Matemáticas básicas con trigonometría,

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Segunda edición
Matemáticas básicas con trigonometría
Matemáticas básicas con trigonometría
Segunda edición
Ismael Gutiérrez García
Jorge Robinson Evilla
Barranquilla
Colombia, 2011
Gutiérrez García, Ismael.
Matemáticas básicas con trigonometría / Ismael Gutiérrez García, Jorge 
Robinson Evilla. -- 2a ed. Barranquilla : Editorial Universidad del Norte, 
2011.
xi, 212 p. : 28 cm.
Incluye referencias bibliográficas (p. 209) e índice
ISBN 978-958-741-181-2 (pasta blanda)
1. Matemáticas. 2. Trigonometría. I. Evilla, Jorge Robinson. II. Tít.
512.13 G984m --22 ed. (CO-BrUNB : 82185)
© 2011, Editorial Universidad del Norte
© 2011, Ismael Gutiérrez García y Jorge Robinson Evilla
Coordinación editorial
Zoila Sotomayor O.
Editor
Humberto Llinás Solano
Corrección de textos
Henry Stein
Procesos técnicos
Munir Kharfan de los Reyes
Diseño de portada
Joaquín Camargo Valle
Hecho en Colombia
Made in Colombia
www.uninorte.edu.co
Km 5, vía a Puerto Colombia, A.A. 1569
Barranquilla (Colombia)
www.uninorte.edu.co
Autores
Ismael GutIérrez García
Licenciado en Matemáticas y Física de la Universidad del 
Atlántico. Magíster en Matemáticas, convenio Universidad 
del Valle-Universidad del Norte. Doctor en Matemáticas 
(Dr. rer. nat) de la Universidad de Johannes Gutenberg de 
Mainz (Alemania) y miembro de la Sociedad Colombiana 
de Matemáticas. Desde 1993 es profesor de tiempo com-
pleto de la Universidad del Norte y actualmente es director 
del grupo de investigaciones en Álgebra de esta institución.
JorGe robInson evIlla
Licenciado en Ciencias de la Educación, énfasis en Mate-
máticas y Física, de la Universidad del Atlántico. Especia-
lista en Matemáticas de la Universidad del Norte. Desde 
1995 es profesor catedrático de la Universidad del Norte.
, 
Indice general 
1 Los Fundamentos XIII 
lo Los números reales 1 
1.1. Introducción. 1 
1.2. Los axiomas de cuerpo 5 
1.3. Los axiomas de orden 11 
1.4. El principio de buen orden. 15 
1.5. N úmeros enteros y racionales 19 
1.6. El axioma del extremo superior 27 
1.7. El valor absoluto: propiedades. 34 
2. Exponentes racionales 43 
2.1. Inducción matemática 43 
2.2. Exponentes enteros . 49 
2.3. Exponentes racionales y raíces 59 
2.4. Aplicaciones. 70 
3. Relaciones y funciones reales 81 
3.1. Primeras definiciones . 82 
3.2. Notación funcional alternativa. 87 
3.3. Funciones polinómicas 91 
3.4. Operaciones entre funciones 96 
4. Ecuaciones e inecuaciones 109 
4.1. Los números complejos. 109 
4.2. Ecuaciones polinómicas de grados 1 y 2 115 
4.3. Teoremas del residuo y del factor 125 
4.4. El teorema fundamental del álgebra 131 
VII 
VII' Gutiérrez-Robinson 
4.5. Inecuaciones .......................... 135 
II Trigonometría 
5. Trigonometría plana 
5.1. Preliminares .... 
5.2. Fórmulas de reducción .. 
5.3. Funciones t rigonométricas 
5.4. Ecuaciones trigonométricas 
5.5. Aplicaciones: solución de triángulos. 
5.6. Funciones t rigonométricas inversas 
Lista de símbolos 
Alfabeto griego 
Respuestas a los ejercicios 
Bibliografía y referencias 
íNDICE GENERAL 
141 
143 
144 
151 
155 
164 
175 
184 
191 
193 
195 
205 
Prólogo 
En este texto, diseñado inicialmente para estudiantes de los primeros 
semestres de ingenierías, se destacan claramente tres ejes temáticos: los 
números reales como un cuerpo ordenado, las funciones reales de variable 
real y los primeros elementos de la trigonometría plana. 
La presentación de los números reales se hace axiomáticamente. En 
primer lugar presentamos los axiomas de cuerpo, y con base en ellos 
se demuestran propiedades de tipo algebraico, como la unicidad de los 
módulos y la unicidad de los inversos, entre otros. 
Además de los resultados matemáticos, en esta parte presentamos la 
demostración como herramienta principal del quehacer matemático, con 
el propósito que los estudiantes puedan tener una aproximación direc-
ta al método de construcción matemática. Esto permite que observen 
la coherencia y la importancia de obtener resultados sólo a partir de 
axiomas y definiciones, y por otro lado que observen en la demostra-
ción un ejercicio de pensamiento estrictamente necesario para un juicio 
matemático. 
El axioma del extremo superior, además de introducir una primera 
noción topológica de los números reales, nos permitirá caracterizar los 
números naturales, los enteros, teniendo como fundamento el principio 
de buen orden. Haremos énfasis especial en el uso de uno de los métodos 
de demostración más importantes de la matemática como es el principio 
de inducción matemática. Con éste demostraremos las propiedades de 
los exponentes enteros y racionales. 
El segundo tema de este libro lo constituyen las funciones reales de 
variable real. Sin duda, uno de los grandes temas de la matemática. 
Hacemos una presentación formal de éste, es decir, presentamos las fun-
ciones como conjuntos de parejas ordenadas que satisfacen propiedades 
específicas. Posteriormente presentamos una notación alternativa de la 
misma, con el propósito de sentar las bases para tratamientos posteriores 
IX 
x Gutiérrez-Robinson 
de las funciones reales de variable real en cursos de cálculo diferencial, 
cálculo vectorial o álgebra lineal. 
En la parte correspondiente a la trigonometría se hace especial énfasis 
en el manejo de las funciones trigonométricas, y además de presentar la 
forma de determinar sus valores y sus gráficas, se exponen y demuestran 
sus propiedades. 
Las identidades trigonométricas se estudian como un caso particular 
de las ecuaciones trigonométricas y se discuten las aplicaciones comunes, 
tales como el teorema del seno y del coseno. 
Otro de los objetivos de este texto es que los estudiantes tengan la 
posibilidad de profundizar en algunos conceptos que no son habitual-
mente incluidos en los cursos regulares de álgebra y trigonometría pero 
que muchas veces resultan necesarios e interesantes. Además colocar las 
bases para un recorrido formal y claro por las principales líneas del pen-
samiento matemático. Tratamos entonces de evitar presentar resultados 
matemáticos sueltos e incrustados de manera incoherente o superficial. 
Esperamos los comentarios, correcciones y sugerencias de parte de toda 
la comunidad educativa, que sin lugar a dudas serán de gran valor y 
pertinencia en este arduo trabajo que es el aprendizaje en matemáticas. 
En este punto deseamos agradecer a los colegas y amigos Sebastián 
Castañeda, MSc., por su impulso para materializar la idea, a Carlos 
Vega, MSc., por la lectura cuidadosa del manuscrito y por sus valiosas 
sugerencias, a Ricardo Prato, MSc., por su ayuda en la edición del texto, 
y con igual aprecio a Guillermo Cervantes, MSc., por su apoyo desde la 
dirección del departamento de Matemáticas. 
íNDICE GENERAL 
Prólogo a la segunda edición 
En la presente edición se encontrarán algunas extensiones del material 
inicial, concretamente en lo referente a ejercicios propuestos y temas 
importantes de la trigonometría como lo son las funciones trigonométri-
cas inversas. Otro elemento importante que hemos incorporado es una 
sección con las respuestas a un gran número de ejercicios. 
N uevamente agradecemos a todos los colegas del departamento de Ma-
temáticas de la Universidad del Norte por el apoyo, especialmente al Dr. 
Jairo Hernández por sus comentarios y sugerencias acertadas. 
XI 
Parte I
Los Fundamentos
Capítulo 1 
Los números reales 
Contenido 
1.1. Introducción ...... 1 
1.2. Los axiomas de cuerpo 5 
1.3. Los axiomas de orden . 11 
1.4. El principio de buen orden. 15 
1.5. Números enteros y racionales 19 
1.6. El axioma del extremo superior . 27 
1. 7. El valor absoluto: propiedades .. 34 
En este primer capít ulo presentamos los fundamentos del curso. Para 
lograrlo estudiaremos en primer lugar la estructura de cuerpo ordena-
do de los números reales, además presentaremos las consecuencias más 
importantes de los axiomas asumidos. 
1.1. Introducción 
Existen múltiplesformas para int roducir el conjunto de los número 
reales. Una muy usual es postular la exist encia del conjunto de los núme-
ros naturales N = {l , 2, 3,· .. } y construir ampliaciones sucesivas de éste, 
pasando por los enteros, los racionales y los irracionales hasta llegar a 
los número reales. Esta opción por lo general carece de rigurosidad . 
1 
2 Gutiérrez-Robinson 
Nuestra propuesta metodológica con respecto al conjunto de los núme-
ros reales no es constructiva, por el contrario, adoptaremos una descrip-
ción axiomática de éste. El método que utilizaremos es de tipo deductivo, 
es decir, se asume la noción de número real como concepto primitivo. 
Una vez aceptada la existencia de un conjunto cuyos elementos son los 
números reales, dotado con dos operaciones binarias, suma y multipli-
cación, el siguiente paso es aceptar un conjunto de axiomas o postula-
dos, que describen entre otras las propiedades de las operaciones y con 
base en éstos deduciremos o demostraremos propiedades de los números 
reales. 
Cuando usamos el término primitivo, queremos indicar que la natu-
raleza de los elementos del conjunto de los números reales (notado con 
lR.) no jugará un papel central en el desarrollo de la teoría; lo importante 
será las propiedades que podamos deducir a partir de los postulados. 
Los axiomas que vamos a considerar estarán clasificados en tres grupos: 
los axiomas de cuerpo, los cuales hacen referencia a la componente alge-
braica del conjunto R Los axiomas de orden nos permitirán comparar 
dos números reales y de alguna manera estos inducen una geometría 
en lR.. El tercero es el axioma del extremo superior, el cual garantiza la 
existencia de un número real especial asociado a subconjuntos no vacíos 
de lR., que son acotados superiormente. Con éste tenemos los primeros 
aspectos topológicos de R 
Desde la Antigüedad se encuentran múltiples ejemplos de argumen-
taciones de tipo deductivo. Por ejemplo, Euclides de Alejandría1 pu-
blicó múltiples obras, entre las que destacan los famosos Elementos, sin 
duda una de las grandes joyas de las matemáticas a lo largo de toda 
la historia. Estos están divididos en trece libros, los seis primeros están 
dedicados a la geometría elemental; en ellos Euclides recoge las técni-
cas geométricas utilizadas por los pitagóricos para resolver lo que hoy 
se consideran ejemplos de ecuaciones lineales y cuadráticas, e incluyen 
también la teoría general de la proporción, atribuida tradicionalmente a 
Eudox02 . 
Los libros séptimo al noveno tratan sobre teoría de números, el déci-
mo comienza con cuatro definiciones en las que se explica lo que son 
los segmentos conmensurables e inconmensurables, es decir , racionales e 
lEuCLIDES(330 a.c. - 275 a.C.) , matemático griego. Poco se conoce a ciencia cierta 
de él, pese a ser el matemático más famoso de la Antigüedad. 
2EuDOXO DE CNIDOS (400 a.c. - 350 a.c.), astrónomo y matemático griego nacido 
en Cnidos, actual Turquía. Estudió matemáticas con Arquites, filosofía en la escuela 
de Platón en Atenas y astronomía en Heliópolis. 
Capítulo 1. Los números reales 
Matemáticas básicas con trigonometría 3 
irracionales, y los tres restantes se ocupan de la geometría de los sólidos, 
hasta culminar en la construcción de los cinco poliedros regulares y sus 
esferas circunscritas, que había sido ya objeto de estudio. 
