Metodo_matematico_numerico_de_niveles_de

Vista previa del material en texto

Desarrollo social y educativo
Método matemático numérico de niveles 
de diferencia para el trabajo con sucesiones 
y series polinómicas y polinomiales geométricas 
de orden superior
Carlos José Devia Ortiz*
Resumen 
Introducción: este artículo propone un método numérico para el trabajo con sucesiones y series 
polinómicas y polinomiales geométricas de orden superior, con el propósito de que se convierta 
en una herramienta importante para la comunidad de conocimiento de matemáticas, así como 
para su implementación por parte de docentes y estudiantes de educación superior. Metodología: 
la metodología del trabajo realizado es deductiva, e inicialmente referencia aspectos teóricos con 
modelos de diferencia y demostraciones. Resultados: los arreglos matemáticos de coeficientes y el 
uso de técnicas numéricas reducen notoriamente la dificultad para el trabajo con situaciones res-
pecto a sucesiones y series de alto grado. Conclusiones: este método sirve de herramienta práctica 
para la comunidad matemática en la temática dada y de estrategia para la aplicación en diferentes 
áreas y disciplinas del conocimiento.
Palabras clave: serie polinomial geométrica, sucesión, sucesión polinómica.
Numerical Mathematical Method of Difference Levels for the Work With Successions and 
Polynomial Series and Higher OrderPolynomial Geometric Series 
Abstract
Introduction: This article proposes a numerical method for the work with successions and polynomial 
series and higher order polynomial geometric series for the purpose of turning it into an important 
tool for the mathematics’ knowledge community, as well as its implementation by higher education 
teachers and students. Methodology: Based on a deductive methodology, it initially refers to theoretical 
aspects with difference models and demonstrations. Results: Mathematical arrangements of coefficients 
and the use of numerical techniques notoriously reduce the difficulty when working with situations 
regarding successions and higher order series. Conclusions: The method serves as practical tool for the 
mathematical community in the given subject and as a strategy for application in different areas and 
disciplines of knowledge.
Keywords: polynomial geometric series, succession, polynomial succession.
Método matemático numérico de níveis de diferencia para o trabalho com sucessões e séries 
polinômicas e polinomiais geométricas de ordem superior
Resumo
Introdução: este artículo propõe um método numérico para o trabalho com sucessões e séries polinô-
micas y polinomiais geométricas de ordem superior, com o intuito de que se torne em uma importante 
ferramenta para a comunidade de conhecimento de matemáticas, bem como para sua implementação 
por parte de docentes e estudantes de educação superior. Metodologia: a metodologia do trabalho rea-
lizado é dedutiva, e inicialmente aponta aspectos teóricos com modelos de diferencia e demonstrações. 
Resultados: os arranjos matemáticos de coeficientes e o uso de técnicas numéricas reduzem notoria-
mente a dificuldade para o trabalho com situações em relação as sucessões e séries de alto grau. Con-
clusões: este método serve de ferramenta pratica para a comunidade matemática na temática dada e de 
estratégia para a aplicação em diferentes áreas e disciplinas do conhecimento.
Palavras-chave: série polinomial geométrica, sucessão, sucessão polinômicas.
* Magíster en Educación. Profesor 
de tiempo completo, Universidad 
Cooperativa de Colombia, El 
Espinal, Colombia. 
 Correo electrónico: 
 carlos.devia@campusucc.edu.co
Recibido: 30 de julio del 2014 
Aprobado: 15 de noviembre del 2014
Cómo citar este artículo: Devia, C. J. (2014). 
Método matemático numérico de niveles de 
diferencia para el trabajo con sucesiones y 
series polinómicas y polinomiales geométricas 
de orden superior. Memorias, 12(22), 
93-108. doi: http://dx.doi.org/10.16925/
me.v12i22.874
doi: http://dx.doi.org/10.16925/me.v12i22.874
BY NC ND
94 Desarrollo social y educativo Memorias / Volumen 12, Número 22 / julio-diciembre 2014
Desarrollo
Se determinan las sumas parciales de la serie para n 
términos n=1,2,3,…, resultando la sucesión:
s
n
 = 12 + 22 + 32 + … + n2
Obteniéndose:
1, 5, 14, 30,…, s
n
 Este documento se propone desarrollar otra al-
ternativa: un método numérico que sirva de herra-
mienta práctica para la solución de situaciones acerca 
de sucesiones y series polinómicas y polinomiales 
geométricas, y la extensión del método a las series ra-
cionales para determinación del término enésimo de 
sumas parciales.
El modelo analítico de este estudio determina a
n 
de 
la sucesión, y s
n 
de la series (figura 1). 
En la sección 3 se dan fundamentos teóricos de 
las sucesiones y series, ya sean lineales, cuadráticas, cú-
bicas o cuárticas, al igual que las sucesiones y series 
polinomiales geométricas en sus diferentes representa-
ciones. En la sección 4 se referencian aportes del análi-
sis numérico con respecto a las sucesiones de diferencia 
para el desarrollo del método. De igual forma, se visua-
lizan demostraciones deductivas con el fin de disponer 
1 Resultado de investigación científica que desarrolla un método 
numérico para el trabajo con sucesiones y series polinómicas y polino-
miales geométricas de orden superior.
Introducción1
Las sucesiones son secuencias de la forma a
1
, a
2
, a
3
,…
a
n,,
 las cuales representan valores ordenados con res-
pecto a los números naturales consecutivos. El manejo 
de estas secuencias permite determinar el término ge-
neral (a
n
), o el particular de la sucesión para la aplica-
ción del análisis de comportamientos, estimaciones o 
pronósticos.
Las sucesiones polinómicas se caracterizan porque 
su término general (a
n
) es una función a
n
=a
1
nk+a
2
nk-1 + 
a
3
nk-2 +…+ a
k+1 
 para n=1,2,3,…, y k entero positivo. Si 
en una sucesión polinómica {a
n
} con términos finitos a
1
, 
a
2
, a
3
,..., se efectúa a cada par consecutivo
 
la operación 
a
i+1 
- a
i,, 
resulta una nueva sucesión b
1
, b
2
,…b
n-1
 (primer
 
nivel de diferencia).
 
