TALLER_MOTIVACIONAL_LA_ENSENANZA_DE_LA_M

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ESCUELA NORMAL SUPERIOR DE MÉXICO
SEDE 1998
MEMORIAS
Celebrado en la Ciudad de México
Los días 23, 24 y 25 de septiembre de 1998
PNFAP E N S
DME-
CINVESTAV
2
MEMORIAS
Publicada por:
Escuela Normal Superior de México
Editores :
Profra. María de Jesús Sentíes Nacaspac
Dr. Fernando Hitt Espinoza
M. en C. Esnel Pérez Hernández
M. en C. José Carlos Cortés Zavala
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Agradecimientos:
En primer lugar queremos manifestar nuestro agrade-
cimiento a la Escuela Normal Superior de México y al
Departamento de Matemática Educativa del CINVESTAV
porque al apoyar este tipo de eventos contribuyen al
fortalecimiento de la vida académica interinstitucional.
Es importante mencionar la valiosa y altruista colaboración
de nuestros alumnos y compañeros, ya que sin ellos no
hubiera sido posible la culminación oportuna de este trabajo.
Un especial agradecimiento a Texas Instruments y a la
Fundación Cultural de los Trabajadores de Pascual por el
soporte importante que brindaron para la realización de este
IX Seminario.
Al Sistema de Transporte Colectivo Metro y a los medios de
comunicación que nos ayudaron a la difusión de este evento
ofrecemos nuestro reconocimiento sincero.
El comité organizador
4
DIRECTORIO
Por la Escuela Normal Superior de México
Profr. Guillermo Saavedra Alonso
Director
Dr. Raciel Trejo Resendíz
Subdirector Académico
Lic. Juan Carlos Giordano León
Subdirector Administrativo
Por la Comisión Organizadora
Profra. María de Jesús Sentíes Nacaspac
M. en C. Esnel Pérez Hernández
Por el Comité Nacional
Dr. Fernando Hitt Espinosa
Dr. Hugo R. Mejía Velasco
Lic. Martha Cornejo Rodríguez
M. en C. José Carlos Cortés Zavala
5
Presentación
El Seminario Nacional de Calculadoras y Microcomputadoras en Educación Matemática es
una reunión académica que tiene como objetivo fundamental promover y difundir la
investigación y discusión de asuntos que se relacionan directamente con el uso de tecnología
en el aula, particularmente en lo que se refiere a la enseñanza y el aprendizaje de la
matemática. Se ha realizado en diferentes instituciones educativas de nivel superior, tanto
tecnológicos como universidades, y en esta novena emisión se realizó en las instalaciones de
la Escuela Normal Superior de México.
Se consideró adecuado organizar las actividades en dos modalidades diferentes:
conferencias y talleres, dando prioridad en gran medida al último tipo, por el interés tan
marcado de la comunidad docente de los diversos niveles educativos, en la adquisición de
instrumental procedimental del que puedan disponer en su entorno profesional inmediato.
La inclusión de las diferentes ponencias se produjo previa revisión y modificación de
las versiones originales dando como resultado esta memoria que ponemos en sus manos, y
con lo cual se pretende que las disertaciones orales sostenidas por los ponentes puedan
trascender los muros de la sede, y con ello incrementar día a día, tanto en cantidad como en
calidad, el trabajo de la matemática escolar con uso de calculadoras y microcomputadoras.
La memoria está compuesta de dos apartados: el primero engloba los trabajos que
fueron clasificados en la modalidad de conferencia, y el segundo comprende aquellos
materiales que a nivel de guión de taller se recibieron.
Septiembre de 1998.
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Contenido
REFLEXIONES SOBRE LA GEOMETRÍA
MEDIADA POR LA COMPUTADORA.
Luis Moreno Armella.
..........1
DEL TRAZO A LA CONSTRUCCIÓN.
INQUIETUDES QUE SURGEN EN EL TRABAJO
GEOMÉTRICO EN CABRI II.
Esnel Pérez Hernández.
..........5
AMBIENTE DE APRENDIZAJE INTEGRADOR DE
LA MATEMÁTICA POR PROYECTOS EN PÁGINA
WEB: EL LUGAR EN QUE VIVO.
Yolanda Campos Campos.
..........11
CALCULADORAS GRÁFICAS:
REPRESENTACIONES ALGEBRAICAS Y
GRÁFICA DE FUNCIONES.
Valentín Cruz Oliva.
..........21
HACIA UN MODELO DIDÁCTICO PARA EL USO
DE LA CALCULADORA EN EL AULA.
Tenoch E. Cedillo A.
..........28
EL ESTUDIO DEL CONCEPTO DE FUNCIÓN EN
EL NIVEL MEDIO SUPERIOR MEDIANTE LA
SIMULACIÓN DE UN CONTEXTO.
José Alberto Monzoy Vázquez.
..........35
7
LAS CALCULADORAS TI-83 Y TI-92 Y LA
MICROCOMPUTADORA COMO RECURSOS
DIDÁCTICOS PARA LA ENSEÑANZA DE LAS
MATEMÁTICAS.
Alfonso Sedano Peñaloza.
..........44
MATEMÁTICAS CON EL DERIVE EN EL SALÓN
DE CLASE.