Euclides estableció lo que, a partir de su contribución, había de ser 
la forma clásica de una proposición matemática: un enunciado deduci-
do lógicamente a partir de unos principios previamente aceptados. En 
los Elementos, los principios que se toman como punto de partida son 
veintitrés definiciones, cinco postulados y cinco axiomas o nociones co-
munes. La naturaleza y el alcance de dichos principios han sido objeto 
de frecuente discusión a lo largo de la historia, en especial por lo que se 
refiere a los postulados y, en particular, al quinto postulado, el de las 
paralelas. Su condición distinta respecto de los restantes postulados fue 
ya percibida desde la misma Antigüedad, y hubo diversas tentativas de 
demostrarlo como teorema; los esfuerzos por hallarle una demostración 
prosiguieron hasta el siglo XIX, cuando se puso de manifiesto que era 
posible definir geometrías consistentes, llamadas "no euclidianas" , en las 
que no se cumpliera la existencia de una única paralela trazada a una 
recta por un punto exterior a ella. 
Isaac Newton3 con su obra más importante, Philosophiae naturalis 
principia mathematica, presenta en 1687 otro ejemplo de una teoría fun-
damentada en sistemas deductivos. En ella formuló rigurosamente las 
tres leyes fundamentales del movimiento: la primera ley de Newton o 
ley de la inercia, según la cual todo cuerpo permanece en reposo o en 
movimiento rectilíneo uniforme si sobre él no actúa ninguna fuerza; la 
segunda establece que la aceleración que experimenta un cuerpo es igual 
a la fuerza ejercida sobre él dividida por su masa; y la tercera, indica que 
por cada acción ejercida sobre un cuerpo existe una reacción igual de 
sentido contrario. La mayoría de estas ideas formaban parte del ambiente 
científico de la época; pero fue Newton quien les dio el carácter sistemáti-
co de una teoría general, capaz de sustentar la concepción científica del 
Universo durante varios siglos. Suele considerarse a Newton uno de los 
protagonistas principales de la llamada "Revolución científica" del siglo 
XVII y en cualquier caso, el padre de la mecánica moderna. 
3I SAAC NEWTON (1642 - 1727) , científico inglés educado en la Universidad de Cam-
bridge, donde asimiló los conocimientos y principios científicos de mediados del siglo 
XVII, con las innovaciones introducidas por Galileo, Bacon, Descartes y Kepler, entre 
otros. Newton coincidió con Leibniz en el descubrimiento del cálculo infinitesimal, que 
contribuiría a una profunda renovación de las matemáticas. En 1703 fue nombrado 
presidente de la Royal Society de Londres. 
1.1. Introducción 
4 Gutiérrez-Robinson 
Otro ejemplo lo encontramos en el matemático alemán David Hilbert4 , 
quien fue un enconado defensor de la axiomática como enfoque princi-
pal de los problemas científicos. Teniendo como fundamento a Euclides, 
publicó en 1899 su obra Grundlagen der Geometrie, en la que, mediante 
un exhaustivo análisis y perfeccionamiento de las ideas euclidianas, for-
muló sus principios de axiomatización. En esta obra Hilbert realizó el 
primer esfuerzo sistemático y global para hacer extensivo a la geometría 
el carácter puramente formal que ya habían adquirido la aritmética y el 
análisis matemático. 
A partir de 1904 empezó a desarrollar un programa para dotar de una 
base axiomática a la lógica, la aritmética y la teoría de conjuntos, con el 
objetivo último de axiomatizar toda la matemática. Aunque su propósito 
de demostrar la consistencia de la aritmética había de verse frustrado por 
los resultados posteriores (1931) obtenidos por el matemático austria-
co Kurt Gode15 , el programa de formalización de Hilbert contribuyó al 
desarrollo de la llamada metamatemática, como método para establecer 
la consistencia de cualquier sistema formal. 
Kurt Godel, a los 24 años de edad, como estudiante de la universidad 
de Viena presenta su tesis doctoral sobre un conjunto de axiomas de lógi-
ca elemental, con los cuales se demuestra que es posible derivar todas 
y solamente las verdades de la lógica. La demostración del teorema de 
completitud para el cálculo de predicados trajo la falsa esperanza a los 
matemáticos que trabajaban en esa área de que el programa de axioma-
tización de Hilbert sería viable. No obstante, un año después, en 1931, el 
mismo Godel publicó en la revista alemana Monatshefte für Mathematik 
und Physik el extremadamente difícil y brillante articulo titulado "Uber 
formal unentscheidbare Satze der Principia Mathematica und verwand-
ter Systeme" (Sobre proposiciones formalmente indecidibles de Principia 
Mathematica y sistemas afines) con el cual echaría por tierra el sueño 
hilbertiano.4DAVID HILBERT (1862 - 1943) Matemático alemán. Estudió en Heidelberg, Berlín 
y Ki:inigsberg, donde se doctoró a finales de 1884. En el Congreso Internacional de 
Matemáticas celebrado en París en 1900, Hilbert presentó una lista de 23 problemas 
que no habían sido resueltos todavía; a su juicio, las probables líneas de desarrollo que 
iba a seguir la matemática del siglo XX habrían de estar en buena medida vinculadas 
a la resolución de dichas cuestiones. 
5KuRT GOOEL (1906 - 1978) Lógico austriaco , estudió en la universidad de Viena 
en una época de poco esplendor cultural. Obligado por la ocupación alemana de 
Austria viajó a los Estados Unidos en 1940. Fue miembro del Instituto para Estudios 
Avanzados de Princeton. 
Capítulo 1. Los números reales 
Matemáticas básicas con trigonometría 5 
1.2. Los axiomas de cuerpo 
Dado que el primer interés es abordar el estudio de la parte algebraica 
de los números reales, asumimos que sobre lR están definidas dos opera-
ciones binarias, denominadas suma y mult iplicación , las cuales represen-
taremos con " +" y "." respectivamente. Esto es, cada par de números 
reales x, y t iene asociado un único número real x + y (su suma) y de 
igual manera otro único número real x . y (su producto). Escribiremos 
simplemente xy en lugar de x . y. 
Antes de considerar los axiomas de cuerpo introducimos las propieda-
des que satisface el símbolo de igualdad en R 
11 Reflexividad. Para todo x E lR, se verifica que x = x. 
12 Simetría. Para todo x, y E lR, si x = y , entonces y = x. 
13 Transitividad. Para todo x, y , z E lR, si x = y y y = z, entonces 
x = z. 
14 Monotonía. Para todo x, y, z E lR, si x = y , entonces x + z = y + z 
y xz = y z. 
Los axiomas de cuerpo para lR son los siguientes: Para todo x, y, z E lR 
Cl Asociatividad. (x + y ) + z = x + (y + z) y (x y )z = x(y z). 
C2 Conmutatividad. x + y = y + x y x y = yx . 
C3 Existencia de módulos. Existe un números real O (cero) y un 
número reall (uno) tal que para todo x E lR se verifica x + O = x 
y x l = x. 
C4 Existencia de inversos. Para todo x E lR existe y E lR tal que 
x+ y = O. Se denotará este y con - x. Además para todo O i= x E lR 
existe z E lR tal que xz = 1. La notación usual para este z es x-1 
o l . 
x 
C5 Distributividad. x(y + z) = x y + xz . 
En este punto podemos decir que el conjunto lR con las operaciones 
suma y mult iplicación adquiere la estructura algebraica de cuerpo (tam-
bién usualmente denominada campo). 
Nota. Como consecuencia de Cl podemos escribir x + y + z para 
denotar (x + y ) + z o x + (y + z). De manera similar , la expresión x y z 
denota sin lugar a confusión (x y )z o x(y z). 
1.2. Los axiomas de cuerpo 
6 Gutiérrez-Robinson 
Iniciamos ahora las deducciones de algunas resultados que son conse-
cuencia inmediata de los axiomas de cuerpo y de la igualdad . 
1.2.1 Teorema. (Propiedad cancelativa) Sean x, y E R 
1. Si x + y = x + z, entonces y = z 
2. Si x y = xz y x i= O, entonces y = z 
DEMOSTRACIÓN: 
1. Sean x, y E R Entonces 
y O + y 
(( - x)+x)+ y 
- x+(x+ y ) 
2. Sean x, y E R Entonces 
- x+(x+z) 
(( - x)+x)+z 
O+z 
z 
y ly 
(x- l x )y 
x- l (xy) 
x-1(xz ) 
(x- l x)z 
l z 
z D 
En el siguiente teorema se demuestra que los módulos para la suma y 
la multiplicación en lR. son únicos. 
1.2.2 Teorema. (Unicidad de los módulos) Existen a lo más un 
módulo para la suma y un módulo para la mult iplicación en R 
DEMOSTRACIÓN: La existencia de los respectivos módulos está garan-
t izada por el axioma C3. Demostramos ahora que estos son únicos. 
Capítulo 1. Los números reales 
Matemáticas básicas con trigonometría 7 
Supongamos que existen dos números reales, O y 0' , que satisfacen C3. 
Entonces para todo x E lR. se t iene que x + O = x y x + 0' = x. Por lo 
tanto, x + O = x + 0' . Aplicando el teorema 1.2.1(1) se sigue que O = 0' . 
De manera similar se demuestra que existe un único 1 E lR. que satisface 
el axioma C3. D 
1.2.3 Teorema. (Unicidad de los inversos) Todo número real x 
admite un único inverso adit ivo - x y todo número real no nulo x admite 
un único inverso mult iplicativo x-l. 
DEMOSTRACIÓN: Sea x E lR. Y supongamos que x t iene otro inverso 
adit ivo y . Esto es, existe y E lR. tal que x + y = O. Entonces x + y = O = 
x + (- x). Nuevamente del teorema 1.2.1(1) se sigue que y = - x y se 
t iene la unicidad . 
Denotemos con lR. x el conjunto lR. \ {O} . Sea ahora x E lR. x y supon-
gamos que para x existe otro número real y tal que x y = 1. Entonces 
x y = 1 = xx- l . Si usamos ahora 1.2.1(2) se t iene que y = x- l . D 
1.2.4 Teorema. Sean a, b E R Entonces 
1. Existe un único número real x tal que a + x = b. Este número x 
es usualmente denotado con b - a. 
2. Si a i= O, entonces existe un único número real y tal que ay = b. 
Este número y lo notaremos con ~. 
DEMOSTRACIÓN: 
1. Existencia. Dado a E lR., siempre existe su inverso adit ivo - a E R 
Defínase x := b + (- a). Entonces 
a+x x+a 
(b +(- a))+a 
b +(( - a)+a) 
b + O 
b 
U nicidad. Supongamos que existe x ' E lR. tal que a + x ' = b. 
Entonces a + x = a + x' y el resto se sigue del teorema 1.2.1(1). 
1.2. Los axiomas de cuerpo 
8 Gutiérrez-Robinson 
2. Exist encia. Si a E ]R x , entonces existe a- l E R Definamos y := 
a- lb. Entonces 
ay a(a- Ib) 
(aa- l )b 
lb 
b 
Unicidad. Supongamos que existen x, x ' E ]R tal que ax = b = 
ax' . Entonces ax = ax' . La conclusión se sigue de 1.2.1(2). D 
En el siguiente teorema se demuestran propiedades importantes del 
cero. El segundo resultado será de gran importancia para la resolución 
de ecuaciones cuadráticas. 
1.2.5 Teorema. Sean x, y E R Entonces 
1. x O = Ox = O 
2. x y = O si y sólo si x = O V Y = O 
D EMOST RACIÓN: 
1. Sea x E R Entonces 0 + x O = x O = x(O + O) = x O + x O. Utilizando 
una vez más el teorema 1.2.1(1) se t iene la afirmación. 
2. Si x = O o y = O, entonces de la parte 1 se sigue que x y = O. 
Recíprocamente, supongamos que x y = O Y x i= O. Demostramos 
que y = O. En efecto 
Y 1y 
(x- Ix) y 
x- l (xy) 
x-lO 
O D 
Como consecuencia de los axiomas de cuerpo y de los teoremas anterio-
res, presentamos ahora algunas propiedades importantes de los inversos 
adit ivos y mult iplicativos de números reales. 
