introducción a la ingeniería

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Journal of Materials Education 
Universidad Autónoma del Estado de México: University of North Texas
vsm@.uaemex.mx 
ISSN (Versión impresa): 0738-7989
MÉXICO
 
 
 
 
2003 
Brian S. Mitchell 
EJERCICIOS DE APRENDIZAJE COLABORATIVO EN CIENCIA DE MATERIALES E 
INTRODUCCIÓN A LA INGENIERÍA 
Journal of Materials Education, año/vol. 25, número 4-6 
Universidad Autónoma del Estado de México: University of North Texas 
Toluca, México 
pp. 171-184 
 
 
 
 
Red de Revistas Científicas de América Látina y el Caribe, España y Portugal
Universidad Autónoma del Estado de México
 
mailto:vsm@.uaemex.mx
http://www.redalyc.org/
 
 
 
 
Journal of Materials Education Vol. 25 (4-6): 171-184 (2003) 
 
 
 
 
 
 
EJERCICIOS DE APRENDIZAJE COLABORATIVO EN CIENCIA DE 
MATERIALES E INTRODUCCIÓN A LA INGENIERÍA 
 
Brian S. Mitchell 
 
Department of Chemical Engineering, Tulane University, New Orleans, LA 70118, USA; 
brian@tulane.edu 
 
 
RESUMEN 
 
Se presentan y discuten una variedad de ejercicios de aprendizaje colaborativo en Ciencia de 
Materiales e Ingeniería. 
 
Palabras clave: Aprendizaje colaborativo, Ciencia de Materiales, diseño de materiales, educación en 
materiales. 
 
 
INTRODUCCIÓN 
 
El aprendizaje colaborativo es una técnica de 
aprendizaje activo que se ha utilizado con 
mayor frecuencia en la instrucción de cursos de 
licenciatura de ciencia e ingeniería. El 
aprendizaje activo en cualquier tipo de proceso 
de aprendizaje en el que los estudiantes juegan 
un rol activo, contrariamente a los métodos de 
aprendizaje pasivo de la instrucción tradicional 
basada en conferencias. Aunque la enseñanza 
activa puede y frecuentemente debe ocurrir 
fuera del salón de clases, estamos preocupados 
por el uso de las técnicas de aprendizaje activo 
en el salón de clases como medio para mejorar 
la experiencia de aprendizaje de los estudiantes. 
Los ejemplos de aprendizaje activo son los 
ejercicios de laboratorio y los problemas 
muestra de clase que los estudiantes deben 
resolver por ellos mismos. Sin embargo, estos 
tipos de aprendizaje activo se pueden 
fácilmente convertir en ejercicios individuales, 
aun si los estudiantes están asignados para 
trabajar en equipos. 
 
 
El aprendizaje cooperativo involucra no sólo la 
interacción de los estudiantes para resolver 
problemas, pero lo más importante, requiere de 
interdependencia para llegar a una respuesta. 
Ésta se logra a través de la asignación de tareas 
específicas a cada participante del grupo y se 
requiere que cada tarea obtenga una solución 
final del problema. De esta manera, cada 
participante tiene una responsabilidad 
individual, además de aquella grupal requerida 
por el problema. Los grupos pueden ser grandes 
o pequeños, y los problemas pueden ser simples 
o complejos. La clave principal es permitir a los 
estudiantes que apliquen activamente las ideas 
que son presentadas en clase, y mejorar el 
proceso de aprendizaje pasivo en cambio de 
remplazarlo. La teoría y la práctica del 
aprendizaje activo y cooperativo se describen 
en otra parte1, tal como es la efectividad del 
aprendizaje cooperativo como herramienta 
instruccional2. 
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Si bien ha sido lento su desarrollo en los 
campos de la ingeniería, el aprendizaje 
cooperativo se ha usado de una manera 
creciente en la instrucción de muchas de las 
disciplinas de la ciencia3, particularmente, en 
introducción a la química en licenciatura4, 
química orgánica5, 6, y estadística7. No se dice 
con esto que el aprendizaje colaborativo no se 
use también en otra ciencia o disciplinas de la 
ingeniería, o que el uso del aprendizaje 
colaborativo en la instrucción de ciencia de 
materiales sea una nueva idea. Al contrario, han 
iniciado a aparecer artículos en la literatura de 
estos mismos temas8, 9, y el autor conoce de sus 
colegas que usan rutinariamente esta técnica en 
sus cursos de licenciatura de ciencia de 
materiales e ingeniería (MSE)10. Además, las 
técnicas de enseñanza activa necesitan no estar 
limitadas a la instrucción en licenciatura; el 
aprendizaje cooperativo es fácilmente adaptable 
y efectivo para cualquier curso MSE de nivel de 
grado11. 
 