Héctor de Jesús Argueta
Villamar, María Juana Linares
Altamirano.
..........47
BARRIDOS Y REGADOS.
Alejandro Rivera González.
..........50
EL USO DE LA TECNOLOGÍA EN LA ENSEÑANZA
DEL CÁLCULO.
J. Rodolfo Oliveros Ángeles.
..........56
TEOREMAS EN GEOMETRÍA PLANA Y SU
RECÍPROCO. UN VISTAZO CON LA TI-92.
Armando López Zamudio.
..........64
LA TRANSFORMADA EXPONENCIAL: UN
PUENTE ENTRE LOS FACTORES DE
INTEGRACIÓN Y LA TRANSFORMADA DE
LAPLACE.
Arturo Hernandez Ramírez.
..........69
INTRODUCCIÓN A LA HOJA DE CÁLCULO A
PARTIR DE LA NOCIÓN DE FUNCIÓN.
José Armando Landa Hernández.
..........77
8
REFLEXIONES EN TORNO AL USO DEL DERIVE
EN EL TRÁNSITO ENTRE REPRESENTACIONES
EN EL ESTUDIO DE SUPERFICIES.
Jacobo Núnez Urias.
..........86
ÁLGEBRA DE FUNCIONES MEDIANTE
PROCESOS DE VISUALIZACIÓN.
Vicente Carrión Miranda, Alicia
Ávalos Caudillo.
..........98
ESPIRALES Y FRACTALES: VISUALIZACIÓN Y
ESTUDIO DE SUCESIONES INFINITAS.
Ana Isabel Sacristán Rock.
..........114
LOS PROBLEMAS ALREDEDOR DEL CONCEPTO
DE LÍMITE Y SU ENSEÑANZA A TRAVÉS DEL
USO DE LA COMPUTADORA.
Héctor Lara Chávez.
..........124
UNA SECUENCIA DE ENSEÑANZA PARA
INTRODUCIR EL TEOREMA FUNDAMENTAL DE
LA PROGRAMACIÓN LINEAL.
José Luis Soto Munguía.
..........131
TALLER MOTIVACIONAL: LA ENSEÑANZA DE LA
MATEMÁTICA CON APOYO DE LAS NUEVAS
TECNOLOGÍAS EN LA EDUCACIÓN NORMAL Y
ACTUALIZACIÓN DEL MAGISTERIO EN EL
DISTRITO FEDERAL.
Yolanda Campos Campos,
Benjamín Salín Pascual.
..........139
9
PRÁCTICAS DE GEOMETRÍA CON GEOMETER’S
SKETCHPAD.
Deyanira Monroy Zariñan, José
Daniel Cisneros Pérez.
..........149
EL USO DE LA COMPUTADORA EN LA ENSEÑ
ANZA DE LA MATEMÁTICA DE NIVEL MEDIO
SUPERIOR.
Ludwing J. Salazar, Cornelio
Yánez Márquez, Francisco Vega
Hernández, Alfonso Córdova
Frontana.
..........158
ECUACIONES CUADRÁTICAS POR MEDIO DE
ÁREAS UTILIZANDO CABRI.
Susana Victoria Barrera, A.
Homero Flores Samaniego.
..........169
TALLER DE PROGRAMACIÓN CON
CALCULADORA TI-92 EN UN AMBIENTE DE
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS.
José J. Tellez Luna. Liliana
Suárez Tellez, Andrea Roa
Rodríguez, Óscar Vega Méndez.
..........175
MATEMÁTICAS A PARTIR DE OBSERVACIONES.
Jaime L. Arrieta Vera, David
Vázquez Santa Ana.
..........178
MODELO Y ANÁLISIS DE SISTEMAS.
Morelia Sánchez Valenzuela,
Víctor Manuel Yepez García.
..........187
10
EL USO DE LA CALCULADORA GRÁFICA EN
TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICAS A NIVEL
SUPERIOR.
Ana Silvia Valdés Cordova,
Rosalinda Mena Chavarría,
Herlinda Grajeda Cota, Lucía
Dorame Bueras.
..........189
11
REFLEXIONES SOBRE LA GEOMETRIA MEDIADA
POR LA COMPUTADORA (CABRI II)
Luis Moreno Armella,
CINVESTAV-IPN
Introducción
La primera obstrucción para la comprensión de la geometría, al transitar de un pensamiento
geométrico informal hacia uno formal, es la falta de distinción entre el dibujo y el objeto
geométrico representado. ¿Por qué se produce esta obstrucción? porque la geometría, en un
primer momento, nos proporciona sólo una única forma de representación. Sin embargo,
sabemos que para construir un concepto matemático, se necesitan al menos dos sistemas de
representación que vayan dotados, además, de un mecanismo de traducción de uno hacia el
otro. Un ejemplo claro nos lo suministra la geometría analítica. En efecto, alli tenemos una
representación algebraica y una representación geométrica de un «mismo» referente («objeto
matemático») y tenemos también un mecanismo que nos permite transitar de uno a otro
sistema de representación. En los casos en que sólo tenemos un sistema de representación, es
prácticamente imposible desprender la "parte conceptual" de esa sola representación. Cada
representación puede ser interpretada como un modelo del objeto matemático en cuestión.
