6184
b) 0.1246397 0.1246
c) 3.4161853 3.416
Problema resuelto
 21.
 
a) 12 × 10-2 = 0.12 12 EXP - 2 = 0.12
b) 1.578E - 1 = 0.1578 1.578 EXP - 1 = 0.1578
c) 0. 9510E + 2 = 95.1 0.9510 EXP + 2 = 95.1
 c) 1
12
1
0 116
4
1
12
1
12 4
12
12
+



 = +




+



 =
i
i
.
( ++
+ =
= −
0 029
1
12
1 1211443
12
1 1211443
412
12
1 12
. )
.
( . )
i
i
11
12 1 1211443 1
12 0 009574
0
0 0833i
i
i
= − 
=
=
( . )
( . )
.
.
11149
Redondeo hacia abajo a cuatro cifras de las siguientes cantidades:
1.10 Notación científica
Cuando se trabaja con números muy grandes o pequeños utilizamos la notación científica. El punto 
decimal se mueve a la derecha cuando el exponente es positivo y a la izquierda si es negativo, el ex-
ponente indica el número de lugares que se tiene que mover el punto decimal.
 EXP o EE tecla para escribir la notación científica en la calculadora
10
Exponentes, logaritmos y porcentajesUNIDAD 1
Forma de representar una cantidad en notación científica hacia arriba.
Problema resuelto
 22.
 
Número Notación científica Con calculadora EXP 
a) 679.19 6.7919 × 102 6.7919 × 1002
b) 48.56 4.856 × 101 4.856 × 1001
c) 5.31 5.31 × 100 5.31
d ) 258 916 2.58916 × 105 2.58916 × 1005
Problema resuelto
 23.
 
Número Notación científica Con calculadora EXP 
a) 0.3471 3.471 × 10-1 3.471 × 10-01
b) 0.0126 1.26 × 10-2 1.26 × 10-02
c) 0.00879 8.79 × 10-3 8.79 × 10-03
d ) 0.0002978 2.978 × 10-4 2.978 × 10-04
e) 793.24 7.9324 × 102 7.9324 × 1002
Problema resuelto
Ejemplos:
 24. a) 90 = 1 c) 92 = 81 e) 94 = 6 561
 b) 91 = 9 d ) 93 = 729 etcétera
Forma de representar una cantidad en notación científica hacia abajo.
El logaritmo de un número es el exponente al que se debe elevar otro número llamado base para 
obtener un tercer número.
La base es un número positivo y este es la base de un sistema de logaritmos.
 Sistema
 de 
x x
e
x xe
* Logaritmos vulgares o Briggs la base es 10 ( log log )
* Logaritmos naturales o neperianos la base es: 2.71828182845
* log ln
10 =
= …
=




 logaritmos
Se puede tomar como base para un sistema de logaritmos cualquier número positivo.
1.11 Propiedades de los logaritmos base 10
 ❚ 1.11.1 Progresiones
Problema resuelto
 25 a) 100 = 1 c) 102 = 100 e) 10
1
10
0 012
2
− = = .
 b) 101 = 10 d ) 10
1
10
0 11
1
− = = . f ) 10
1
10
0 0013
3
− = = .
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11
1.12 Únicos números cuyos logaritmos son enteros
Problema resuelto
 27. a) log 1 = 0 c) log 3 = 0.4771 e) log 9 = 0.9542
 b) log 2 = 0.3010 d ) log 8 = 0.9031 f ) log 10 = 1
Problema resuelto
 26. a) log 1 = 0 c) log 100 = 2 e) log 0.01 = -2
 b) log 10 = 1 d ) log 0.1 = -1 f ) log 0.001 = -3
Problema resuelto
 28. a) log 100 = 2 c) log 500 = 2.6990 e) log 700 = 2.8451
 b) log 200 = 2.3010 d ) log 600 = 2.7781 f ) log 1 000 = 3
El logaritmo de los números entre 1 y 10, su logaritmo se encuentra entre 0 y 1.
El logaritmo de los números entre 100 y 1 000, su logaritmo se encuentra entre 2 y 3.
Por analogía el logaritmo de los números entre 1 000 y 10 000, su logaritmo se encuentra entre 3 y 4.
Problema resuelto
 29. a) log 2 000 = 3.3010 c) log 6 000 = 3.7781
 b) log 5 000 = 3.6990 d ) log 10 000 = 4
Todo logaritmo de un número que no sea potencia de 10 con exponente entero, está formado de una 
parte entera y una parte decimal.
A la parte entera se le llama característica y a la parte decimal mantisa, por ejemplo:
Alerta
Los números negativos no 
tienen logaritmo.
Problema resuelto
 30.
 
 Logaritmo Característica Mantisa
a) log 4 = 0.6020 0 0.6020
b) log 600 = 2.7781 2 0.7781
c) log 7 500 = 3.8750 3 0.8750
d ) log 85 000 = 4.9294 4 0.9294
Mantisa Siempre es Positiva{ ∗
Característica
Positiva si el número es mayor o igual a 10
Cero si el número es mayor o igual a 1 y menor que 10
Negativa si el número es mayor que 0 y menor que 1
∗
∗
∗





Para conocer la característica de un número mayor a 1, se resta una unidad al número total de cifras de 
la parte entera del número.
12
Exponentes, logaritmos y porcentajesUNIDAD 1
Para conocer la característica de un número menor a 1, se suma una unidad al número total de ceros 
que hay entre el punto decimal y la primera cifra significativa del número.
Problema resuelto
 31.
 
 Logaritmo Cifra Operación Característica Mantisa
a) log 5 = 0.6989 1 1 - 1 = 0 0 0.6989
b) log 650 = 2.8129 3 3 - 1 = 2 2 0.8129
c) log 5 700 = 3.7558 4 4 - 1 = 3 3 0.7558
d ) log 76 000 = 4.8808 5 5 - 1 = 4 4 0.8808
Problema resuelto
 32.
 
 Logaritmo Ceros Operación Característica Mantisa
a) log 0.1 = -1 0 0 + 1 = 1 -1 0
b) log 0.01 = -2 1 1 + 1 = 2 -2 0
c) log 0.001 = -3 2 2 + 1 = 3 -3 0
d ) log 0.0001 = -4 3 3 + 1 = 4 -4 0
Problema resuelto
33.
 
Operación Teclas en la calculadora Resultado en pantalla
a) log 57 = 1.755874856 57 log = 1.755874856
b) log 0.8735 = -0.05873709 o 1.941262909 log 0.8735 = -0.05873709
c) ln 26 = 3.2580906 ln 26 = 3.2580906
d ) ln e = 1 ln 2.718281828459 = 1
Al escribir un logaritmo, cuya característica es negativa, el signo menos se coloca sobre la caracterís-
tica y nunca delante de ella, porque las mantisas son positivas, por lo tanto, un logaritmo no se debe 
representar como: -2.3846; la forma correcta es: 2 .3846.
En la calculadora cuando la característica de un número menor a 1, en la pantalla indicador aparece de 
la siguiente forma: log 0.6 = -0.2218, lo que significa que la característica es -1 y la mantisa 0.7782. 
Si la característica de un número igual o mayor a 1, en la pantalla aparece de la siguiente forma: 
log 260 = 2.414973, lo que significa que la característica es 2 y la mantisa 0.414973.
Para encontrar el logaritmo utilizando la calculadora se sigue la siguiente secuencia de tecleo depen-
diendo de la calculadora.
log x o x log
ln x o x ln
El logaritmo de base a se define como:
Sea a la base del logaritmo, en donde a es un número real 
distinto de uno, se tiene:
y = loga x si y solo si x = a
y
para toda x > 0, todo número real y
Alerta
En honor al matemático 
suizo Leonhard Euler 
(1707-1783), se eligió la 
letra e para tomarla como 
base del logaritmo natural 
(o neperiano).
Grupo Editorial Patria©
13
Si analizamos la definición encontramos dos funciones: una logarítmica (y = loga x) y la otra exponencial 
(x = ay), con la misma base a.
Exponente
loga x = y a
y = x
Base
De la interpretación del logaritmo como un exponente 
están las siguientes propiedades:
 
