Ponencia20_Ramrez_Zambrano_Iglesias_470-494

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Memorias de VIII Jornada de Investigación del Departamento de Matemática y VII Jornada de Investigación en 
Educación Matemática, UPEL Maracay 02 y 03 de julio de 2015 
 
En: Z. Paredes y J. Sanoja (Eds.) Memorias de VIII Jornadas de Investigación del Departamento de 
Matemática y VII Jornadas de Investigación en Educación Matemática (pp. 470-494). Venezuela, Maracay: 
CEINEM-NT, Ediciones SIP. ISBN: 978-980-7335-37-9 
 
 
 
 
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SUCESIONES Y SERIES EN EL LIBRO DE MATEMÁTICA DE 4TO AÑO DE LA 
COLECCIÓN BICENTENARIO 
 
Karol Ramírez 
karol-jo93@hotmail.com 
Miguel Zambrano 
Martha Iglesias 
mmiglesias@gmail.com 
UPEL Maracay 
 
RESUMEN 
 
El uso de los libros de texto en el subsistema de Educación Básica ha sido promovido como 
parte de un conjunto de políticas públicas educativas, entre las cuales destacan el Proyecto 
Leer (que incluye la Colección Bicentenario), la dotación de computadoras Canaima y la 
instalación de los Centros Bolivarianos de Informática y Telemática. En este sentido, 
considerando que el libro de texto orienta la planificación y la gestión de las clases de 
Matemática (Aguilar e Iglesias, 2013), se decidió realizar el análisis del contenido 
matemático: fundamentación teórica y actividades propuestas en la lección nº 4 sobre 
“Nuestro Mundo Viviente” del Libro de Matemática (4to año) intitulado “Naturaleza 
Matemática”, teniendo en cuenta que, según Duarte Castillo y Bustamante Paricaguan 
(2013), dos de sus autoras, el mismo fue estructurado siguiendo los planteamientos de la 
Educación Matemática Crítica. Por ello, se observó que, partiendo de un tema generador (la 
división celular), se trata de establecer vínculos con un tema matemático (las sucesiones), 
haciendo uso de la representación tabular de los primeros nueve momentos de la división 
del huevo o cigoto, para así introducir el concepto de sucesión. Seguidamente, se aborda lo 
relacionado con la sucesión de Fibonacci y se muestran imágenes ilustrativas de la concha 
del caracol nautilus, la curva de von Koch, sucesión de números naturales y sucesión de 
números poligonales, sin profundizar en ello; por lo cual, sería necesario asumirlo como 
algo para investigar. Luego, introducen los conceptos de serie, sucesiones crecientes y 
decrecientes, sucesiones convergentes y divergentes, haciéndose énfasis en su 
representación tabular y gráfica; esto último pudiera verse favorecido con el uso de hojas de 
cálculo. Finalmente, se proponen cinco actividades orientadas a obtener información a 
partir de la representación gráfica o simbólica de una sucesión o a construir una sucesión 
que satisfaga ciertas condiciones. 
 
Palabras clave: Libro de texto, Colección Bicentenario, Educación Matemática Crítica, 
contextos extra e intramatemáticos. 
 
 
Introducción 
Memorias de VIII Jornada de Investigación del Departamento de Matemática y VII Jornada de Investigación en 
Educación Matemática, UPEL Maracay 02 y 03 de julio de 2015 
 
En: Z. Paredes y J. Sanoja (Eds.) Memorias de VIII Jornadas de Investigación del Departamento de 
Matemática y VII Jornadas de Investigación en Educación Matemática (pp. 470-494). Venezuela, Maracay: 
CEINEM-NT, Ediciones SIP. ISBN: 978-980-7335-37-9 
 
 
 
 
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 Los libros de textos diseñados con fines académicos representan un recurso didáctico de 
gran utilidad tanto para el docente como para el discente, ya que, constituyen un medio 
fundamental en el proceso de enseñanza y aprendizaje tanto en el aula como fuera de ella; 
al respecto Choppin, citado por González Astudillo y Sierra Vásquez (2004), considera que 
el libro de texto 
es a la vez apoyo del saber en tanto que impone una distribución y una jerarquía 
de los conocimientos y contribuye a forjar los andamios intelectuales tanto de 
alumnos como de profesores; es instrumento de poder, dado que contribuye a la 
uniformización lingüística de la disciplina, a la nivelación cultural y a la 
propagación de las ideas dominantes (pp. 389- 390). 
 
 Indiscutiblemente, lo antes señalado, ha convertido a los libros de texto en objeto de 
investigación por parte de educadores e instituciones interesadas en contribuir al 
mejoramiento de la calidad de la enseñanza; según González Astudillo y Sierra Vásquez 
(2004), el análisis de los libros se ha centrado en la variedad y riqueza de sus contenidos, 
las incidencias que ejercen en el aprendiz y su función como transmisor de conocimientos 
que faciliten abordar situaciones del entorno, por cuanto ejercen gran influencia en la praxis 
docente. 
 Aguilar e Iglesias (2013b) señalan que los libros de texto son habitualmente utilizados 
por el docente para planificar las sesiones de clases, ya que, según los maestros consultados 
por estas autoras, en los libros se plantean actividades didácticas, los contenidos del 
currículo son planteados en forma sencilla y, además, sirven para asignar tareas (ejercicios 
o problemas). 
 Por tanto, surge la necesidad que el docente se familiarice con metodologías que le 
permitan valorar las características de dichos libros y seleccionar el o los más adecuados 
para sus clases, ya que, de acuerdo con Salcedo (2012) pueden originar inconsistencias, 
ambigüedades y otros conflictos de índole cognitivo según sea abordado el conocimiento 
matemático, pues, sus autores transforman el conocimiento matemático formal en saber 
escolar, para ello reducen el contenido, simplifican la información, buscan temas y 
Memorias de VIII Jornada de Investigación del Departamento de Matemática y VII Jornada de Investigación en 
Educación Matemática, UPEL Maracay 02 y 03 de julio de 2015 
 