El propósito de este artículo es proveer algunos 
ejemplos específicos de aprendizaje que puedan 
ser usados en los cursos introductorios de MSE. 
Se han realizado todos los intentos que son 
relativamente independientes en lo 
disciplinario, es decir, tópicos, nomenclatura y 
estrategias que podrían ser usadas en ingeniería 
mecánica, ciencia de materiales, ingeniería biomédica 
y cursos similares basados en física del estado 
sólido. El uso de la responsabilidad, 
interdependencia, interacción e instrucción 
basada en el diseño (“más de una respuesta 
contestada”) en el proceso de aprendizaje 
cooperativo debe ser apreciable desde las 
ilustraciones, pero será expuesto por encima de 
cómo es apropiado. Los objetivos educativos 
para cada ejercicio también se enumeran para 
apoyar al instructor en la valoración de los 
resultados, lo cual es un componente crítico de 
la guía de acreditación de la Oficina de 
Acreditación para la Ingeniería y Tecnología 
(ABET)12. 
 
 
 
 
 
APLICACIÓN DE EJERCICIOS DE 
APRENDIZAJE COOPERATIVO 
 
Todos los ejercicios de aprendizaje cooperativo 
tienen diferentes cosas en común. Primero, 
ellos involucran más de un estudiante. El 
proceso de “trabajo con un vecino” es rápido y 
conveniente, y virtualmente obligatorio para 
una clase más amplia. Para clases más 
pequeñas, sin embargo, es conveniente, y aun 
deseable asignar compañeros teniendo a los 
estudiantes en turno, por ejemplo, y encontrar a 
su compañero en alguna parte del otro lado del 
salón. Para sesiones de conferencias largas, esto 
también puede apoyar a tener a los estudiantes 
atentos. También les ayuda a conocer a los 
estudiantes que no han conocido anteriormente, 
especialmente al inicio de un periodo. 
 
El segundo objetivo que tienen estos ejercicios 
en común es la instrucción específica que cada 
estudiante debe ejecutar. Los estudiantes son 
referidos generalmente como la Persona 1, 
Persona 2, Persona 3, etc., pero cada 
participante ha sido asignado a la “Persona #” 
previo al ejercicio. Este proceso se puede 
abandonar por los estudiantes, pero es 
frecuentemente preferible para el instructor 
asignar un número de Personas a individuos en 
lo específico. Un ejemplo de asignación de 
tareas es que la persona con mayor tiempo en el 
grupo sea la Persona 1, la siguiente la Persona 
2, etc. Sin embargo, el método de selección 
debe ser variado. Otra técnica de asignación de 
tareas utiliza el último dígito del número 
telefónico de una persona, quien haya llegado 
más temprano en la mañana, el número de 
hermanos que tengan. ¡Sé creativo! Hay 
muchos beneficios sociales para este simple 
proceso de selección, y tiene ganancias 
rápidamente. La asignación de t áreas 
individuales requiere la responsabilidad de cada 
participante del grupo. Un estudiante no puede 
simplemente “sentarse y observar” mientras el 
otro estudiante se encarga de tener la respuesta. 
 
El aspecto final que los ejercicios de 
aprendizaje cooperativo tienen en común es que 
los estudiantes deben combinar sus respuestas 
de alguna manera para tener una conclusión 
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adicional. Ésta puede ser un cálculo, una 
comparación, una lista o el intercambio de 
información. El punto de este proceso es dar 
algún significado al tener a los estudiantes 
trabajando en grupo. Si las tareas fueron 
meramente de cálculo, se puede hacer de 
manera individual. El aspecto de 
interdependencia no sólo acentúa la 
responsabilidad de cada participante de cada 
grupo, sino que permite una importante 
interacción que puede ayudar a aquellos 
estudiantes que les falta el entendimiento del 
requisito de aprender de aquellos que 
prosperaron con el conceptoque ha sido 
ilustrado. Aún para aquellos estudiantes que ya 
entienden el concepto, el viejo refrán “la mejor 
forma de aprender algo es enseñándolo” actúa 
para reforzar e incluso profundizar sus niveles 
de comprensión. 
 
El papel del instructor es muy importante 
durante los ejercicios. El instructor debe 
moverse entre los grupos lo más posible y 
apoyar a aquellos que están “atorados”. Es una 
oportunidad el tiempo personal con el 
instructor, incluso si es sólo por 20 segundos. 
Este es un rol importante, ya que el proceso del 
trabajo de los estudiantes a través de sus 
dificultades es el beneficio real del aprendizaje 
en el salón de clase. El instructor también sirve 
para proporcionar el tiempo límite del ejercicio. 
Típicamente, los ejercicios deben durar no más 
de cinco minutos aproximadamente, y el 
instructor debe apoyar a los grupos a seguir 
el tiempo, aun al punto de decirles a cada 
persona cuándo debe hacer cada tarea 
individual y cuándo deben moverse para 
combinar su información. 
 