Al realizar
 
b
i+1 
– b
i 
resulta
 
c
1
, c
2
,…
c
n-2 
(segundo nivel de diferencia), y así sucesivamente se 
obtiene el k-ésimo nivel de diferencia correspondien-
te a una sucesión constante d, d,… (sucesión de gra-
do cero), e indica a la vez que la sucesión inicial (a
1
, 
a
2
, a
3
,...)
 
tiene un término general de grado (k). La su-
cesión del primer nivel de diferencia es de grado k-1, 
la siguiente tendrá grado k-2 y así consecutivamente.
Los textos universitarios resuelven situaciones de 
sucesiones y series de mediano orden mediante el mé-
todo de inducción matemática (Johnsonbaugh, 1988). 
Por ejemplo:
Hallar la sucesión de sumas parciales de la serie:
∑
n
n2
n = 1
Multiplicando y dividiendo por 6 se obtiene la si-
guiente sucesión:
6
1 x 2 x 3
n(n + 1) (2n + 1)
(n + 1).(n + 2) (2n +3) (n + 1) (n + 2) [2(n + 1) + 1] 
3 x 4 x 72 x 3 x 5 4 x 5 x 9
8430 180,
,
+ (n + 1)2
=
. =
. =
,,
,, , ... s
n
, ... s
n
6
6
6
6 6
66 6
66 6
Descomponiendo en tres factores se obtiene:
Observándose en su orden, el primer factor del 
numerador aumenta de 1 en 1, así como su factor in-
termedio y el tercer factor aumenta de 2 en 2; luego, por 
inducción se obtiene: 
 n.(n + 1) (2n + 1)
Ahora se debe cumplir también n+1:
s
n+1
 = 12 + 22 + 32 + … + n2 + (n + 1)2 = s
n
 + (n + 1)2
6
s
n
 = 
Método matemático numérico de niveles de diferencia 95
de dos arreglos que facilitan este proceso, así como re-
ferentes teóricos de uso práctico para afrontar y desa-
rrollar situaciones de series polinómicas, polinomiales 
geométricas y algunas series racionales. En la sección 5 
se desarrollan algunas situaciones particulares con téc-
nicas para el desarrollo de las funciones de diferencia, 
y por último se dan las recomendaciones y conclusio-
nes del método numérico propuesto. 
Aspectos teóricos
Las sucesiones son secuencias de la forma a
1
,a
2
,a
3,..,a
n
, 
las cuales representan valores numéricos ordenados 
con respecto a los números naturales consecutivos. El 
buen manejo de estas secuencias permite determinar el 
término enésimo a
n
 (término general), considerándose 
también como una función que depende de n o f(n).
Una sucesión se puede considerar también una 
función cuyo dominio es el conjunto de los números 
naturales n, mientras que el rango son los llamados tér-
minos de la sucesión (Wisniewsky y Gutiérrez, 2011).
Las sucesiones polinómicas se caracterizan por-
que su término general a
n
 es una función de la forma:
a
n
 = a.nk + b.nk-1 + c.nk-2 + … + d
Siendo a, b, d números reales y k un entero posi-
tivo.
Con a y r números reales y r positivo. Para 
n=1,2,3,..la serie en su forma expandida es:
a + a.r +ar2 +…+ a.rn
 
Se presentan también las sucesiones polinómico 
geométricas y se identifican dos tipos (expresión 1 y 
expresión 2). La expresión 1 se caracteriza por tener 
un término geométrico aditivo, y la expresión 2 un 
término geométrico multiplicativo. Para no hablar de 
dos tipos de sucesiones polinomiales geométricas, la 
expresión 1 se puede considerar como una sucesión 
polinómica con término geométrico aditivo, y la se-
gunda expresión sucesión polinómico geométrica pro-
piamente dicha.
Expresión 1:
a.nk + b.nk-1 + c.nk-2 +…+ d + A.(r)n
Expresión 2:
(a.nk + b.nk-1 + c.nk-2 +…+ d).(r)n
Figura 1. Estructura analítica de las sucesiones y series del presente 
estudio. Elaboración propia.
s
1
,
 
s
2
, s
3
,…, s
n
A) SUCESIÓN
B) SERIE
SUCESIÓN DE SUMAS PARCIALES DE LA SERIE 
a
1
, a
2
, a
3
,…,a
n
a
n
 = {
{
Sucesión:
• Polinómica
• Polinómica +término oscilante a(-1)n
• Polinómica +término geométrico a(r)n
• Polimonial geométrica
a
n
 = a
1
 + a
2 
+ a
3 
+ … + a
n
 = s
n∑
∑
n
n
n = 1
n = 1
s
1
 = a
1
s
2
 = a
1
 + a
2 
s
3
 = a
1
 + a
2
 + a
3 
s
n
 = a
1
 + a
2
 + a
3
 +… + a
n
a
n
 =
 
Serie:
• polinómica
• polinomial geométrica
• Racional
Una serie es una sumatoria de términos represen-
tada en forma extensa, tal como, a
1
+a
2
+a
3
+…+
 
a
n
 con-
siderada también como sucesión de sumas parciales s
n
 
de la forma a
1
+a
2
+a
3
+...+a
n
,
 
asignándose s
i
 a cada suma 
parcial, s
1
=a
1
, s
2
=a
1
+a
2
, s
3
=a
1
+a
2
+a
3
 y s
n
=a
1
+a
2
+a
3+
...+a
n
 
representada por la sucesión s
1
,s
2
,s
3
,…s
n 
(González, 
Bravo y Mesa, 2012), el grado del polinomio a
n 
es (k), 
y el grado del polinomio s
n
 es k+1.
La serie finita:
∑
n
s
n 
=
n = q
∑
n
n = 1
[(2n + 1) = 3 + 5 + 7+… + (2n + 1)] = n2 + 2n 
(a.rn)
Verificándose qué a
n
=2n+1 y s
n
=n2+2n
 