En: Z. Paredes y J. Sanoja (Eds.) Memorias de VIII Jornadas de Investigación del Departamento de 
Matemática y VII Jornadas de Investigación en Educación Matemática (pp. 470-494). Venezuela, Maracay: 
CEINEM-NT, Ediciones SIP. ISBN: 978-980-7335-37-9 
 
 
 
 
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ejemplos que resulten comprensibles y atractivos para el estudiante, lo cual conlleva en 
algunos casos a establecer afirmaciones de manera implícita que no siempre son válidas. 
 En este sentido, consideramos que una herramienta que facilita la pertinente selección 
del libro de texto o qué enseñar de un tópico matemático, es la metodología basada en el 
análisis del contenido teórico y de las actividades propuestas en los libros de matemática 
que ofrecen las distintas editoriales o entes gubernamentales, desde un enfoque crítico que 
permita contrastar el saber escolar con la rigurosidad matemática a fin de adecuar 
conceptos, definiciones, propiedades y procedimientos a la enseñanza formal de esta área 
de conocimiento y así evitar aprendizajes sesgados; pues, Salcedo (2012) afirma que “las 
actividades que debe desarrollar el alumno mientras estudia matemática tienen influencia 
en su aprendizaje, de allí la importancia de examinar la demanda cognitiva de esas 
actividades, particularmente las que se encuentran en los libros de texto” (p.88). 
 En aras de llevar a cabo el análisis de un libro de texto, se considera que el docente 
puede apoyarse en el Mapa de Enseñanza y Aprendizaje (MEA) propuesto por Orellana 
Chacín (2002), dado que éste representa un recurso instruccional dirigido a los profesores 
de Matemática, permitiéndole organizar distintos aspectos relacionados con un tema 
matemático, a fin de planificar unidades didácticas en las cuales se aborden los múltiples 
significados del contenido en estudio. 
 El análisis del libro de texto que se presenta a continuación se llevó a cabo en el curso 
de Análisis Matemático II de la especialidad de Matemática que ofrece la Universidad 
Pedagógica Experimental Libertador, Instituto Pedagógico de Maracay, como una actividad 
propia de la formación inicial de profesores de Matemática, ya que, conducea los 
participantes a aplicar sus conocimientos matemáticos y competencias didácticas al 
momento de seleccionar y trabajar con un libro de texto. 
 El trabajo contempla el análisis del tema de sucesiones y series propuesto en el libro 
denominado “Naturaleza Matemática”, de la Colección Bicentenario, debido a que es un 
contenido propio del programa del curso Análisis Matemático II y, además, es un tópico 
matemático abordado en 4
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año de Educación Media General del Sistema Educativo 
Bolivariano. 
Memorias de VIII Jornada de Investigación del Departamento de Matemática y VII Jornada de Investigación en 
Educación Matemática, UPEL Maracay 02 y 03 de julio de 2015 
 
En: Z. Paredes y J. Sanoja (Eds.) Memorias de VIII Jornadas de Investigación del Departamento de 
Matemática y VII Jornadas de Investigación en Educación Matemática (pp. 470-494). Venezuela, Maracay: 
CEINEM-NT, Ediciones SIP. ISBN: 978-980-7335-37-9 
 
 
 
 
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 Se considera de vital importancia que el docente de Matemática estudie de manera 
objetiva los libros de texto que utilizará de referencia para el diseño de sus actividades de 
enseñanza y aprendizaje, tomando en consideración que los libros deben presentar 
actividades que permitan a los estudiantes verificar su claridad conceptual, así como 
desarrollar destreza en procedimientos, pero también que promuevan la investigación con el 
propósito de que profundicen sus conocimientos. 
 
Objetivo 
 
 Realizar el análisis de contenido de la lección relativa a sucesiones y series contemplada 
en el libro de Matemática de 4
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 año de la Colección Bicentenario. 
 
Referentes Teóricos 
 
 El libro de texto constituye uno de los recursos primordiales en el quehacer docente, 
pues, en la mayoría de los casos es considerado, por parte del profesor, como la guía que 
orienta la planificación de las actividades didácticas, hecho que demanda la necesidad de 
proporcionar herramientas al docente que le permitan determinar la calidad de sus 
contenidos y actividades propuestas, a fin de promover una adecuada formación en los 
estudiantes. Para Campos Parra (2014), “uno de los retos que debe asumir el docente de 
matemáticas es mantener una visión crítica sobre este tipo de recursos y así poder 
comprobar el funcionamiento o no, de las didácticas incluidas para los diferentes 
contenidos” (p.5). 
 En este sentido, el análisis del libro de texto representa una herramienta de vital utilidad 
al momento de seleccionar el o los libros de texto en los cuales se apoyará el docente para 
establecer cómo, cuándo y qué enseñar de un tópico, tomando en cuenta además, las 
exigencias de la sociedad actual. 
 En este apartado se presenta los aspectos teóricos que se consideraron al momento de 
realizar el análisis de la lección referente al tema de las sucesiones y series contemplado en 
Memorias de VIII Jornada de Investigación del Departamento de Matemática y VII Jornada de Investigación en 
Educación Matemática, UPEL Maracay 02 y 03 de julio de 2015 
 
En: Z. Paredes y J. Sanoja (Eds.) Memorias de VIII Jornadas de Investigación del Departamento de 
Matemática y VII Jornadas de Investigación en Educación Matemática (pp. 470-494). Venezuela, Maracay: 
CEINEM-NT, Ediciones SIP. ISBN: 978-980-7335-37-9 
 
 
 
 
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el libro de Matemática de 4
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 año de la Colección Bicentenario; los referentes considerados 
fueron los siguientes: 
 El modelo para la elaboración de las lecciones reportado por Duarte y Bustamante 
(2013), el cual se fundamenta en la Educación Matemática Crítica; estableciéndose una 
serie de fases que guiaron el diseño de cada una de las lecciones que conforman los libros 
de texto de Matemática de la colección Bicentenario (ver Gráfico 1). 
 