Solo que el acceso al objeto necesariamentepasa por la integración de los sistemas de
representación. No está construido antes de esta actividad de integración.
Más allá de la concreción de las construcciones que se hacen sobre el papel (los
dibujos) tales construcciones desbordan el marco de lo concreto e invaden terrenos teóricos.
Es decir, las herramientas para producir los dibujos y sus reglas de uso, corresponden a
axiomas y teoremas de un sistema teórico, que no siempre está explícito. Dada una
construcción (realizada mediante Cabri, en la pantalla de una computadora o de una
calculadora) hay un teorema que la valida. O sea, hay un teorema que establece la legalidad
de las relaciones entre los elementos del objeto geométrico (lo llamaremos también «figura»)
que está siendo representado por el dibujo producido. Esto es algo que los alumnos
encuentran difícil de entender: la distinción entre el dibujo y la figura.
Evaluación empírica y control formal
Un dibujo es un producto material obtenido mediante operaciones concretas y su corrección
está controlada mediante una evaluación empírica. Por ejemplo: «eso no es una
circunferencia por que no se cerró»: En este caso la evaluación es visual.
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Resulta de la mayor importancia, el diseño de actividades para los alumnos con el fin
de que alcancen el control teórico de las situaciones estudiadas. Naturalmente, el énfasis
sobre la conquista de tal control depende del nivel escolar en donde se esté trabajando.
 La naturaleza de los dibujos que se hacen en el entorno de Cabri, es diferente a la de
los dibujos hechos con papel y lápiz. La construcción de un "Cabri-dibujo" se hace posible
mediante la utilización de las «cajas de herramientas» que Cabri pone a disposición del
alumno. Por ejemplo, puede seleccionar (crear) un punto del plano, trazar una recta, dibujar
un triángulo. Este es un nivel básico de elaboración geométrica. Pero además, Cabri
suministra construcciones geométricas básicas sobre estos dibujos, por ejemplo, trazar una
recta perpendicular a una recta ya trazada, trazar la bisectriz de un ángulo etc. Si esto fuera
todo, sólo tendríamos una manera electrónica de trazar dibujos. Sin embargo, el entorno
viene provisto de una capacidad central: la posibilidad de «arrastrar» (dragging) las partes
fundamentales de una construcción. Por ejemplo, si uno dibuja un triángulo, entonces puede
transformarlo en otro triángulo arrastrando un vértice de manera continua a otra posición del
plano. De allí que el triángulo dibujado en primera instancia, sea un triángulo «general» ( en
otros términos: es un representante del referente constituido por el objeto geométrico
llamado triángulo). La posibilidad de deformar un dibujo y transformarlo en otro de la
misma familia, lo podemos entender como que el primer dibujo «ha pasado la prueba del
arrastre». Es decir, lo que vemos en la pantalla es una representación fiel del objeto
geométrico. En cierta manera esa el la justificación (casi formal) de la generalidad del "cabri-
dibujo". Si trazamos la mediatriz de un segmento, usando las herramientas, tal construcción
también pasa la prueba del arrastre. Podemos mover, estirar el segmento y la recta sigue
siendo una mediatriz. La necesidad de la justificación última viene de la necesidad de validar
las propias construcciones con el fin de explicar por qué funcionan: no es el resultado del
procedimiento, sino el procedimiento mismo (en general: no lo que produce la acción, sino la
acción misma) el que debe ser validado. El dragging (arrastre) es, a este nivel, nuestra
herramienta de validación.
Podremos construir un campo de experiencia geométrica, intermedio entre un nivel
totalmente informal, dominado por el dibujo, y un nivel formalizado. El dragging es, ahora,
nuestro instrumento de mediación entre estos niveles.
Sobre la enseñanza de la geometría
Frente a un dibujo realizado con papel y lápiz, el alumno tiene una fuerte obstrucción
cognitiva, a saber, lograr ver no directamente al dibujo sino a través de él, la figura
geométrica. Se entiende que sea ésta una tarea de difícil realización para el estudiante si su
profesor no tiene conciencia de esta fuerte obstrucción. Aquí interviene el arrastre como
instrumento de mediación entre los dibujos (como apariencias del objeto geométrico) y la
figura que aquellos representan. La lectura guiada por el profesor de los diversos dibujos
puede facilitar la «captura» del objeto (en primera instancia quizá de un objeto preliminar)
en cuestión. Esto sería posible enfatizando las características invariantes en la familia de
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dibujos. Por ejemplo, en una familia de triángulos, puede subrayarse que en todos los
triángulos la suma de los ángulos es de 180 grados. Cabri permite realizar esa medición en
cada uno de ellos. El intercambio de puntos de vista en una clase debe conducir,
eventualmente, a enunciar la propiedad general sobre el valor de la suma de los ángulos (de
sus medidas, desde luego) de un triángulo cualquiera.
Desde un punto de vista más teórico, podemos decir que la figura geométrica es el
sistema de relaciones invariantes a través de las deformaciones posibles, por arrastre, del
dibujo original. Este enfoque no es posible en un entorno tradicional de enseñanza con papel
y lápiz.