La serie geométrica es una sumatoria de la forma:
96 Desarrollo social y educativo Memorias / Volumen 12, Número 22 / julio-diciembre 2014
Sucesión y serie cuadrático geométrica 
a
n
 = a.rn + b.n2 + c.n + d
Se presentan también sucesiones polinómicas con 
expresión (-1)n en algún término de la función, si bien 
podría estar ubicado como factor de un término cons-
tante o en cualquier otro término del polinomio. En 
particular, el estudio se referirá también a las sucesio-
nes polinómicas en la forma indicada en la expresión 5.
Expresión 5:
a
n 
= a.nk + b.nk-1 + c.nk-2 + …+ d + e.(-1)n
Con a, b, y c coeficientes de los términos de la va-
riable dependiente n, d y e términos constantes con e 
factor de (-1)n.
∑
n
n = 1
∑
n
n = 1
[a.nk + b.nk-1 + c.nk-2 +…+ d + A.(r)n]
[(a.nk + b.nk-1 + c.nk-2 +…+ d). (r)n]
(a.rn + b.n + c)
(a.rn + b.n2 + c.n + d)
(a.rn + b.n3 + c.n2 + d.n + e)
∑
n
s
n 
=
n = 1
∑
n
s
n 
=
n = 1
∑
n
s
n 
=
n = 1
Asimismo, las series llevan el mismo nombre de 
sus respectivas sucesiones, tal como la serie polinómi-
co geométrica, según las expresiones 3 y 4.
Expresión 3:
Expresión 4:
Con k entero positivo, A, a, b, c y d números rea-
les y r real positivo.
De las sucesiones y series polinomiales con térmi-
no geométrico aditivo se observan las siguientes expre-
siones particulares.
Sucesión y serie aritmético geométrica
a
n 
= a.rn + b.n + c
Sucesión y serie cúbico geométrica 
a
n
 = a.rn + b.n3 + c.n2 + d.n + e
También se relacionan las sucesiones polinómicas 
geométricas propiamente dichas:
Sucesión y serie aritmético geométrica 
(Spiegel, 1998)
a
n
 = (r)n (a.n + b)
[(r)n (a.n + b)]
[(r)n(a.n2 + b.n + c)]
[(r)n(a.n3 + b.n2 + c.n + d)]
∑
n
s
n 
=
n = 1
∑
n
s
n 
=
n = 1
∑
n
s
n 
=
n = 1
Sucesión y serie cuadrático geométrica 
a
n
 = (r)n(a.n2 + b.n + c)
Sucesión y serie cúbico geométrica
a
n 
= (r)n(a.n3 + b.n2 + c.n + d)
Método matemático numérico de niveles de diferencia 97
Se realizan niveles de diferencias de la sucesión 
polinómica dada (de alto orden), hasta encontrar una 
sucesión constante k (último nivel de diferencia); en 
particular, si la constante se encuentra en el tercer ni-
vel de diferencia indicaría que la sucesión original es de 
grado tres o cúbica, y si la sucesión constante está en 
el quinto nivel de diferencia se trataría de una función 
quíntica (tabla 2).
Aportes del análisis numérico para el 
trabajo con funciones de diferencia
Los estudios del análisis numérico muestran cómo cal-
cular y presentar de manera eficiente las diferencias de 
una función real en puntos igualmente espaciados. Los 
números se escriben en una tabla de diferencias hacia 
adelante, hacia atrás y en el centro de muchos órdenes, 
de manera que se pueden localizar fácilmente los valo-
res de diferencia a
k+1
-a
k
 para cualquiera de las abscisas 
(k) (Smith, 1998). Estas tablas de diferencia se utilizan 
para varios propósitos, entre estos obtener la expresión 
o polinomio que más se ajuste a los valores de la tabla 
dada.
Un polinomio que se ajuste de manera exacta a los 
valores de la tabla dada es lo que se llama un polinomio 
de colocación para esta tabla (tabla 1).
Tabla 1 
Diferencias de un polinomio o sucesión polinómica
k
i k
0
k
1
k
2
k
3
… k
n
a
i
a
0
a
1
a
2
a
3
… a
n
a
i+1 
– a
i 
= b
i
b
0
b
1
b
2
… b
n
b
i+1 
– b
i 
= c
i
c
0
c
1
… c
n
c
i+1 
– c
i 
= d
i
d
0
… d
n
Nota. Análisis numérico de Smith.
Nota. Elaboración propia.
n 1 2 3 4 5 6 7… n
Original a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
a
6
a
7
… a
n
Quíntica
Nivel (
1
) b
1
b
2
b
3
b
4
b
5
b
6
… b
n
Cuártica
Nivel (
2
) c
1
c
2
c
3
c
4
c
5
… c
n
Cúbica
Nivel (
3
) d
1
d
2
d
3
d
4
… d
n
Cuadrática
Nivel (
4
) e
1
e
2
e
3
… e
n
Lineal
Nivel (
5
) k k… k Constante
Tabla 2
Niveles de diferencia de una sucesión de 5 grados
Mediante los niveles de diferencia (Devia, 2010), 
se generalizó un arreglo para obtener los coeficientes 
de una sucesión original a través de las comparacio-
nes con las sucesiones desde el primero hasta el último 
nivel de diferencia (sucesión constante). Resumiéndo-
se así:
Nivel Cero (sucesión inicial)
a
n
 = A.n5 + B.n4 + C.n3 + D.n2 + En + F
Nivel 1 (sucesión cuártica)
b
n 
= 5.A.n4 + (10.A
 
+ 4B).n3+ (10A + 6B + 3C).n2 +
(5A +4B + 3C + 2D).n + (A+ B+ C+ D+ E) 
. = A
1
.n4 + B
1
.n3 + C
1
.n2 + D
1
.n + E
1
Los coeficientes de la sucesión del primer nivel de 
diferencia están relacionados con el arreglo de la figu-
ra 2. 
Figura 2. Arreglo de la sucesión del primer nivel de diferencias 
(sucesión de cuarto grado). Elaboración propia.
1
1
1
1
1
2
33
6
1010
44
55
A + B + C + D + E = E
1
5A + 4B + 3C + 2D = D
1
10A + 6B + 3C = C
1
10A + 4B = B
1
5A = A
1
98 Desarrollo social y educativo Memorias / Volumen 12, Número 22 / julio-diciembre 2014
Nivel 4 (sucesión aritmética)
e
n 
= 2A
3
.n + (A
3
 + B
3
) = A
4
.n + B
4
Nivel 2 (sucesión cúbica)
c
n
 = 4A
1
n3 + (6A
1 
+ 3B
1
).n2 + (4A
1
 + 3B
1
 + 2C
1
).n
+ (A
1
+ B
1
 + C
1
 + D
1
)
. = A
2
.n3 + B
2
.n2 + C
2
.n + D
2
Figura 3. Arreglo de la sucesión del segundo nivel de diferencia 
(sucesión de tercer grado). Elaboración propia.
Nivel 3 (sucesión cuadrática)
d
n 
= (3A
2
).n2 + (3A
2 
+2B
2
).n + (A
2 
+ B
2
 + C
2
)
. = A3
.n2 + B
3
.n + C
3
Figura 4. Arreglo de la sucesión del tercer nivel de diferencia (su-
cesión de segundo grado). Elaboración propia.
Figura 5. Arreglo de la sucesión del cuarto nivel de diferencia (su-
cesión lineal). Elaboración propia.
El método inicia de atrás hacia adelante. Al ha-
llar la sucesión constante A
5
=A
4
 (último nivel de dife-
rencia), cuyo término es el coeficiente n de la sucesión 
del penúltimo nivel de diferencia (sucesión aritméti-
ca), y por comparación 2A
3
=A
4
 permite hallar A
3
, y con 
A
3
+B
3
=B
4
 se calcula B
3
, luego se halla C
3
 por igualación 
con un término particular de la sucesión correspon-
diente, por lo que A
3
, B
3
 y C
3 
son los coeficientes de la 
sucesión cuadrática.
Comparando también la sucesión del nivel supe-
rior siguiente (la cúbica), donde en 3A
2
=A
3 
3A
2
+2B
2
=B
3
 