 
 
 
Gráfico 1. Modelo para la elaboración de lecciones en los libros de la Colección 
Bicentenario (Duarte y Bustamante, 2013) 
 
Memorias de VIII Jornada de Investigación del Departamento de Matemática y VII Jornada de Investigación en 
Educación Matemática, UPEL Maracay 02 y 03 de julio de 2015 
 
En: Z. Paredes y J. Sanoja (Eds.) Memorias de VIII Jornadas de Investigación del Departamento de 
Matemática y VII Jornadas de Investigación en Educación Matemática (pp. 470-494). Venezuela, Maracay: 
CEINEM-NT, Ediciones SIP. ISBN: 978-980-7335-37-9 
 
 
 
 
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 El Mapa de Enseñanza y Aprendizaje (MEA) propuesto por Orellana Chacín (2002), 
cuya construcción parte de un análisis del tema en correspondencia con el nivel educativo, 
el conocimiento del docente acerca del tema, el conocimiento previo de los estudiantes, el 
tiempo disponible y los intereses tanto de los estudiantes como del profesor. En el MEA se 
desarrollan diez aspectos que se pueden tomar en cuenta a la hora de enseñar un tópico 
matemático. A continuación en el Gráfico 2, se describen los aspectos que este autor 
considera necesarios desarrollar en la enseñanza de la Matemática: 
 
 
Gráfico 2. Mapa de Enseñanza Aprendizaje propuesto por Orellana Chacín (2002) 
 
Abordaje metodológico 
 
 El análisis de la lección relativa al contenido de sucesiones y series se realizó tomando 
como referencia al libro de texto intitulado “Naturaleza Matemática” de 4
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 año de 
Memorias de VIII Jornada de Investigación del Departamento de Matemática y VII Jornada de Investigación en 
Educación Matemática, UPEL Maracay 02 y 03 de julio de 2015 
 
En: Z. Paredes y J. Sanoja (Eds.) Memorias de VIII Jornadas de Investigación del Departamento de 
Matemática y VII Jornadas de Investigación en Educación Matemática (pp. 470-494). Venezuela, Maracay: 
CEINEM-NT, Ediciones SIP. ISBN: 978-980-7335-37-9 
 
 
 
 
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Educación Media General perteneciente a la Colección Bicentenario promovido por el 
Estado Venezolano como parte de sus políticas públicas en materia educativa. 
 Cabe destacar que la selección del libro de la Colección Bicentenario obedece a que éste 
representaría un material de referencia (matemático y didáctico) que actualmente deberían 
estar empleando los docentes en el diseño de actividades de enseñanza y aprendizaje en el 
contexto educativo venezolano; además, se consideró el tema de sucesiones y series 
(abordado en 4
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 año de Educación Media) por ser un tópico propio del curso de Análisis 
Matemático II de la especialidad de Matemática de la UPEL - Maracay; el propósito de 
realizar este análisis es conocer la estructura conceptual y didáctica de este contenido en el 
texto seleccionado. 
 El libro está estructurado por lecciones (contenidos matemáticos), cada una de éstas se 
vinculan a un tema generador. El cuerpo del libro de texto de 4
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 año lo conforman doce 
(12) lecciones y tres (3) biografías de ilustres docentes venezolanos que marcaron huella 
con su desempeño profesional; en este caso, consideraron a los profesores: Boris Lino 
Bossio Vivas, Margarita Amestoy de Sánchez y José Alejandro Rodríguez. En las páginas 
iniciales, se presenta un preámbulo dirigido a los estudiantes, motivándolos a visualizar a la 
Matemática como una disciplina esencial para la vida, mostrando situaciones - problemas 
del contexto real. Luego, se dirige un prólogo a los padres, familiares y docentes, 
invitándolos a involucrarse en el proceso de enseñanza - aprendizaje de los estudiantes, a 
fin de que desarrollen habilidades que le permitan contribuir en su formación integral. 
 El tema generador que da inicio a cada lección tiene la finalidad de establecer relación 
entre el contenido matemático y su utilidad para atender situaciones concernientes a otras 
áreas de conocimiento o hechos cotidianos, a continuación en el Cuadro 1 se presenta la 
estructura del índice del texto: 
 
 
 
 
 
Memorias de VIII Jornada de Investigacióndel Departamento de Matemática y VII Jornada de Investigación en 
Educación Matemática, UPEL Maracay 02 y 03 de julio de 2015 
 
En: Z. Paredes y J. Sanoja (Eds.) Memorias de VIII Jornadas de Investigación del Departamento de 
Matemática y VII Jornadas de Investigación en Educación Matemática (pp. 470-494). Venezuela, Maracay: 
CEINEM-NT, Ediciones SIP. ISBN: 978-980-7335-37-9 
 
 
 