El “caos” aparente que puede suceder de la 
ejecución del proceso de aprendizaje 
cooperativo puede desconcertar en un principio 
al instructor. Es imperativo que el instructor 
establezca claramente el propósito del ejercicio, 
mantener el seguimiento del tiempo, e 
inmediatamente intercambiar con conferencias 
cuando el proceso de aprendizaje cooperativo 
se complete. Con práctica, los estudiantes 
aprenderán el propósito de los ejercicios, y 
cómo intercambiar de un lado a otro 
conferencias y actividades de grupo con algo de 
dificultad. 
 
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS 
 
El primer ejemplo de aprendizaje cooperativo 
que se puede usar en la instrucción de 
ingeniería de materiales es simplemente uno 
para ilustrar cómo trabaja el proceso de 
aprendizaje colaborativo. En el ejemplo 1, el 
cual puede estar posicionado cerca del inicio de 
un curso de ingeniería de materiales, se pide a 
los estudiantes que calculen la densidad de un 
elemento basado sólo en materiales del libro de 
texto. En el caso de la Persona 1, tendrán que 
contra el número de átomos célula tetragonal 
unitaria, la cual ilustra un importante concepto. 
La Persona 2 tendrá que revisar la geometría de 
la célula tetragonal basada en el cuerpo. 
Ninguna de las dos actividades es 
particularmente difícil, pero pueden surgir 
importantes preguntas si nunca han hecho con 
anterioridad ninguna de estas actividades. El 
paso final para combinar la información es 
establecida a propósito de una manera ambigua. 
En las instrucciones se podía leer “divide la 
masa por el volumen para alcanzar la 
densidad”, pero por qué no permitir a los 
estudiantes hacer este análisis dimensional por 
ellos mismos. 
 
El ejemplo 2 ilustra cómo el concepto de 
aprendizaje cooperativo se puede aplicar en 
grupos de tres tan fácil como en grupos de dos. 
Particularmente, esto se acomoda al ejemplo 
dado que tiene que ver con los diagramas de 
fase de tres componentes. Este ejemplo también 
ilustra que los ejercicios no necesariamente 
tienen que ser estrictamente de cálculo. Éste es 
en su mayor parte conceptual y gráfico. Aunque 
en definitiva hay maneras correctas e 
incorrectas de dibujar los diagramas de fase, no 
es crítico que cada detalle de los dibujos sean 
correctos. La idea es que los alumnos 
reconozcan la forma general de esos diagramas, 
y cómo se puede recabar la información 
relevante de diagramas de tres componentes. 
 
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El ejemplo 3, que tiene que ver con crítica 
energía libre para la formación del núcleo, más 
aún ilustra que el ejercicio necesita no sólo 
estar basado en el cálculo, y más aún, que a los 
estudiantes se les puede pedir que realicen 
derivaciones en lugar de simplemente copiarlas 
del pizarrón. Obviamente, las derivaciones no 
deben ser complejas o extensas, o los 
estudiantes nunca las completarán, sino que las 
ilustrativas y cortas son perfectamente 
aceptables como ejercicios de aprendizaje 
cooperativo. 
 
En el ejemplo 4, se solicita a los estudiantes que 
obtengan alguna información de propiedades 
físicas. Si ellos no tienen un apropiado texto de 
referencia a la mano, esto puede ser un proyecto 
grupal de casa que requerirá que vayan, si es 
necesario, a la biblioteca por información de 
propiedades físicas. Este problema en lo 
particular ofrece un simple ejemplo de la 
relación entre presión y tensión, lo cual es 
cubierto virtualmente en todos los cursos de 
materiales. Un punto potencial de error en este 
ejemplo es la necesidad de convertir la tensión, 
frecuentemente reportada en elongaciones de 
%, al decimal adecuado equivalente al 
desempeño apropiado al cálculo usando la Ley 
de Hooke. 
 
El ejemplo 5, cálculo de valores de nódulos de 
información de presión-tensión, ilustra cómo 
los ejercicios pueden ser de multipartes. En este 
caso, después de que se logra la primera 
respuesta cooperativa, entonces se usa el 
resultado para más cálculos individuales. Esto 
se construye sobre el concepto de 
interdependencia mutual, porque ahora la 
exactitud de la primera respuesta cooperativa 
acarrea algún peso adicional con respecto a la 
ejecución del segundo conjunto de cálculos. 
 
Manteniéndonos con el tema de cálculo de 
propiedades mecánicas, el ejemplo 6, selección 
de un método de evaluación, muestra cómo los 
ejercicios de aprendizaje cooperativo pueden 
estar netamente basados en el pensamiento, sin 
ninguna respuesta correcta. Las respuestas que 
cada grupo presentan como ideas se pueden leer 
en voz alta o compartirlas una por una con el 
resto del grupo. Una lista maestra se puede 
construir en el pizarrón. ¡Se asombrarán de 
cuántas respuestas tienen los estudiantes! Este 
problema de aprendizaje cooperativo provee 
entonces una excelente oportunidad para la 
discusión en clase. 
 