La mediación computacional
El análisis del aprendizaje de los alumnos debe tomar en consideración las siguientes tesis:
i) Cualquier esfuerzo que se haga para expresar una idea arroja como
resultado una expresión parcial de ella.
ii) La construcción del conocimiento es una actividad mediada. El
conocimiento construido no es independiente de los instrumentos de mediación
empleados.
iii) En su primera elaboración, el conocimiento mantiene las características del
contexto que sirve de soporte en su elaboración.
iv) La descontextualización es una tarea ardua que requiere de los diversos
sistemas de representación. Podemos decir que esta es una tarea de orden
epistémico pues el conocimiento original sufre una profunda transformación.
Una manifestación del tránsito del dibujo a la figura se tiene a través de la reificación
de los objetos abstractos (véase Moreno-Rojano, 1998).
Algo mas sobre dibujos y figuras
En el seno mismo de la geometría vive una tensión esencial que refleja la doble naturaleza de
la disciplina: actividad práctica (desde sus orígenes) y actividad teórica. Los estudios
realizados hasta ahora permiten suponer que es posible superar el nivel de entidad material
que tiene el dibujo y acceder a un nivel de elaboración de la figura que, en una primera
instancia, no coincide necesariamente con el objeto formal que el profesor quiere que sus
alumnos construyan. La razón de esta eventual desviación, ya lo hemos señalado antes, está
en la determinación instrumental del conocimiento, a manos de los instrumentos de
mediación. Pensemos en que el instrumento de mediación se cruza en el camino de la acción
modificándola inexorablemente y con ello, a su resultado.
Hay una serie de consideraciones de orden técnico que tienen su importancia desde el
punto de vista geométrico. Por ejemplo, cuando trazamos una recta en una posición en
diagonal con respecto a la posición de la pantalla de la computadora (o calculadora), esa
recta tiene la apariencia de una escalera. Sabemos que ese es un fenómeno causado por la
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resolución del monitor. Esas imperfecciones del dibujo conducen a plantearse la siguiente
pregunta(Laborde, C. 1994):
¿En qué medida las imperfecciones del dibujo son consideradas como "ruido" por
parte del alumno?
Desde luego, la presencia de este tipo de ruido es importante por las eventuales
repercusiones que puede tener en el impedimento del tránsito dibujo à figura.
No podemos "extraer" la figura del dibujo puesto que muchas características del
dibujo son accidentales (son ruido). Es una característica accidental de un triángulo el que
los estudiantes lo dibujen siempre con un lado paralelo al borde inferior del pizarrón,
(cuando es ese el caso). O el que los triángulos dibujados sean casi siempre acutángulos. Si
alguna de estascaracterísticas pasa a la figura, esto se debe a que dicha característica se ha
"petrificado" en las prácticas precedentes. En lenguaje de la epistemología genética, la figura
no es resultado de un proceso de abstracción empírica, a partir de los dibujos.
Aún en un medio dinámico como Cabri, el dibujo no alcanza a hacer justicia a la
variabilidad inherente del objeto geométrico. No obstante ello, la descripción (parcial de
necesidad) del objeto mediante uno cualquiera de los dibujos posibles, utiliza una
descripción formal de dicho objeto que permanece implícita a lo largo de la utilización del
programa (software). Esas "reglas ocultas" son generadoras de complicaciones para los
alumnos ya que al intentar una construcción que las contradice, el programa, a sus ojos,
presenta un comportamiento incomprensible. Esto se halla en directa oposición a lo que
ocurre con los programas como Paintbrush o MacPaint, que permiten dibujar sin tener que
describir (así sea implícitamente) la construcción que se lleva a cabo.
Dominio de validez epistemológica
Entendemos por dominio de validez epistemológica de Cabri, la explicitación de las
manipulaciones de dibujos que corresponden a manipulaciones válidas del correspondiente
objeto formal euclideano. Es necesario introducir esta noción ya que las construcciones por
medio del Cabri no coinciden totalmente con las construcciones euclideanas. Por ejemplo,
cuando se traza el punto medio de un segmento y después se prolonga el segmento, el punto
dibujado inicialmente como centro adopta la posición de centro del nuevo segmento. Esto no
ocurre si prolongamos un segmento euclideano. Sin embargo, tales consideraciones hay que
tratarlas con prudencia ya que su explicitación a los alumnos, de manera prematura, solo
causa confusión. Es un objeto de reflexión para el profesor, para orientar su trabajo.
Bibliografía
Laborde, C. (1995). Designing Tasks for Learning Geometry in a Computer- Based Environment,
en Burton, L y Jaworski, B. (eds) Technology in Mathematics Teaching- a bridge between
teaching and learning, Chartwel-Bratt , Sweden.
Moreno, L. & Rojano, T. (1998). Las Nuevas Tecnologías en el Aula de Matemáticas y
Ciencias, en Avance y Perspectiva, vol. 17, pp 175-181.
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DEL TRAZO A LA CONSTRUCCIÓN. INQUIETUDES
QUE SURGEN EN EL TRABAJO GEOMÉTRICO CON
CABRI II.
Esnel Pérez Hernández,
Escuela Normal Superior de México
,
esnel@servidor.unam.mx
Introducción
En los últimos años el trabajo geométrico ha sido reincorporado en el curriculum de la
escuela elemental y media. Trabajo que se ha visto fortalecido con la introducción de
potentes programas computacionales que han favorecido un acercamiento dinámico a la
temática. CABRI geometre II es una de tales herramientas.
