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Ecuaciones
Matemática Básica IP2021
Igualdad Matemática
 En matemáticas, un enunciado en el que dos expresiones (iguales o distintas) 
denotan el mismo objeto matemático se llama igualdad matemática. Dos 
objetos matemáticos son considerados iguales si los objetos poseen el mismo 
valor. Por ejemplo, la frase «la suma de dos y dos» y la expresión «cuatro» se 
refieren al mismo objeto matemático, un cierto número natural. La expresión 
«es lo mismo que» se suele representar en matemáticas con el signo =.
Pocas cosas serán tan idénticas 
que un par de líneas paralelas 
de la misma longitud
Concepto de ecuaciones
 Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones, 
denominadas miembros y separadas por el signo igual, en las que aparecen 
elementos conocidos o datos, desconocidos o incógnitas, relacionados 
mediante operaciones matemáticas.
 Las siguientes proposiciones son ejemplos de ecuaciones:
Concepto de ecuaciones
 Las expresiones separadas por el símbolo de igualdad, se denominan lados, o 
miembros de la ecuación; por separado se llaman lado izquierdo (primer 
miembro) o lado derecho (segundo miembro).
 Las ecuaciones como proposiciones que son, pueden tener un valor lógico de 
falso o verdadero.
Concepto de ecuaciones: como 
proposiciones
 Cuando las ecuaciones sólo tienen constantes y ni una variable, van a ser 
proposiciones verdaderas:
 O falsas:
Concepto de ecuaciones: Proposición 
cuando tiene una variable.
 Una ecuación que se refiere a una variable, por lo regular es una proposición 
válida para algunos valores de la variable, en tanto que es falsa para otros 
valores de la variable. Por ejemplo:
 Si x = 5  Verdadera
 Si x = 4  Falsa
Concepto de ecuaciones
 El valor que toma la variable que hace que la proposición de la ecuación sea 
verdadera se le denomina Raíz o Solución de la ecuación.
 En la ecuación anterior
 El valor de x, cinco (5) satisface la ecuación y hace que los dos lados de la 
ecuación tengan el mismo valor. 
 Se hace muy importante conseguir la destreza para poder encontrar las raíces 
o soluciones de las ecuaciones para resolver problemas de la vida real. El 
proceso de hallar las raíces se llama Resolver la ecuación.
Principios para la resolución de 
ecuaciones
 Para resolver una ecuación se suelen realizar ciertas operaciones para 
transformar la proposición en una ecuación más fácil de resolver. Claro está 
que estas operaciones no deben alterar, ni la naturaleza ni la solución.
 PRINCIPIO DE ADICIÓN: Podemos sumar y restar cualquier constante o 
cualquier expresión algebraica que incluya la variable a ambos lados de la 
ecuación.
 PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN: Podemos multiplicar o dividir ambos lados de 
la ecuación por cualquier constante excepto cero (0) o cualquier expresión no 
cero que incluya la variable.
adición
multiplicación
Ecuaciones lineales y cuadráticas
 Un grupo de ecuaciones presentes en miles de aplicaciones son las ecuaciones 
polinomiales, que tienen la forma en ambos lados de uno o varios términos 
algebraicos sumándose o restándose, cada término incluye una potencia 
entera y no negativa multiplicada por una constante. El grado de la ecuación 
es la potencia máxima de la variable que aparece en la ecuación.
Ecuaciones lineales y cuadráticas
 Cuando el grado de una ecuación es 1 se le llama ecuación lineal.
 Cuando el grado de una ecuación es 2 se le llama ecuación cuadrática.
 La forma canónica de una Ecuación Lineal con la variable x es: (a y b son 
constantes)
 La forma canónica de una ecuación lineal con la variable x es:
Solucionando una ecuación lineal.
 para este tipo de ecuaciones la solución general 
será.

 x – 4 = 0
 2x+8=0
 -7x=49
 -5x=-25

Solucionando una ecuación cuadrática
 Una ecuación del tipo:

 Existen tres métodos para resolver este tipo de 
ecuaciones.
1. Factorizando.
2. Usando la fórmula cuadrática.
3. Completando el cuadrado.
Solucionando una ecuación cuadrática 
Factorizando.
 Factorizando.
 𝑥 + 20 = −9𝑥 El primer paso será llevar esta ecuación a su forma canónica.
 𝑥 + 9𝑥 + 20 = 0 el miembro izquierdo de la ecuación es un trinomio que 
puede ser expresado como dos factores multiplicándose entre si.
 𝑥 + 𝑥 + Tenemos que encontrar dos números que sumados den 9 y 
multiplicados den 20. El número 5 y el número 4 cumplen con esta 
condición. Por tanto la expresión queda de la forma siguiente:
 𝑥 + 5 𝑥 + 4 = 0
Solucionando una ecuación cuadrática 
Factorizando.
 Factorizando.
 ¿Qué valores debe asumir x para que la ecuación se cumpla, es decir, que su 
valor sea cero.
 𝑥 + 5 𝑥 + 4 = 0
 Para que se cumpla la ecuación bastará con que alguno de los dos factores 
tenga un valor de cero, es decir que la suma dentro de alguno de los dos 
paréntesis de como resultado cero.
 𝑥 = −5 ∧ 𝑥 = −4 hacen que la ecuación sea verdadera.
Solucionando una ecuación cuadrática 
Factorizando.
 Factorizando:
 2𝑥 = 3𝑥 Llevar a la forma canónica
 2𝑥 − 3𝑥 = 0 Ver si se puede factorizar el miembro izquierdo de la ecuación, 
en este caso vemos que si, se puede sacar el factor común.
 𝑥 2𝑥 − 3 = 0 Para que la ecuación sea verdadera, alguno de los dos factores 
debe ser igual a cero, los valores de x que satisfacen esta condición son:
 𝑥 = 0 ∧ 𝑥 =
Solucionando una ecuación cuadrática
 Haciendo uso de la fórmula general.
 Vamos a encontrar las raíces de la siguiente ecuación 𝑥 − 4𝑥 = 12
 El primer paso será llevar esta ecuación cuadrática a su forma general.
 𝑥 − 4𝑥 − 12 = 0
 Los valores correspondientes para 𝑎, 𝑏 ∧ 𝑦 en este ejercicio son:
 1 𝑥 + −4 𝑥 + −12 = 0
 a=1, b=-4, c=-12
Solucionando una ecuación cuadrática
 Reemplazando:
−(−4) ± (−4) −4(1)(−12)
2(1)
4 ± 16 + 48
2
4 ± 64
2
4 + 64
2
4 − 64
2
4 + 8
2
4 − 8
2
12
2
→ 𝑥 = 6
−4
2
→ 𝑥 = −2
Solucionando una ecuación cuadrática 
Completando cuadrados
 Completando cuadrados la solución se presentará de la siguiente manera:
 Resolver 9𝑥 + 12𝑥 − 32 = 0
 Si se desea resolver la ecuación completando cuadrados se tendrá que colocar 
la ecuación con todos los términos que contengan alguna forma de x en la 
parte izquierda y todos las constantes en el miembro derecho de la ecuación.
 9𝑥 + 12𝑥 = 32
 Utilizando el principio de adición o multiplicación se “cancela” el coeficiente 
que acompaña la variable elevada al cuadrado y se agrega en el miembro de 
la izquierda un término que complete un trinomio cuadrado perfecto.
 𝑥 + 𝑥 =
Solucionando una ecuación cuadrática 
Completando cuadrados

 Ahora completemos el cuadrado adicionando el cuadrado de la mitad 
del coeficiente del segundo término 





𝟒
𝟑
𝟖
𝟑