 
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Cuadro 1 
Estructura del índice del libro de texto de 4
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 año (colección Bicentenario) 
Nº Contenidos Matemáticos Temas Generadores 
B Biografía Boris Lino Bossio Vivas 
1 Estadística: análisis descriptivo 
univariante. Números índices 
Pensando en el futuro 
inmediato 
2 Distribuciones de probabilidad. 
Distribución binomial. 
Un factor de riesgo 
3 Análisis gráficos de funciones reales Las pistas de automovilismo 
4 Sucesiones. Progresiones aritméticas y 
geométricas. 
Nuestro mundo viviente 
5 Número El número , ciencia y salud 
6 Función logarítmica. Función 
exponencial. 
La población mundial 
B Biografía Margarita Amestoy de 
Sánchez 
7 Los números complejos, ecuaciones y 
funciones. 
Las soluciones complejas 
8 Fractales de Mandelbrot y Julia. La 
iteración. 
Unos conjuntos increíbles 
9 El conjunto de Cantor, la curva de von 
Koch, el triángulo y la alfombra de 
Sierpinski, y la curva de Peano y de 
Hilbert. 
Geometría fractal: una nueva 
visión 
10 Funciones Trigonométricas Las mareas del Lago de 
Maracaibo 
11 Teorema del Seno y Teorema del Coseno Midiendo terrenos 
12 Vectores en el espacio. Dependencia e 
independencia lineal 
La luz solar y los vectores 
B Biografía José Alejandro Rodríguez 
 
 Cabe destacar que el análisis parte de la revisión del modelo bajo el cual se 
estructuran las lecciones del libro (Duarte y Bustamante, 2013) y además, se considera el 
Mapa de Enseñanza y Aprendizaje propuesto por Orellana Chacín (2002) a fin de 
identificar el abordaje didáctico que hacen del tema. 
 En función de lo antes expuesto, se identificó el tema generador, lo cual corresponde a la 
primera fase de la estructura de la lección de acuerdo al modelo antes referido; aspecto que 
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Educación Matemática, UPEL Maracay 02 y 03 de julio de 2015 
 
En: Z. Paredes y J. Sanoja (Eds.) Memorias de VIII Jornadas de Investigación del Departamento de 
Matemática y VII Jornadas de Investigación en Educación Matemática (pp. 470-494). Venezuela, Maracay: 
CEINEM-NT, Ediciones SIP. ISBN: 978-980-7335-37-9 
 
 
 
 
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también se puede visualizar en el MEA, por cuanto se vincula el tema matemático con otras 
áreas de conocimiento. 
 Seguidamente, se determinaron las actividades correspondientes a la segunda fase 
(contexto extramatemático), las cuales se relacionan con el tema generador y, en el MEA, 
las mismas se pueden ubicar dentro la exploración previa a la introducción del tema. 
Posteriormente, se introduce la formalización conceptual del tema, correspondiente a la 
fase 3; aspecto considerado por Orellana Chacín (2002) como la fundamentación 
matemática. 
 Después, se plantean actividades enfocadas en el contenido matemático, pero 
estableciendo relaciones con otras ciencias (fase 4), donde el estudiante debería aplicar la 
teoría para dar respuesta a situaciones planteadas; esto se vincula al MEA en cuanto a la 
relación que se establece con otras ciencias. 
 Luego, se propone una serie de actividades que promueven la formalización conceptual 
y procedimental del tema (fase 5); aspectos que se abordan en el MEA por cuanto implican 
el cálculo y representación gráfica (manual y asistida por computador) y el uso de la 
historia como estrategia para incentivar la indagación. 
 La fase 6 contempla una serie de actividades que persiguen la consolidación del tema 
mediante la ejercitación, lo cual guarda relación con la generalización del conocimiento 
matemático propuesta por Orellana Chacín (2002). 
 
Análisis del Libro de Texto 
 
 Dentro de este contexto, se eligió de la Colección Bicentenario el libro de 4to año 
denominado “Naturaleza Matemática”, con el propósito de realizar un análisis de una de 
sus lecciones relativa al tema matemático de Sucesiones y Series, el cual se aborda 
partiendo de la división celular, contenido perteneciente al área de Biología, el cual 
constituye un tema generador de enseñanza y aprendizaje, por cuanto tiene como objetivo 
establecer relaciones entre el objeto matemático a desarrollar y otros temas vinculados al 
contexto social actual u otras áreas de conocimiento. Al respecto, se considera que el tema 
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En: Z. Paredes y J. Sanoja (Eds.) Memorias de VIII Jornadas de Investigación del Departamento de 
Matemática y VII Jornadas de Investigación en Educación Matemática (pp. 470-494). Venezuela, Maracay: 
CEINEM-NT, Ediciones SIP. ISBN: 978-980-7335-37-9 
 
 
 
 
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generador configura el medio que le permite al estudiante visualizar la utilidad práctica del 
contenido matemático para dar respuestas a situaciones cotidianas o a hechos abordados por 
otras ciencias; cuestiones que Orellana Chacín (2002), en su MEA, considera pertinentes 
trabajar al momento de enseñar un tema matemático. 
 Los autores mediante el tema generador buscan captar la atención del lector, mostrando 
la presencia de la Matemática en el tópico abordado, para luego enunciar el concepto a 
estudiar en la lección; es decir, de manera implícita, invitan al lector (estudiante) a 
identificar conceptos matemáticos, en este caso, expresando dentro del mismo párrafo la 
frase “la Matemática aparece hasta en los fenómenos que dan origen a la vida” (p.55), 
seguidamente enuncian que se trabajará un tópico matemático e introducen el término o 
concepto de sucesión. 
 Posteriormente, atendiendo el proceso de división celular humana desde el momento de 
la fecundación hasta la novena división, se presenta una tabla de doble entrada donde 
reflejan los momentos de la división celular y el número de células correspondientes a cada 
momento (ver Gráfico 3), con el propósito de mostrar gráficamente que es una sucesión y 
que nombre reciben sus elementos, además, de establecer la diferencia entre la 
representación de los términos de una sucesión finita y una sucesión infinita. 
 