El uso de CABRI acarrea para los usuarios una serie de problemáticas que modifican
radicalmente el aprendizaje de la geometría, convierte ésta en una temática de estudio
significativamente diferenciada de su tratamiento simplemente utilizando lápiz y papel. Pero,
¿por qué establecemos que ocurre tal diferencia?
Adherencia a lo estático
Consideremos como un primer ejemplo, una actividad que consiste en la construcción de un
rectángulo y la partición de éste en dos figuras equivalentes considerando un punto dado
sobre el contorno. Ésta tarea la hemos propuesto a profesores que imparten clase de
matemáticas a nivel bachillerato y a estudiantes que cursan estudios de normal superior en la
licenciatura en matemáticas. Los protagonistas a los que nos hemos referido, han enfrentado
previamente esta tarea y para resolverla en un ambiente de lápiz y papel acuden regularmente
al uso de escuadras para el trazo de paralelas. Hay una hipótesis implícita que es aceptada, la
escuadra posee invariablemente un ángulo recto, además de considerar que si dos rectas son
perpendiculares a una tercera, entonces son paralelas entre ellas. Si las condiciones del
problema se modifican, de tal suerte que la construcción debe ejecutarse con regla y compás,
los resultados no son tan inmediatos como en el caso anterior.
¿Y qué ocurre cuándo la misma tarea se propone para ser realizada en un ambiente
CABRI?
Regularmente el primer acercamiento remite a la búsqueda de un objeto geométrico
primario, esto es, a un elemento ya disponible dentro del programa, por lo que consideramos
que al paquete se le asigna en esta perspectiva de uso un carácter de plantilla de figuras. En
casos como éste la ejecución del sujeto se relaciona más directamente con el aspecto
procedimental relativo al trazo, el dibujo.
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Al no encontrar el objeto geométrico que lleve a la construcción del rectángulo, un
segundo acercamiento consiste en el empleo consecutivo del objeto geométrico segmento
para producir la forma requerida. Generalmente lo que se obtiene es una poligonal abierta,
misma que es modificada
reiteradamente por
desplazamientos de los
segmento, o de los puntos,
hasta conseguir un rectángulo
que llamaremos perceptual,
esto es, una figura que a la
vista parece ser un rectángulo
pero que en el ambiente
CABRI no es reconocido
como tal. Como alternativa a
la opción descrita se acude al
objeto geométrico polígono
mediante el cual se llega
también a un rectángulo perceptual.
¿Por qué el énfasis en señalar el carácter perceptual?
CABRI, como es sabido, distingue tres tipos de puntos: puntos libres, puntos en ruta y
puntos dependientes. Los primeros se pueden arrastrar por todo el plano de trabajo del
ambiente CABRI, los segundos únicamente se mueven sobre el objeto en que son creados y
los últimos no pueden ser arrastrados separados del objeto del cual dependen.
La característica anterior determina, en gran medida, si el objeto geométrico resultante
tiene un carácter a nivel de trazo o de construcción. Así, el rectángulo que se obtiene con
cualesquiera de los procedimientos descritos está a nivel de trazo y tiene un carácter
meramente perceptual debido principalmente a dos peculiaridades: a) los puntos que
corresponden a la unión de los segmentos, o en su caso de los vértices del polígono, son
puntos libres y b) no se determinan relaciones
entre los segmentos, o los lados del polígono
según corresponda, por lo que, si se arrastra uno
de los puntos, entonces la figura adquiere la
forma de otro cuadrilátero cualquiera.
El que un sujeto presente como su
propuesta a la problemática formulada un
rectángulo perceptual, obedece, según
consideramos, a una anclaje en el trabajo
geométrico de lápiz y papel, que sienta sus bases
en gran medida en el uso de la figura. Tal es el
caso, que la forma que se presenta regularmente
Ilustración 0: Poligonal abierta que es llevada a un rectángulo
perceptual.
Ilustración 2: cuadrilátero obtenido a
partir de arrastrar un vértice de un
rectángulo perceptual.
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conserva los lados respectivamente paralelos a los bordes de la pantalla de la calculadora o
de la computadora, posición en que tradicionalmente es presentado el rectángulo en
materiales escritos dirigidos a estudiantes del nivel básico. El carácter que el sujeto adjudica
a la figura dentro del procedimiento que ejecuta es totalmente estático, lo cual nos parece,
desde la perspectiva de éste, suficientemente válido, ya que pone en juego su instrumental
conceptual y procedimental, que ha sido viable en situaciones anteriores y que ante esta
nueva circunstancia se vuelve insuficiente.
El carácter dinámico de la construcción
 El conflicto surgido lleva a una nueva reformulación del asunto, la cual se orienta ya no sólo
a lo perceptual, sino también a la búsqueda de relaciones en el objeto geométrico motivo de
construcción, esto es, a la identificación de la perpendicularidad de dos lados adyacentes,
propiedad que puede ser puesta en acción por diversos procedimientos, de los cuales a
manera de ejemplo señalamos el
siguiente:
1. Trazar el segmento AB.
2. Trazar por A la recta l
perpendicular a AB.