Capítulo 1. Los números reales 
Matemáticas básicas con trigonometría 9 
1.2.6 Teorema. Sean x, y, z E lR. Entonces 
1. -(-x) = x 
2. (-x)y = -(xy) = x( -y) 
3. (-x)( -y) = xy 
4. (-I)x = -x 
5. x(y - z) = xy - xz 
DEMOSTRACIÓN: 
1. Dado que x E lR, existe -x E lR tal que x + (-x) = O. Entonces x 
es el inverso aditivo de -x. Es decir, -(-x) = x. 
2. Por un lado se t iene que xy + (-(xy)) = O. Por otro lado, 
xy+(-x)y (x + (-x))y 
Oy 
O 
Dado que el inverso aditivo de un número real es único, se sigue 
que (-x)y = -(xy). De manera similar tenemos: 
xy + x( -y) x(y + (-y)) 
xO 
O 
Como antes, del teorema 1.2.3 se sigue que x( -y) = -(xy). Con 
la transitividad de la relación de igualdad se completa la prueba. 
3. Sean x, y E R Entonces (-x)( -y) = -(x( -y)) = -( -(xy)) = xy. 
4. Sea x E R Entonces (-I)x = -(Ix) = -x. 
5. Sean x, y, z E lR. Entonces 
x(y - z) x(y + (-z)) 
xy + x( -z) 
xy + (-(xz)) 
xy - xz D 
1.2. Los axiomas de cuerpo 
10 Gutiérrez-Robinson 
1. 2.7 Teorema. Sean x, y, z E lR.. Entonces 
1. Si x i= O, entonces (x- 1 )-1 = x 
2. Si x, y i= O, entonces (xy)-l = x-1y-1 
DEMOSTRACIÓN : 
1. De la definición de x-1 se sigue que xx-1 = 1. Entonces x es el 
inverso multiplicativo de x-l. Es decir, (x- 1 )-1 = x. 
2. De la definición de inverso multiplicativo (xy)(xy)-l = 1. Por otro 
lado se tiene que 
(xy) (y-1x-1) 
x(yy-1)x-1 
(x1)x- 1 
xx-1 
1 
Del teorema 1.2.3 se sigue nuevamente la conclusión. 
3. Del teorema 1.2.6 (3) se tiene que (_1)-1 = -1. Sea x E R 
Entonces 
((-l)X)-l 
( _1)-lx-1 
( -1)x- 1 
_(x-1) D 
1.2.8 Ejercicios Sean x, y, z E R Demuestre que 
1. -O = O 
2. 1-1 =1 
3. -(x + y) = (-x) + (-y) = -x - y 
4. -(x - y) = y - x 
5. (x - y) + (y - z) = x - z 
Capítulo 1. Los números realesMatemáticas básicas con trigonometría 11 
1.3. Los axiomas de orden 
Introduciremos ahora en el conjunto de los números reales una relación 
que nos permite comparar dos números reales dados. Partimos asumien-
do que sobre lR. está definida una relación "menor que". Si x, y E lR., 
entonces x < y se lee "x es menor que y" . También ut ilizaremos la 
notación y > x (se lee "y es mayor que x") como alternativa para x < y . 
Para nosotros no será importante cómo se define esta relación menor 
que, sino que lo realmente relevante es el hecho que se verifique las 
siguientes propiedades, denominadas axiomas de orden para los números 
reales. 
01 Tricotomía. Para cada par de números reales x, y se verifica una y 
sólo una de las siguientes afirmaciones: x < y , x = y , V Y < x. 
02 Transitividad. Si x < Y Y Y < z, entonces x < z. 
03 Monotonía. Si x < y , entonces x + z < y + z para todo z E lR. y 
xz < yz para todo z > O. 
Antes de demostrar algunas consecuencias de los axiomas de orden 
int roduzcamos alguna notación que simplificará la escrit ura . El símbolo 
x ::; y (se lee "x es menor o igual que y" ) significa que x < y o x = y . 
De x < y se sigue naturalmente x ::; y , pero el recíproco en general es 
falso. Si x ::; Y Y x i= y , entonces x < y . La notación y :2: x es otra forma 
de escribir x ::; y . 
Por el axioma de t ricotomía se t iene que si x E lR., entonces x > O, 
x < O o x = O. Si x > O, entonces x se llamará positivo y si x < O 
se denominará negativo. El conjunto de todos los números posit ivos 
lo notaremos con lR.+. Un número real x se llamará no negativo si se 
verifica que x :2: O. Si dos números reales x, y son posit ivos, escribiremos 
x, y > O Y si ambos son negativos, entonces lo notaremos con x, y < O. 
Si para x, y , z E lR., se t iene simultáneamente x < y y y < z, entonces 
podemos resumirlo escribiendo x < y < z. De manera similar escribire-
mos cuando sea necesario x < y ::; z, x ::; y < z, x ::; y ::; z, x > y > z, 
etc. 
1.3.1 Lema. Sean x, y E R Entonces x < y si y sólo si y - x > O. 
DEMOSTRACIÓN: Primero demostraremos que si x < y , entonces y -
x > O y luego su recíproco, es decir, si y - x > O, entonces x < y . 
1.3. Los axiomas de orden 
12 Gutiérrez-Robinson 
Supongamos inicialmente que x < y. Entonces del axioma 03 se sigue 
que O = x + (-x) < y + (-x) = y-x. Es decir, y - x > O. 
Recíprocamente, supongamos que y-x> O. Entonces (y-x)+x > O+x 
y se sigue que y > x. Es decir, x < y. D 
En el siguiente teorema demostramos que si un número es positivo, 
entonces su inverso adit ivo es negativo y si un número es negativo, en-
tonces su inverso aditivo es positivo. 
1.3.2 Teorema. Sean x, y E R Entonces 
1. x < O si y sólo si -x > O 
2. x > O si y sólo si -x < O 
3. x < y si y sólo si -y < -x 
DEMOSTRACIÓN: 
1. Si en el lema anterior tomamos y = O, entonces se tiene la afirma-
ción. 
2. Si en 1. cambiamos x por -x tenemos: 
-x < O {:} -(-x) > O 
{:} x> O 
3. Utilizando nuevamente el lema anterior se tiene: 
x<y {:} y-x>O 
{:} (-x) - (-y) > O 
{:} -y < -x 
El siguiente teorema establece una compatibilidad entre la suma y 
la relación de orden. La expresión compatibilidad se interpreta en el si-
guiente sentido: se pueden sumar miembro a miembro dos desigualdades 
del mismo tipo y ésta se mantiene. 
1.3.3 Teorema. Sean x, y, Z, w E lR.. Si x < Y Y Z < w, entonces 
x+Z < y+w. 
Capítulo 1. Los números reales 
Matemáticas básicas con trigonometría 13 
DEMOSTRACIÓN: Usando 03 tenemos: x + z < y + z y y + z < y + w. 
De 02 se sigue que x + z < y + w. D 
El siguiente demuestra que el producto de dos números reales es posi-
tivo, si ambos números son posit ivos o ambos son negativos y también 
que el producto de dos números reales es negativo, si uno es posit ivo y 
el ot ro es negativo. 
1.3.4 Teorema. Sean x, y , Z, w E lR.. 
1. x y > O si y sólo si x, y > O V x, y < O 
2. x y < O si y sólo si x > O Y Y < O V x < O Y Y > O 
DEMOSTRACIÓN: 
1. Supongamos que x, y > O. Entonces de 03 se sigue que x y > 
Oy = O. Si x, y < O, entonces del teorema 1.3.2(1) se sigue que 
- x, -y > O, Y por lo tanto x y = (- x )( -y) > O. 
Recíprocamente, supongamos ahora que x y > O. Entonces tanto x 
como y son distintos de cero . Supongamos además que la conclu-
sión es falsa. Entonces uno de los factores sería negativo y el otro 
sería posit ivo. Esto es (x > O Y Y < O) o (x < O Y Y > O). Dado 
que las dos sit uaciones son similares, no se pierde generalidad si 
suponemos x > O Y Y < O. Usando nuevamente el teorema 1.3.2(1) 
se t endría que -y > O. Entonces - (xy ) = x( -y) > O, Y con esto 
se tendría x y < O, lo cual cont radice la hipótesis. En conclusión , 
nuestro supuesto es falso y se t iene la afirmación. 
2. Se sigue inmediatamente de 1. D 
El siguiente teorema recoge múlt iples consecuencias de los axiomas de 
orden. 
1.3.5 Teorema. Sean x, y , Z, w E lR.. 
1. Si x i= O, entonces xx > O. En particular 1 > O 
2. Si x < Y Y Z < O, entonces xz > yz 
3. Si O < x < y , entonces O < y - l < x-1 
4. Si O < x < y y O < Z < w, entonces O < xz < yw 
1.3. Los axiomas de orden 
14 
5. Si x ::; y y y ::; x, entonces x 
relación ::; es antisimétrica) 
DEMOSTRACIÓN: 
Gutiérrez-Robinson 
y (Se dice usualmente que la 
1. Es una consecuencia inmediata del teorema anterior. 
2. Si x < y, entonces y - x > O. Dado que z < O, se tiene que -z > O, 
Y consecuentemente (y - x) ( - z) > O, es decir, - ((y - x)z) > O, 
Y por lo tanto -(yz - xz) :2: O. Es decir, xz - yz > O, lo cual 
demuestra que xz > yz. 
3. Para todo a E lR x se tienen que aa- l = 1. Entonces a y a- l 
t ienen siempre el mismo signo. Por hipótesis x, y > O. Entonces 
x-ly-l > O. 
Dado que x < y, se tiene que x(x-ly-l) < y(x-ly-l) y se sigue 
que y-l < x-l. 
4. Por hipótesis O < x < y y 0< z < w. Entonces usando 03 se tiene 
xz < yz y yz < yw. Aplicando ahora 02 se sigue la conclusión. 
5. Usando 01 se tiene que x < y o y < x o x = y, pero las dos 
primeras opciones contradicen la hipótesis. Por lo tanto sólo es 
posible x = y. D 
1.3.6 Ejercicios Sean x, y, z E R 
1. Demuestre que x ::; x. 
2. Demuestre que, si x ::; Y Y Y ::; z, entonces x ::; z. (La relación ::; 
es transitiva) 
3. Demuestre que, si x ::; y, y ::; z y x = z, entonces y = z. 
4. Sea x E R Si O ::; x ::; E para todo E > O, entonces x = O. 
5. Demuestre que el conjunto de los números reales positivos, el cual 
notaremos con lR+, satisface las siguientes propiedades: 
a) Si x, y E lR+, entonces x + y E lR+ Y xy E lR+. 
b) Si x i= O, entonces x E lR+, -x E lR+, pero no pueden darse 
ambas simultáneamente. 
e) O~lR+. 
Capítulo 1. Los números reales 
Matemáticas básicas con trigonometría 15 
1.4. El principio de buen orden 
Nuestro enfoque axiomático de los números reales tiene una extraña 
consecuencia, nada sabemos sobre el subconjunto de los números natu-
rales. La noción intuitiva de éstos está asociada a la determinación de 
la naturaleza finita de un conjunto. Es decir, con los números naturales 
podemos contar. 
Una alternativa formal para la construcción del conjunto de los núme-
ros naturales tiene como fundamento los siguientes cinco axiomas intro-
ducidos por el matemático italiano Giuseppe Pean06 , los cuales referen-
ciamos a manera de información. 
PI. 1 es un número natural. Es decir, el conjunto de los números natu-
rales es no vacío. 
P2. Si n es un número natural, entonces n + 1 también es un número 
natural. El número n + 1 es denominado el sucesor de n. 
P3. 1 no es sucesor de algún número natural. Esto es, 1 es el primer 
elemento del conjunto. 
P4. Si hay dos números naturales m y n tales que sus sucesores son 
diferentes, entonces m y n son números naturales diferentes. 
P5. Si un conjunto de números naturales contiene al 1 y a los suceso-
res de cada uno de sus elementos, entonces contiene a todos los 
números naturales. Este postulado se conoce como Axioma de in-
ducción. 
Esta forma de construir los números naturales, por lo demás elegante, 
no la consideraremos. Por lotanto necesitamos definirlos usando nuestro 
sistema axiomático. Esto es, como subconjunto de R 
El axioma de cuerpo C3 asegura la existencia del número real 1. Uti-
lizando luego la adición definida sobre lR. se pueden obtener todos los 
números naturales. En efecto, 2 := 1 + 1, 3 := 2 + 1, Y así sucesivamente. 
