Analisis numerico en ingenierta

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Revista INGENIERÍA UC
ISSN: 1316-6832
revistaing@uc.edu.ve
Universidad de Carabobo
Venezuela
Hernandez Andara, Rafael; Bastidas, Gilberto
Análisis numérico en ingeniería química. Herramientas computacionales para la solución de
problemas
Revista INGENIERÍA UC, vol. 18, núm. 3, septiembre-diciembre, 2011, pp. 64-73
Universidad de Carabobo
Valencia, Venezuela
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R Iı́ UC, V. 18, N. 3, D 2011 64 - 73
Análisis nuḿerico en ingeniert́a qúımica. Herramientas
computacionales para la solución de problemas.
Rafael Hernandez Andara∗,a, Gilberto Bastidasb
aEscuela de Ingenierı́a Quı́mica, Facultad de Ingenierı́a,Universidad de Carabobo.
bDepartamento Clı́nico Integral de los Llanos, Facultad de Ciencias de la Salud, Universidad de Carabobo.
Resumen.-
Se plantea el desarrollo de un algoritmo base y aplicacionesprogramadas en VBA, en ambiente de hoja de cálculo
ExcelR©, compatible con versión 2000 o posteriores. Seguida del análisis de cada resultado con énfasis en la
sensibilidad de la variable y en la precisión de resultados. Se consideró para el análisis la naturaleza de cada
problema, la conversión de números de distinta base a basedecimal y viceversa; la resolución numérica de una
ecuación no lineal univariable; los sistemas de ecuaciones lineales, se hizo resolvieron directamente con métodos
de matriz tridiagonal o por esquemas iterativos; se resolvió un caso de interpolación de Lagrange y un caso de
ecuaciones diferenciales ordinarias con condiciones iniciales. Todos los resultados son lógicos, consistentes conlas
formulaciones de conversión numérica y totalmente validados por el principio de la contra–respuesta. Es posible
construir una aplicación de programación visual tipo VBAmediante el empleo de estrategias de tipo diagrama de
flujo.
Palabras clave: Conversiones numéricas, diagramas de flujo, ecuaciones nolineales, interpolación de Lagrange.
Numerical analysis in chemical engineering. Computer tools for
troubleshooting
Abstract.-
It is proposed the development of a basic algorithm and applications programmed in VBA, in an environment of
ExcelR© spreadsheet, compatible with version 2000 or later, followed by analysis of each outcome with emphasis
on variable sensitivity and accuracy of results. It is considered for the analysis of the nature of each problem, the
conversion of different base numbers to decimal and vice versa, the numerical solution of a univariate nonlinear
equation, systems of linear equations, it was resolved directly with tridiagonal matrix methods or by iterative
schemes; it was solved a case of Lagrange interpolation and acase of ordinary differential equations with initial
conditions. All results are logical, consistent with the formulations of digital conversion and fully validated by the
principle of counter-response. It is possible to build an application type VBA visual programming by using such
flowchart strategies.
Keywords: Numerical conversions, flowcharts, nonlinear equations, Lagrange interpolation.
Recibido: febrero 2011
Aceptado: diciembre 2011
∗Autor para correspondencia
Correo-e:rshernan@gmail.com. (Rafael Hernandez
Andara)
1. INTRODUCCI ÓN
En el área del análisis numérico, la innovación
esta signada por la necesidad del desarrollo de
programas y aplicaciones de software que puedan
estar al alcance del estudiante en cuanto a costo,
máxime que en la enseñanza de la ingenierı́a es
limitado el recurso tecnológico [1]. Por tanto,
Revista Ingenierı́a UC
Rafael Hernandez y Gilberto Bastidas/ Revista Ingenierı́a UC, Vol. 18, No. 3, Diciembre 2011, 64-73 65
se requiere del diseño de herramientas útiles
de solución de problemas de cálculo numérico,
que estimulen las habilidades de los estudiantes
de ingenierı́a quı́mica en la materia y que se
traduzca en profesionales de alta valı́a en cuanto a
eficiencia y eficacia laboral, lejos del enfoque del
problemario como un tı́pico recetario [2].