3. Trazar sobre l un punto, D.
4. Trazar por B la recta m
perpendicular a AB.
5. Trazar por D la recta n
perpendicular a AD.
6. Determinar el puntoC en la
intersección de m y n.
Se tienen hasta este momento los
cuatro vértices del rectángulo, ¿qué
acción se debe realizar enseguida para
completarlo? Hay dos posibilidades,
una de ellas incluye la construcción de los segmentos AB, BC, CD y AC, en tanto que la otra
comprende la construcción del polígono ABCD. Algunos sujetos optan por la primera
alternativa poniendo de manifiesto de nueva cuenta un acercamiento estático al problema,
pues, el punto que ha sido proporcionado como dato es un punto cualquiera (en ruta) que
está en el contorno del rectángulo. Este punto puede ser determinado únicamente si se cuenta
con un objeto geométrico polígono.
El punto C es un punto dependiente de las rectas m y n, que no puede ser arrastrado
directamente. El punto B, por su parte, es un punto en ruta que se puede mover sobre la recta
l, mientras que los puntos A y B son puntos libres, por lo que arrastrando los puntos A, B, y
Ilustración 3: rectángulo en ambiente CABRI.
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C convenientemente podemos determinar un rectángulo cualquiera en el plano de CABRI.
Hemos llegado con esto a completar la primera parte de la solución del problema.
El caso particular como ejemplo estático
Una vez lograda la construcción del
rectángulo y del punto «P» sobre éste,
algunos participantes prefieren
explorar el problema a partir de
considerar otro punto, «Q», en el
lado opuesto del rectángulo con
respecto al lado donde se encuentra
«P» y, posteriormente desplazar «Q»
a la posición en que se determinan
polígonos equivalentes, identificados
con el auxilio del comando para
calcular áreas. Este procedimiento
sustenta un fuerte apego a maneras de
producción empírico-inductivas que
nos parecen adecuadas; sin embargo,
también manifiesta cierta
desvinculación del carácter dinámico
que distingue a CABRI. Manejamos ese rasgo de parcialidad porque en realidad el paso dado
en la construcción de las figuras equivalentes representa un avance importante, no
únicamente en la obtención de una solución para el problema, sino también en la puesta en
práctica de acciones que favorecen la integración de una forma de pensamiento
significativamente diferente, que ya toma en cuenta a los objetos geométricos dinámicos de
CABRI como elementos nuevos sobre los que se puede actuar; sin embargo, el atributo de
dinamismo no se logra en tanto que no hay una relación de dependencia del punto «Q» con
respecto al punto «P».
Exploraciones más elaboradas contemplan la ejecución de nuevos trazos y la
incorporación de otros elementos de carácter conceptual. Así, en una ejecución que
comprende:
1. Encontrar los puntos medios E, F, G, y H
de los lados AB, BC, CD, DA,
respectivamente.
2. Trazar los segmentos EG y FH.
3. Determinar el punto I en la intersección
de los segmentos EG, y FH.
4. Trazar la recta PI.
Ilustración 4: Partición de un rectángulo en dos
figuras equivalentes, utilizando cálculo de áreas.
Ilustración 0: El cuadrilátero PBCQ es
equivalente al cuadrilátero APQD.
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5. Determinar Q en la intersección de PI y el polígono ABCD.
6. Ocultar la recta PI.
7. Trazar el segmento PQ.
Con base en la congruencia de los rectángulos AEGD y EBCG, y de los triángulos EIP
y GIQ se desprende que los «polígonos» APQD y CQPB son congruentes, por lo cual
también son equivalentes, que en cierto sentido satisface la consigna establecida
inicialmente.
Cabe hacer algunas precisiones en relación con el procedimiento seguido. En primer
lugar hemos entrecomillado la palabra polígonos porque en realidad tiene sentido hablar de
los polígono APQD y CQPB en aquel caso en el que el punto P está sobre el lado AB. Pero,
¿qué sucede si el punto P se mueve sobre los lados BC, CD, y DA?
En un acercamiento al problema con lápiz y papel basta señalar que análogamente se
procede para cualquier otra posición de P, que es lo que implícitamente se asume al dar por
terminado el problema con el último procedimiento descrito. Sin embargo, virtud a que en
CABRI el punto P no es fijo tenemos que
proponer un procedimiento que tome en
cuenta esa característica, por lo que la
ejecución y justificación debe ser tal que
considere «todos» los casos posibles, así como
los efectos que se producen.
Ciertamente que hay un aspecto
problemático que se incorpora al problema
original, éste elemento es inherente al propio
medio con el que se explora la situación, en
nuestro caso CABRI. Para algunos, lo anterior
tiene que ver con simples detalles técnicos
ajenos al problema; para nosotros, es una parte
fundamental de la situación que ni es trivial, ni
tampoco distante pues forma parte del
contexto en el que el sujeto se ve inmerso al
momento de trabajar con la problemática
sugerida.
Ilustración 0: Dos posiciones diferentes del
punto P, que llevan a una solución no
adecuada del problema mediante el
procedimiento descrito.