Núm. Propiedad Motivo
1. log
a
 1 = 0 a0 = 1
2. log
a
 a = 1 a1 = a
3. log
a
 ax = x ax = ax
4. aloga x = x ay = x
Problema resuelto
 35. a) log (4 × 10) = log (4) + log (10) = 0.602059 + 1 = 1.602059
 b) log (12 × 31) = log (12) + log (31) = 1.07918 + 1.49136 = 2.57054
 c) log (231 × 51) = log (231) + log (51) = 2.36361 + 1.70757 = 4.07118
Problema resuelto
 34.
 
log
a
 x = y x = ay
a) log
8
 x = 2 82 = x
b) log
a
 16 = 2 a2 = 16
c) log
10
 x = y 10y = x
Problema resuelto
 36. a) log
12
8
log (12 ) log ( 8 ) 1.07918 0.90308 0.17609= − = − =
 b) log
5
17
log (5 ) log (17 ) 0.69897 1.23044 0.53147= − = − = −
 c) log
33
15
log ( 33 ) log (15 ) 1.51851 1.17609 0.34241= − = − =
1.13 Propiedades de los logaritmos
 ❚ 1.13.1 Logaritmo del producto
El logaritmo del producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.
log(A × B) = log A + log B
 ❚ 1.13.2 Logaritmo de un cociente
El logaritmo del cociente es igual al logaritmo dividendo menos el logaritmo divisor.
A
B
A Blog log log= −
14
Exponentes, logaritmos y porcentajesUNIDAD 1
 ❚ 1.13.3 Logaritmo de una potencia
El logaritmo del cociente es igual a la multiplicación del exponente por el logaritmo de la base.
log An = n(log A)
Problemas resueltos
 40. Sea el log 15 = 1.1760912, encontrar el antilogaritmo de 1.1760912 es: 15
 Con calculadora
 a) log 15 = 1.1760912, encontrar el antilogaritmo de:
 SHIFT log 1.1760912 = 15Problema resuelto
 37. a) log log ( ) ( . ) .3 5 3 5 0 47712 2 385605 =   = =
 b) log log ( ) ( . ) .23 4 23 4 1 36172 5 446914 =   = = 
 c) log log ( ) ( . ) .247 3 247 3 2 39269 7 178093 =   = =
Problema resuelto
 39. a) Sea el log 76 = 1.88081, encontrar el antilogaritmo de 1.88081 es: 76
 b) Sea el log 25 = 1.39794, encontrar el antilogaritmo de 1.39794 es: 25
 c) Sea el log 397 = 2.59879, encontrar el antilogaritmo de 2.59879 es: 397
Problema resuelto
 38. a) log
log
.57
57
2
0 8779= =
 b) log
log
.39
39
3
0 53043 = =
 c) log
log
.72
72
4
0 46434 = =
 ❚ 1.13.4 Logaritmo de una raíz
El logaritmo de la raíz es igual al logaritmo del subradical dividido entre el índice del radical.
A
A
n
nlog
log
=
1.14 Antilogaritmo
Cuando se conoce el logaritmo de un número desconocido x, al encontrar el valor de x a este proceso 
se le conoce como antilogaritmo y se abrevia antilog.
Utilizando la calculadora existen dos caminos para encontrar el antilogaritmo:
SHIFT log x o 2nf log x
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15
1.15 Logaritmos naturales
Una función logarítmica de base a(y = loga x) es la inversa de una función exponencial (x = a
y). A partir 
de esto se puede llegar a una definición.
Cuando se sustituye la base a por la base e, se obtiene la siguiente expresión (si x > 0):
y = loge x, si y solo si x = e
y
A partir de lo anterior la definición de logaritmo natural es:
ln x = loge (x), para todo x > 0
 ❚ 1.15.1 Leyes de los logaritmos naturales
 1. ln (AB) = ln A + ln B
 2. 
A
B
A Bln ln ln



 = −
 3. ln An = n ln A
Alerta
Definición:
El loga x se expresa de la 
siguiente forma:
y = loga x, si y solo si x = a
y
Problemas resueltos
Con calculadora
 42.
 
Operación Teclas en la calculadora Resultado en pantalla
antilog 1.5563025 = 36
101.5563025 = 36
SHIFT log 1.5563025 =
2nf log 1.5563025 =
10 y x 1.5563025 =
10 ∧ 1.5563025 = 
36
36
36
36
 43.
 
Operación Teclas en la calculadora Resultado en pantalla
antilog 2.1986571 = 158
102.1986571 = 158
2nf log = 2.1986571 
10 y x 2.1986571 = 
158
158
 b) log 15 = 1.1760912, encontrar el antilogaritmo de:
 1.1760912 2nf log = 15
41. Sea el log x = 1.30102999 y si 101.30102999 = x,
 ∴ x el antilogaritmo de 1.30102999, se representa como:
 x = antilog 1.30102999 = 101.30102999
 x = 10 ˆ 1.30102999
 x = 20
Aplicando logaritmos a ambos lados de la igualdad:
log x = log (3.21.2 × 5)
log x = log 3.21.2 + log 5
log x = 1.2 log 3.2 + log 5
Solución:
Problema resuelto
44. Encuentra el resultado de x = 3.21.2 × 5
16
Exponentes, logaritmos y porcentajesUNIDAD 1
Es importante aclarar que ln an ≠ (ln a)n
 4. A
n
Anln
1
ln=
Cambio de base:
 5. x
x
aa
log
ln
ln
=
Teorema:
aloga x = x ⇒ eln x = x ⇒ ln ex = x
Propiedades para cuando x = 0:
En cualquier sistema de logaritmos:
 1. El logaritmo de la base (a) es uno.
e1 = e ∴ ln e = 1
 2. El logaritmo de uno es cero, si la base es a se tiene:
e0 = 1 ∴ ln 1 = 0
Expresión para cambiar de base
x
x
log
ln
ln 1010
= elog
1
ln 10
=
Problema resuelto
45. Encuentra el valor de x
 ln x = 2.3
 eln x = e 2.3
 x = e 2.3
 x = 9.974
Problema resuelto
Ejemplos:
46. a) Si seleccionamos 6 cuadros, estos representan 6 partes de un total de 100 partes y se represen-
ta de la siguiente forma: 6/100, expresándolo en tanto por ciento: 6%.
1.16 Tanto por ciento
Todo número puede ser divisible entre una o varias partes, entonces si todo número lo podemos dividir 
en las partes que se nos ocurra, por ejemplo en diez partes, en veinticinco, en cien, en quinientas, en 
mil, etc. Cuando hablamos en un caso particular del tanto por ciento de un número a una o varias de 
las cien partes iguales en que fue dividido el número.
Unidad = 1
1 2 3 . . . .
100
Cada cuadro representa un centésimo (1/100) del número (1).
Alerta
El signo de tanto por ciento 
(%) aparece por un error 
al utilizar la abreviatura 
de ciento (Cto.), esta 
siempre se empleaba en las 
operaciones comerciales o 
mercantiles.
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17
Unidad = 1
1 2 3 4 5 6
100
 b) Si deseamos conocer el 3% de 80, lo que se debe hacer es dividir a 80 en cien partes iguales y 
de ellas se toman tres.
Unidad = 80
1 2 3
100
 El 3% de 80 o 3/80 de 80 equivale a tres centésimas partes de 80.
 El 100% de 80 es 80, el 3% de 80, es lo que se desea conocer x, para encontrar el valor de x se 
emplea la regla de tres.
Datos Tanto por ciento (%) Partes
Supuesto 100 80
Pregunta 3 x
 Entonces:
 x =
×80 3
100
 x = 2.4
 El 3% de 80 es 2.4
Problema resuelto
48. ¿Qué porcentaje de:
 a) 17 500 es 2 300 b) 22 500 es 13 250?
 a) El 16% de 779 = 
16
100



 (779) = 124.64
 b) El 18% de 250 = 
18
100



 (250) = 45
 c) El 23.75% de 1 890 = 
23 75
100
.