La dificultad que presenta esta opción es que la expresión "así sucesiva-
mente" carece de precisión matemática. 
6 CruSEPPE PEANO (1858 - 1932) , matemático italiano, estudió en la Universidad 
de Turín, ciudad a la que su familia se había trasladado en 1870. Sus aportes más 
recordadas son las referentes a la axiomática de las matemáticas. A ese respecto cabe 
destacar sus axiomas sobre el conjunto de los números naturales o sobre la estructura 
de un espacio vectorial, así como la definición del concepto de aplicación lineal. 
1.4. El principio de buen orden 
16 Gutiérrez-Robinson 
1.4.1 D efinición. (Conjunto inductivo.) Un subconjunto J de lR. se 
llama inductivo si se verifican las siguientes propiedades: 
CIl. 1 E J . 
CI2. Si n E J, entonces n + 1 E J . 
Ejemplos de conjuntos inductivos son lR. y lR.+. 
1.4.2 Definición. El conjunto de los números naturales (notado con 
N) se define como la intersección de todos los subconjuntos de lR. que 
son inductivos. Esto es, si definimos J := {J I J ~ lR., J es inductivo} , 
entonces 
N:= n J . 
l E :J 
Este conjunto también es inductivo. En efecto, 
1. 1 E J , para todo J E J. Por lo tanto 1 E N. 
2. Si n E N, entonces por la definición de intersección se t iene que 
n E J , para todo J E J. Dado que cada J es inductivo, se verifica 
que n + 1 E J , para todo J E J , lo cual nos permite concluir que 
n+ 1 EN. 
Los elementos de N se llamarán números naturales. De la definición de 
conjunto inductivo se t iene que 
N = {1 , 1 + 1, 1 + 1 + 1, ... } =: {1 , 2,3, ... } 
El siguiente teorema es conocido como principio de inducción ma-
temática. Este es una herramienta fundamental para la demostración de 
la validez para todo n E N, de proposiciones que dependen de n. 
1.4.3 Teorema. (Principio de inducción matemática) Sea J un 
subconjunto de N. Si J es inductivo, entonces J = N. 
DEMOSTRACIÓN: Si J es un conjunto inductivo, entonces de la defi-
nición de N se sigue que N ~ J. Por hipótesis J ~ N, entonces J = N. 
D 
El siguiente teorema asegura que si restringimos al conjunto N la suma 
y la mult iplicación definida sobre lR., entonces se verifica que N es cerrado 
bajo estas operaciones. Es decir , la suma y mult iplicación de dos números 
naturales son también números naturales. 
Capítulo 1. Los números reales 
Matemáticas básicas con trigonometría 17 
1.4.4 Teorema. Si x, y E N, entonces x + y E N Y xy E N. 
DEMOSTRACIÓN: Sea m E N cualquiera y consideremos el conjunto 
J := {n E N I m + n E N} 
Demostramos que J es inductivo: 
1. Dado que N es inductivo y m E N, se tiene que m + 1 E N. Por lo 
tanto 1 E J. 
2. Sea n E J. Entonces m + n E N Y dado que N es inductivo , se t iene 
que (m + n) + 1 = m + (n + 1) E N. Es decir, n + 1 E J. 
Usando el principio de inducción se tiene que J = N. Por lo tanto, si 
x, y E N, entonces x + y E N. En forma similar se obtiene la cerradura 
con respecto a la multiplicación. D 
1.4.5 Teorema. Todo número natural es positivo, O ~ N Y el inverso 
aditivo de cada número natural no es un número natural. 
DEMOSTRACIÓN: Consideremos el conjunto J = {n E N In:2: 1}. 
Demostramos que J es inductivo: 
1. Dado que 1 E N Y 1 :2: 1, se tiene que 1 E J . 
2. Si n E J , entonces n :2: 1 Y por el teorema 1.3.3 se tiene que 
n + 1 :2: 1. Es decir, n + 1 E J . 
Por lo tanto J = N. Es decir, n :2: 1, para todo n E N. Dado que 1 > O 
(ver teorema 1.3.5(1)), se sigue que todo número natural es positivo y 
por lo tanto O y el inverso aditivo de cada número natural no pertenece 
aN. D 
1.4.6 Ejercicios Sea No := N U {O}. Demuestre las siguientes afirma-
ciones: 
1. h := {1} U {x E lR l x :2: 2} es inductivo. Por lo tanto h = N. 
2. No existe m E N tal que 1 < m < 2. 
3. h := {n E N I n - 1 E No} es inductivo. Por lo tanto h = N. 
4. h := {n E N I no existe m E N tal que n < m < n + 1} es 
inductivo. Por lo tanto h = N. 
1.4. El principio de buen orden 
18 Gutiérrez-Robinson 
5. Si m y n son números naturales tal que m < n+ 1, entonces m ::; n. 
1.4.7 Teorema. No existe m E N tal que n < m < n + 1. 
DEMOSTRACIÓN: Ver ejercicios anteriores. D 
Ahora deseamos establecer el principio de buen orden para el con-
junto de los números naturales. Para ello presentamos las definiciones 
de elemento mínimo y elemento máximo de un conjunto A. 
1.4.8 Definición. Sea A un subconjunto no vacío de R Diremos que 
m E 1R. es un elemento mínimo de A, notado m = mín(A), si se verifican: 
1. m E A 
2. m::; x, para todo x E A 
En el siguiente teorema demostramos que si A es un subconjunto no 
vacío de N, entonces existe mín(A). 
1.4.9 Teorema. (Principio del buen orden.) Si A es un subcon-
junto no vacío de N, entonces A tiene un elemento mínimo. 
DEMOSTRACIÓN: Sea A un subconjunto no vacío de N y supongamos 
que A no admite un elemento mínimo. Entonces 1 ~ A, ya que de lo 
contrario éste sería su elemento mínimo. Entonces para todo m E A 
se verifica que m > 1. Definamos el conjunto J := {k E N I k < 
m, para todo m E A}. Por lo tanto 1 E J. 
Sea ahora k E J cualquiera. Entonces se verifica que k + 1 ::; m para 
todo m E A, ya que de lo contrario k + 1 > mo para algún mo E A y se 
tendría que k < mo < k + 1, lo cual por el teorema 1.4.7 sería imposible. 
Dado que A no tiene elemento mínimo, debe cumplirse que k + 1 < m 
para todo m E A. Esto significa que si k E J, entonces k + 1 E J y se 
tiene que J es inductivo y por el principio de inducción J = N. 
Por otro lado, como A no es vacío, tomemos m E A. Entonces m E 
J y se cumpliría la desigualdad m < m, la cual es un absurdo. Esta 
contradicción demuestra que la suposición inicial es falsa, y se tiene 
entonces el principio de buen orden. D 
Capítulo 1. Los números reales 
Matemáticas básicas con trigonometría 19 
1.5. Números enteros y racionales 
Podemos ahora presentar una definición para el conjunto de los núme-
ros enteros, el cual notaremos con Z (por influencia del término alemán 
Zahlen, que significa número). Dado n E N, el axioma de cuerpo C4 
garant iza la existencia del número real - no Entonces definimos 
Z := N U {O} U { - n I n E N} ~ R 
Esto es, 
Z = {... -2 -1 O 1 2 ... } , , "" 
Evidentemente, se t iene que N ~ No ~ Z. El conjunto Z puede expresarse 
como la unión disjunta de dos subconjuntos especiales, el subconjunto 
de los números pares (notado con 2Z) y su complemento (con respecto 
a Z), el subconjunto de los números impares , el cual notaremos con 
(2Z) '. 
1.5.1 Definición. Sea x E Z. 
1. x se denomina par , si existe k E Z tal que x = 2k . 
2. x se llamará impar , si existe m E Z tal que 2m + 1. 
En notación de conjuntos tenemos: 
2Z = {... - 6 - 4 -2 O 2 4 6 ... } , , , "'" 
(2Z) ' = {... - 5 - 3 -1 1 3 5 ... } , , , "" 
1.5.2 Lema. Sea x E Z y definamos x2 := xx. 
1. Si x es impar , entonces x2 es impar 
2. x es par si y solo si x2 es par 
D EMOSTRACIÓN: 
1. Si x es impar, entonces x = 2m + 1, para algún m E Z. Entonces 
x2 = (2m + 1)(2m + 1) = 2(2m2 + 2m) + 1. Esto demuestra que 
x2 es impar. 
2. Si x es par, entonces x = 2k para algún k E Z. Entonces x2 
(2k )(2k ) = 2(2k2). Dado que 2k2 E Z, se t iene que x2 es par. 
El recíproco de esta afirmación se sigue de 1. D 
1.5. Números enteros y racionales 
20 Gutiérrez-Robinson 
1.5.3 Ejercicios Sean m, n E Z, con m i= O. Diremos que m divide a 
n, notado con m 1 n, si existe k E Z tal que n = km. 
Demuestre las siguientes afirmaciones: 
1. 1 1 n, para todo n E Z. 
2. Si m i= O, entonces m i O. 
3. Si m 1 n y n 1 k, entonces m 1 k. 
4. Si m 11, entonces m = ±1. 
5. Si m 1 n y n 1 m, entonces m = ±n. 
Presentamos ahora otro subconjunto importante de los números reales, 
el conjunto de los números racionales. Este será notado con la letraQ (por influencia de la palabra inglesa Quotient) y lo definimos de la 
siguiente manera: 
Q = {xy -1 1 x, Y E Z, y i= O} 
Resulta de gran utilidad introducir la denominada notación de fraccio-
nes, la cual facilita operar números racionales. Para ello definimos 
!l2. .= xy-1 y . 
Por lo tanto podemos expresar en esta nueva notación el conjunto de los 
racionales de la siguiente manera 
Q={~ l x,yEZ, Yi=O} 
Note que si z E Z, entonces z = zl = zl-1 E Q. Por lo tanto se tiene 
que Z ~ Q. Entonces 
Se deja como ejercicio verificar que Q con las restricciones de la suma 
y multiplicación de reales, satisface todos los axiomas de cuerpo y de 
orden. 
1.5.4 Lema. Sean x, y, z E R Si y, z E ]Rx, entonces ~ = ~; 
xz 
DEMOSTRACIÓN: = (xz)(yz)-l = (xz)(z-ly-1) = x(zz-l )y-1 
yz 
X 
xy-1 = - D 
Y 
Capítulo 1. Los números reales 
Matemáticas básicas con trigonometría 21 
Como una aplicación del lema anterior se tiene, por ejemplo, que en 
lugar de escribir § escribiremos :t. Diremos que éstas son fracciones 
equivalentes. Esto nos permite usar solo fracciones cuyos numerador y 
denominador tengan como único divisor positivo al uno. 
En el siguiente teorema demostramos que Q es un conjunto cerrados 
con respecto a la restricción de la suma y la multiplicación definida sobre 
R 
1.5.5 Teorema. Sean x, y, z, w E ]R. 
1. Si y, w E ]R x, entonces ~ ± -!l; = X~!yz. En particular, si y E ]R x , 
entonces ~ + ~ = x+z 
y y y 
2. Si Y w E]Rx entonces ~ . ~ = xz , , y w yw 
DEMOSTRACIÓN: 
1. Dado que y, w i= 0, existen y-l y w-1 E R Entonces 
x z - + -
Y w 
xww-1y-l + zyy-1w-1 
xwy-1w-1 + zyy-1w-1 
(xw + yz)y-1w-1 
(xw + yz)(yw)-l 
xw+yz 
yw 
Como caso particular del anterior tenemos 
~+~ 
y y 
xy+yz 
yy 
xy+zy 
yy 
(x+z)y 
yy 
x+z 
y 
2. Nuevamente es claro que existen y-l y w-1 E ]R. Entonces 
x Z 
(xy-l )(zw-1) 
Y W 
(xz)(y-1w- 1) 
(xz)(yw)-l 
xz 
D 
yw 
1.5. Números enteros y racionales 
22 Gutiérrez-Robinson 
En el teorema que presentamos a continuación, indicamos cómo obte-
ner los inversos aditivo y multiplicativo de una fracción, además obten-
dremos una forma para simplificar "una fracción de fracciones" . 