20
Comentarios finales
CABRI, al igual que otras herramientas de exploración, proporcionan un ambiente favorable
para problematizar el aprendizaje de la geometría. Sin embargo, tal problematización no se
puede reducir a la inclusión mecánica de situaciones que potencialmente son ricas en
ambientes de lápiz y papel, pues, como hemos tratado de ilustrar, hay elementos nuevos que
se incorporan por el propio entorno de trabajo.
Pasar del trazo como rasgo perceptual a la construcción que considera propiedades de
las figuras, y de la construcción a los objetos de CABRI, caracterizados éstos últimos por
propiedades geométricas pero en ambiente dinámico, es consustancial a una nueva forma de
pensamiento del sujeto, por lo cual se tiene que considerar problemáticas adecuadas a la
temática, nivel y posibles ejecuciones de los protagonistas de la tarea.
Se debe tener en mente que una situación propuesta puede ser para quien la enfrenta
un problema a largo plazo, como el ejemplo discutido en este trabajo, del que no se logra una
solución inmediata en el ambiente CABRI, aún cuando en acercamientos convencionales el
problema haya sido debidamente resuelto.
21
AMBIENTE DE APRENDIZAJE INTEGRADOR DE LA
MATEMÁTICA POR PROYECTOS EN PÁGINA WEB:
EL LUGAR EN EL QUE VIVO
Síntesis por Yolanda Campos Campos,
pcampos@mex1.uninet.net.mx
En este trabajo se presenta el Proyecto: El lugar en el que vivo, con foco en el
tema Registros y Problemas para el 3º y 4º grado de Educación Primaria que
forma parte de un Sistema de Ambientes de Aprendizaje Integrador de la
Matemática por Proyectos que bajo un supuesto metodológico interaccionista -
integrador pretende conjuntar el trabajo individual con el colaborativo y diversos
recursos sin y con computadora, el manejo de un programa computacional
educativo, ejercicios de libro y cuaderno y la participación en círculos de
aprendizaje y foros de discusión. Se ofrecen sugerencias didácticas en tips para
niños, manual del profesor, sugerencias a padres de familia y líneas de
investigación. Este sistema representa un esfuerzo interinstitucional de
colaboración puesto al servicio del magisterio a partir del mes de septiembre de
1998 a través de la Red Escolar.
Presentación
Los autores de este trabajo conforman un equipo multidisciplinario que ha tenido la
oportunidad de incursionar en la enseñanza de la matemática en la educación básica y han
explorado diversos paradigmas durante su experiencia. Desde la elaboración de materiales
didácticos diversos, libros de texto, apuntes y paquetes didácticos, programas en Logo y
Basic, software educativo para el programa de Computación Electrónica para la Educación
Básica, hasta trabajos en multimedios, han sido productos que de alguna forma han
significado propuestas de los autores para mejorar el aprendizaje. Como corolario de la
producción colectiva del equipo, ahora se hace la propuesta de reunir los diversos elementos
en un sistema denominado Ambiente de Aprendizaje Integrador de la Matemática por
Proyectos.
El desarrollo de este sistema se justifica por la intención de promover modelos
educativos integradores que reconozcan la responsabilidad del estudiante, de la colaboración
del grupo escolar, familiary social en el aprendizaje, así como por la necesidad de que los
profesores hagamos propuestas concretas para el uso de la Red Escolar que como proyecto
nacional de incorporación de las tecnologías de la comunicación y la información se está
implementando en al menos 3 000 escuelas del país.
El sistema está conformado por 65 lecciones organizadas en 12 módulos que cubren
todos los contenidos de matemáticas de la escuela primaria. Con motivo de este trabajo, se
presenta el paquete correspondiente al proyecto: "El lugar en el que vivo" con la lección
Registros y Problemas para 3º y 4º grados de Primaria.
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El paquete del Proyecto: El lugar en el que vivo consta de los elementos que a
continuación se describe: Proyecto, Programa Computacional Educativo de Matemáticas,
Ejercicios de Libro y Cuaderno, Círculos de Aprendizaje, Para Compartir, Evaluación, Tips
para niños, Manual del Profesor, Sugerencias a Padres de Familia, Líneas de Investigación,
Seguimiento Pedagógico, Investigación Educativa, Formación y Actualización de Maestros.
1. Proyecto
Ubicación
En la descripción del proyecto se hace una ubicación del mismo, señalando que es para el
nivel educativo
: Primaria; para la asignatura de Matemáticas; el tema es Tratamiento de la Información:
Registros. Problemas; el objetivo educativo es: Manejar la noción de frecuencia a partir de
la acción concreta de contar los elementos de un posible resultado y resolver problemas a
partir de los datos obtenidos de juegos e investigaciones.
Se citan los antecedentes y también los temas focales de estudio: interpretación de
la información contenida en registros y pictogramas. Resolución de problemas sencillos que
requieran recolección, registro y organización de información, utilizando pictogramas.
Planteamiento y resolución de problemas en los que se requiera recolectar y registrar
información periódicamente. Representación de la información en gráficas de barras. Uso de
la frecuencia absoluta en el manejo de la información. Análisis e interpretación de
información proveniente de una pequeña encuesta. Las asignaturas que participan son:
Matemáticas, Español, Ciencias Naturales, Geografía, Educación Cívica, Historia,
Educación Artística.