 
Gráfico 3. Tabla de representación de sucesiones: la división celular (p.55) 
 
 La exploración gráfica de una definición, concepto o propiedad matemática 
constituye una estrategia didáctica que promueve la visualización y consecuente 
asimilación de las mismas por parte del estudiante; razón por la cual representa un aspecto 
que, según Orellana Chacín (2002), debe ser considerado al momento de planificar una 
unidad didáctica con contenido matemático. 
Memorias de VIII Jornada de Investigación del Departamento de Matemática y VII Jornada de Investigación en 
Educación Matemática, UPEL Maracay 02 y 03 de julio de 2015 
 
En: Z. Paredes y J. Sanoja (Eds.) Memorias de VIII Jornadas de Investigación del Departamento de 
Matemática y VII Jornadas de Investigación en Educación Matemática (pp. 470-494). Venezuela, Maracay: 
CEINEM-NT, Ediciones SIP. ISBN: 978-980-7335-37-9 
 
 
 
 
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 Seguidamente, se presenta una definición con cierto nivel de formalidad matemática que 
los autores denominaron concepto de sucesión, el cual expresa textualmente lo siguiente: 
“una sucesión, , es un conjunto de números ordenados de acuerdo a una ley. Así, una 
sucesión puede ser finita o infinita (o bien, ilimitada),según el conjunto sea finito o 
infinito o bien ” (p. 55). 
 Cabe destacar que esta definición omite aspectos importantes que la hacen ambigua, ya 
que, no establece el conjunto numérico al cual pertenecen los términos de la sucesión y, 
además, hace mención a una ley (función) sin indicar cuál es el conjunto de partida y cuál 
es el conjunto de llegada sobre los que está definida dicha función. Luego, hacen referencia 
a sucesiones finitas e infinitas sin precisar la razón que le atribuye esa característica. 
 Posteriormente, presentan de manera opcional otra definición de sucesiones, la cual 
enuncian como: “el conjunto de las imágenes de una función cuyo dominio es un 
subconjunto A de los números naturales y su conjunto de llegada es , es decir, 
 donde S(n)= Rango de A” (p. 56). 
 Al leer esta definición se aprecia mayor rigurosidad matemática, ya que, se especifica 
cuál es el conjunto que contiene los términos de la sucesión; en cuanto a la definición de la 
función que permite determinar los términos de tal sucesión, se considera que sigue 
existiendo cierto grado de imprecisión al definir el conjunto de partida (o dominio) A, ya 
que, tal conjunto A es definido como un subconjunto de los números naturales y no se dice, 
de manera explícita que, por lo general, se asume que n ≠ 0. Además, sería importante 
destacar que el rango de una sucesión está contenido en R (conjunto de llegada) y, así, 
destacar la diferencia entre el conjunto de llegada y el rango de una función definida de A 
en . 
 Por otra parte, es de destacar que la definición presenta una expresión que se considera 
errada al establecer que S(n)=Rango de A; en este caso, se presume que es un error de 
transcripción, tal vez en lugar de colocaron A. Es oportuno recordar que el rango de una 
función es el conjunto de las imágenes de los elementos del conjunto A mediante la función 
f, el cual en el libro se denota por S(n) para el caso de las sucesiones. 
Memorias de VIII Jornada de Investigación del Departamento de Matemática y VII Jornada de Investigación en 
Educación Matemática, UPEL Maracay 02 y 03 de julio de 2015 
 
En: Z. Paredes y J. Sanoja (Eds.) Memorias de VIII Jornadas de Investigación del Departamento de 
Matemática y VII Jornadas de Investigación en Educación Matemática (pp. 470-494). Venezuela, Maracay: 
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 Luego, de la segunda definición de sucesiones presentan la forma general de los 
términos de una sucesión e inmediatamente definen la relación que 
permite establecer y representar a cada uno de los términos de la sucesión como término 
general y lo denotan como . Después, establecen un ejemplo de sucesión finita 1, 2, 4, 8, 
16, 32, 64, 128, 256 destacando que en ella es posible identificar primer y último término 
 respectivamente. 
 Y un ejemplo de sucesión infinita 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64… donde se puede identificar 
primer término, pero no hay último término. También, presentan dos sucesiones infinitas 
con las respectivas relaciones que las determinan. La primera de ellas consta de múltiplos 
positivos de 3, es decir . En cambio la segunda sucesión está formada por los 
números impares positivos, cuyo término general es . 
 Seguidamente, ilustran otros ejemplos de sucesiones tales como: la sucesión de 
Fibonacci, cuyos primeros términos aparecen en el caracol nautilus (ver Gráfico 4) el cual 
se asemeja a la espiral de Fibonacci; la misma se obtiene uniendo rectángulos de 
dimensiones iguales a los términos correlativos a la sucesión de Fibonacci. Otro ejemplo de 
este tipo es el número de segmentos que se obtienen en la construcción de la curva de von 
Koch (ver Gráfico 5), cuya construcción se aborda en la unidad 9 de este libro referida a la 
geometría fractal. Cabe destacar que estos ejemplos no son desarrollados, solamente se 
presentan imágenes ilustrativas. Lo que sigue a nivel de texto son, en la página 57, los 
conejos de Fibonacci. 
 Por ello, se considera que sería recomendable que los docentes revisen y sugieran a sus 
estudiantes consultar las páginas abajo señaladas para complementar la información sobre 
la sucesión de Fibonacci: 
http://www.uv.es/aprengeom/espirales.html 
http://historiaybiografias.com/fibonacci/ 
http://www.dmae.upm.es/cursofractales/capitulo1/2.html 
https://ztfnews.wordpress.com/2014/03/11/las-matematicas-de-niels-fabian-helge-von 
koch/ 
http://vviana.es/doc/LaSorprendente%20SucesionDeFibonacci.pdf 
Memorias de VIII Jornada de Investigación del Departamento de Matemática y VII Jornada de Investigación en 
Educación Matemática, UPEL Maracay 02 y 03 de julio de 2015 
 