1.5.6 Teorema. Sean x, y, z, w E ]R. 
1. Si Y E]Rx entonces _~ = -x = ~ , y y -y 
2. Si x, Y E ]Rx, entonces (~rl = ~ 
3 S· lT1lX t (~) - xw . 1 y , Z, w E ll'i>. ,en onces (~) - yz 
DEMOSTRACIÓN: 
1. Por un lado se tiene: 
-(~) 
Utilizando los mismos argumentos, 
-(~) _(xy-l) 
x( _y- l) 
x((_y)-l) 
x 
-y 
2. Usando el punto anterior se tiene que 
~. ~ = xy = 1 
Y x yx 
La unicidad del inverso multiplicativo implica la afirmación. 
3. Utilizando el punto anterior se tiene: 
Presentamos ahora otras propiedades de las fracciones y la relación 
que existe entre dos números reales no nulos y sus inversos multiplicati-
vos. Demostraremos además la desigualdad de la media aritmética. Ésta 
asegura que entre dos números reales siempre existe otro número real. 
Capítulo 1. Los números reales 
Matemáticas básicas con trigonometría 23 
1.5.7 Teorema. Sean x,y,z E R 
1. Sea y i= O. Entonces ~ > O si y sólo si x,y > O o x,y < O. 
2. Si x < y y z > O, entonces ~ < ~. 
3. Si O < x < y y z > O, entonces ~ < ~. En particular t < ~. 
4. Desigualdad de la media aritmética. Si x < y, entonces 
x < X!y < y. 
DEMOSTRACIÓN: 
1. En el teorema 1.3.5(3) se demostró que y y t tienen el mismo signo. 
Además ~ = x· t, entonces la afirmación se sigue del teorema 1.3.4. 
2. Por hipótesis z > O. Entonces ~ > O. Usando 03 se tiene que 
~ = I x < Iy = '!L z z z z 
3. Supongamos que O < x < y. Entonces :y > O, Y usando nueva-
mente 03 tenemos: 
;!. - ~x ~ -;!. 
y - xy < xy y - x 
4. De x < y se sigue que 2x = x + x < x + y < y + y 2y. 
Multiplicando por ~ se tiene la conclusión. D 
De la desigualdad de la media aritmética se tiene que entre dos núme-
ros racionales siempre se encuentra otro número racional. Es decir, no 
existe la noción de sucesor para un número racional, contrario a lo que 
sucede en N. 
1.5.8 Teorema. Si x, y E lR., entonces x2 + y2 2': 2xy. 
DEMOSTRACIÓN: Diferenciamos dos casos: 
Caso 1. Si x = y, entonces x2 + y2 = 2x2 = 2xy. Entonces se verifica 
la afirmación. 
Caso 2. Supongamos que x i= y. Entonces x - y i= O Y (x - y)2 > O. 
Por lo tanto x2 - 2xy + y2 > O Y por el axioma de monotonía se 
sigue x2 + y2 > 2xy. D 
1.5. Números enteros y racionales 
24 
1.5.9 Ejercicios Sean x, y, z, w E R 
1. Demuestre que 
a) x2 + y2 :2: O 
b) Si x,y > O, entonces ~ + ~ :2: 2 
e) Si x > y, entonces x3 > y3 
d) Si ~ < ~ entonces ~ < x+ z < ~ 
y w' y y+w w 
Gutiérrez-Robinson 
e) Si y, z > O, entonces ~ < ~ si y sólo si xw < yz 
Existe otro subconjunto importante de los números reales, el de los 
irracionales, el cual consideramos a continuación. 
1.5.10 Definición. Todo número real que no sea racional lo llamare-
mos irracional. Es decir, el complemento de Q en lR., notado con Q', se 
denominará conjunto de los números irracionales. 
Por el momento no tenemos información sobre el conjunto de los irra-
cionales. Demostraremos más adelante que efectivamente Q' no es vacío. 
Probaremos en el siguiente teorema que no existe un número racional 
cuyo cuadrado sea 2. Es decir, si x E lR. Y x2 = 2, entonces necesaria-
mente x no es un número racional. Como consecuencia del axioma del 
extremo superior se tendrá que este número existe en lR. y, por lo tanto, 
usando la definición anterior se tendría que es irracional. 
Utilizando un lenguaje que justificaremos formalmente más adelante, 
demostraremos en el siguiente teorema que J2 no es un número racional. 
1.5.11 Teorema. No existe x E Q tal que x2 = 2. 
DEMOSTRACIÓN: Supongamos que si existe x E Q tal que x2 = 2. 
Entonces podemos expresar a x en la forma ~, donde m, n E Z, n i= O 
y sin perder generalidad, podemos suponer además m y n no tienen 
divisores comunes distintos de 1. Utilizando la hipótesis tenemos que 
m
2 
- 2 -;:)7-
Es decir, m 2 = 2n2 y por lo tanto m 2 es un número par. Utilizando el 
lema 1.5.2 (2) se tiene que m es también par, digamos m = 2k para algún 
k E Z. Entonces (2k)2 = 2n2 y esto trae como consecuencia que n 2 = 
2k2 , lo cual significa que n 2 es par y por lo tanto n es par. Esto implica 
que m y n tienen por lo menos al 2 como divisor común, contradiciendo 
nuestro supuesto. D 
Capítulo 1. Los números reales 
Matemáticas básicas con trigonometría 25 
1.5.12 Definición. Sea b E lR, b :2: O. Si existe x E lR tal que x2 = b, 
entonces llamaremos a x una raíz cuadrada de b. 
Observaciones 
1. Del teorema 1.3.5 (1) se sigue que los números reales negativos no 
t ienen raíces cuadradas, ya que si x2 = b, entonces forzosamente 
b :2: O. 
2. Si b = O, entonces O es la única raíz cuadrada de b. 
3. Sea b > O. Si x2 = b, entonces x2 i= O y (_x)2 = b, es decir, x y 
-x son raíces cuadradas de b. Además se verifica que existe a lo 
más dos raíces cuadradas para b. Por ejemplo , 3 y -3 son raíces 
cuadradas de 9, ya que (_3)2 = (3)2 = 9. 
4. Si b :2: O, denotaremos su raíz cuadrada no negativa con v1J o b~ 
(si existe). En el teorema 1.5.11 se demostró que J2 ~ Q. 
Sistema de coordenadas unidimensional: la recta 
real 
Existe una forma de "graficar" los números reales. Para ello considere-
mos el conjunto de puntos de una recta J:.,. Una característica geométrica 
de J:., es el hecho que entre dos puntos cualesquiera de ésta siempre se 
encuentra otro punto. Esto nos permite asociar a cada punto de J:., un 
número real. 
Sobre una recta J:., elegimos cualquier punto O (que llamaremos ori-
gen), al cual le hacemos corresponder el cero. Luego escogemos una 
unidad de longitud, y partiendo de O medimos hacia la derecha una 
unidad, y a este punto le asignamos el 1. Repitiendo este procedimien-
to, se establece entonces una correspondencia entre puntos de J:., y los 
elementos de N. 
O 1 2 3 
O 
Si partimos de O y efectuamos ahora el mismo procedimiento hacia la 
izquierda, podemos entonces asegurar la correspondencia entre puntos 
de J:., y los elementos de Z.1.5. Números enteros y racionales 
26 Gutiérrez-Robinson 
-3 -2 -1 o 1 2 3 
o 
Para establecer la correspondencia con los elementos de Q, iniciamos el 
proceso con racionales de la forma ~. Para ello dividimos en n partes la 
unidad tomada, y partiendo de O se mide hacia la derecha esta cantidad. 
Si m, n EN, entonces la correspondencia con elementos de la forma ~ 
se efectuará considerando los casos m > n o m < n. 
o 1 n 
I 
O 
1 
m 
n 
I 
Más adelante presentaremos la correspondencia entre puntos de J:., y 
los números irracionales. Ésta naturalmente no es evidente. Sin embar-
go, asumiremos que ésta es posible. Es decir que, en definitiva, a cada 
número real x le corresponde un único punto P en la recta J:., y recípro-
camente. Es usual denominar a J:., la recta real. 
En el siguiente gráfico ilustramos, por ejemplo, cómo asignarle a y'2 
un punto en J:.,. El procedimiento consiste en construir un triángulo 
rectángulo cuyos catetos tienen longitud 1 y luego trazamos una cir-
cunferencia con centro en O y radio y'2: 
x y z 
P O 1 Q R 
Nota. Sean x, y E lR. Y supongamos que P y Q son los puntos de la 
recta J:., asociados a x y y respectivamente. Algunas interpretaciones son 
las siguientes: 
1. P está a la derecha del origen significa que x es positivo. 
2. Q está a la izquierda del origen significa que y es negativo. 
Capítulo 1. Los números reales 
Matemáticas básicas con trigonometría 27 
1.6. El axioma del extremo superior 
La noción geométrica introducida sobre lR será de gran importancia para 
describir y entender conceptos abstractos como cotas superiores, inferio-
res, elementos máximos y extremos superior de un subconjunto de lR. 
1.6.1 Definición. Sea A un sub conjunto no vacío de R 
1. Se dice que A está acotado superiormente si existe b E lR tal 
que x::; b para todo x E A. Este número b se denomina una cota 
superior para A. 
2. Si b E A Y b es una cota superior para A, entonces b se llamará un 
elemento máximo de A. 
Note que en la definición de cota superior se usó la expresión "una", 
ya que todo número mayor que b también es una cota superior para A. 
Es fácil verificar que si A es un subconjunto no vacío de lR y t iene un 
elemento máximo, entonces éste es único. Usaremos la notación 
b = máx(A) 
Un conjunto A que no admita una cota superior se llamará no aco-
tado superiormente. Esto es, para todo b E lR existe x E A tal que 
b < x. 
De manera dual se definen los conceptos conjunto acotado inferior-
mente, cota inferior y conjunto no acotado inferiormente. Se deja 
como ejercicio la redacción. 
1.6.2 Ejemplos. Sean a, b E lR con a < b. 
1. El conjunto A = {x E lR l a::; x ::; b} está acotado superior-
mente por b y además éste es su elemento máximo. También A 
está acotado inferior mente por a y éste es su elemento mínimo. 
2. El conjunto B = {x E lR I a < x < b} está acotado superiormente e 
inferior mente por b y a respectivamente, pero no t iene ni elemento 
máximo ni elemento mínimo. 
3. Sea A = { ~ In E N}, esto es, A = {1 , ~ ,~, ... } . Entonces A 
está acotado superiormente por 1 y éste es su elemento máximo. 
Por otro lado, A está acotado inferiormente por 0, pero no t iene 
elemento mínimo. 
1.6. El axioma del extremo superior 
28 Gutiérrez-Robinson 
4. Sea a E R El conjunto A = {x E lR. I x :2: a} está acotado 
inferiormente por a y éste es su elemento mínimo. Naturalmente, 
A no está acotado superiormente. 
5. Sea b E R El conjunto B = {x E lR. I x::; b} está acotado supe-
riormente por b y éste es su elemento máximo. Es claro que B no 
está acotado inferiormente. 
6. Demostraremos más adelante que N no está acotado superiormen-
te, y como consecuencia tampoco tiene un elemento máximo. No 
obstante, sí está acotado inferiormente y tiene como elemento míni-
mo al número 1. 
1.6.3 Definición. Sea 0 i= A ~ R Un número real b se llama extremo 
superior o supremo de A si satisface las siguientes propiedades: 
1. b es una cota superior para A. 
2. Si c E lR. es también una cota superior para A, entonces b ::; c. Esto 
es, ningún número menor que b es cota superior para A, o también, 
b es la más pequeña cota superior de A. Usaremos la notación 
b = sup(A) 
Note que si A tiene elemento máximo, entonces éste es su extremo 
superior. Pero también es posible que A no tenga elemento máximo y 
sin embargo tenga extremo superior. 