 (1
 890) = 448.875
Solución
Problema resuelto
 47. a) Obtén el 16% de 779
 b) Obtén el 18% de 250
 c) Obtén el 23.75% de 1 890
18
Exponentes, logaritmos y porcentajesUNIDAD 1
 a) x(17 500) = 2 300 b) x(22 500) = 13 250
 x = 
2300
17500
 = 0.1314 = 13.14% x = 
13250
22500
 = 0.5888 = 58.88%
Solución
a) x es la base, el 6% de x es igual a 18 b) x(0.05) = 350 c) x(0.36) = 900
 x(0.06) = 18
 x = 
350
0 05.
 = 7 000 x = 
900
0 36.
 = 2 500
 x = 
18
0 06.
 = 300
Solución
Problema resuelto
49. ¿De qué número es:
 a) 18 el 6% b) 350 el 5% c) 900 el 36%?
a) Sea x el porcentaje, expresado en forma decimal. Como el % de 0.60 es igual al incremento se 
tiene:
 x(0.60) = (5.00 - 0.60)
 x(0.60) = 4.4
 x = 7.3
 x = 733.33%
b) Sea x el porcentaje, expresado en forma decimal. Como el % de $1.00 es igual al incremento se 
tiene:
 x(1.00) = (1.50 - 1.00)
 x(1.00) = 0.5
 x = 0.5
 x = 50%
Solución
Problema resuelto
50. a) El transporte en el D.F., costaba 60 centavos en 1970 y cinco pesos en 2012, ¿qué incremento 
ha tenido el precio del transporte? Expresarlo en porcentaje.
 b) El precio del bolillo era de un peso en el año 2010 y en 2012 cuesta $1.50, ¿qué incremento ha 
tenido el precio del bolillo? Expresarlo en porcentaje.
El precio de venta de un producto o servicio, se determina aumentando al costo del artículo una can-
tidad suficiente para cubrir los gastos de operación para poder tener una utilidad, a esta cantidad se 
le llama utilidad bruta. Y se conoce como utilidad neta a la cantidad que queda después de cubrir los 
gastos de operación.
Los gastos de operación son las cantidades que se pagan por concepto de luz, agua, renta, seguros, 
salarios, publicidad, etcétera.
El costo de un artículo son todos los gastos realizados para fabricar o adquirir el artículo. Mientras que el 
costo de un servicio son todos los gastos realizados para proporcionar el servicio.
Alerta
Utilidad bruta = 
Gastos de operación + 
Utilidad neta.
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19
x es el costo de producción
 Utilidad bruta = 65% de x = 0.65x
 Precio de venta = x + 0.65x = 540
1.65x = 540
x = 
540
1 65.
x = $327.27
Solución:
Problema resuelto
51. Un fabricante desea producir ángeles de porcelana y venderlos cada uno en $540.00. Con la 
experien cia de la fabricación de productos anteriores, él considera que si añade 65% del costo 
de producción para cubrir los gastos de operación y la utilidad neta, ¿cuánto puede gastar para 
poder producir los ángeles?
Cuando se desea conocer la tasa de interés compuesto (i ) es necesario despejarla de la ecuación de 
monto de interés compuesto.
M = C(1 + i )n
Existen dos caminos para despejar la tasa i; a continuación se muestran las dos alternativas.
Raíz Logaritmos
M
C
i n= +( )1
M
C
i n= +( )1
M
C
in nn= +( )1



 = +log log ( 1 )
M
C
i n
M
C
in = +1



 = +log log ( 1 )
M
C
n i
i
M
C
n=





−1 4 6.
+ =




log ( 1 )
log
i
M
C
n
+ =











1 antilog
log
i
M
C
n
=











−antilog
log
1 4.6i
M
C
n
a
Datos:
C = $600 000.00 M = $950 000.00 n = 3 años y 4 meses n = 20bimestres
Solución
Problema resuelto
52. El gerente de una empresa depositó en una institución financiera $600 000.00 y después de tres 
años y cuatro meses le entregarán la cantidad de $950 000.00. ¿Cuál es la tasa de interés bimestral 
que le dio la institución financiera a su inversión?
20
Exponentes, logaritmos y porcentajesUNIDAD 1
La tasa efectiva (e) capitalizable anualmente es equivalente a la tasa nominal (i ) compuesta en “p” 
periodos por año.
 [Tasa efectiva al cabo de un año] = [Tasa nominal en p periodos por año]
Dividiendo ambos términos entre C se tiene:
C e C
i
p
e
i
p
p
p
( )1 1
1 1
+ = +




= +




−
La tasa efectiva es la que actúa directamente sobre un periodo.
Alerta
Tasa efectiva o rendimiento 
anual efectivo. Es la tasa 
de interés simple que da el 
mismo rendimiento en un 
año que la tasa compuesta.
Incógnita i Desarrollo
‚
 
i
M
C
i
i
i
i
i
i
T
n 1
950000
600000
1
1.583333 1
1.58333 1
1.58333 1
1.023243 1
0.023243 bimestral
2.3243% bimestral
20
20
1 20
0.05
[ ]
( )
( )
=





 −
=








−
= −
= −
= −
= −
=
=
Datos:
C = $22 000.00
T = 9.7% A. C. Trimestral
np = (2.5 años) (4 trimestres por año) = 10 trimestres
n = 2.5 años
p = 4 trimestres al año
Incógnita M Desarrollo
 M = C
i
p
np
1+






 M1 = 22
 000 1
0 097
4
10
+




.
 M1 = 22
 000 1 02425
10
.[ ]
 M1 = 22
 000 (1.2707)
 M1 = 27
 956.47
Solución:
Problema resuelto
53. El señor Martínez invirtió $22 000.00 en Banorte, por un plazo de cuatro años, con un interés de 
9.7% capitalizable trimestralmente. Encontrar el monto al final de los cuatro años.
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21
e
e
e
e
= +




−
= −
= −
=
1
0 22
6
1
1 03667 1
1 2412 1
0 2
6
6
.
( . )
.
. 4412
24 12e anual= . %
Es lo mismo invertir al 22% capitalizable bimestralmente que al 24.12% con capitalización anual.
Solución:
Problema resuelto
54. Encontrar la tasa efectiva que corresponde a una tasa nominal de 22% capitalizable bimestral-
mente.
Datos
P0 = 103.9 millones de habitantes
k = 1.3% anual
t = 8 años
Incógnita P
Sustituyendo valores
P = P0e 
kt
P = 103.9 [e (0.013)(8)]
Aplicando logaritmos a los dos lados de la igualdad
P P e
P e
P e
P e
P
P anti
k t
ln ln 103.9
ln ln 103.9 ( 0.013 )( 8 ) ln ( )
ln 4.643428898 0.104 (ln )
ln 4.643428898 0.104 (1)
ln 4.747428898
0
( 0.013 )( 8 )
[ ]
[ ]
=
=
= +
= +
= +
=
P = 115.287 millones de habitantes
Solución:
Problema resuelto
55. Crecimiento de población
El crecimiento de la población en la República Mexicana en el año 2005 es de aproximadamente 
103.9 millones de habitantes, la tasa de crecimiento promedio 1.3% anual. Determinar la población 
esperada para el año 2013.
Se sabe que el comportamiento del crecimiento de una población es aproximadamente exponencial, a 
partir de lo anterior resolver el problema utilizando la siguiente expresión:
P = P0e
kt
En donde:
Literal Significado
P Número de habitantes de los esperados para un determinado año.
P
0
Número de habitantes en el año de referencia o base.
k Tasa de crecimiento promedio anual.
t Tiempo transcurrido.
22
Exponentes, logaritmos y porcentajesUNIDAD 1
a) 
 