Al respecto, son varias las investigaciones y
trabajos que se han hecho, entre ellos: diseño de
un módulo de cálculo para evaluar el dimensio-
namiento de equipos de transferencia de masa
(desorción) en múltiples situaciones de desempeño
ambiental; programación visual en la sistemática
de la distribución industrial; en la evaluación
termodinámica de plantas de vapor; y en el proceso
de enseñanza y aprendizaje del cálculo de la carga
térmica, entre otros. Sin embargo, estos paquetes
computacionales adolecen de algoritmos básicos,
no se muestra código alguno, se comportan, como
“caja negra” para el usuario, en otras palabras no
permiten al usuario, en este caso el estudiante, mo-
dificar el código fuente, y por supuesto, establecer,
alguna o ninguna programación. Igualmente no se
centra en estrategias de resolución de problemas
aplicados o simplemente van dirigidos al ámbito
productivo industrial, pero no al académico [3],
[4], [5] y [6].
Con el fin de proporcionar aplicaciones compu-
tacionales para la resolución de problemas de
análisis numérico en ingenierı́a quı́mica, de bajo
costo y fácil disponibilidad, con el fin de conocer
y aplicar los conocimientos del análisis numérico
a situaciones muy particulares de la ingenierı́a
quı́mica, y que por su complejidad numérica
son susceptibles de ser resueltos mediante el
desarrollo de aplicaciones en programación visual,
en este caso, en lenguaje VBA (Visual Basic for
ApplicationsR©, siglas en inglés) en una hoja de
cálculo (ExcelR© 2000).
2. METODOLOG ÍA
A partir de una premisa común a diversos
métodos numéricos en la resolución de problemas
en ingenierı́a quı́mica, se plantea una metodologı́a
que consiste en el desarrollo de un algoritmo base
y aplicaciones programadas en VBA, en ambiente
de hoja de cálculo ExcelR©, compatible con versión
2000 o posteriores. Seguida del análisis de cada
resultado con énfasis en la sensibilidad de la
variable y en la precisión de resultados. Se
consideró para el análisis la naturaleza de cada
problema, en los más simples, números a base
decimal, la conversión decimal; en la resolución
de ecuaciones lineales, se hizo resolución directa
con métodos de matriz tridiagonal (método de
Thomas [7]) o se recurrió a esquemas iteractivos,
en cuyos casos se debe tener una matriz de carácter
diagonal esencialmente dominante; por ejemplo,
los métodos de Jacobi y Gauss–Seidel. En la
interpolación se empleó el método de Lagrange,
por su potencia de cálculo y simplicidad. Para
resolver ecuaciones diferenciales aplicadas con
condiciones inı́ciales a un problema particular se
emplearon los métodos de Euler y Runge–Kutta
en algunas de sus variantes. Todo esto mediante
el uso de diagramas de flujo simplificado de
la metodologı́a para los programas VBA en la
resolución de problemas de análisis numérico.
3. RESULTADOS
Los resultados están resumidos en las Tablas 1
a 12.
4. DISCUSIÓN DE RESULTADOS
Los casos de conversión estudiados mediante las
aplicaciones de VBA fueron, como se muestra en
las Tablas 1 a 3 de base decimal a binaria y su
operación inversa, de base decimal a octal y su
operación inversa, de base decimal a hexadecimal
y su operación inversa, y conversión de números
de formato serie IBM–3000. En este sentido, se
puede señalar que todos los resultados son lógicos,consistentes con las formulaciones de conversión
numérica y totalmente validados por el principio
de la contra–respuesta, ya que, se obtiene el mismo
resultado final decimal cuando se introduce un
número propuesto.
Revista Ingenierı́a UC
66 Rafael Hernandez y Gilberto Bastidas/ Revista Ingenierı́a UC, Vol. 18, No. 3, Diciembre 2011, 64-73
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Revista Ingenierı́a UC
68 Rafael Hernandez y Gilberto Bastidas/ Revista Ingenierı́a UC, Vol. 18, No. 3, Diciembre 2011, 64-73
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Rafael Hernandez y Gilberto Bastidas/ Revista Ingenierı́a UC, Vol. 18, No. 3, Diciembre 2011, 64-73 69
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Revista Ingenierı́a UC
70 Rafael Hernandez y Gilberto Bastidas/ Revista Ingenierı́a UC, Vol. 18, No. 3, Diciembre 2011, 64-73
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Revista Ingenierı́a UC
72 Rafael Hernandez y Gilberto Bastidas/ Revista Ingenierı́a UC, Vol. 18, No. 3, Diciembre 2011, 64-73
Respecto a los problemas 4 al 8 de las Tablas 4
a 8, en los que se determinan raı́ces de expresiones
polinomiales, se aprecia que los métodos emplea-
dos en su resolución, presentan clara consistencia
y repetibilidad; es decir, son lógicos y similares
entre sı́, con solo una diferencia, en la última cifra
decimal, incertidumbre asociada comúnmente con
el error de redondeo. En lo que concierne a la
validación de raı́ces, éstas, calculadas por los
diversos métodos mencionados, pueden sustituirse
en lasexpresiones de los polinomios, cuyos
valores caen dentro de la tolerancia establecida;
por tanto, son raı́ces verdaderas de la ecuación
polinomial respectiva. Asimismo, el número de
iteraciones de la bisección es grande, respecto
al número de iteraciones de los métodos de
Newton–Raphson, secante, y regula–falsi, para el
mismo tipo de intervalo de encuadramiento. Con
esto se demuestra la gran velocidad del método
de Newton–Raphson y sus variantes (secante, y
regula–falsi), puesto que se basan en el trazado
de una tangente para mejorar la convergencia, a
tal punto que se han realizado modificaciones al
método de Newton para mejorar la velocidad de
convergencia [8] y [9].