Consideremos nuevamente los ejemplos 1.6.2 (1) Y (2). Ilustramos 
gráficamente la diferencia entre máx(A) y sup(A): 
a 
• 
a 
o 
A 
A 
b cotas superiores 
• 
1 
máx(A) 
b cotas superiores 
o 
1 
sup(A) 
N aturalmente, existe el concepto de extremo inferior o ínfimo para 
un subconjunto no vacío de R 
Capítulo 1. Los números reales 
Matemáticas básicas con trigonometría 29 
1.6.4 D efinición. Sea 0 i= A ~ R Un número real c se llamará ex-
tremo inferior o ínfimo de A si satisface las siguientes propiedades: 
1. c es una cota inferior para A. 
2. Si d E lR. es también una cota inferior para A, entonces d ::; c. Esto 
es, ningún número mayor que c es cota inferior para A, o también , 
c es la más grande cota inferior de A. Usaremos la notación 
b = ínf (A) 
Como en la sit uación anterior, si A t iene elemento mínimo, entonces 
éste es su extremo inferior. Pero también es posible que A no tenga 
elemento mínimo y sin embargo tenga extremo inferior . 
cotas inferiores 
cotas inferiores 
a 
• 
1 
mín(A) 
a 
• 
1 
ínf(A) 
A b 
• 
A b 
• 
1.6.5 Teorema. (Unicidad del supremo.) Sea A un subconjunto no 
vacío de lR.. Si b y c son extremos superiores para A, entonces b = c. 
DEMOSTRACIÓN: De la definición de sup(A) se t iene que b ::; c y c ::; b. 
Del teorema 1.3.5 (5) se sigue que b = c D 
El teorema anterior nos permite asegurar que si un subconjunto no 
vacío A de lR. admite un extremo superior , entonces éste es único. Es 
decir, t iene sent ido hablar de "el" extremo superior de A, en lugar de 
"un" extremo superior. 
Enunciamos ahora el axioma del extremos superior. Con base en éste 
puede demostrarse una afirmación similar para el extremo inferior. 
1.6.6 Axioma del extremo superior. Todo subconjunto no vacío A 
de lR. que está acotado superiormente posee extremo superior. 
Una consecuencia inmediata del axioma del extremo superior es la no 
existencia de una cota superior para el conjunto de los números natura-
les. 
1.6. El axioma del extremo superior 
30 Gutiérrez-Robinson 
1.6.7 Teorema. El conjunto N no está acotado superiormente. 
DEMOSTRACIÓN: Supongamos que la afirmación es falsa, es decir, N si 
está acotado superiormente. Como N no es vacío, del axioma del extremo 
superior se sigue que existe b := sup(N). Dado que b - 1 < b, se tiene 
que b - 1 no es una cota superior para N. Entonces existe n E N tal que 
b - 1 < n, por lo tanto b < n + l. 
Por otro lado, se tiene que n + 1 E N, lo cual contradice la condición 
de extremos superior de b. Entonces nuestro supuesto inicial es falso, es 
decir, N no está acotado superiormente. D 
1.6.8 Teorema de Arquímedes. Para todo número real x existe n E 
N (que depende de x) tal que n > x . 
DEMOSTRACIÓN: Si la afirmación fuese falsa, entonces se tendría que 
el conjunto N es acotado superiormente, lo cual no es posible. D 
El siguiente teorema es simplemente otra formulación del teorema de 
Arquímedes y resulta de vital importancia en el tratamiento de conver-
gencia de algunas sucesiones, tratadas en el cálculo diferencial. 
1.6.9 Teorema de Eudoxo. Para todo número real x > O existe m E 
N tal que ~ < x. 
DEMOSTRACIÓN: Si en el teorema anterior cambiamos x por ~ se tiene 
el resultado. D 
Es importante anotar que los nombres de estos teoremas no obedecen 
a sus autores. De hecho, los griegos no conocieron los números reales. 
El teorema de Arquímedes puede interpretarse geométricamente de la 
siguiente manera: Cada segmento, independiente de su longitud , puede 
cubrirse con un número finito de segmentos de longitud positiva dada 
y estos segmentos pueden ser arbitrariamente pequeños. Arquímedes 
consideróeste hecho como una propiedad fundamental de la recta y la 
asumió como postulado de su geometría. 
El siguiente teorema es de gran importancia teórica, ya que desde el 
punto de vista topológico afirma que Q es denso en R Entendiendo 
la densidad en el siguiente sentido: Dado cualquier x E lR., podemos 
encontrar r E Q tan cerca como querramos. 
1.6.10 Teorema. Sea x E R Entonces para todo é > O existe un núme-
ro racional r tal que x - é < r < x + é. 
Capítulo 1. Los números reales 
Matemáticas básicas con trigonometría 31 
DEMOSTRACIÓN: Sea E > O. Entonces por el teorema de Eudoxos 
existe m E N tal que ~ < E. Demostramos ahora la existencia de un 
número racional r que satisface 
x -l < r <x+ l m m (1.1 ) 
Para ello diferenciamos dos casos: 
Caso 1. Supongamos que x > O. E ntonces por el teorema de Ar-
químedes exist e n E N tal que n > m x y del principio del buen orden el 
conjunto de todos estos n t iene un elemento mínimo, digamos k. Por lo 
t anto se sigue que k - 1 ::; m x < k. Si tomamos r = ~, se verifica que 
De la desigualdad izquierda se t iene que r < x + ~ y de la desigualdad 
derecha se sigue que x - ~ < r . En total se t iene (1.1). 
Caso 2. Si x < O, entonces - x > O Y del caso 1. se sigue que existe 
un número racional r tal que - x - ~ < r < - x + ~. Por lo tanto 
- x - E < r < - x + E 
Mult iplicando por -1 se t iene que x - E < - r < x + E. D 
Sea A es un subconjunto no vacío de R Abordamos ahora ot ra forma 
de caracterizar sup(A) e ínf(A) , sobre la base que estos existan. 
1.6.11 Teorema. Sea A un subconjunto no vacío de lR., acotado supe-
rior e inferiormente. Entonces 
1. b = sup(A) si y solo si para todo E > O existe x E A tal que 
x> b - E. 
A b- E 
o o 
x 1 sup(A) 
2. e = ínf(A) si y solo si para todo E > O existe x E A tal que 
x < C+E . 
X C+E A 
o 
1 
ínf(A) 
o 
1.6. El axioma del extremo superior 
32 Gutiérrez-Robinson 
DEMOSTRACIÓN: 
1. Sea b = sup(A) y supongamos que x ::; b - E, para todo x E A. 
Entonces b - E sería una cota superior para A, menor que b, lo cual 
no es posible. Entonces debe existir por lo menos un x E A de tal 
manera que x> b - E. 
La afirmación recíproca se deja como ejercicio . 
2. Similar a la anterior. 
Otros resultados importantes sobre el supremo de un subconjunto no 
vacío de lR. son los siguientes. El primer teorema establece una monotonía 
del supremo y del ínfimo con respecto a la inclusión de conjuntos. 
1.6.12 Teorema. Sean A y B subconjuntos no vacíos de lR., con A ~ B. 
1. Si B está acotado superiormente, entonces sup(A) ::; sup(B). 
2. Si B está acotado inferiormente, entonces ínf(A) :2: ínf(B). 
DEMOSTRACIÓN: 
1. Dado que A ~ B, se sigue que x ::; sup(B), para todo x E A. 
Entonces sup(B) es una cota superior para A. Como sup(A) es la 
menor de las cotas superiores, se t iene que sup(A) ::; sup(B). 
2. De manera similar, se t iene que x :2: ínf(B), para todo x E A. D 
1.6.13 Definición. Sean A y B subconjuntos no vacíos de R Definimos 
1. A + B := {x + y I x E A, Y E B} 
2. AB:= {xy I x E A, Y E B} 
3. kA:= {kx I x E A}, para k E R 
1.6.14 Teorema. Sean A y B subconjuntos no vacíos de lR., acotados 
superiormente. Entonces 
1. sup(A + B) = sup(A) + sup(B). 
2. sup(AB) = sup(A) sup(B), si todos los elementos de A y de B son 
números no negativos. 
3. sup(kA) = k sup(A), para todo k :2: o. 
Capítulo 1. Los números reales 
Matemáticas básicas con trigonometría 33 
DEMOSTRACIÓN: Sean a := sup(A), b := sup(B) y E > O cualquiera. 
1. Para todo x E A Y todo y E B se verifica que x ::; a y y ::; b. 
Por lo tanto x + y ::; a + b. Esto asegura que a + b es una cota 
superior para A + B. Del teorema 1.6.11 (1) se tiene que para el 
número positivo ~ existen Xo E A Y Yo E B tal que Xo > a - ~ y 
Yo > b - ~. Entonces Xo + Yo > (a + b) - E, lo cual demuestra que 
a + b = sup(A + B). 
2. Si a = O o b = O, entonces la demostración es inmediata. Supon-
gamos entonces que a > O Y b > O. Nuevamente tenemos que para 
todo x E A Y todo Y E B se verifica que x ::; a y Y ::; b. Dado que 
x :2: O Y Y :2: O, se tiene que xy ::; abo Esto nos permite afirmar que 
ab es una cota superior para AB. Para ;b > O existe Xo E A tal 
que Xo > a - ;b y para 2ca > O existe Yo E B tal que Yo > b - 2ca · 
Note que 
xoYo ab + (xo - a)b + (Yo - b)xo 
> ab+(xo-a)b+(Yo-b)a 
> ab - ~b- ~a 
2b 2a 
ab - E 
Entonces XoYo > ab - E, lo cual demuestra que ab = sup(AB). 
3. Si k = O, entonces la demostración es inmediata. Supongamos 
entonces que k > O. Es claro que kx ::; ka, para todo x E A. Es 
decir, ka es una cota superior para kA. Para ~ > O existe Xo E A 
tal que Xo > a - ~. Entonces kxo > ka - E Y con esto se tiene que 
ka = sup(kA). D 
1.6.15 Ejercicios 
1. Sean x, y, z E ]R.. Demuestre que 
a) máx {x + z, Y + z} = máx { x, y} + z 
b) mÍn {x + z, Y + z} = mÍn { x, y} + z 
2. Demuestre la segunda parte del teorema 1.6.11. 
3. Sean A y B subconjuntos no vacíos de ]R., acotados inferiormente. 
Demuestre que 
a) Ínf(A + B) = Ínf(A) + Ínf(B). 
1.6. El axioma del extremo superior 
34 Gutiérrez-Robinson 
b) ínf(AB) = ínf(A) ínf(B), si todos los elementos de A y de B 
son números no negativos. 
e) ínf(kA) = k ínf(A), para todo k:2: o. 
1. 7. El valor absoluto: propiedades 
A lo largo de este capítulo hemos considerados tres aspectos de los núme-
ros reales: el algebraico, fundamentado en los axiomas de cuerpo y sus 
consecuencias, la estructura ordenada, sustentado en los axiomas de or-
den, y el axioma del extremo superior. 
Utilizaremos ahora lo desarrollado a partir de los axiomas de orden 
para presentar una métrica en los reales. Es decir, una forma de "medir 
la distancia entre dos números reales" . 
1. 7.1 Definición. Sean x, y E R La distancia entre x e y, notada 
d(x, y), se define de la siguiente manera: 
d(x, y) = máx{x, y} - mín{x, y} = { x - y 
y-x 
si, x :2: Y 
si, x < Y 
Demostramos ahora algunas propiedades de esta distancia. El siguiente 
teorema afirma que la distancia entre dos puntos distintos de lR. siempre 
es positiva; el orden en el que se mida no juega un papel importante y 
por último, se tiene una "desigualdad triangular". 
1. 7 . 2 Teorema. Sean x, y, z E lR.. Entonces 
1. d(x, y) :2: O 
2. d(x,y) =0 si y sólo si x=y 
3. d(x, y) = d(y, x) 
4. d(x, y) ::; d(x, z) + d(z, y) 
DEMOSTRACIÓN: Las propiedades 1. 2. Y 3. son evidentes. Se siguen 
inmediatamente de la definición de distancia. Para demostrar 4. diferen-
ciamos algunos caso: 
Caso 1. Supongamos que x ::; z ::; y. 
x z y 
Capítulo 1. Los números reales 
Matemáticas básicas con trigonometría 35 
Entonces d(x, z) + d(z, y) = (z - x) + (y - z) = y - x = d(x, y). 
Caso 2. Supongamos que x ::; y ::; z. 
x y z 
Entonces d(x, z) + d(z, y) > d(x, y). Verifíquelo. 