Problema Operación Teclas en la calculadora Resultado en pantalla
Calcular el porcentaje 
de una cantidad. =
×16 1 500.00
100
x 1 500 × 16 SHIFT % 240.00
=
24 000.00
100
x 1 500 × 16 2da. = = 240.00
x = $ .240 00 1 500 × 16 % 240.00
 b) 
 
Problema Operación Teclas en la calculadora Resultado en pantalla
Calcular el porcentaje a 
que le corresponde una 
parte de la cantidad.
=
1660
2 880
x 1 660 ÷ 2 880 SHIFT % 57.64
=
1660.00
2 880.00
x 1 660 ÷ 2 880 2da. = 57.64
x = 0 576. 1 660 ÷ 2 880 % = 57.64
x = 57 64. %
Solución:
Problema resuelto
Con calculadora
 56. a) Calcular 16% de $1 500.00
 b) Encontrar qué porcentaje es $1 660.00 de $2 880.00
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23
Problemas aplicados a la realidad Problemas para resolver con tecnología
1.1 a) 26 = c) (x + 4)3 =
 b) 134 = d ) (3x + a)n =
1.2 Realizar la operación con calculadora y con la hoja de 
cálculo:
a) (53) = c) (36) =
b) (144) = d ) (56.253) =
1.3 Realizar la operación con calculadora y con la hoja de 
cálculo:
a) (44)(43) = c) (82)(83) =
b) (3.53)(52) = d ) (8.133)(2.252) =
1.4 a) [(3)(4)]2 =
 b) [(7)(5)]4 =
 c) [(3x + n)(x + m)]4 =
1.5 a) 
3
5
4



=
 b) 
5.5
6.35
2


 =
1.6 a) z7/6 = c) (3x + 4ab)2/7 =
 b) 2ab4x2/3 = d ) 8x1/3 =
1.7 a) 473 = c) 4 725ax =
 b) 
1
4
210 = d ) − =103
1.8 Realizar la operación con calculadora y con la hoja de 
cálculo:
a) 163 = c) 855 =
b) 161/6 = d ) 361/4 =
1.9 a) 4 6 2 9− = c) 5 21 9 6 2 7− + =
 b) 8 25 5 7− = d ) 5 36 4 10 3 10− + =
1.10 a) 6 7( ) = c) 125 273 3( ) =
 b) 5 72( ) = d ) 3 77 393 3( ) =
1.11 a) 
34
9
= c) 
44
19
3
3
=
 b) 
8
13
= d ) 
46
5
5
5
=
Potencia de un monomio:
1.12 a) −( ) =5 4 3 2x a b
 b) −




=
3
2
2
3
3
ya b
x
 c) 6 4 3
2
a x( ) =
Realiza producto de potencia de igual base:
1.13 a) (3)2(3)2 =
 b) (2)4(2)3 =
 c) (-5)3(-5)2 =
Eleva la potencia a otra potencia:
1.14 a) (x2)4 =
 b) [(-13)]4 =
 c) [(-xa)2]4 =
Realiza el producto elevándolo a una potencia:
1.15 a) (3xy)4 =
 b) -2(3ax)4 =
 c) (-xab)4 =
1.16 a) (-xab)3 =
 b) 
xy
2
3


 =
 c) 
xab4
5
2


 =
Eleva el cociente a una potencia n:
1.17 a) 
x
ay





 =
4
 b) 
ax
x−





 =2
5
1.18 a) 
4
3
xb
y





 =
 b) 
−



=
3
2
x
ab
Realiza el cociente de dos potencias de igual base con ex­
ponente diferente:
1.19 a) 
16
256
2
5
abx
x
=
 b) 
27
3
4
2
ax
x
=
 c) 
5
5
6
4 2
ax
x( )
=
UNIDAD 1Problemas para resolver
24
Problemas para resolverUNIDAD 1
Problemas aplicados a la realidad Problemas para resolver con tecnología
1.20 a) 
256
16
6 2 6
2 2
a b x
a x
=
 b) 
64
8
4 6 5
2 3
a b x
a x
=
Exponente cero y negativo:
1.21 a) (4ax)0 =
 b) 
a x
ax
3 2
2
=
1.22 a) 
( )
( )( )
4
4 4
2ax
ax ax
=
 b) 2
4
16
2 6
6
c
ax
ax




=
 c) 
( )( )
( )
4 25
5
6
3 2
ab x
x
=
Exponente fraccionario:
1.23 a) 16
2
3( ) =
 b) 9
3
6( ) =
 c) 2
3
7
7
3xa b =
1.24 a) 3
5
4ab mn( ) =
 b) 7 3
3
4
4
3a x y =
 c) 
5
7
2 3
6
5m n x =
Simplifica los siguientes radicales:
1.25 a) 27 6 43 a bx =
 b) 3 813 =
1.26 a) 
1
3
108 4x( ) =
 b) 2 32 33a x =
 c) 
ax
a b x
5
108 4 2( ) =
Introduce el coeficiente dentro del radical:
1.27 a) ax a2 2 =
 b) 3a ax =
 c) 4 3mx am =
1.28. a) x xy2 23 =
 b) 4 24ax b =
Realiza la suma de radicales semejantes:
1.29 a) 2 32 2ax ax+ =
 b) 4 32 2 2 2x ax x ax− =
1.30 a) 
x
mn
x
mn
5
2
5
35 35( ) ( )( ) + ( ) =
 b) 4 33 8 33 7 334 4mn x mn x mn x− + =
Realiza la multiplicación de radicales semejantes con el mis­
mo índice:
1.31 a) 2 6 34 4 4a ax ax x ax( )( ) −( ) =
 b) 2 823 3 3m amx m bmnx( ) − ( )  =
1.32 a) 2 33 2 3 2 3ax mxy x y bx x( )( ) ( )  ( )  =
 b) −( )


( ) =3 3 3
2
2 4 34 4 24ax ax
x
xy ax a
Realiza la división de radicales del mismo índice:
1.33 a) 
48
3
33
2 33
x
x y
( )
( )
=
 b) 
( ) ( )( )8 1 1
4 1
x a a
a
− +
+( )
=
Potenciación de radicales
1.34 a) 7 2 34
2
a x( ) =
 b) 7 3 23
2
a x( ) =
1.35 a) 5 22 2 33
2
x a y( )( ) =
 b) 
a
y
2
4 3
2
( )