y A
2
+B
2
+C
2
=C
3
 se hallan los coeficientes A
2
,B
2
,C
2
, y lue-
go por igualación con algún término particular de la 
cúbica se halla D
2 
para completar los coeficientes de 
esta sucesión, análogamente con la comparación de co-
eficientes de la cuártica se determinan A
1
, B
1
, C
1 
y D
1
 y 
así se continúa hasta calcular los coeficientes de la su-
cesión original que, para este caso, es la sucesión poli-
nómica de quinto grado de la forma
a
n
 = A.n5 + B.n4 + C.n3 + D.n2 + E.n + F
Sucesión polinómica con término oscilante
Para obtener las diferencias de la sucesión polinómica 
de la forma dada en la expresión 6, fue de suma im-
portancia la herramienta computacional Mathcad 14 
profesional, la cual facilita este proceso (tabla 3):
Expresión 6:
a
n
= A.n5 + B.n4 + C.n3 + D.n2 + E.n + F + G.(-1)n
Tabla 3
Niveles de diferencia de una sucesión de grado 5 con término 
oscilante G.(-1)n 
Nota. Elaboración propia. 
Sucesión original
a
n 
= A.n5 + B.n4 + C.n3 + D.n2+ E.n + F + (-1)n.G
Primer nivel de diferencias
b
n = 
A
1
.n4
 
+ B
1
.n3 + C
1
.n2 + D
1
.n +E
1
-2.(-1)n.G
Segundo nivel de diferencias
c
n
 = A
2
.n3 + B
2
.n2 + C
2
.n + D
2 
+ 4.(-1)n.G
Tercer nivel de diferencias
d
n
 = A
2
.n2 + B
2
.n + C
2
-8(-1)n.G
Cuarto nivel de diferencia
e
n 
= A
3
.n + B
3
+ 16.(-1)n.G
Quinto nivel de diferencias
f
n
 = A
4
-32.(-1)n.G
1
1
1
1
2
33
6 44
A
1
 + B
1
 + C
1
 + D
1
 = D
2
4A
1
 + 3B
1
 + 2C
1
 = C
2
6A
1
 + 3B
1
 = B
2
4A
1
 = A
2
1
1
1
2
33
A
2
 + B
2
 + C
2
 = C
3
3A
2
 + 2.B
2
 = B
3
3A
2
 = A
3
1
12
A
3
 + B
3
 = B
4
2A
3
 = A
4
Método matemático numérico de niveles de diferencia 99
Sucesión polinomial geométrica
En una sucesión polinomial geométrica dada como 
una secuencia de términos constantes de la forma a
1
, 
a
2
, a
3
,.., en la que se desconoce su término general (an), 
Acerca de las sucesiones de sumas 
parciales para algunos tipos de series
Por simple deducción o inducción matemática se pue-
den demostrar los siguientes enunciados o teoremas, 
los cuales se tendrán en cuenta para determinar la 
sucesión general de sumas parciales de las series poli-
nómicas, polinómico geométricas y algunas formas de 
sucesiones racionales. Estas series, mediante el uso del 
método de niveles de diferencia, facilitarán trabajar las 
de orden superior.
1. Si el término general de una serie polinómica es de 
grado k, entonces la sucesión de sumas parciales es 
otra sucesión polinómica de grado k+1, según la 
expresión 10.
Expresión 10:
Nota. Elaboración propia. 
Nota. Elaboración propia. 
Sucesión polinómica con término indepen-
diente P(r)n 
Los niveles de diferencia de la sucesión quíntica con 
término geométrico aditivo P(r)n de la expresión 7 se 
observan en la tabla 4:
Expresión 7: 
a
n
 = A.n5 + B.n4 + C.n3 + D.n2 + E.n + F + P.rn
Tabla 4
Niveles de diferencia de una sucesión de grado 5 con término P(r)n 
a
n
= A.n5 + B.n4 + C.n3+ D.n2 +E.n+ F+P.rn sucesión original
b
n
= A
1
.n4+B
1
.n3 + C
1
.n2 + D
1
.n + E
1
+ P.rn(r-1) nivel 1
c
n
 = A
2
.n3 + B
2
.n2 + C
2
.n + C
3
 + P.rn(r-1)2 nivel 2
d
n
 = A
3
.n2 + B
3
.n + C
3
 + P.rn(r-1)3 nivel 3
e
n
= A
4
.n + B
4
 + P.rn(r-1)4 nivel 4
f
n
 = A
4
 + P.rn(r-1)5 nivel 5
g
n
 =P.rn(r-1)6 sucesión geométrica del nivel 
de diferencia k+1.(k grado de la 
sucesión original
Para el cálculo de la razón r y el coeficiente P, se 
deducen las expresiones 8 y 9 respectivamente, en don-
de g
i+1 
 y g
i 
son dos términos particulares consecutivos 
de secuencia del nivel de diferencia k+1, y g
1
 el primer 
término de la sucesión g
n
.
Expresión 8: 
g
i+1
r =
g
i
g
1
P =
r.(r-1)k+1
Expresión 9: 
la razón r puede hallarse resolviendo la ecuación co-
rrespondiente para cada forma de su razón r según la 
tabla 5.
Tabla 5
Tabla de ecuaciones para el cálculo de r en cada una de las sucesio-
nes polinomiales geométricas respectivas
Términos Ecuación Término general
a
1
,a
2
,a
3
, a
1
.r2 – 2a
2
.r +a
3
=0 a
n 
= (r)n(a.n+b)
a
1
,a
2
,a
3
,a
4
a
1
.r3 – 3a
2
.r2+3.a
3
.r-a
4
=0 a
n 
= (r)n(a.n2+b.n + c)
a
1
,a
2
,a
3
,a
4
,a
5
a
1
.r4 – 4a
2
.r3+6.a
3
.r2– 4.a
4
.r 
+ a
5
a
n 
= (r)n(a.n3+b.n 2+ 
c.n + d)
2. En una serie polinomial de grado k y con término 
geométrico aditivo de grado n, el término general 
de la sucesión de sumas parciales es de grado k+1 
para los términos polinomiales, y n+1 para la expre-
sión geométrica (expresión 11).
∑
n
n = 1
(a.nk + b.nk-1 + c.nk-2 + … + d)
. = A.nk+1 + B.nk + C.nk-1 + …+ D
100 Desarrollo social y educativo Memorias / Volumen 12, Número 22 / julio-diciembre 2014
4. En una serie racional de la forma an=f(n)/g(n), 
con el grado de g(n) mayor del grado de f(n) en 
dos o más unidades, y g(n) factorizable de la forma 
(n-a)(n-b)(n-c)…, con a, b, c,… sucesión de números 
reales ordenada de menor a mayor con primer nivel 
de diferencia 1, su sucesión de sumas parciales sn es 
una función polinómica P(n) factor de n(n-a)/g(n) 
(expresión 13).
Expresión 13:
Expresión 11:
∑
n
n = 1
∑
n
n = 1
∑
n
n = 1
[a.nk + b.nk-1 + c.nk-2 +…+ d + P(r)n]
[(a.n5 + b.n4 + c.n3 + d.n2 + e.n + f).(rn)]
(A.n5 + B.n4 +C.n3 + D.n2 + E.n + F)(r)n+1
 