Caso 3. Si z ::; x ::; y , entonces la afirmación también se cumple. Se 
deja como ejercicio. D 
Demostramos ahora que la distancia es invariante bajo t raslaciones. 
1.7.3 Teorema. Si x, y,z E lR., entonces d (x + z, y + z) = d(x, y). 
DEMOSTRACIÓN: Usando la definición de distancia tenemos: 
d (x + z, y + z) máx {x + z, y + z } - mín {x + z, y + z } 
(máx{x, y} + z) - (mín{x, y} + z) 
máx { x, y} - mín { x, y} 
d(x, y) D 
1.7.4 Definición. Sea x E R El valor absoluto de x, notado Ix l, se 
define así: 
Gráficamente 
Ix l := d(x, O) = {x 
- x 
si, x :2: O 
si, x < O 
__ --~_I _-
( "' 
o x 
Una consecuencia inmediata del teorema 1. 7.3 es la siguiente: Si x, y E 
lR., entonces 
d(x, y) = d(x - y,y - y) = d(x - y,O). 
Por lo tanto 
d(x, y) = Ix - yl 
Demostramos ahora algunas propiedades del valor absoluto. Por ejem-
plo, el valor absoluto de un número real y su inverso adit ivo coinciden; 
el valor absoluto de un número real es siempre un número no negativo. 
1.7. El valor absoluto: propiedades 
36 
1.7.5 Teorema. Sean x,y E R Entonces 
1. Ix l :2: O, además Ix l = O si y sólo si x = O 
2. 1- x l = Ix l 
3. Ix - y l = Iy - x l 
4. Desigualdad triangular. Ix + y l S Ix l + Iy l· 
DEMOSTRACIÓN: 
Gutiérrez-Robinson 
1. Se sigueinmediatamente del teorema 1.7.2 (1) Y (2). 
2. Ix l = d(x, O) = d(O, -x) = d( -x, O) = I - x l 
3· lx-yl = I -(y-x) I = ly-x l· 
4. Utilizamos ahora los teoremas 1.7.2 (4) Y 1.7.3. 
Ix + y l d(x + y, O) 
d(x, -y) 
< d(x,O) +d(O,-y) 
d(x, O) + d( -y, O) 
Ix l + I-yl 
Ix l + Iy l D 
1.7.6 Teorema. Sean x,y E R Entonces 
1. Ixy l = Ix ll y l 
2. Ix l2 = x2 
3. Si Y i= O, entonces ly-1 1 = Iy l-l 
4. I ~ I = El y Iyl 
5. - Ix l S x S Ix l 
DEMOSTRACIÓN: 
1. Consideramos todas las opciones posibles: 
Caso 1. Si xy = O, entonces x = O o y = O. Por lo tanto 
Ixy l = O = Ix ll y l 
Capítulo 1. Los números reales 
Matemáticas básicas con trigonometría 
Caso 2. Si xy > O, entonces x,y > O o x, y < O 
• Si x, y > O, entonces se t iene que 
Ixy l = xy = Ixllyl 
• Si x, y < O, entonces se t iene que 
Ixy l = xy = (- x)( -y) = Ixllyl 
Caso 3. Si xy < O, entonces x > O Y Y < O o x < O Y Y > O 
• Si x > O Y Y < O, entonces se t iene que 
Ixy l = - (xy) = x( -y) = Ixllyl 
37 
• Si x < O Y Y > O, entonces la sit uación es similar a la 
anterior. 
2. Si x = O, entonces el resultado es inmediato. Supongamos que 
x i= O. Entonces del teorema 1.3.5 (1) se sigue que x2 > O, por lo 
tanto 
3. Sea y E lR. x. Entonces yy- l = 1. Del punto 1 se sigue que lylly-11 = 
lyy-11 = 111 = 1. Por lo tanto ly-11 = Iyl-l . 
4. Es consecuencia de 1 y 3 En efecto: 
5. Demostramos inicialmente que x ::; Ixl para todo x E R 
Caso 1. Si x :2: O, entonces x = Ixl y por lo tanto x ::; Ixl. 
Caso 2. Si x < O, entonces Ixl = - x > O Y se t iene que x < O < 
Ixl· 
Demostramos ahora que - Ixl ::; x para todo x E R 
Caso 1. Si x :2: O, entonces - Ixl ::; O ::; x. 
Caso 2. Si x < O, entonces Ixl = - x y se sigue que - Ixl = x. Por 
lo tanto - Ixl ::; x. D 
1. 7.7 Teorema. Sean x, k E R Entonces 
1.7. El valor absoluto: propiedades 
38 Gutiérrez-Robinson 
1. Ixl = k si y sólo si k:2: O Y x E { -k, k} 
2. Ixl = Iyl si y sólo si x = y o x = -y 
DEMOSTRACIÓN: 
1. Supongamos que k :2: O Y x E {-k, k}. Si x = k, entonces Ixl 
x = k, Y si x = -k, entonces Ixl = -( -k) = k. 
Recíprocamente, supongamos ahora que Ixl = k. De la definición 
de valor absoluto se sigue que Ixl :2: O para todo x E R Entonces 
k :2: O Y x = k o x = -k. 
2. Consideraremos dos casos dependiendo del valor de y: 
Caso 1. Si y :2: O, entonces Iyl = y y el resultado se sigue de 1. 
Caso 2. Si y < O, entonces Iyl = -y y se tiene 
Ixl = -y {:} x = -( -y) V x = -y 
{:} x = y V x = -y D 
1.7.8 Ejemplos. Halle en cada caso el conjunto indicado: 
1. S = {x E lR I 13x - 21 = 1} 
SOLUCIÓN: Utilizando el teorema 1.7.7 (1) tenemos: 
13x - 21 = 1 {:} 3x - 2 = 1 V 3x - 2 = -1 
1 
{:} x=1 V x= -
3 
Entonces S = {1, i}. 
2. S = {x E lR Ilx - 21 = 11 - xl} 
SOLUCIÓN: Utilizando el teorema 1.7.7 (2) tenemos: 
Ix - 21 = 11 - xl {:} x - 2 = 1 - x V x - 2 = -(1 - x) 
{:} 2x = 3 V x - 2 = x - 1 
3 
{:} x= - V x-2=x-l 
2 
Por lo tanto S = {~} U 0 = {~}. 
Capítulo 1. Los números reales 
Matemáticas básicas con trigonometría 39 
3. S = {x E lR I 12x - 51 = x - 4} 
SOLUCIÓN: Utilizando el teorema 1.7.7 (1) tenemos: 
12x - 51 = x - 4 {:} { x - 4:2: 0 y 
2x - 5 = x - 4 V 2x - 5 = - (x - 4) 
{:} { x:2:4 y x= l V x=3 
Entonces S = [4, oo [n{l , 3} = 0. 
En el siguiente teorema presentaremos más propiedades del valor abso-
luto que ut ilizaremos en la solución de inecuaciones con valor absoluto. 
1. 7.9 Teorema. Sean a, b, x E lR Y b :2: O. Entonces 
1. Ixl ::; b si y sólo si -b ::; x ::; b 
2. Ixl :2: b si y sólo si x ::; -b o x :2: b 
3. Ix - al ::; b si y sólo si a - b ::; x ::; a + b 
4. Ix - al :2: b si y sólo si x ::; a - b o x :2: a + b 
DEMOSTRACIÓN: 
1. Supongamos que Ixl ::; b. De 1. 7.6 (5) se t iene que x ::; Ixl. Entonces 
x ::; b. Dado que Ixl ::; b, se t iene que -b ::; - Ixl. De 1.7.6 (5) 
se t iene también que - Ixl ::; x, es decir, -b ::; x. Por lo tanto 
-b ::; x ::; b. 
Por otro lado, supongamos ahora que -b ::; x ::; b. Para demostrar 
que Ixl ::; b consideramos dos casos: 
Caso 1. x :2: O. Entonces Ixl = x ::; b. 
Caso 2. x < O. Entonces Ixl = - x. Dado que -b ::; x, se t iene 
que - x ::; b. Por lo tanto Ixl ::; b. 
2. Supongamos inicialmente que Ixl :2: b. Para demostrar que x :2: b o 
x ::; -b consideramos dos casos: 
Caso 1. x :2: O. Entonces x = Ixl :2: b. 
Caso 2. x < O. Entonces - x = Ixl :2: b. Entonces x ::; -b. 
1.7. El valor absoluto: propiedades 
40 Gutiérrez-Robinson 
Por otro lado, asumamos como hipótesis que x :2: b o x ::; -b. Si 
x :2: b, entonces Ixl = x :2: b. (por hipótesis b :2: O). Si x ::; -b, 
entonces Ixl = -x :2: b. 
3. Es una consecuencia de 1. 
4. Es una consecuencia de 2. D 
1. 7 .10 Definición. Sean a, b E lR con a < b. Definimos los siguientes 
conjuntos, usualmente denominados intervalos reales: 
1. [a,b] := {x E lR l a::; x::; b} 
a 
• 
2. [a,b [:= {x E lR l a::; x < b} 
a 
• 
3. ]a,b] :={xElR l a<x::;b} 
a 
o 
4. ]a,b[:={xElR l a<x<b} 
a 
o 
5. la, +00[:= {x E lR l x > a} 
a 
o 
6. [a, +00[:= {x E lR l x :2: a} 
a 
• 
7. ] - oo,b] := {x E lR l x::; b} 
Capítulo 1. Los números reales 
b 
• 
b 
o 
b 
• 
b 
o 
b 
• 
Matemáticas básicas con trigonometría 41 
8. ] - 00, b[:= {x E lR I x < b} 
b 
o 
9. ] - 00, +00[= lR 
Como aplicación de los teoremas anteriores consideremos ahora inecua-
ciones con valor absoluto. 
1. 7.11 Ejemplos. Halle el conjunto indicado: 
1. S = {x E lR I 13x I ::; 2} 
SOLUCIÓN: Utilizando el teorema 1.7.9 (1) tenemos: 
13x l ::; 2 {:} -2 ::; 3x ::; 2 
{:} - ª- < x < ª-2 - - 2 
Entonces S = [- ~,~ ] 
2. S = {X E lR I I ~ I > 5} 
SOLUCIÓN: Utilizando el teorema 1. 7.9 (2) tenemos: 
I ~ I > 5 {:} ~ > 5 V ~ < - 5 
{:} x > 10 V x < -10 
Entonces S =] - 00, -10[ U ]10, +oo[ 
3. S = {x E lR Ilx - ti < n 
SOLUCIÓN: Utilizando el teorema 1. 7.9 (3) tenemos: 
IX- tl<i {:} - i<x - t<i 
{:} - i+t<x<i+t 
{:} _11 < x < 19 20 20 
Por lo tanto S = ] - ~6 , ~6 [ 
4. 15x - 41 2': 1 
SOLUCIÓN: Una aplicación del teorema 1.7.9 (4) nos da: 
15x - 412': 1 {:} 5x - 42': 1 V 5x - 4::; -1 
{:} x 2': 1 V x::;~ 
Entonces el conjunto solución es ] - oo,~ ] U [1, +00[. 
1.7. El valor absoluto: propiedades 
42 Gutiérrez-Robinson 
1.7.12 Ejercicios 1. En cada caso halle el conjunto indicado: 
a) S = {x E lR 112x - 31 = O} 
b) S = {x E lR I Ix + 21 = -1} 
e) S = {x E lR 115x + 21 = 11 - 3xl} 
d) S = {x E lR I Ix - 11 = 3x - 2} 
e) S = {x E lR Ilxl = 2 - x} 
1) S = {x E lR I Ix - 61 = I - 31} 
2. Sean x, y E R 
a) Demuestre que Il xl - Iyll ::; Ix - yl 
b) Demuestre que Il xl - Iyll ::; Ix + yl 
e) Sea E > O Y a i= O. Describa el siguiente conjunto y grafíquelo: 
A = {x E lR I I ax + ,61 ::; E} 
Capítulo 1. Los números reales 
Capítulo 2 
Exponentes racionales 
Contenido 
2.1. Inducción matemática. 
2.2. Exponentes enteros .. 
2.3. Exponentes racionales y raíces 
2.4. Aplicaciones ........... . 
43 
49 
59 
70 
En este capít ulo nos ocuparemos de las potencias racionales de un núme-
ro real y de sus propiedades. Es decir, estudiaremos expresiones de la 
forma x r , donde x E lR. Y r E Q. Iniciaremos analizando el comporta-
miento de ést as cuando r E N, luego lo extenderemos a r E Z, y por 
últ imo consideraremos el caso r E Q . 