El ejercicio 7 es todavía otro problema de 
evaluación mecánica, pero lo más importante es 
que ilustra cómo los grupos de cuatro se pueden 
“mezclar y acoplar” en un problema de multi 
partes para permitir a los estudiantes interactuar 
sobre las mismas bases. Primero se forman dos 
grupos, entonces, después de la respuesta 
combinada, los miembros del grupo se 
intercambian para la segunda parte de la 
pregunta. Las unidades inglesas de ingeniería 
se utilizan a propósito en este ejemplo para 
ilustrar que los ingenieros deben aun estar 
capacitados para realizar cálculos tanto en SI 
como en unidades inglesas de ingeniería. 
 
El ejemplo 8 es un simple ejemplo de cómo el 
aprendizaje cooperativo se puede aplicar fuera 
del salón de clase en un problema de “extenso 
estudio”. El proyecto de diseño, frecuentemente 
usado en cursos de ingeniería, es simplemente 
un tipo de proyecto modificado de aprendizaje 
cooperativo a gran escala, excepto que las 
tareas específicas no son asignadas con 
frecuencia a personas específicas del grupo. 
Esto es un ejemplo de cómo el aprendizaje 
cooperativo puede evadir una de las dificultades 
primordiales de los proyectos basados en 
diseño, llamados de responsabilidad individual. 
Es frecuentemente un problema con grupos 
basados en actividades, tales como proyectos de 
diseño o reportes de laboratorio, que una 
persona haga la mayoría del trabajo (ya sea 
voluntariamente o por fallo). Cuando los 
proyectos de aprendizaje cooperativo se 
realizan apropiadamente se evita este problema 
asignando tareas específicas, aun cuando los 
proyectos sean grandes en escala. Nótese que 
no se ofrece ninguna respuesta a este ejemplo, 
ya que las respuestas pueden variar 
ampliamente. 
 
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El ejemplo 9 es una muestra final de cómo 
múltiples conceptos de ingeniería se pueden 
combinar en un ejercicio de aprendizaje 
cooperativo, a pesar de uno grande. El uso de 
hojas de cálculo son cada vez más concurridas 
para el cálculo con base en la ingeniería13,14, y 
aunque puedaser complicado incorporar 
cálculos del tipo de hoja de cálculo en 
ejercicios del salón de clase (a menos que se 
acceda a una clase electrónica en la que cada 
estudiante tenga una computadora), el cálculo 
con base en la computadora se puede incorporar 
en extensos estudios o en problemas de 
aprendizaje cooperativo de tareas. El ejemplo 9 
ilustra cómo los conceptos de otros cursos, el 
concepto de análisis experimental basado en la 
estadística, se puede integrar con la instrucción 
de ingeniería de materiales. Esto refuerza el 
hecho de que la ingeniería de materiales no es 
un curso reconocido que sobreviva desligado a 
las otras disciplinas básicas de termodinámica, 
cinética, fenómeno del transporte y 
matemáticas, sino más bien una fusión de todos 
estos tópicos. El ejemplo 9 también es un 
problema de tipo de diseño, en el que no hay 
una buena solución única del problema. 
Finalmente, en el Ejemplo 9 es implícito el 
concepto emergente de que los materiales 
biológicos pueden ser tratados en el mismo 
nivel de los grupos de materiales 
convencionales dentro de los metales, 
cerámicas, polímeros y compuestos. 
 
Hay muchas variaciones adicionales en los 
ejercicios de aprendizaje cooperativos. Por 
ejemplo, si hay dos teorías en un tema dado, se 
puede pedir a cada estudiante o a cada grupo de 
estudiantes que calculen una cifra o realicen 
una predicción basada en una de las teorías, y 
comparar las respuestas. La similitud (o 
disparidad) entre las dos respuestas 
comúnmente provee un entendimiento útil de 
las bases para cada una de las teorías. Otras 
variaciones incluyen hacer parte del ejercicio de 
tarea que los estudiantes puedan terminar en 
casa y llevar a la siguiente clase o invirtiendo 
los roles tradicionales y hacer que los 
estudiantes escriban un problema grupal de 
aprendizaje cooperativo. ¡Esta es una buena 
manera para que los instructores acumulen 
ejemplos de problemas a través de los años! 
 