 =
Realiza la radicación de radicales:
1.36 a) a3 =
 b) 625 =
 c) 7293 =
Resuelve las ecuaciones exponenciales
1.37 a) (1 + x)12 = b) 700(1 + x)12 =
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25
Problemas aplicados a la realidad Problemas para resolver con tecnología
 c) 1 500(1 + x)12 = d ) 
( )
.
1 1
0 3
6+ −
=
x
Completa los cuadros de acuerdo con lo solicitado en el 
encabezado del cuadro:
1.38
Logaritmo Cifra Operación Característica Mantisa
a) log 9 =
b) log 10 =
c) log 12 =
Operaciones con logaritmo base 10
Realiza el producto:
1.39 a) log (5 × 7) =
 b) log (12 × 27) =
 c) log (55 × 9) =Encuentra el cociente:
1.40 a) log
( 66 )
( 94 )
=
 b) log
(122 )
( 324 )
=
 c) log
( 7422 )
( 6534 )
=
Encuentra el logaritmo de un número elevado a una po­
tencia:
1.41 a) log 235 =
 b) log 323 =
 c) log 1203 =
Obtén el logaritmo del radical
1.42 a) log 81 =
 b) log 853 =
Realiza las siguientes operaciones con logaritmo de base 
(las respuestas tienen: de base 10)
Encuentra el producto:
1.43 a) log (25.55 × 39.29) =
 b) log (720 × 24.10) =
Obtén el cociente:
1.44 a) log
( 2022 )
( 3.41)
=
 b) log
( 32 )
(1.24 )
=
Encuentra el logaritmo de un número elevado a una po­
tencia:
1.45 a) log 235.2335 =
 b) log 59.323 =
Obtén el logaritmo del radical:
1.46 a) log 81.47 =
 b) log 235.853 =
 c) log 4532.814 =
Encuentra el antilogaritmo:
1.47
Antilogaritmo
a) antilog (0.95424)
b) antilog (1.0000)
c) antilog (1.07918)
1.48
Antilogaritmo
a) antilog (1.62324)
b) antilog (2.17609)
c) antilog (1.44715)
Logaritmos naturales
Encuentra el logaritmo:
1.49 a) ln 28 =
 b) ln 42 =
1.50 a) ln 250 =
 b) ln 420 =
Operaciones con logaritmos naturales
Realiza las siguientes operaciones:
1.51 a) ln (5) + ln (7) =
 b) ln (12) + ln (27) =
1.52 a) 5(ln (123)) =
 b) 3(ln (32)) =
 c) 3(ln (120)) =
26
Problemas aplicados a la realidad Problemas para resolver con tecnología
1.53 a) 
ln 81
2
=
 b) 
ln 85
3
=
 c) 
ln 281
4
=
1.54 Redondea a cuatro cifras significativas:
a) 0.4118235
b) 4.8794854
c) 2.4822016
1.55 Redondea a cuatro cifras significativas:
a) 0.5158618
b) 9.677712
c) 0.4467823
1.56 Expresa las siguientes cantidades en notación cien-
tífica:
Respuesta
Número Notación científica Con calculadora
a) 1 033 756
b) 0.0133756
c) 0.000018739
d ) 0.00035
Resuelve los siguientes problemas de porcentaje:
1.57 a) Obtener 16.75% de 2 600
 b) Obtener 20% de 5 400
1.58 ¿Qué porcentaje de
 a) 900 es 250?
 b) 4 427 es 777.50?
1.59 a) ¿De qué número es 480 el 15%?
 b) ¿De qué número es 4 427.50 el 16%?
 c) ¿De qué número es 14 542.50 el 18.9%?
UNIDAD 1 Problemas para resolver
PROBLEMAS RETO
a) El año pasado, el señor Orozco recibía un salario de $9 500 mensuales; en este año, con la revisión 
salarial, tiene un pago de $10 600 mensuales. ¿De cuánto es el aumento salarial?
b) En el reparto de utilidades de una empresa, el señor Pedro Martínez recibió $12 800 y Rosa María Juárez 
$14 981. ¿De cuánto es la diferencia del reparto de utilidades de Pedro y Rosa María, expresado en %?
a) Se representa de la siguiente forma: 7/100, expresándolo en tanto por ciento es 7%, represéntalo en 
una figura.
b) Se representa de la siguiente forma: 4/80, expresándolo en tanto por ciento es 5%, representa en una 
figura el 5%.
a) El 1/8% de 46 es:
Utilizando la calculadora
a) Calcular 12% de $1 500.00.
Teclas en la calculadora Resultado en pantalla
1500 × 12 SHIFT %
1500 × 12 2da. = =
1500 × 12 %
b) Encontrar qué porcentaje es $660.00 de $880.00.
Teclas en la calculadora Resultado en pantalla
660 ÷ 880 SHIFT %
660 ÷ 880 2da. = =
660 ÷ 880 %
1
2
3
4
UNIDAD 2
Series 
y sucesiones
OBJETIVOS
 Identificar las progresiones, aprender a encontrar los elementos de la progresión 
utilizando fórmula y la suma de los elementos que la forman.
 Aprender a encontrar los elementos de la serie aritmética utilizando fórmula, la suma 
de los elementos que la forman y calcular el número de elementos de las progresiones 
aritméticas.
 Identificar las progresiones geométricas, aprender a encontrar los elementos de la 
progresión utilizando fórmula y la suma de los elementos que la forman.
 Aprender a encontrar los elementos de la progresión geométrica utilizando fórmula, la 
suma de los elementos que la forman y calcular el número de elementos.
¿QUÉ SABES?
Aplica tus conocimientos y encuentra los resultados de cada problema
 Encuentra los 3 primeros términos y el décimo de: an 
n
5
n n
2
a = .
 Obtén la suma de los 3 primeros términos de la progresión: an = 5n - 6.
 Determina los 3 primeros términos de la sucesión aritmética: an = 5n + 6.
 Encuentra el último término de la sucesión aritmética si: a1 = 6, n = 9 y d = 3.
 Halla la suma de los primeros 14 términos de la sucesión aritmética 25, 31, 37,…
28
Series y sucesionesUNIDAD 2
 Encuentra el noveno término de una sucesión geométrica: 9, 45, 225,…
 Determina el valor del sexto término de la progresión geométrica: 2.5, (2.5)4,…
 Calcula la suma de los 10 primeros términos de la sucesión geométrica: 9, 
45, 225,...
 Halla el décimo sexto término y la suma de los 17 primeros términos, si la 
razón es dos y el primer término es 18.
2.1 Introducción
Las series y sucesiones son una herramienta matemática básica que permite deducir algunas fórmulas 
que se utilizan en el aprendizaje de la matemática financiera, computación, economía, finanzas e inge-
niería. Las sucesiones en matemática financiera se usan para resolver problemas de interés compuesto, 
de anualidades, la amortización de un crédito, las compras a plazos, etcétera.
2.2 Sucesiones o progresión aritmética
Definición
Una progresión es un conjunto ordenado de números reales, construidos a partir de 
una regla; a cada número se le llama término de la sucesión y se denota con an, en 
donde n indica la posición del término.
a1, a2, a3, …, an
Toda progresión es una función cuyo dominio es el conjunto de los números enteros 
positivos.
Problema resuelto
 1. a) Las ventas anuales de los últimos 5 años de una tienda de abarrotes (en miles de pesos): 
130.25, 195.38, 312.68, 437.72 en donde el primer término es 130.25 y el último 437.72.
 b) La inflación anual en un país de Latinoamérica (en %): 3.2, 4.5, 4.8, 5.3, 6.7, 7.3,…
Problema resuelto
 2. a) Encuentra los primeros 4 términos de la fórmula an = 3n - 1:
 an = 3n - 1
 a1 = 3(1) - 1 = 2
 a2 = 3(2) - 1 = 5
 a3 = 3(3) - 1 = 8
 a4 = 3(4) - 1 = 11
 b) Encuentra los primeros 3 términos:
 an = 4n + 3
 a1 = 4(1) + 3 = 7
 a2 = 4(2) + 3 = 11
 a3 = 4(3) + 3 = 15
Los ejemplos anteriores son de progresiones donde los términos no tienen relación alguna.
Con frecuencia las sucesiones se designan mediante fórmulas, por ejemplo:
Grupo Editorial Patria©
29
Una serie es la suma de los términos de una progresión y se simboliza con Sn. Si n es un 
número entero positivo y la sucesión a1, a2, a3, …, an; se tiene:
 S1 = a1
 S2 = a1 + a2
 S3 = a1 + a2 + a3
 �
Sn = a1 + a2 + a3 + ··· + an
La sucesión aritmética se forma sumando 
al primer término una cantidad constante 
conocida como diferencia común 
para obtener el segundo término y así 
sucesivamente.
 Término
 a1 4 4 + d = 4 + 4 = 8
 a2 8 8 + d = 8 + 4 = 12
 a3 12
Alerta
Problema resuelto
 3. a) Encuentra la suma de los 3 primeros términos de la progresión:
 an = 3n - 9
 a1 = 3(1) - 9 = -6
 a2 = 3(2) - 9 = -3
 a3 = 3(3) - 9 = 0
S3 = -6 - 3 + 0 = -9
 b) Calcula la suma de los 4 primeros términos de la progresión:
 an = 3n + (2)
n + 1
 a1 = 3(1) + (2)
1 + 1 = 7
 a2 = 3(2) + (2)
2 + 1 = 14
 a3 = 3(3) + (2)
3 + 1 = 25
 a4 = 3(4) + (2)
4 + 1 = 44
 S4 = 7 + 14 + 25 + 44
 S4 = 90
 c) Calcula la suma de los 4 primeros términos de la sucesión:
 an = 3n + (-1)
n + 1
 a1 = 3(1) + (-1)
1 + 1 = 4
 a2 = 3(2) + (-1)
2 + 1 = 5
 a3 = 3(3) + (-1)
3 + 1 = 10
 a4 = 3(4) + (-1)
4 + 1 = 11
S4 = 30
 c) Escribe los primeros 4 términos:
 