2.1. Ind ucción matemática 
Demostrar las propiedades más importantes de los exponentes racio-
nales, usualmente requiere la utilización del método de inducción ma-
temática. Los fundamentos para la implementación de este método se 
estudiaron en el teorema 1.4.3. 
2.1.1 Principio de inducción matemática. Supóngase que est á da-
da una proposición que depende de n E N, digamos P (n) , y supóngase 
además que se pueden demostrar las siguientes afirmaciones: 
43 
44 Gutiérrez-Robinson 
(IM1) P(l) es verdadera. 
(1M2) Para todo k E N, si P(k) es verdadera, entonces P(k+1) también 
es verdadera. 
Entonces para todo n E N la proposición P(n) es verdadera. 
DEMOSTRACIÓN: Sea K el conjunto de todos los números naturales 
para los cuales la proposición P(n) es verdadera. Esto es, 
K = {n E N I P(n)es verdadera} 
De (1M1) se sigue que 1 E K Y de (1M2) se sigue que si k E K, entonces 
k + 1 E K. Esto asegura que K es inductivo y por el teorema 1.4.3 se 
tiene que K = N. Es decir, P(n) es verdadera para todo E N D 
En esencia, el principio de inducción matemática consiste en lo si-
guiente: 
Una proposición P(n) es válida para todo número natural n si se 
verifican: 
(1) P(n) es válida para n = 1. 
(2) De la validez de P(n) para un número natural cualquiera n = k se 
sigue su validez para n = k + 1. 
Simbólicamente, el principio de inducción matemática se puede expre-
sar de la siguiente manera: 
[P(l) 1\ (Vk)(P(k) =* P(k + 1))] =* (Vn)P(n) (2.1) 
2.1.2 Ejemplos. Presentamos ahora algunas demostraciones usando 
ind ucción matemática. 
1. Para todo n E N se cumple que 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n2 . 
DEMOSTRACIÓN: En este ejemplo la proposición P(n) de la que 
habla el principio de inducción es 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n2 . 
Verificar que P(l) es verdadera es inmediato , ya que 1 = 12 . 
Supongamos ahora que la proposición se verifica para k E N. Es 
decir, 
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = k2 (2.2) 
Demostramos ahora que P(k + 1) es verdadera. Esto significa que 
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2(k + 1) - 1) = (k + 1)2 (2.3) 
Capítulo 2. Exponentes racionales 
Matemáticas básicas con trigonometría 45 
Sumando a cada lado de la igualdad (2.2) el término 2(k + 1) - 1 
se t iene: 
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2(k + 1) - 1) k 2 +2(k+1)-1 
k 2 + 2k + 1 
(k + 1)2 
Dado que la proposición P(k+ 1) también es verdadera, el principio 
de inducción matemática asegura que la afirmación es válida para 
todo n E N. 
2. La suma de los n primeros naturales está dada por la expresión 
n(n
2
+1). Es decir, 
1 + 2 + 3 + ... + n = n(n
2
+1) 
DEMOSTRACIÓN: Dado que 1 = 1(1;+-1), se tiene que P(l) es ver-
dadera. 
Supongamos ahora que P(k) es verdadera. Esto es, 
1 + 2 + 3 + ... + k - k(k+1) - 2 (2.4) 
Demostramos ahora que P(k + 1) es verdadera. Es decir, 
1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = (k+1)[(~+1)+1] (2.5) 
Sumando (k + 1) a cada lado de la igualdad (2.4) se tiene: 
1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) k(ki1) + (k + 1) 
k(k+1)+2(k+1) 
2 
(k+1)(k+2) 
2 
(k+1)[(k+1)+1] 
2 
La conclusión se sigue del principio de inducción matemática. 
3. Para todo n E N se verifica que 
12 + 22 + 32 + ... + n2 _ n(n+1)(2n+1) - 6 
DEMOSTRACIÓN: Dado que 1 = 1(1+1¿(2+1), se tiene entonces que 
P (1) es verdadera. 
2.1. Inducción matemática 
46 Gutiérrez-Robinson 
Supongamos ahora que para k E N se verifica 
12 + 22 + 32 + ... + k2 = k(k+1~2k+1) (2.6) 
Demostramos ahora que P(k + 1) es verdadera: 
k(k+1~(2k+1) + (k + 1)2 
k(k+ 1)(2k+ 1)+6(k+ 1 )2 
6 
(k+ 1 )[k(2k+ 1)+6(k+ 1 )] 
6 
(k+1)(2k 2 +7k+6) 
6 
(k+1)(k+2)(2k+3) 
6 
(k+ 1 )[(k+ 1)+ 1] [2(k+ 1)+ 1] 
6 
Usando el principio de inducción matemática se t iene que la afir-
mación es válida para todo n E N. 
4. Para todo n E N se cumple que 2n :2: 2n. 
DEMOSTRACIÓN: Note que 21 = 2 :2: 2(1) = 2. Por lo tanto P(l) 
es verdadera. 
Supongamos ahora que 
2k :2: 2k 
Demostremos que 2k+1 :2: 2(k + 1) . 
(2.7) 
Si en la desigualdad (2.7) multiplicamos a ambos lados por 2, se 
tiene que 22k:2: 2(2k). Entonces 2k+1 :2: 2k + 2k . Dado que k:2: 1, 
se tiene entonces que 2k :2: 2. Por lo tanto 2k + 2k :2: 2k + 2. En 
conclusión, se tiene que 2k+ 1 :2: 2( k + 1) . 
Entonces la afirmación se cumple para todo n E N. 
5. Si n E N, entonces n(n + 1) es divisible por 2. 
DEMOSTRACIÓN: Si n = 1, entonces n(n + 1) = 2 es divisible por 
2. Entonces P(l) es verdadero. 
Supongamos que para k E N se verifica que k(k + 1) es divisible 
por 2. 
Demostramos que (k + l)(k + 2) es divisible por 2. 
Note que (k+1)(k+2) = k(k+1)+2(k+1) Y además k(k+1) es, 
por hipótesis, divisible por 2. Por otro lado, 2(k + 1) también es es 
Capítulo 2. Exponentes racionales 
Matemáticas básicas con trigonometría 47 
divisible por 2 (ya que es un entero par ). Por lo tanto (k + 1) (k + 2) 
es divisible por 2. 
Entonces la afirmación es válida para todo n E N. 
2.1.3 Teorema. (Desigualdad de Bernoulli) l Para todo número 
natural n :2: 2 y para todo número real no nulo x > -1 se verifica 
que 
(1 +x)n > 1 +nx. 
D EMOSTRACIÓN: P rocedemos por inducción sobre n. 
1. Si n = 2, entonces (1 +x)2 = 1 + 2x +x2 > 1 + 2x, ya que x2 > O. 
2. Supongamos ahora que la afirmación para n :2: 2 es válida. Esto es 
(1 + x) n > 1 + nx. 
3. Mult iplicando a ambos lados por (1 + x) se t iene: 
(1 + x)n+l > (1 + x)( l + nx) 
1 +nx+x +nx2 
> 1 + (n + l )x 
Lo cual demuestra la afirmación. D 
El siguiente teorema es una generalización de las propiedades descritas 
en los teoremas 1.3.3 y 1.3.5 (4). 
2.1.4 Teorema. Sean Xj, Yj E lR. para todo j = 1, 2,··· ,n. 
1. Si Xj < Yj para todo j = 1, 2, · .. ,n, entonces 
X l + X2 + ... + Xn < YI + Y2 + ... + Yn 
2. Si Xj < Yj para todo j = 1, 2,··· ,n y además Xj > O, entonces 
XIX2 . . . Xn < YIY2 ... Yn 
1 J AKOB BERNOULLI (1654 - 1705), científico suizo nacido en Basilea. Tras licen-
ciarse en teología y haber estudiado matemáticas y astronomía entre 1677 y 1682 
viajó a Francia, los Países Bajos e Inglaterra. De regreso, en Suiza, desde 1683 en-
señó mecánica en Basilea. En 1687 se hizo cargo de la cátedra de matemáticas en 
la Universidad de Basilea. Con su hermano estudió los aportes de Leibniz al cálculo 
infinitesimal, el cual aplicó al estudio de la catenaria y en 1690 introdujo el término 
de integral en su sentido moderno. 
2.1. Inducción matemática 
48 
n: 
Gutiérrez-Robinson 
DEMOSTRACIÓN: Demostramos las afirmaciones por inducción sobre 
1. Si n = 1, entonces la afirmación es trivial. 
Supongamos que para k = n - 1 se verifica que la afirmación. Es 
decir, Xl + ... + Xn-l < YI + ... + Yn-l· Del teorema 1.3.3 se sigue 
que 
Xl + ... + Xn-l + X n < Y1 + ... + Yn-l + X n 
< = Y1 + ... + Yn-l + Yn 
2. Si n = 1, nuevamente la afirmación es inmediata. 
Supongamos que XIX2··· Xn-l < Y1Y2··· Yn-l. Usando una 
vez más el teorema (1.3.5) 7. se sigue que Xl··· Xn-IXn < 
Y1 ... Yn-IXn < Y1 ... Yn-IYn· D 
2.1.5 Ejercicios Usando el principio de inducción matemática demues-
tre que para todo n E N se verifica que 
1. 13 + 23 + 33 + ... + n 3 = n2(n4+ 1)2 
2. 23 + 43 + ... + (2n)3 = 2n2 (n + 1)2 
3. 1 + 4 + 7 + ... + (3n - 2) = n(3~-I) 
4. 2 + 4 + ... + 2n = n 2 + n 
5. 14 + 24 + 34 + ... + n 4 = n(n+I)(6n~69n2+n-l) 
6. n3 - n es divisible por 6 
8. 2n > 2n+ 1, (n 2': 3) 
9. Sea a E N dado. Demuestre que para todo n E N se verifica que 
a) Si a 2': 2, entonces an > n 
b) Si a 2': 3, entonces an > n 2 
e) 2n > n 2 
10. Para todo n E N, la expresión xn - yn es divisible por X - Y 
Capítulo 2. Exponentes racionales 
Matemáticas básicas con trigonometría 49 
2.2. Exponentes enteros 
2.2.1 D efinición. Sean x E ]R Y n E Z. Se define la n -ésima potencia 
de x, denotada con xn de la siguiente manera: 
x O .- 1, para X=f= O 
xn+l .- xnx, para n:2: 0 
xn .- (x-n)- l , para x =f= O, n< O 
El siguiente teorema nos suministra las primeras propiedades de los 
exponentes. En la prueba de éste jugará un papel importante el principio 
de inducción matemática. 
2.2.2 Teorema. Sean x, y E ]R x y m , n E Z. Entonces se cumplen 
2. (xm)n = xmn 
3. (xy)n = xnyn 
4. ( ~ ) n = ~: 
~ ~ Fn-m 
si m = n 
5. si n> m x= 
1 si m > n x rn - n 
DEMOSTRACIÓN: 
1. Demostramos la afirmación considerando todas las sit uaciones po-
sibles. Inicialmente, el caso en que m y n son no negativos. 
(a) Supongamos inicialmente que m , n E No Y demostramos la 
afirmación por inducción sobre n. 
Parte 1: Si n = O, entonces xmxO = x m1 = xm = xm+O. 
Parte 2: Supongamos que la afirmación es válida para n :2: 
O. Entonces 
xm(xnx) 
(xmxn)x 
xm+nx 
xm+n+l 
2.2. Exponentes enteros 
50 Gutiérrez-Robinson 
(b) Demostramos ahora la siguiente afirmación: Si k E N, enton-
ces se verifica que x-kx = x-k+1. Dado que k - 1 :2: O, de 
(a) se sigue que xxk-1 = xk. Entonces 
X-k (xk)- l 
(xxk-1 )-1 
x-1 (xk- 1)-1 
x-1x-(k-1) 
x-1x-k+1 
x-k+1x-1