+ G
 
=
 
s
n
(a.nk + b.nk-1 + c.nk-2 +…+ d).(rn)
.= A.nk+1 + B.nk + C.nk-1 + D + Q(r)n+1
. =(A.nk + B.nk-1 + C.nk-2 +…+D)(r)n+1 +E
3. En una serie polinómico geométrica de grado k con 
factor geométrico de grado n, la sucesión de sumas 
parciales mantiene el grado k para el factor polino-
mial, y grado n+1 para el factor geométrico más una 
constante E (expresión 12).
Expresión 12:
∑
n
n = 1
∑
n
n = 1
∑
n
n = 1
a
n
 = =
.= P(n) .
f(n)
n.(n - a) 
(n - a).(n - b).(n - c)...
g(n)
f(n)
g(n)
Obtención de un arreglo para la serie poli-
nomial geométrica
Partiendo de una sucesión quíntica geométrica de la 
forma:
El primer nivel de diferencias de la sucesión de su-
mas parciales de una serie quíntica geométrica se ob-
serva a continuación y sus coeficientes se visualizan en 
la figura 6.
s
n+1
-s
n 
= (r)n+1.[(A.r-A).n5 + [r.(5A + B) – B]n4+
[r.(10A + 6B + 3C+ D) –D]. n3 + [r.(10A + 6B + 3C+ D) –D].n2+
[r.(5A + 4B + 3C + 2D+ E) – E].n + [r.(A + B + C + D + E + F)-F]
. = (r)n+1.(A
1
.n5 + B
1
.n4 + C
1
.n3 + D
1
.n2 + E
1
.n +F
1
)
Figura 6. Arreglo del primer nivel de diferencias en la sucesión 
de sumas parciales de la serie quíntica geométrica. Elaboración 
propia.
Si la serie es cuártico geométrica, el primer nivel 
de diferencias de la sucesión de sumas parciales se ob-
serva a continuación y sus coeficientes se muestran en 
la figura 7.
s
n+1
-s
n
 = (r)n+1.[(A.r – A).n4 + [r.(4A + B)- B]n3 + 
[r.(6A+ 3B + C) – C].n2 + [r.(4A + 3B + 2C + D) – D].n + 
[r.(A + B + C + D + E)- E]
. = (r)n+1.(A
1
.n4 +B
1
.n3 + C
1
.n2 + D
1
.n + E
1
)
El primer nivel de diferencias de la sucesión cúbi-
co geométrica de la forma s
n
=(An3+Bn2+Cn+ D)(r)n+F 
es (A
1
n3+B
1
n3+C
1
n+ D
1
)(r)n+1 con coeficientes que se 
indican en la figura 8.
1
1
1
1
1
1
21
3
64
31
41
11010 551
[r.(a + B + C+ D + E +F) - F] = F
1
[r.(5A + 4B + 3C + 2D + E) - E] = E
1
[r.(10A + 6B + 3C + D ) - D] = D
1
[r.(10A + 4B + C) - C] = C
1
[r.(5A + B) - B] = B
1
(A.r - A) = A
1
Método matemático numérico de niveles de diferencia 101
Análogamente, el primer nivel de diferencias de 
la sucesión de sumas parciales de la serie cuadrático 
geométrica s
n
=(An2 + Bn + C)(r)n+1 + D es s
n+1 
-s
n
=(A
1
n2 
+ B
1
n + C
1
)(r)n+1 (figura 9).
Aplicaciones
1. Obtener el término del enésimo cuadrado de la si-
guiente sucesión que indica la totalidad de cuadra-
dos en de cada figura:
Figura 7. Arreglo del primer nivel de diferencias la sucesión de su-
mas parciales de la serie cuártica geométrica. Elaboración propia.
Figura 8. Arreglo del primer nivel de diferencias la sucesión de 
sumas parciales de la serie cúbica geométrica. Elaboración propia.
Figura 9. Arreglo del primer nivel de diferencias en la sucesión 
de sumas parciales de la serie cuadrática geométrica. Elaboración 
propia.
También el primer nivel de diferencias de la suce-
sión de sumas parciales de la serie aritmético geomé-
trica s
n 
= (An + B)(r)n+1 + C es s
n+1
-s
n
= (A
1
n + B
1
)(r)n+1 
(figura 10).
Figura 10. Arreglo del primer nivel de diferencias en la sucesión 
de sumas parciales de la serie aritmético geométrica. Elaboración 
propia.
Figura 11. Sucesión del total de cuadrados presentes en cada polí-
gono. Elaboración propia.
Solución: la sucesión de diferencias correspondiente 
a la sucesión del total de cuadrados en cada figura 1, 
5, 14, 30, 55,…, a
n
. Los niveles de diferencia corres-
ponden a una sucesión cúbica, ya que el nivel de la 
sucesión constante se ubica en el tercer nivel (tabla 6).
Tabla 6 
Niveles de diferencia de la secuencia de cuadrados de la figura 10
Nota. Elaboración propia.
1 5 14 30 55 Sucesión cúbica (a
n
)
4 9 16 25 Primer nivel (b
n
)
5 7 9 Segundo nivel (c
n
)
2 2 Tercer nivel
1
1
1
1
1
1
21
3
64
31
41
[r.(A + B + C + D + E) - E] = E
1