En la solución del problema 9 (que se observa en
la Tabla9), para una tolerancia en el error relativo
de 1 × 10−8, se recurrió al método de Jacobi,
en el cual para evaluar las raı́ces se requirieron
22 iteraciones, debido a la complejidad del caso,
verdadero y aplicado. También, se recurrió al
método de Gauss-Seidel, que solo requiere 11
iteraciones. Se evidencia ası́ la ventaja de acelerar
el método de Jacobi y de este modo, reducir el
número de cálculos requeridos hasta la mitad.
La resolución del problema 10 (ver Tabla 10),
fue realizada aplicando las ecuaciones de Thomas
de la matriz tridiagonal. Los resultados, de obten-
ción directa, fueron las composiciones de anilina
tanto en la capa acuosa como en la capa de solvente
orgánico.
Del mismo modo, el problema 11 (que se
observa en la Tabla11), consiste en predecir
mediante el uso de la interpolación de Lagrange,
un valor correspondiente al valor de la variable
independiente introducida. En este caso, fue el
la composición de CO2 en monoetanolamina,
cuando la presión de CO2 sobre la misma fuera de
1340 mmHg, usando ocho (8) pares de datos. El
resultado obtenido es consistente con lo esperado.
El problema 12 (ver Tabla 12), implica el
resolver sistemas de ecuaciones diferenciales or-
dinarias (EDO’s) con condiciones iniciales (CI’s),
en cuyo caso se emplean varios métodos: Euler
modificado, Runge–Kutta de 4◦ orden y Runge–
Kutta–Fehlberg. Resolver una EDO con CI’s
consiste en reconstruir el perfil de la función
original, a partir de la cual se han obtenido
las ecuaciones diferenciales. Los resultados son
aceptables, de acuerdo a lo esperado.
Estas aplicaciones pueden adaptarse a GNU
Visual Basic y GNAVI, que son software de código
abierto, licencia GNU, que permitirı́an hacer las
mismas implementaciones en CALC la hoja de
cálculo de Open Office.
Para un ingeniero quı́mico, o estudiante de dicha
carrera, es de extraordinaria utilidad el disponer
de este programa, que le permiten predecir datos
intermedios en una base de datos disponibles, ya
que su aplicabilidad es amplia.
5. CONCLUSIONES
Finalmente, se concluye que es posible construir
una aplicación de programación visual tipo VBA
mediante el empleo de estrategias de tipo diagrama
de flujo; que las aplicaciones de conversión
numérica permiten convertir simultáneamente un
número decimal a base binaria, octal y hexadeci-
mal, ası́ como realizar las operaciones recı́procas;
en la resolución de funciones polinomiales debe
colocarse la misma en función de cero, es decir,
f (x) = 0; los métodos de función de raı́ces
mas acelerados son Newton–Raphson, secante y
regula–falsi; el método más rápido para resolver
ecuaciones lineales iterativas es el de Gauss-
Seidel; el método de Thomas es el mas útil para
resolver ecuaciones tridiagonales; la aplicación de
interpolación por el método de Lagrange es directa
y de gran utilidad, sólo requiere de una pequeña
base de datos, y del valor que se desea predecir; y
los métodos de integración numérica de las EDO’s
con CI’s, son sensibles principalmente al tamaño
del paso.
Revista Ingenierı́a UC
Rafael Hernandez y Gilberto Bastidas/ Revista Ingenierı́a UC, Vol. 18, No. 3, Diciembre 2011, 64-73 73
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