a
n
n
a
a
a
a
n =
−
+
=
−
+
=
=
−
+
=
=
−
+
=
=
1
1
1 1
1 2
0
2 1
2 2
1
4
3 1
3 2
2
5
1
2
3
4
44 1
4 2
3
6
−
+
=
30
Series y sucesionesUNIDAD 2
2.3 Progresiones aritméticas
Las progresiones aritméticas se construyen considerando 2 números consecutivos cualesquiera, sepa-
rados por una diferencia fija también conocida como diferencia común (d ), por ejemplo: el litro de 
gasolina aumenta 8 centavos el segundo sábado de cada mes, con esta información puedes conocer 
su precio en un mes cualesquiera, teniendo en cuenta el costo del mes anterior más el valor constante 
de 8 centavos.
Considera lasiguiente progresión aritmética cuyo primer término es a1 y su diferencia común es d: 
a1, (a1 + d ), (a1 + 2d ), (a1 + 3d ),…
El conjunto 29, 33, 37, 41, 45, 49, 53, 57 es una progresión, si observas con atención los elementos 
del conjunto, te darás cuenta de que existe una regla para conocer el elemento siguiente. Analiza 
cómo aplica esta regla, si al primer elemento (29) le sumas 4 unidades, entonces el segundo elemento 
(29 + 4 = 33), para conocer el tercer elemento suma al segundo 4 unidades (33 + 4 = 37) y así sucesiva-
mente. La sucesión aritmética 50, 47, 44, 41, 38, 35, 32,…, cuya regla indica que después del primer 
término, el precedente se obtiene restando 3 unidades al antecedente, por lo tanto, la diferencia 
común es de 3 unidades.
an = an - 1 + d
Problemas resueltos
 5. Encuentra la diferencia común en la serie aritmética:
 a) 11, 21, 31, 41,… d = 10 b) 17, 21, 25,… d = 4
 c) 41, 49, 57,…, d = 8 d ) 63, 69, 75, 81,…, 111 d = 6
 6. Escribe los 2 siguientes términos de la serie aritmética:
 a) 43, 51, 59, … c) 34, 41, 48, …
 R. 43, 51, 59, 67, 75, … R. 34, 41, 48, 55, 62, …
 b) 115, 100, 85, … d ) 534, 549, 564, …
 R. 115, 100, 85, 70, 55, … R. 534, 549, 564, 579, 594, …
Problema resuelto
 4. Escribe los 4 primeros términos de la progresión definida recursivamente, comenzando con:
 a) a1 = 0 an = an - 1 + 1.5
 El primer término: a1 = 0
 El segundo término: a2 = a2 - 1 + 1.5 = a1 + 1.5 = 0 + 1.5 = 1.5
 El tercer término: a3 = a3 - 1 + 1.5 = a2 + 1.5 = 1.5 + 1.5 = 3
 El cuarto término: a4 = a4 - 1 + 1.5 = a3 + 1.5 = 3 + 1.5 = 4.5
 b) a1 = 3 an = an - 1 + 3(n - 1)
 El primer término: a1 = 3
 El segundo término: a2 = a2 - 1 + 3(2 - 1) = a1 + 3(2 - 1) = 3 + 3 = 6
 El tercer término: a3 = a3 - 1 + 3(3 - 1) = a2 + 3(2) = 6 + 6 = 12
 El cuarto término: a4 = a4 - 1 + 3(4 - 1) = a3 + 3(3) = 12 + 9 = 21
 c) a1 = 2 an = 
n
2
(a1 + an - 1)
 El primer término: a1 = 2
 El segundo término: a2 = 
2
2
(2 + a2 - 1) = 1(2 + a1) = 1(2 + 2) = 4
 El tercer término: a3 = 
3
2
(2 + a3 - 1) = 
3
2
(2 + a2) = 
3
2
(2 + 4) = 
18
2
 = 9
 El cuarto término: a4 = 
4
2
(2 + a4 - 1) = 2(2 + a3) = 2(2 + 9) = 22
Grupo Editorial Patria©
31
Problema resuelto
 9. a) ¿Cuántos términos tiene la progresión aritmética 10, 15, 20, … , 135?
 Primer paso, se encuentra la diferencia común:
d = 15 - 10 = 5
 Segundo paso, se despeja a n de la fórmula:
an = a1 + (n - 1)d
 Tercer paso
n
a a
d
n
n
n
n
n
n=
−
+
=
−
+
=
−
+
= +
= +
1 1
135 10
5
1
135 10
5
1
125
5
1
25 1
== 26
 
n
a a
d
n
n
n
n
n
n=
−
+
=
−
+
=
−
+
= +
= +
1 1
135 10
5
1
135 10
5
1
125
5
1
25 1
== 26
 7. Encuentra los 3 primeros y el octavo términos:
 a) b) 
 
a
n
a
a
a
n = +
= + = =
= + =
= + = =
1
2
1
1
2
3
2
1
1
2
1
2
2
2
1
3
2
5
2
2
1
2
1
2
3
 