RESUMEN Y CONCLUSIONES 
 
El uso de los principios de aprendizaje activo, 
específicamente las técnicas de aprendizaje 
cooperativo, es una herramienta útil en la 
enseñanza de la ciencia de materiales e 
ingenierías. Los ejemplos que se muestran aquí 
pueden ser usados como un marco de trabajo 
para el desarrollo de nuevos ejercicios de 
aprendizaje cooperativo, para usarlos tanto en 
un curso de nivel introductorio como en uno de 
posgrado en ciencia de materiales e ingeniería. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EJEMPLOS ILUSTRATIVOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 1 
 
La serie de los actínidos del elemento protactinio (Pa, AW=231.04) tiene una estructura tetragonal 
de cuerpo centrado con dimensiones celulares de a = 0.3925 nm, c = 0.3238 nm. 
 
Persona 1: Determinar el peso, en gramos, de una célula unitaria de Pa. 
 
Persona 2: Calcular el volumen de una unidad celular simple de Pa. 
 
Combine sus respuestas apropiadamente para obtener la densidad. 
 
Respuesta: 
La estructura tetragonal de cuerpo centrado tiene un total de dos átomos, justo como en el 
cuerpo centrado cúbico: 
 
1 x 1 = 1 átomo central 
8 x 1/8 = 1 átomo esquinado 
 2 átomos totales 
 
Así, la masa total en gramos de dos átomos de Pa es 
 
M = (231.04 g/mol)(2 átomos/unidad celular)/(6.02 x 1023 átomos/mol) = 7.67 x 10-22 g/unidad 
celular 
 
El volumen de la unidad celular tetragonal de cuerpo centrado es simplemente 
V = a2c = (0.3925 x 10-7 cm)2(0.3238 x 10-7 cm) = 4.988 x 10-23 cm3 
 
Estas dos respuestas pueden ser combinadas para obtener la densidad: 
 
Densidad = Masa/Volumen = (7.67 x 10-22 g/unidad celular)/(4.988 x 10-23 cm3) = 15.38 g/cm3 
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Ejemplo 2 
 
Trabajar en grupos de tres. Los puntos de fusión de los componentes A, B y C son 1000 C, 900 C, 
y 750 C, respectivamente. Los sistemas binarios constituyentes del sistema ternario ABC muestra 
cada uno una completa solubilidad tanto en el estado líquido como en el sólido. Los siguientes 
datos se refieren a tres combinaciones binarias: 
 
Tabla I. Datos de composición-temperatura para el ejemplo 2. 
Composición (% de 
peso) 
Temperatura, C 
A B C Líquidos Sólidos 
50 50 - 975 950 
50 - 50 920 850 
- 50 50 840 800 
 
Persona 1 Bosqueja y etiquetas el diagrama de fase AB de temperatura-composición binaria. 
 
Persona 2 Bosqueja y etiquetas el diagrama de fase BC de temperatura-composición binaria. 
 
Persona 3 Bosqueja y etiquetas el diagrama de fase AC de temperatura-composición binaria. 
 
Combina tu información para bosquejar el diagrama de fase ABC de temperatura-composición 
ternario, asumiendo que las superficies de líquidos y sólidos no exhiben un máximo o mínimo. 
Ahora toma una sección vertical juntando 100% de A al punto medio de la cara binaria BC. 
Esboza los resultados del diagrama de fase seudo binario. 
 
 Respuestas: cada diagrama de fase binario se verá como la combinación de un típico diagrama de 
fase binario, con el punto de fusión para cada componente en el final apropiado de cada diagrama 
como se muestra en la figura 1 para el sistema AB. También se muestra el diagrama de fase 
ternario (Figura 2), a lo largo de la sección vertical uniéndose el vértice en A a 50% de la 
composición BC (Figura 3). Obsérvese que la sección es similar al diagrama de la combinación 
binaria, pero las líneas de líquidos y sólidos no convergen en el punto de composición 50:50. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
T
A B
1000
900
Fig. 1. Diagrama de fase binaria para componentes 
A y B en el Ejemplo 2. 
 
 
Fig. 2. Diagrama de fase ternario para 
componentes A, B y C en el Ejemplo 2. 
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T
A 50B:50C
1000
800
L
S
L+S
 
Fig. 3. Diagrama de fase seudo binario para componentes de A y 50B:50C en el Ejemplo 2. 
 
Ejemplo 3 
 
Trabajar con un compañero. Considerar la siguiente ecuación, la cual describe el cambio libre de 
energía asociado con la formación del núcleo homogénea de un sólido, particular esférica del 
radio, r, de una fase progenitora líquida: 
 
∆ G = (4/3) π r3 (∆ Gv) + 4 π r2 γ (3.1) 
 
Esta ecuación se puede minimizar con respecto a la particular del radio para determinar el tamaño 
de la particular crítica, r*, en dicho punto, el núcleo se convierte lo suficientemente grande para 
crecer. Este radio crítico puede entonces usarse para determinar la altura de la barrera de energía 
de la activación de la energía libre, ∆G*, dada por: 
∆
∆
G
G v
* =
16
3
3
2
πγ (3.2) 
Una derivada similar se puede desempeñar por una partícula cúbica con un límite de altura, a. 
 