[r.(4A + 3B + 2C + D) - D] = D
1
[r.(6A + 3B + C) - C] = C
1
[r.(4A + B) - B] = B
1
(A.r - A) = A
1
1
1
1
1
1
21
3 31
[r.(A + B + C + D ) - D] = D
1
[r.(3A + 2B + C) - C] = C
1
[r.(3A + B) - B] = B
1
(A.r - A) = A
1
1
1
1
1
21
[r.(A + B + C) - C] = C
1
[r.(2A + B) - B] = B
1
(A.r - A) = A
1
1
11
[r.(A + B) - B] = B
1
(A.r - A) = A
1
(1) (5) (14)
(55)(30)
.
102 Desarrollo social y educativo Memorias / Volumen 12, Número 22 / julio-diciembre 2014
Obteniéndose la expresión 15:
Trivialmente, la sucesión del segundo nivel de di-
ferencia es aritmética con término general:
c
n
 = 2n + 3
Para n = 1, 2, 3... y por ser del segundo nivel se le 
asigna A
1
 y A
2 
el valor de los coeficientes respectivos de 
la sucesión:
A
2
 = 2
B
2
 = 3
La sucesión del primer nivel de diferencia b
n
 es una 
función cuadrática que se puede obtener de acuerdo 
con el siguiente arreglo:
Dado que:
2A
1
 = A
2
A
1
 + B
1
 = B
2
Se obtiene: A
1
 = 1 y B
1
= 2 Se determina: A
1
=1 y 
B
1
=2 
Obteniendo la expresión 14: 
b
n 
= n2 + 2n + C
1
Si n=1 entonces b
1
=4 y se remplazan en la expre-
sión 14 se tiene:
1 + 2 + C
1
 = 4
n = 1 b
1
 = 4
Por consiguiente:
C
1
 = 1
La sucesión resultante es:
bn = n2 + 2n + 1
Para hallar la sucesión original se retoman los va-
lores A
1
,B
1
 y C
1
 como básicos para hallar los respectivos 
coeficientes A, B, C de la función cúbica como se indica 
en el siguiente arreglo:
A
1
 = 1
B
1
 = 2
C
1
 = 1
Se resuelven las ecuaciones lineales:
3A = A
1
3A + 2B = B
1
A + B + C = C
1
Resultando los valores de A, B y C respectivamente: 
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
3
3
2
2
6
6
2
6
A = 
B = 
C = 
+
–
+
–
+ D = 1
D = 1 – 
D = 0
1
12
A
1
 + B
1
 = B
2
2A
1
 = A
2
1
1
1
2
33
A + B + C = C
1
3A + 2B = B
1
3A = A
1
1 1 1
3 2 6
a
n 
= A.n3 + B.n2 + C.n + D = n3 + n2 + n + D
Si n=1 y a
1
=1 se remplaza en la expresión 15 se 
tiene:
Método matemático numérico de niveles de diferencia 103
Tomando la primera ecuación y remplazando A
2 
se halla E:
Solución: desarrollando los niveles de diferencia 
de la sucesión 1, 5, 13, 27, 48,... se hizo necesario rea-
lizar la figura siguiente (el triángulo de base 6), y con-
tar la totalidad de sus triángulos (resultaron un total de 
78). Luego, se procedió a realizar los niveles de diferen-
cia (tabla 7), indicando qué es una sucesión cúbica con 
término aditivo e(-1)n (tabla 8).
3
1
2
6
1+ 5– 13+ 27– 78–, , , , ,...( ( ( ( (
( ( ( ( (
1
16
.(–1)n
1 1 1 n.(n + 1) (2n + 1) 
3 2 6 6
n3+ n2+ n =a
n
 =
El término general de la sucesión de cuadrados es:
2. Obtener el término general para el enésimo trián-
gulo de la siguiente secuencia que indica el total de 
triángulos equiláteros presentes en cada figura (fi-
gura 12).
Figura 12. Sucesión que indica el total de triángulos equiláteros 
presentes en cada figura. Elaboración propia.
Tabla 7 
Niveles de diferencia de la sucesión de triángulos de la figura 11
Nota. Elaboración propia.
Nota. Elaboración propia.
1 5 13 27 48 78 a
n
Suc. Original
4 8 14 21 30 b
n
Nivel (1)
4 6 7 9 c
n
Nivel (2)
2 1 2 d
n
Nivel (3)
Tabla 8
Términos generales de la sucesión de triángulos de la figura 11
a
n
 = A.n3 + B.n2 + C.n + D + E.(-1)n Suc. Original
b
n
 = A
1
.n2 + B
1
.n + C
1
 - 2E.(-1)n Nivel 1 de diferencias
c
n
 = A
2
.n + B
2
 + 4.E.(-1)n Nivel 2 de diferencias
d
n
 = A
2
 -8.E.(-1)n Nivel 3 de diferencias
1 1 1 1 1
16 16 16 16 16
Resultando una sucesión cúbica con los siguientes 
términos iníciales y los niveles de diferencia que se in-
dican en la tabla 9.
17 209 769431 124779
16 16 1616 1616
, , ,, , ....,
La expresión 16 se sustrae de la sucesión original 
a
n
 para los valores n = 1, 2, 3,...
Solución: mediante la resolución del siguiente sis-
tema de ecuaciones (método de eliminación), se obtie-
ne A
2 
y
 