a
n
a
a
a
n n
=
= =
= =
= = =
2
1
2
1
2
2
2
3
2
3
2
1
2
1
2
2
2
1
3
2
9
8
1
1
8 
 
�
a8 1
8
2
10
2
5= + = =
 
�
a8
2
8
8
2
64
256
1
4
= = =
Problema resuelto
 8. Las compras de materia prima para un taller de camisetas en los últimos 7 meses es el siguiente:
43 680, 44 930, 46 180, 47 430, 48 680, 49 930, 51 180 pesos.
Mes Término Compras ($)
Primero a
1
43 680
Segundo a
2
44 930
Tercero a
3
46 180
Cuarto a
4
47 430
Quinto a
5
48 680
Sexto a
6
49 930
Séptimo a
7
51 180
La diferencia común es: d = 44 930 - 43 680 = $1 250.
Si a1 es el primer término de una sucesión aritmética, d la diferencia común y n el total de términos.
Entonces se genera la siguiente sucesión:
a1, a1 + d, a1 + 2d, a1 + 3d, … , a1 + (n - 2)d, a1 + (n - 1)d
Siendo el último término de la sucesión aritmética el siguiente:
an = a1 + (n - 1)d
32
Series y sucesionesUNIDAD 2
La suma de una progresión aritmética se realiza sumando los términos y se simboliza con Sn , en donde 
n es el número de términos de la sucesión.
Sea la sucesión a1, a2, a3, a4, … , an, n es un número entero positivo y d la diferencia común, se tiene:
S a a a a
S a
S a d
S a d
S a d
n n= + + + +
=
= +
= +
= +
1 2 3
1 1
2 1
3 1
4 1
2
3
�
�
Entonces:
 Sn = a1 + (a1 + d ) + (a1 + 2d ) … (an - 2d ) + (an - d ) + an (1)
Reacomodando los términos en orden inverso se tiene:
 Sn = an + (an - d ) + (an - 2d ) … (a1 + 2d ) + (a1 + d ) + a1 (2)
Sumando las expresiones 1 y 2:
 2Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + ··· + (a1 + an) + (a1 + an)
 2Sn = n(a1 + an)
Despejando a Sn se obtiene:
S
n
a an n= +2 1
( )
Alerta
La sucesión geométrica 
se forma multiplicando el 
término anterior por una 
cantidad constante llamada 
factor común.
Término
a1 2 (2)(r) = (2)(4) = 8
a2 8 (8)(r) = (8)(4) = 32
a3 32
 b) ¿Cuántos términos tiene la progresión aritmética -11, -7, -3, … , 33?
 Primer paso, se encuentra la diferencia común:
d = -7 - (-11) = -7 + 11 = 4
 Segundo paso, encontrar el total de términos:
n
a a
d
n
n
n
n
n
n=
−
+
=
− −
+
=
+
+
= +
= +
1 1
33 11
4
1
33 11
4
1
44
4
1
11 1
( )
== 12
Problema resuelto
 10. a) Encuentra la suma de los primeros 10 términos de la sucesión aritmética 13, 20, 27, …
 Primer paso, encuentra la diferencia común:
d = 20 - 13 = 7
Grupo Editorial Patria©
33
2.4 Progresiones geométricas
La sucesión geométrica se forma multiplicando el término anterior en la sucesión por una cantidad 
constante llamada factor común (r).
an = an - 1(r)
Por ejemplo, la progresión 3, 6, 18, 54, 162 es geométrica, porque la regla dice que después del pri-
mer término, el siguiente se obtiene multiplicando por tres al antecedente y así sucesivamente.
Problema resuelto
 11. 
 
a) Término Razón r = 4 b) Término Razón 
1
2
==r
a
1
2 a
1
6
a
2
2r = 2(4) = 8 a
2
6 6
1
2
3r =



 =
a
3
8r = 8(4) = 32 a
3
3 3
1
2
3
2
1
1
2
r =



 = =
a
4
32r = 32(4) = 128 a
4
3
2
3
2
1
2
3
4
r =



 =
 Segundo paso, encuentra el décimo término:
a
a
a
a
10
10
10
10
13 10 1 7
13 9 7
13 63
76
= + −
= +
= +
=
( )( )
( )( )
 Tercer paso, encuentra la suma:
S
S
S
10
10
10
10
2
13 76
5 89
445
=



 +
=
=
( )
( )
 b) Encuentra la suma de los primeros 30 términos de la sucesión aritmética 3, 10, 17, …
 Primer paso, encuentra la diferencia común:
d = 10 - 3 = 7
 Segundo paso, encuentra el término 30:
a
a
a
a
30
30
30
30
3 30 1 7
3 29 7
3 203
206
= + −
= +
= +
=
( )( )
( )( )
 Tercer paso, encuentra la suma:
S
S
S
30
2
( 3 206 )
15( 209 )
3135
30
30
30
= 

 +
=
=
34
Series y sucesionesUNIDAD 2
En una sucesión geométrica la razón común se encuentra dividiendo un término entre el término an-
terior:
r
a
a
n
n
=
−1
Problema resuelto
13. a) Encuentra el sexto término de una progresión geométrica: 28, 84, 252,…
 Primero se calcula la razón:
r
a
a
r
n
n
=
= =
−1
84
28
3
 Después se encuentra el sexto término:
a a r
a
a
a
a
n
n
28( 3 )
28( 3 )
28( 243 )
6 804
1
1
6
6 1
6
5
6
6
=
=
=
=
=
−
−
 b) Encuentra el séptimo término de una progresión geométrica: 6, 24, 96,…
 Primero se calcula la razón:
r = =
24
6
4
Problema resuelto
12. De las siguientes progresiones geométricas encuentra la razón.
 a) 12, 48, 192,… b) 1, 3, 9, 27,…
 
r
a
a
r
n
n
=
= =
−1
48
12
4
 
r
a
a
r
n
n
=
= =
−1
3
1
3
Para saber cómo encontrar el n-ésimo término de una progresión geométrica es necesario analizar el 
siguiente desarrollo:
Sea a1, a2, a3, … , an una sucesión geométrica, con a1 ≠ 0 y r ≠ 0:
a a
a a r
a a r a r r a r
a a r a r r a r
1 1
2 1
3 2 1 1
2
4 3 1
2
1
=
=
= = =
= = =
( )
( ) 33
1
1
� �
a a rn
n= −
Alerta
Todo número real al 
multiplicarse por cero da 
como resultado cero 
a(0) = 0.
La división entre cero no 
está permitida (a/0).
Grupo Editorial Patria©
35
Propiedades de los logaritmos
 ■ loga (p)
n = n [loga (p)]
 ■ loga (AB) = loga (A) + loga (B)
Paraconocer el número de términos de una progresión se despeja la literal n de la siguiente expresión:
log log ( 1) log
log log ( 1) log
1
log log
log
log log
log
1
1
1
1
1
1
1
a a r
a a n r
a a n r
n
a a
r
n
a a
r
n
n
n
n
n
n
=
= + −
− = −
− =
−
=
−
+
−
 Después se encuentra el séptimo término:
a a r
a
a
a
a
n
n=
=
=
=
=
−
−
1
1
7
7 1
7
6
7
7
6 3
6 3
6 729
4374
( )
( )
( )
 c) Encuentra el décimo término de una progresión geométrica:
1
16
1
8
1
4
, , ,...-
 Primero se calcula la razón:
r =
−
= − = −
1
8
1
16
16
8
2
 Después se encuentra el décimo término:
a a r
a
a
a
n
n=
= −
= −
= −
−
−
1
1
10
10 1
10
9
10
1
16
2
1
16
2
1
16
51
( )
( )
( 22
512
16
32
10
10
)
a
a
= −
= −
36
Series y sucesionesUNIDAD 2
La serie geométrica es la suma de términos de una sucesión geométrica. Para calcular la suma de los n 
primeros términos de una sucesión geométrica, es necesario deducir una fórmula.
Sea la progresión geométrica a1, a2, a3, … , an y “r” la razón de cambio.
S a a a a
S a
S a r
S a r
S a r
n n= + + + +
=
=
=
=
1 2 3
1 1
2 1
3 1
2
4 1
3
�
� �
Entonces:
 S a a r a r a r a r a rn
n n= + + + + + +− −1 1 1
2
1
3
1
2
1
1� (1)
Multiplicando por r a la ecuación (1):
 rS a r a r a r a r a r a rn
n n= + + + + + +−1 1
2
1
3
1
4
1
1
1� (2)
Realizando la diferencia de la ecuación (1) y (2):
S rS a a r
S r a r
n n
n
n
n
− = −
− = −
1 1
11 1( ) ( )
Despejando Sn:
S
a r
r
rn
n(1 )
1
; si 11=
−
−
≠
Problema resuelto
14. Encuentra el número de términos de las progresiones geométricas:
 a) b)
 
a r an1 14
1
2
3
4
= = =, ,
 
a r an1 12
3
4
3
8
= = =, ,
 
log log
log
11n
a a
r
n=
−
+
 
log log
log
11n
a a
r
n=
−
+
 
log 3 4 log 14
log 1 2
1n =
−
+
 
log 3 8 log 12
log 3 4
1n =
−
+
 
log 0.75 log 14
log 0.5
1n =
−
+
 
log 0.375 log 12
log 0.75
1n =
−
+
 
n =
− −
−
+
0 12493 1 14612
0 30102
1
. .
. 
n =
− −
−
+
0 425968 1 079181
0 124938
1
. .
.
 