Persona 1: ¿Cuál es la expresión equivalente para el primer término en la ecuación 3.1 para el 
cubo? Recuerda que ∆Gv es el cambio de energía libre por unidad de volumen. 
 
Persona 2: ¿Cuál es la expresión equivalente para el segundo término en la ecuación 3.1 para el 
cubo? Recuerda que γ es la energía interfacial para la interfase líquido sólido. 
 
Combine sus resultados para obtener una expresión equivalente a la ecuación 3.1 para el cubo. 
Minimice esta ecuación para determinar la altura crítica del cubo, a*. Sustituya este valor en su 
expresión para determinar la barrera de energía libre crítica para el cubo, ∆� G*. ¿Por qué 
∆� G* es mayor para un cubo que para una esfera?, ¿qué le dice esto acerca de la probabilidad 
de la formación del núcleo en un cubo en lugar de una esfera? 
 
Respuestas: La expresión equivalente para un cubo es a3 ∆Gv 
 La expresión equivalente para un cubo es 6a2γ 
 a* se puede encontrar como se describe más adelante para obtener a* = -4γ / ∆Gv 
El valor correspondiente de la barrera de energía libre crítica es entonces 
∆G* = 32� γ 3/ ∆Gv2 
La barrera es más baja para partículas esféricas que para cubos, así que la informaciónes 
termodinámicamente más favorable. 
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Ejemplo 4 
 
Trabaje en grupos de tres. Mire los módulos de elasticidad para cada una de las siguientes 
sustancias, y calcule la capacidad de tensión de la presión, στ , que se origina cuando un ejemplo 
cilíndrico de cada se tensa a 0.1% de su altura original. Asumiendo que todas las deformaciones 
son perfectamente elásticas. 
 
Persona 1: Tungsteno (W) 
 
Persona 2: Carburo de tungsteno (WC) 
 
Persona 3: Policarbonato 
 
Compara tus respuestas. Asumiendo que todos los ejemplos tienen la misma geometría (área 
seccional cruzada), ¿cuál de los tres requerirá la mayor carga para alcanzar esta cantidad de 
tensión? 
 
Respuestas: στ(W) = (400 GPa) n(0.001) = Mpa 
 στ(WC) = (686) (0.001) = 686 Mpa 
 στ (Policarbonato) = (2.4 GPa)(0.001) = 2.4 MPa 
 WC requerirá la mayor carga (fuerza). 
Ejemplo 5 
 
Una carga de tensión de 5600 N se aplica a todo lo largo del eje (dirección z) de la barra 
cilíndrica de latón que tiene un diámetro inicial de 10 mm. La deformación resultantes 
enteramente elástica, y resulta en una reducción de diámetro (dirección x) de 2.5 x 10-3 mm. 
 
Persona 1 Calcule la tensión lateral, εx. 
 
Persona 2 Calcule la tensión axial, εz. Asuma que el módulo de elasticidad para el latón es de 97 
GPa. 
 
Combine si información para calcular radio indeseado para este material. 
 
Persona 2 Use este valor del radio indeseado para calcular los módulos comprensivos, K. 
 
Persona 1 Use el valor del radio indeseado para calcular el módulo despojado, G. 
 
Use la relación entre estos tres tipos de módulos para recalcular E desde G y K para confirmar 
sus resultados. 
 
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Ejemplo 5 (continuación) 
 
Respuestas: εx = -(2.5 x 10-3 mm)/(10 mm) = -2.5 x 10-4 
 
Para calcular εz, primero debemos calcular la tensión aplicada, σ = (5600 N)/[π(5 x 10-3 m)2] = 
71.3 x 106 Pa, después usar la Ley de Hooke y los módulos elásticos para calcular la tensión axial: 
εz = σ/E = (71.3 MPa)/(97000 MPa) = 7.35 x 10-4 
 
El radio no deseado se puede entonces encontrar en: v = -εx/εz = -(-2.5)/(7.35) = 0.34 
 
Las siguientes ecuaciones se muestran en la mayoría de los textos para asociar K, E y G: 
( )G
E
=
+2 1 ν (5.1) ( )
K
E
=
−3 1 2ν (5.2) 
E
GK
K G
=
+
9
3 (5.3) 
 
 K = 97 GPa/{3[1-(2)(0.34)]} = 101 GPa 
 G = 97 GPa/{2[1+(0.34)]} = 36.2 GPa 
 E = 9(36.2)(101)/[3(101) + 36.2] = 97.0 GPa. Se verifica! 
Ejemplo 6 
 
Trabaje con un compañero. La máquina de prueba de tensión se puede usar para medir las 
propiedades de tensión del rango de materiales desde el hule más débil y flexible hasta el acero 
más fuerte y rígido. Para medir las propiedades de tensión de estos ampliamente diferentes 
materiales, algunas cosas de la máquina o la manera en que se desempeña la prueba puede 
necesitar cambiarse. ¿Qué necesitará cambiar para ejecutar pruebas de tensión en estos dos 
diferentes tipos de materiales? Nombre al menos tres cosas en las que pueda Usted pensar. 
 