En: Z. Paredes y J. Sanoja (Eds.) Memorias de VIII Jornadas de Investigación del Departamento de 
Matemática y VII Jornadas de Investigación en Educación Matemática (pp. 470-494). Venezuela, Maracay: 
CEINEM-NT, Ediciones SIP. ISBN: 978-980-7335-37-9 
 
 
 
 
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Gráfico 4. Caracol de Nautilus Gráfico 5. Curva de von Koch 
 
 Es de mencionar que con los ejemplos anteriores y haciendo uso de la revisión 
documental, el docente puede abordar la historia de la Matemática y así el estudiante 
conocerá cómo, cuándo y en dónde surgieron tales planteamientos, sin necesidad de 
trabajarla como un contenido más sino como estrategia didáctica; al respeto, Chaves 
Barbosa y Salazar Soto (2003) refieren que utilizar la historia de la Matemática como 
recurso didáctico promueve un cambio de actitud hacia las matemáticas, incentiva la 
reflexión y una actitud crítica en el estudiantes y facilita la integración de la Matemática 
con otras áreas de conocimiento. 
 Otro aspecto de la historia que tratan en esta sección, se refiere a la sucesión de 
Fibonacci, que según la historia surge de estudiar el proceso de procreación de los conejos, 
propuesta por el matemático italiano Leonardo de Pisa en el año 1202. Cabe destacar que 
también se le conoce a esta sucesión como secuencia áurea, ya que, la razón entre cada par 
de términos consecutivos de esta sucesión va oscilando por encima y por debajo de la razón 
áurea, y que a medida que se avanza, la diferencia de la razón de Fibonacci con la razón 
áurea se va haciendo cada vez menor. Es decir, en la medida que n crece, esta razón tiende 
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En: Z. Paredes y J. Sanoja (Eds.) Memorias de VIII Jornadas de Investigación del Departamento de 
Matemática y VII Jornadas de Investigación en Educación Matemática (pp. 470-494). Venezuela, Maracay: 
CEINEM-NT, Ediciones SIP. ISBN: 978-980-7335-37-9 
 
 
 
 
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a 1.61803… lo cual representa la llamada “razón áurea”. Para profundizar en el tema se 
recomienda consultar a Ferrate (2009). 
 La sucesión de Fibonacci la introducen como una situación problema partiendo de una 
pareja de conejos que acaba de nacer en una granja, la cual, según los autores se puede 
ubicar en la fase 4 de la estructura que rige cada sesión del libro, ya que está focalizada en 
situaciones específicas que permiten comprender hechos y relaciones matemáticas. Luego, 
proponen completar una tabla de doble estrada (ver Gráfico 6) en donde se plasma el 
número de parejas de conejos obtenidas en el transcurrir de unos meses y proponen las 
siguientes preguntas: ¿Cuál es el décimo término?, ¿Se puede afirmar que la relación 
anterior define una sucesión? ¿Por qué? y ¿Cuál es la regla de formación de esta sucesión? 
 
 
Gráfico 6. Sucesión de Fibonacci (p. 57) 
 
 
 La actividad persigue que el estudianteestablezca relación entre la información que 
brinda la situación problemática planteada y las definiciones abordadas anteriormente a fin 
de que consoliden la formalización y conceptualización matemática y además desarrollen 
ideas y estrategias que le permitan dar respuestas a las interrogantes. 
 De esta manera se aborda lo que se conoce como la sucesión de Fibonacci, que no es 
más que una serie infinita de números naturales que inicia en 1 y a partir allí, el resto de los 
términos de la sucesión se obtienen al sumar los dos términos que le preceden, la misma se 
puede representar como: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,… dando por , 
donde Sn-1 y Sn-2 representan el primer y segundo término que le antecede. 
 Por otra parte, se estimula al estudiante a visualizar la famosa sucesión de Fibonacci en 
situaciones del mundo real, al citar por ejemplo los fenómenos de la naturaleza como la 
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disposición de las hojas y tallos en los árboles, el número de espirales a la izquierda y a la 
derecha de una flor de girasol, entre otros, además, se han hallado manifestaciones de estas 
entidades en las artes plásticas, la arquitectura y la poesía.; situación que, para Orellana 
Chacín (2002) es indispensable abordar en una unidad didáctica, porque mediante la 
presentación de problemas provenientes del entorno se deja ver la utilidad del conocimiento 
matemático. 
 Posteriormente, presentan gráficamente unos ejemplos de sucesiones (ver Gráfico 7), 
entre ellos, la sucesión de números poligonales y la sucesión de números naturales e invitan 
al lector (estudiante) a dar repuesta a los siguientes planteamientos: (a) ¿Cuáles de ellas son 
finitas? (b) ¿Cuál es el primer término en cada caso? (c) Deduzca el término general para 
cada sucesión, excepto para la de números primos (d) ¿Qué otras sucesiones pueden diseñar 
ustedes? 
 