n =
−
−
+
1 27105
0 30102
1
.
. 
n =
−
−
+
1 505149
0 124938
1
.
.
 
n
n
= +
=
4 22 1
5
.
 
n
n
= +
=
12 05 1
13
.
Grupo Editorial Patria©
37
Problema resuelto
15. a) Calcula la suma de los 10 primeros términos de la sucesión geométrica:
2, 6, 18, 54, …
S
a r
r
S
S
S
S
n
n(1 )
1
2(1 3 )
1 3
2(1 59049)
1 3
118096
2
59048
1
10
10
10
10
10
=
−
−
=
−
−
=
−
−
=
−
−
=
 b) La progresión geométrica tiene 6 términos, el primero es 18 y el último 3/8 y la razón es 1/2. 
Calcula la suma de los 6 términos.
 Datos: a1 = 18, a6 = 
9
16
 y r = 1/2.
 Solución:
 
S
a r
rn
n
=
−
−
1 1
1
( )
 
S
S
S
S
S
S
S
18 1 (1 2 )
1 (1 2 )
18(1 1 64 )
1 (1 2 )
18( 63 64 )
1 2
1134 64
1 2
2(1134 )
64
2268
64
35.4375
6
6
6
6
6
6
6
6
=
− 
−
=
−
−
=
=
=
=
=
 c) Calcula la suma de los primeros 12 términos, si se conocen los siguientes datos: a2 = 7/4, 
a5 = 14.
 Solución:
 Se sabe que: a2 = a1r = 7/4 y a5 = a1r
4 = 14 despejando de la primera expresión a1 y sustituyén-
dola en la segunda se tiene:
 
a
r1
7
4
=
 
a
r
r5
47
4
14=



 =( )
 
r
7
4
( ) 143 =
38
Series y sucesionesUNIDAD 2
2.5 Aplicaciones
Problemas resueltos
16. El valor de una computadora en el mes de diciembre de cada año es 70% de su valor que en el mes 
de enero del mismo año. Si la computadora costó 14 000 pesos, encuentra el valor final después de 
4 años.
 Datos: a1 = 14
 000, r = 0.70 y n = 4.
a a r
a
a
a
a
n
n( )
14 000( 0.70 )
14000( 0.70 )
14000( 0.343 )
$4802
1
1
4
4 1
4
3
4
4
=
=
=
=
=
−
−
17. Supón que el euro aumenta de precio a $0.0383 por día, hoy se cotiza en 16.7361 pesos a la venta. 
¿En cuántos días alcanzará la cotización de 17.4512 pesos?
n
a a
d
n
n
n
n
n 1
17.4512 16.7361
0.0383
1
0.7151
0.0383
1
18.67 1
19.67 días
1=
−
+
=
−
+
= +
= +
=
Alerta
La inflación, el desempleo, 
entre otros, son factores 
que influyen para que 
una moneda, de un país, 
pierda su poder adquisitivo 
(adquirir bienes y servicios) 
al paso del tiempo.
 
r 3
14 4
7
=
( )
 
r 3
56
7
8= =
 r = 2
 d ) Encuentra la suma de los 12 primeros términos:
 
S
a r
rn
n
=
−
−
1 1
1
( )
 
S r
S
S
S
S
7
4
1 2
1 2
7
8
(1 2 )
1
7( 4 095 )
8
28665
8
3583.125
12
12
12
12
12
12
12
[ ]
=
−
−
=
−
−
=
−
−
=
=
Grupo Editorial Patria©
39
18. En qué porcentaje disminuye el poder adquisitivo del peso en el transcurso de 3 años, si la infla-
ción es de 3.5% anual.
 En el primer año:
 
a a a
a a
a
1
1
1
0 035
1 0 035
0 965
= −
= −
=
. ( )
( . )
. pesos
 En el segundo año:
 
a a
a a
a
2
2
2
1 0 035
0 965 0 965
0 9312
= −
=
=
( . )
( . )( . )
. pesos
 En el tercer año:
 
a a
a a
a
3
3
2
3
1 0 035
0 965 0 965
0 8986
= −
=
=
( . )
( . ) ( . )
. pesos
Problema resuelto
19. El corporativo K-VISTA está formado por 20 mini-autoservicios y 4 papelerías, el corporativo tiene 
8 años de antigüedad, el año pasado tuvo utilidades de 20 millones de pesos y en el primer año 
de 6.7 millones de pesos.
 a) Calcula la tasa de incremento anual de las utilidades, partiendo de que el incremento tiene un 
comportamiento geométrico.
Año Utilidad
Primero U
1
Segundo U
2
 = U
1
 + U
1
(r) = U
1
(1 + r)
Tercero U
3
 = U
1
(1 + r)2
Cuarto U
4
 = U
1
(1 + r)3
. . .
. . .
n-ésimo U
n
 = U
1
(1 + r)n - 1
U U r
r
r
n
n= +
= +
= +
−
−
1
1
8 1
7
1
20 6 7 1
20
6 7
1
2 985074
( )
. ( )
.
( )
.77 1
1 1690975 1
0 1690975
= +
= −
=
r
r
r
.
.
 El incremento es de 16.91% anual.
Alerta
Ganancia o utilidad es el 
beneficio que se obtiene de 
la diferencia del precio 
de compra y de venta de 
un producto o servicio 
(sin considerar el IVA) en 
actividades comerciales.
Problema resuelto
20. El señor Pedro Juárez pidió prestados 15 000 pesos en el banco Axtek, acordando pagar 200 pesos 
al final de cada mes y pagar 28% de interés anual, sobre el saldo no pagado. Calcular la suma del 
interés no pagado.
40
Series y sucesionesUNIDAD 2
 ❚ Fórmulas empleadas en el capítulo
Sucesión o progresión a
1
, a
2
, a
3
, … , a
n
Serie S
n
 = a
1
 + a
2
 + a
3
 + … + a
n
Sucesión aritmética
a
n
 = a
n - 1 + d 
a
n
 = a
1
 + (n - 1)d
Diferencia común d
a a
n
n=
−
−
1
1
Número de términos en sucesión aritmética n
a a
d
n=
−
+1 1
Serie aritmética S
n
a an n= +2 1
( )
Sucesión geométrica
a
n
 = a
n - 1(r) 
a
n
 = a
1
rn - 1
Razón común r
a
a
n
n
=
−1
Número de términos sucesión geométrica =
−
+
log log
log
11n
a a
r
n
Serie geométrica S
a r
r
rn
n( 1 )
1
; si 11=
−
−
≠
 ❚ Terminología
Diferencia común d
Número de términos n
Razón común r
Serie aritmética y geométrica S
n
Término de la sucesión a
n
La posición del término n
 Datos:
 Tasa de interés 28% anual o 0.0233 mensual
 Total de pagos mensuales 
15000
200
75= =
 Solución:
Pago 1 2 3 75
Saldo 15 000.00 14 800.00 14 600.00 … 200.00
Interés 349.50 344.84 340.18 … 4.66
 
S
75
2
(349.5 4.66)75 = +
 
S
26562
275
=
 S75 = 13
 281 pesos
Grupo Editorial Patria©
41
 ❚ Glosario
Bien. Cualquier objeto o servicio capaz de satisfacer una necesidad.
Compra. Acción de adquirir algo a cambio de dinero. También, conjunto de bienes y servicios adquiri-
dos en el acto de compra.
Costo. Precio pagado o solicitado para la adquisición de bienes o servicios. Precio o gasto de elabo-
ración de un producto.
Cotización. Precio al que se puede efectuar en un mercado determinado de compra o venta de un 
bien, valor o divisa. También se aplica al precio al que compradores y vendedores están dispues-
tos a cerrar operaciones, pero que no es necesariamente el precio al que realmente se cierra.
Divisa. Término que engloba la moneda de curso legal de terceros países, medios de pago y activos 
financieros denominados en moneda