Ejemplo de respuestas: celdas de carga, proporción de elongamiento, tipo de sujeción, tipo de 
extensómetro. 
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Ejemplo 7 
 
Trabaje en grupos de cuatro. Una muestra extensible de 0.505 pulgadas de diámetro y 
2 pulgadas de calibre está sujeto a una carga de 10,000 lbf que le causa una deformación 
elástica a un volumen constante a un calibre de 2.519 pulgadas. 
 
Persona 1 Calcular la tensión de ingeniería 
 
Persona 2 Calcular las tensión verdadera 
 
Persona 3 Calcular el % de elongación 
 
Persona 4 Calcular la reducción del porcentaje en un área, %RA (puede usted consultar esto 
con la persona 2). 
 
Compare sus respuestas. ¿En qué son similares? ¿En qué son diferentes? 
 
Personas 1, 3 Determine la tensión de ingeniería. Use este valor y la tensión de ingeniería para 
estimar los módulos elásticos. 
 
Personas 2, 4 Determine la verdadera tensión. Use este valor y la tensión verdadera para 
estimar los módulos elásticos. 
 
Compare sus respuestas. ¿Por qué están determinados los módulos de la misma manera o 
diferentes con estos dos métodos? 
Respuestas : ε = (d - d0)/d0 = (2.519 - 2)/2 = 0.2595 
 εverdadera = ln(A0/A) = ln (2.519/2) = 0.2307 
 % elongación = (1 - Lf/L0) � 100 = (0.2595) x 100 = 25.95% 
 %RA = (1 - Af/A0) x 100 = (1 - 0.79397) x 100 = 20.6 % 
 σ = F/A0 = 10,000 lbf/[π(0.505in/2)2] = 49.9 Kpsi 
 E = σ /ε = 49.9 kpsi/0.2595 = 192.4 Mpsi 
 σverdadera = F/Af = 10,000(1.259)/[π(0.505pulgadas/2)2] = 62.9 kpsi 
 E = σverdadera /εverdadera = 62.9/0.2307 = 272.5 Mpsi 
 
Los módulos de los dos métodos son diferentes. La verdadera presión-tensión y las curvas de 
presión-tensión de ingeniería pueden ser muy diferentes, especialmente a altas elongaciones 
como ésta. De hecho, las relaciones tales como las de la verdadera tensión probablemente no 
son válidas a estas grandes elongaciones. Además, el límite elástico probablemente ha sido 
excedido, a pesar de nuestras suposiciones. 
Ejemplo 8 
 
Trabaje en grupos de dos a cuatro. Recolecte información de los programas de reciclaje en su 
localidad; esto es, los tipos de materiales que son recolectados, ya sea obligatorio o voluntario 
la cantidad de material procesado por año y lo que le sucede. Ponga particular atención al 
reciclado de plásticos. Compare sus respuestas y prepare una breve presentación para su clase. 
Mitchell 
Journal of Materials Education Vol. 25 (4-6) 
 
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Ejemplo 9 
 
Debido a la limitada disponibilidad de materiales de prueba, la evaluación de materiales 
biológicos frecuentemente involucra más análisis estadísticos para extraer información que es 
típicamente usada para otras clases de materiales. En este ejercicio, el uso de estadística y hojas 
de cálculo se ilustrarán para comparar los resultados experimentales de la información de 
desgaste para los materiales examinados. 
 
Trabaje en grupos de tres. La información bruta de la tasa de desgaste del esmalte después de 
5,000, 15,000 y 20,000 ciclos en un aparato experimental contra cuatro materiales de 
restauración dental se presenta en la tabla siguiente. 
 
Tabla II. Información de la tasa de desgaste para el problema del ejemplo 9 
Medio del Desgaste del Esmalte � � � S.D. (mm). Todos los 
datos desde 10 determinaciones independientes. 
 
Material 
5000 ciclos 15,000 ciclos 25,000 ciclos 
Porcelana Alfa 0.55 +/- 0.10 0.78 +/- 0.12 0.93 +/- 0.15 
Porcelana Omega 0.61 +/- 0.13 0.83 +/- 0.19 0.96 +/- 0.20 
Duceram-LFC 0.31 +/- 0.06 0.45 +/- 0.12 0.54 +/- 0.15 
Marca de vida II 0.41 +/- 0.07 0.55 +/- 0.13 0.65 +/- 0.16 
Oro 0.05 +/- 0.02 0.07 +/- 0.10 0.09 +/- 0.03 
 
Cada persona deberá seleccionar un grupo de datos para un número dado de ciclos en el aparato 
experimental de la tasa de desgaste; o sea, escoja una columna de datos. Usted desempeñará el 
siguiente análisis usando una hoja de cálculo. 
 