E e igualándose con los términos d
1
 y d
2
 de la 
sucesión d
n
.
A
2
 + 8.E = 2
A
2
 – 8E = 1
2A
2
 = 3
A
2
= 
A
2
 + 8.E = 2
E =
Se obtiene el término oscilante se obtiene la expre- 
sión 16 : 
(1) (5) (13)
(48)(27)
104 Desarrollo social y educativo Memorias / Volumen 12, Número 22 / julio-diciembre 2014
Uniendo las expresiones 16 y 17, se encuentra el 
término enésimo de la sucesión de triángulos:
.(–1)n
1
16
Tabla 9
Sucesiones de diferencia de la sucesión a
n
 sin el término
17 79 209 431 769 1247
(Cúbica)
16 16 16 16 16 16
31 65 111 169 239
(Cuadrática)
8 8 8 8 8
17 23 29 35
(Lineal)
4 4 4 4
3 3 3
(Constante)
2 2 2
Nota. Elaboración propia.
A través del método de diferencias con sus 
respectivos arreglos se obtienen en el orden de atrás 
hacia adelante:
La sucesión lineal (penúltimo nivel)
3 11
2 4
n +
1 1 15
4 4 168
.n3 + n2 + n –
1 1 1 15
4 4 16 168
.n3 +a
n
 = n2 + n – (–1) n+
3 9
2 8
n2 + 2n +
La sucesión cuadrática
La sucesión cúbica 
Expresión 17
3. Determine el término general de la siguiente se-
cuencia de términos cuadrático geométrica (factor 
geométrico).
25 49
9 27
, , 1, 0, ...3,
Solución: por ser del tipo cuadrático geométrica 
de factor geométrico se puede calcular r mediante la 
ecuación:
a
1
.r3- 3.a
2
.r2 + 3a
3
 – a
4
 = 0
Remplazando a
1
, a
2
, a
3
, y a
4
3r3–3
27r3 – 75r2 + 49r – 9 = 0
.r2+3 .r –1 = 0( (
( (25 49
9 27
Factorizando por división sintética:
(27.r2 – 66.r + 27) = 0r –
n
r =
(
(
(
(
1
1
1
3
3
3
Se obtiene:
El factor geométrico para n = 1, 2, 3,... 
Expresión 18:
Se divide el factor geométrico para n = 1, 2, 3,... re-
sultando la sucesión:
9, 25, 49, 81, 121, 169,…
Por el método de diferencias (tabla 10) se obtiene:
Expresión 19
(2n + 1)2
9 25 49 81 121 4n2+4n+1= 2n+1)2
16 24 32 40 8n+8
8 8 8 8
Tabla 10
Tabla de diferencias de la sucesión a
n 
 sin el factor (1/3) n
Nota: elaboración propia.
Método matemático numérico de niveles de diferencia 105
Una vez hallado el término general de la sucesión 
polinómica y el arreglo de los coeficientes de la figu-
ra 7,se realizan las igualaciones como se indica a con-
tinuación:
Multiplicando la expresión 18 y 19, se determina 
la sucesión original a
n
a
n
 = (2n + 1)2 
n 
1( )3
4. Hallar la sucesión de sumas parciales de la si-
guiente serie.
Expresión 20:
∑
n
n = 1
[(n3 – 3n2 – 2n + 1)(3)n]
Solución:
∑
n
n = 1
[(n3–3n2–2n+1)(3)]n = (A.n3+B.n2+C.n+D)(3)n+1+E
s
n+1
 = [A.(n+1)3 + B.(n+1)2 + C.(n+1) + D](3)n+1 +E
s
n
 = (A.n3 + B.n2 + C.n + D)(3)n+1 + E
Desarrollando la sucesión de diferencias s
n+1
–s
n
, 
resulta un proceso que se facilita mediante los coefi-
cientes del arreglo correspondiente a la sucesión cúbi-
ca geométrica de la figura 7.
.= rn+1[n3(A.r – A) + n2[r.(3A+ B) – B]+
+n.[r(3A+ 2B + C) – C] + r (A + B + C + D) – D]
. = r n+1 ( A
1
.n3 + B
1
.n2 + C
1
.n + D
1
)
Se halla la sucesión de sumas parciales de la serie 
para n primeros términos, y del primer nivel de dife-
rencias (tabla 11).
Tabla 11
Tabla de diferencias de la sucesión de sumas parciales de la serie original (expresión 20)
-9 -72 -207 522 10485 81198 481419 s
n
 (Sumas parciales)
-63 -135 729 9963 70713 400221 (Nivel 1 de diferencias)
Nota. Elaboración propia.
Nota: elaboración propia.
Dividimos cada término de la sucesión del primer 
nivel de diferencias por (3)n+1 para n=1, 2, 3,… Esto con 
el objeto de la sucesión polinómica emerja y se pueda 
determinar mediante el método de diferencias (expre-
sión 21).
Obteniéndose la expresión 21:
-7, -5, 9, 41, 97, 83
Se procede a hallar las sucesiones de diferencias y 
sus respectivos términos generales mediante el método 
de diferencias sugerido (tabla 12).
Tabla 12
Diferencias de la sucesión polinómica de la expresión 2
-7 -5 9 41 97 183 n3-5n-3
2 14 32 56 86 3n2+3n-4
12 18 24 30 6n+6
6 6 6 6
r.A – A = A
1
r.(3A + B) – B = B
1
r.(3A + 2B + C) – C = C
1
r.(A + B + C + D) – D = D
1
1
1
1
1
1
21
3 31
[r.(A + B + C + D ) - D] = D
1
[r.(3A + 2B + C) - C] = C
1
[r.(3A + B) - B] = B
1
(A.r - A) = A
1
106 Desarrollo social y educativo Memorias / Volumen 12, Número 22 / julio-diciembre 2014
Obteniéndose:
Solución: esta situación se puede considerar un 
caso especial de este tipo de series. Se lleva a la for-
ma (n-a)(n-b)(n-c), con a, b, c,…, como números reales 
distanciados respectivamente de la unidad. 
Remplazando el valor la razón r=3 la y los coefi-
cientes A
1
=1 B
1
=0 C
1
=-5 y D
1
=-3 y se determinan:
1
-9
-15
3
4
8
A=
B=
C= 2
D=
Obteniendo la siguiente sucesión:
Expresión 22
.n3 – .n2 + 2.n – (3)n+1 + E1 9 15( )2 4 8
Para n=1 s
1
=-9 reemplaza en la expresión 22 y se 
halla el término independiente igualándose con el pri-
mer término de la sucesión numérica de sumas parcia-
les de la serie:
– + 2 – (9) + E = – 91 9 15( )2 4 8
+ E = – 9-117
8
E = 45
8
45
8∑
n
n = 1
[(n3–3n2–2n+1)(3)]n = .n3 – .n2 + 2.n – (3)n+1 + 
1 9 15( )2 4 8
5. Encuentre el término general de la sucesión de 
sumas parciales para la serie:
∑
n
n = 1
(n + 1) (n + 2) (n + 3) (n + 4) 
n
Se multiplica cada término de la suma parcial 
s
n