 
Gráfico 7. Ejemplos gráficos de sucesiones (p.59) 
 
 Esta actividad está pensada para que los estudiantes profundicen y consoliden los 
conceptos y procedimientos matemáticos previamente abordados por el docente, atendiendo 
a situaciones problemáticas similares a las trabajadas en clase mediante la orientación del 
profesor. 
 Por otro lado, los ejemplos anteriores constituyen además un preámbulo a la definición 
de serie de una sucesión, esta se expone de la siguiente manera: “la serie de una sucesión 
S(n) es la suma de sus términos”. Además, establecen que la suma de los n primeros 
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términos de una sucesión se indica como: 
 
 
 
 
y si la sucesión es infinita se escribe de la siguiente manera 
 
 
 
 
 Cabe destacar que los autores describen la simbología utilizada en esta definición y 
expresan explícitamente como se lee; de esta manera, se considera que el estudiante 
adquiere habilidades propias del lenguaje matemático, facilitando la comprensión. 
 Luego, retoman las sucesiones de números poligonales y consideran los primeros seis 
términos de tres sucesiones, mostrando las a través de la siguiente tabla con su respectiva 
ecuación general (ver Gráfico 8). 
 
 
Gráfico 8. Sucesión de números poligonales (p.60) 
 
 La finalidad didáctica es ejemplificar el cálculo de la suma de los primeros términos de 
las sucesiones; en este sentido, determinan la suma de los primeros cuatro términos de la 
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sucesión triangular e invitan al lector (estudiante) a calcular la suma de los ocho primeros 
términos de la sucesión de números cuadrangulares y rectangulares. 
 Posteriormente, establecen las interrogantes ¿Cómo es la suma de una cantidad infinita 
de números? ¿Es posible que una suma infinita dé un resultado finito?, lo cual motiva al 
lector a reflexionar, conjeturar e indagar para emitir una respuesta razonable a dichos 
planteamientos. En aras de responder las preguntas, los autores se apoyan en lo que se 
conoce en Matemática como la iteración; es decir, en la aplicación insistente de un mismo 
algoritmo. Estos parten de la suposición de tener una cinta de papel cuya medida es la 
unidad, la cual dividen constantemente a razón de ½ tomando solo una de las mitades para 
repetir el procedimiento (ver Gráfico 9). 
 
 
Gráfico 9. Representación gráfica del proceso de iteración (p. 61) 
 
Con esta exploración se pone en evidencia que dada ciertas sucesiones infinitas se 
puede obtener una suma finita, pues, la tira de papel tiene una medida finita y en la medida 
que se repite el procedimiento los términos que se agregan tienden a cero y su suma se 
aproxima a uno, por tanto, se puede escribir la unidad como la suma de cada una de las 
particiones de la tira de papel. Esto es: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 +... 
 Seguidamente, plantean otra interrogante: ¿será cierto que la suma de una serie infinita 
cuyos términos decrecen es siempre finita? Para objetar este planteamiento presentan la 
siguiente serie infinita: 
 
 
 
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cuyos términos decrecen y muestran aritméticamente basándose en la definición de serie 
que la suma puede hacerse cada vez más grande en la medida que se agreguen términos, lo 
cual conduce a concluir que existen series infinitas cuya suma es también infinita. 
 Una vez ejemplificada la definición de serie introducen el concepto de sucesiones 
decrecientes, considerando en primer lugar la exploración gráfica de una sucesión que 
denominan los inversos de , la cual se corresponde con: 
 
 
 (ver Gráfico 10). 
Es de destacar que la gráfica del rango de la función se construye para los primeros 
cuarenta términos haciendo uso de herramientas tecnológicas, además, se acompaña de una 
representación tabular que refleja lo siete primeros términos, donde se muestran los 
cálculos que implica hallar las imágenes a través de la función dada. Seguidamente, 
motivan al lector (estudiante) a determinar el comportamiento de los términos de la 
sucesión y a intercambiar ideas con sus compañeros y docente, para luegoafirmar que este 
tipo de sucesiones se denominan sucesión estrictamente decreciente. 
 
 
Gráfico 10. Gráfica de la sucesión: 
 
 
 (p. 64) 
 
 Después, de realizar toda esta exploración con una sucesión en concreto presentan esta 
definición: “una sucesión es estrictamente decreciente cuando cada término de la sucesión 
es menor que el anterior. Es decir, ”. Después, establecen que: “cuando 
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en algunas sucesiones se cumple que , se dice que la sucesión es 
monótona decreciente” 
 Nótese que la única diferencia entre sucesión estrictamente decreciente y monótona 
decreciente radica que en la primera la desigualdad debe cumplirse necesariamente, 
mientras que en la monótona decreciente pueden haber igualdad entre términos 
consecutivos. 
 Inmediatamente de plantear la definición de sucesiones decrecientes, introducen el 
concepto de sucesiones crecientes y realizan el mismo estudio que con la anterior, partiendo 
de la sucesión 
 
 
 
 
, en primer lugar, representan de manera tabular los primeros 
siete términos de la sucesión (ver Gráfico 11) y los expresan en forma decimal para efectos 
de la graficación en el plano, la cual realizan mediante el uso de herramientas tecnológicas 
(ver Gráfico 12). De igual manera, motivan al estudiante a observar y discutir con los 
compañeros y docentes el comportamiento de los términos de la sucesión y sugieren el uso 
de calculadoras para realizar las operaciones correspondientes a fin de determinar las 
imágenes. 
 