1. Crear un conjunto de datos estructurados para cada uno de los cinco valores en su número 
específico de ciclos. Las únicas restricciones son que los diez puntos de datos separados sean 
valores positivos, y que produzcan un valor de porcentaje y una desviación estándar como se da 
en la tabla. No hay una respuesta correcta para este problema. 
2. Usando una función de hoja de cálculo o una herramienta de análisis, realizar una t de 
estudiantes para comparar el significado de los valores para cada uno de las cuatro primeras 
tasas de desgaste inmediatamente después del oro (el último valor en la columna) en un nivel de 
confianza acordado; >Ej. 95% de nivel de confianza. Si Usted todavía no ha aprendido cómo 
hacer una pruebat de estudiantes, consulte cualquier libro de estadística elemental, y aprenda 
cómo hacer una prueba t o use los menús de Ayuda de su paquete de hojas de cálculo. La meta 
es determinar si el significado de la tasa de desgaste de los cuatro materiales de cerámica es 
estadísticamente diferente de la tasa de desgaste del oro. Si se hace correctamente, usted habrá 
desempeñado cuatro pruebas t por separado en este paso. 
3. Haga una prueba t adicional para comparar el significado de las tasas de desgaste de la 
porcelana Alfa y Omega para cada uno de los números de ciclos al mismo nivel de confianza 
como en la pregunta anterior. Compare sus respuestas con los otros miembros del grupo. ¿Existe 
un cambio en los resultados con el número de ciclos; o sea, son de desgaste diferente a las del 
oro en 15,000 ciclos como para 5,000 ciclos? 
 
Respuesta: (Ver la siguiente página) 
Ejercicios de Aprendizaje Colaborativo en Ciencia de Materiales e Introducción a la Ingeniería 
Journal of Materials Education Vol. 25 (4-6) 
 
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Ejemplo 9 (continución) 
 
Respuesta (parcial): 
 
1. Una solución posible para el dato de 5,000 ciclos se muestra en la siguiente Tabla III usando 
Excel. 
 
Tabla III. Datos de muestra de 5,000 ciclos que producen los datos 
de la tasa de desgaste en la Tabla II. 
Núm Porcelana Alfa Porcelana 
Omega 
Duceram-LFC Marca de vida 
II 
Oro 
1 0.50 0.49 0.33 0.45 0.06 
2 0.68 0.68 0.23 0.42 0.05 
3 0.73 0.73 0.33 0.41 0.06 
4 0.50 0.67 0.31 0.29 0.07 
5 0.49 0.49 0.40 0.49 0.04 
6 0.53 0.55 0.23 0.50 0.04 
7 0.64 0.64 0.30 0.33 0.08 
8 0.42 0.84 0.39 0.42 0.03 
9 0.55 0.51 0.30 0.37 0.06 
10 0.46 0.45 0.32 0.46 0.04 
Porcentaje 0.55 0.61 0.31 0.41 0.05 
Des. Est. 0.10 0.13 0.06 0.07 0.02 
Valores 
Objetivo 
0.55 +/- 0.10 0.61 +/- 0.13 0.31 +/- 0.06 0.41 +/- 0.07 0.05 +/- 0.02 
 
2. Usando las herramientas de Análisis de Datos en Excel, una prueba t de estudiantes se llevó a cabo 
con un nivel de confianza de 95% para comparar los porcentajes del Oro con los de la Porcelana 
Alfa, cuyos resultados se muestran en la Tabla IV. 
 
Tabla IV. Prueba t de estudiantes para el término medio de los datos para el Oro y los datos 
de la Porcelana Alfa en la Tabla III. 
 Oro Porcelana Alfa 
Término medio 0.053 0.55 
Variación 0.000245556 0.010155556 
Observaciones 10 10 
Correlación de Pearson 0.513633836 
Diferencia media hipotética 0 
Df 9 
Estadística t -16.77399899 
P(T<=t) una-cola 2.12892E-08 
t Crítica de una cola 1.833113856 
P(T<=t) Dos colas 4.25784E-08 
t Crítica de dos colas 2.262158887 
Mitchell 
Journal of Materials Education Vol. 25 (4-6) 
 
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La hipótesis es que los términos medios son estadísticamente idénticos (Diferencia Media Hipotética 
= 0), y los resultados muestran que la probabilidad de que la hipótesis sea incorrecta es mucho mayor 
que el valor crítico en un nivel de confianza. Por consiguiente, hay una diferencia estadística entre 
los términos medios de los dos conjuntos de datos. Un resultado similar se encuentra para todos los 
diferentes tipos de materiales de restauración. 
 
REFERENCIAS 
 
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and Competition: Theory and Research, 
Interaction Book Company, Edina, MN, 
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