 con el factor g(n)/n(n+1), con g(n) denominador 
de f(n)/g(n), término general de la serie dada para 
n=1, 2, 3,…, resultando la expresión 23:
1 115 5
2 96 3
, ,, , ...
Realizando las diferencias respectivas y sus térmi-
nos generales (según la tabla 13).
Tabla 13
Tabla de diferencias de la sucesión expuesta en la expresión 23
Nota. Elaboración propia.
1 5 11 5
2 6 9 3
1 7 4
3 18 39
1 1
18 18
n2 + 
n + 
n + =
1
1
1
5
2 (n +8).(n +1)
36
18
4
18
9 36
Determinando finalmente la expresión buscada:
∑
n
(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) (n+1)(n+2)(n+3)(n+4)36
n
= .
n.(n+1)(n+8).(n+1)
n = 1
36.(n+2)(n+3)(n+4)
.=
n.(n+1)(n+8)
6. Hallar el término general de sumas parciales de 
la serie:
∑
n
n = 1
(2n – 1) (2n + 7) (2n + 1)
n –(
(1
4
Método matemático numérico de niveles de diferencia 107
Siendo P(n) un una sucesión polinómica de gra-
do 3 (tabla 14)
Resultando:
∑
n
n = 1
(2n – 1)(2n + 7)(2n + 1)
n –(
(1
4
∑
n
n = 1
(2n – 1)(2n + 1)(2n + 3)(2n + 5) (2n + 7)
(2n + 3)(2n + 5)n –(
(1
4
∑
n
n = 1
. =
8 . n –(
(1
2
n +(
(1
2
n +(
(5
2
n +(
(3
2
n +(
(7
2
n –(
(1
4
n +(
(3
2
n +(
(5
2
Multiplicando y dividiendo por (2n+3)(2n+5), así:
. = s
n
 = P (n) . 
n . (n + 1)
g (n)
Entonces:
P (n) = 
g (n) 
n . (n + 1)
. s
n
Obteniéndose la sucesión P(n) para n=1, 2, 3
Expresión 24:
105 133 1601 1635 10459
4 2 12 7 28
, , , , , ...., P(n)
105 133 1601 1635 10459
P(n)
4 2 12 7 28
161 803 8413 3919
Nivel (1)
4 12 84 28
80 698 836
Nivel (2)
3 21 21
46 46
Nivel (3)
7 7
Tabla 14
Tabla de diferencias de la sucesión (expresión 24). 
Se obtienen de atrás hacia adelante los siguientes 
términos generales:
Sucesión del nivel 2
46
46
422
353 1693
7
14
21
21 84
.n +
.n2 + n +
23 1033142 128
21 8421 21
n3 + n2 + n +
Sucesión de nivel 1
Sucesión P(n)
Factorizando en lo posible la sucesión hallada:
23 142 128 92.n3 + 568.n2 + 1033.n3 + 5121033
21 21 21 8484
n3+ n2+ =.n+
n.(n + a)
g(n)
. = P(n) .
f(n)
g(n) (2n – 1)(2n + 7)(2n + 1)∑ ∑ ∑
n n n
n = 1 n = 1 n = 1
a
n
 = =
n – 
1( )4
92.n3 + 568.n2 + 1033.n + 512 n(2n–1)
84 (2n–1)(2n+7)(2n+1)(2n+3)(2n+5)
.= .(
(
(2n – 1)(2n + 7)(2n + 1)(2n + 3)(2n + 5)∑
n
n = 1
. =
(2n + 3)(2n + 5)n – 
1( )4
n.(92.n3 + 568.n2 + 1033.n + 512)
84.(2n+1)(2n+3)(2n+5)(2n+7)
.=
. =
Nota. Elaboración propia.
108 Desarrollo social y educativo Memorias / Volumen 12, Número 22 / julio-diciembre 2014
Conclusiones y recomendaciones
La aplicación de este método numérico facilita el traba-
jo en esta área al trabajar con funciones o sucesiones de 
orden superior, dado que hasta ahora en las situaciones 
que se proponen en los cursos superiores de sucesiones 
y series se manejan situaciones sencillas. Estas, por su 
parte, son resueltas mediante inducción matemática, 
de manera que resulta muy complejo aplicarlas a suce-
siones y series de alto grado.
Es importante el desarrollo de técnicas, proce-
dimientos y arreglos que contribuyan y faciliten un 
proceso que conlleve al desarrollo y solución de situa-
ciones de este tipo, las cuales mediante otras instancias 
serían de extrema complejidad. Sin embargo, es nece-
sario aclarar que no se debe dejar a un lado la riguro-
sidad de las matemáticas, sobre todo en relación con 
aspectos esenciales de la enseñanza y el aprendizaje ta-
les como la validación de hipótesis mediante el desarro-
llo de las demostraciones inductivas que contribuyan al 
crecimiento del pensamiento lógico-matemático. 
Para trabajar este método con sucesiones y series 
se necesita tener una secuencia consecutiva de térmi-
nos constantes que, a través de las diferencias sucesi-
vas, se puedan deducir de la sucesión del último nivel 
de diferencias, y así gradualmente obtener los demás 
términos generales hasta encontrar la sucesión objetivo 
o la sucesión primordial que facilite la obtención de la 
sucesión inicial. Para el caso de las series es importante 
hallar las sumas parciales necesarias y suficientes para 
la aplicación del método de diferencias.
El proceso es deductivo y facilita obtener térmi-
nos generales de sucesiones y series con expresiones 
polinómicas de alto orden y racionales. Esto con el fin 
de que la comunidad educativa los aplique como mé-
todo práctico para diseñar, formular y resolver situa-
ciones en diferentes contextos, áreas y disciplinas del 
conocimiento.
Referencias
Devia, C. (2010). Desarrollo de un método matemático di-
rigido a docentes de Matemáticas para el trabajo con 
modelos de sucesiones y series polinómicas de diferente 
orden, aplicable al primer semestre de educación supe-
rior. Revista Memorias, 8 (13) ,177-187.
González, G. J., Bravo, B. J. y Mesa F. (2012). Cálculo integral 
en una variable. Bogotá: Ecoe. 
Johnsonbaugh, R. (1988). Matemáticas discretas. México: 
Grupo Editorial Iberoamericano.
Smith, W. (1998). Análisis numérico. México: Prentice-Hall 
Hispanoamericana.
Spiegel, M. (1998). Manual de fórmulasy tablas matemáticas. 
México: McGraw-Hill Interamericana.
Wisniewski, P. y Gutiérrez, A. (2011). Introducción a las ma-
temáticas universitarias. México: McGraw-Hill Intera-
mericana.