 
Gráfico 11. Representación tabular de los primeros siete términos de la sucesión 
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 (p. 65) 
 
Gráfico 12. Gráfica de la sucesión creciente 
 
 
 
 
(p. 65) 
 
 A partir del intercambio de ideas que sugieren los autores se propone introducir la 
definición, la cual expresa: “Una sucesión es estrictamente creciente cuando cada término 
de la sucesión es mayor que el anterior. Es decir, ”, destacando además, 
que “si en una sucesión se cumple que ”, la sucesión es monótona 
creciente”. 
 Ahora, nuevamente retoman las sucesiones anteriormente abordadas para realizar el 
estudio de acotamiento de una sucesión; en primer lugar, consideran la sucesión creciente e 
invitan a los estudiantes a recordar el comportamiento de los términos de esta sucesión, 
motivándolos a indagar por qué los términos se aproximan a 1, pero nunca llegan a ser 1. 
Así, presentan de manera algebraica y en particular la definición de cota superior, por 
cuanto afirman que “para esta sucesión , a este número 1 lo llamamos cota 
superior de la sucesión, por lo tanto, está acotada superiormente”, además indican que “del 
1 en adelante existe infinitas cotas superiores, es decir, todos los números reales en el 
intervalo ”. (p. 66) 
 Luego, presentan una definición más rigurosa de sucesión acotada superiormente, de 
cota superior y de supremo, la cual enuncian de esta manera: “si todos los términos de una 
sucesión son menores o iguales que un cierto número c diremos que la sucesión está 
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acotada superiormente, y a c la llamaremos cota superior de la sucesión”. Por otra parte, 
“la menor de las cotas superiores recibe el nombre de supremo”. (p. 66) 
 Consiguientemente, haciendo referencia a la relación entre el crecimiento de n y la 
tendencia de las imágenes se introduce el concepto de sucesión convergente, que en este 
caso particular se tiene que cuando la sucesión converge a 1. Dándose 
luego, una definición más precisa de dicho concepto, de esta manera: “una sucesión es 
convergente si existe un número L tal que cuando ”. Por otra parte, “si tal 
número L no existe, diremos que la sucesión diverge o es divergente”. (p. 67) 
 Asimismo, se hace un estudio de la sucesión decreciente 
 
 
 donde se establece 
que para esta sucesión , de lo cual se deduce que cero es cota inferior de la 
sucesión y así la sucesión está acotada inferiormente. También, se indica que todos los 
números reales menores que cero son cotas inferiores de la sucesión, esto es todo real en el 
intervalo Para luego establecer una definición general, que enuncian de esta manera: 
“si todos los términos de una sucesión son mayores o iguales que un cierto k diremos que la 
sucesión está acotada inferiormente, y a k la llamaremos cota inferior de la sucesión”. 
Además, llamaremos ínfimo a la mayor de las cotas inferiores. Además, como el límite de 
esta sucesión existe y es cero se afirma que la sucesión es convergente. 
 Finalmente, proponen cinco actividades cuya resolución implica aplicar cada una de 
las definiciones y propiedades trabajadas en el desarrollo de la lección y que además, 
promueven la argumentación por parte del estudiante, ya que, en algunas de las actividades, 
se plantean preguntas que requieren explicar el porqué de la afirmación. 
 A continuación se presentan las actividades sugeridas para el lector: 
 1. Estudiemos la sucesión . En el gráfico 13 te presentamos sus diez primeros 
términos y su representación. 
 
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Gráfico 13. Sucesión 
 
 
 
Respondan a las siguientes preguntas: 
 ¿La sucesión es creciente o decreciente? ¿Por qué? 
 ¿La sucesión está acotada superiormente? En caso afirmativo, ¿cuál es el 
supremo? ¿Por qué? 
 ¿La sucesión está acotada inferiormente? En caso afirmativo, ¿cuál es el ínfimo? 
¿Por qué? 
 ¿La sucesión converge o diverge? ¿Por qué? 
2. Dada la sucesión 
 
 
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 Expongan sus 10 primerostérminos y represéntenlos gráficamente. 
 ¿Está acotada inferiormente? ¿Y superiormente? ¿Por qué? 
 Determinen si la sucesión es creciente o decreciente. 
 Expliquen si la sucesión es convergente o divergente. 
3. Construyan una sucesión creciente convergente y escriban la expresión de su término 
n-ésimo. 
4. Construya una sucesión decreciente divergente y escriban la expresión de su término 
n-ésimo. 
5. Construyan la sucesión que surge de dividir términos consecutivos de la sucesión de 
Fibonacci. ¿Es finita o infinita? ¿A qué número tiende esta nueva sucesión? 
 
Consideraciones finales 
 
 Cuando se utilice un libro de texto es importante conocer criterios para abordar los 
contenidos y las actividades que proponen para así extraer lo que se considere de mayor 
utilidad del tópico; el libro es un instrumento que sirve de apoyo al docente en el desarrollo 
de secuencias didácticas con contenidos matemáticos. Por ello, el docente debe tener la 
capacidad de ir más allá de lo que se encuentra en el material. 
 En este sentido, en los libros de la Colección Bicentenario, se contemplan tareas que le 
permitan al estudiante la conceptualización, la indagación o exploración y la verificación de 
propiedades, la relación con otra temática de estudio ya sea del área de Matemática u otra 
área de conocimiento, lo cual permite que el estudiante ponga en práctica la capacidad de 
establecer relación con los conocimientos previos y los nuevos para así lograr un 
aprendizaje significativo. 
 Además, se considera que el Mapa de Enseñanza y Aprendizaje propuesto por Orellana 
Chacín (2002) representa una herramienta que le permite al docente organizar los distintos 
aspectos que se pueden considerar al enseñar un contenido, para luego delimitar su alcance, 
entendiendo que los procesos de pensamiento que los estudiantes desarrollen a través de 
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actividades relacionadas con el tema son tan importantes como el aprendizaje de los 
contenidos en sí mismos. 
 
Referencias 
 
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Texto de Educación Primaria. Paradigma, Vol. XXXIV, Nº 2, 151 – 173. 
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Matemática y VII Jornadas de Investigación en Educación Matemática (pp. 470-494). Venezuela, Maracay: 
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