Situación didáctica y problemas
Después de la ubicación, la estructura del proyecto proporciona datos sobre: Situación
didáctica: La colonia; se plantean problemas de manera participativa en el grupo y se
sugieren problemas derivados como: ¿Cómo mantener limpia la colonia?, ¿Qué hay en mi
colonia?, ¿Cómo era mi colonia? ¿A qué juegan los niños de mi colonia?, y problemas
integradores como: ¿Qué puedo proponer para mejorar mi colonia?, ¿Qué estoy haciendo
para mejorar mi colonia?
Actividades y procesos sin y con computadora
Se sugieren actividades y procesos que permitan llegar a la noción y el manejo de registros
y problemas, utilizando materiales diversos de la realidad, de reaprovechamiento, visitas,
encuestas, generalmente sin computadora. Enseguida se proponen actividades con el apoyo
de la computadora que van desde el uso del procesador de texto, graficación, diseño, hoja
de cálculo, la programación en Logo para hacer planos de la colonia, procesar encuestas,
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hacer carteles para una campaña de limpieza, etc., hasta que a partir de la página WEB se
puede bajar a la computadora el Programa Computacional: La Colonia
Ejercicios de libro o cuaderno
Con el propósito de complementar la ejercitación adecuada del tema, se resuelven ejercicios
de libro o el cuaderno, del estilo de las páginas que se proporcionan y que se pueden
imprimir. Los ejercicios se presentan por niveles.
Círculos de aprendizaje
El proceso desarrollado durante el proyecto, las preguntas surgidas, los comentarios, la
forma de resolver los problemas matemáticos y los integradores, pueden compartirse con
niños, padres, maestros e investigadores de otros lugares. Al hacerlo surgirán nuevas ideas y
otras actividades complementarias, lo que es muy importante para el aprendizaje
significativo. Entre otras opciones, esto se puede hacer inscribiéndose a un círculo de
aprendizaje desde la Página Web.
Culminación del proyecto
Como culminación se sugiere que se contestan las preguntas planteadas en los problemas
integradores, individualmente, en equipo y se hace la puesta en común en el grupo; se sacan
conclusiones sobre lo parecido y lo diferente. Con los trabajos que se realizan, se prepara un
periódico mural y de ser posible una sesión para presentarlos a los padres de familia.
Para compartir
Con el propósito de compartir experiencias para solicitar asesorías o brindar alguna
sugerencia, se remite a un correo electrónico para integrar una lista de interés y para
mantener una línea de contacto.
2. Programa computacional educativo de matemáticas: registros y
problemas
Como parte de las actividades con computadora, durante el desarrollo del proyecto, se puede
hacer uso del Programa Computacional Educativo de Matemáticas: Registros y Problemas,
La Colonia, mismo que tiene la opción de «LA LIMPIEZA» que permite afirmar la lectura
de registros y resolver problemas relacionados con el tratamiento de la información. El
profesor puede aprovechar esta opción para dar seguimiento a la formalización y ejercitación
de conceptos aritméticos involucrados.
Con la recopilación de datos en relación con la manzana o el lugar en el que viven los
alumnos se elaborará el registro, planteo y resolución de problemas utilizando la opción de
24
LA MANZANA EN LA QUE VIVO . El equipo que haya realizado una encuesta, puede
utilizar la opción INVESTIGACIÓN para tabular y graficar. Por ejemplo: ¿A qué juegan
los niños en la manzana en la que vivo, a la pelota, la reata, ... ?;
3. Ejercicios de libro y cuaderno
Para repasar lo aprendido en el programa Registros y Problemas se propone la solución de
ejercicios de libro y cuaderno que se imprimen desde la Web, por nivel de dificultad.
Además se ofrece la liga con la Biblioteca Infantil de DGSCA - UNAM en donde se pueden
encontrar ejercicios interesantes de este tipo.
Se sugiere realizar los ejercicios de esta página en equipo con niños de otros lugares,
inscribiéndose a un Círculo de Aprendizaje y a hacer sugerencias, compartir algunos
resultados o hacer una consulta, a través de un correo electrónico.
4. Círculos de aprendizaje
Bajo una concepción de aprendizaje colaborativo, se intenta que los alumnos, los profesores,
los padres de familia y los investigadores participen en círculos de aprendizaje, en este caso,
alrededor del tema: Registros y Problemas con el Proyecto: El lugar en el que vivo, lo que
permite avanzar en los niveles de socialización, de búsqueda, recopilación, organización y
procesamiento de la información, así como en la formación de estructuras cognitivas básicas
para el aprendizaje de la matemática.
Para obtener información sobre ¿Qué es un Círculo de Aprendizaje?, ¿Quiénes lo
integran?, ¿Cuáles son sus fases? se remite con una liga a los Círculos de Aprendizaje de La
Red Escolar.
 Se hace la invitación en todo momento para que los estudiantes se inscriban en un
Círculo de Aprendizaje para Niños con el fin de compartir preguntas, comentarios, formas
de resolver los problemas y de encontrar amigos con quienes platicar y juntos aprenderán
mejor.
Algunos problemas que pueden resolver son: ¿Cómo podemos mantener limpias
nuestras colonias?; ¿Qué hay en nuestras colonias?; ¿Cómo eran antes nuestras colonias?; ¿A
qué juegan los niños de nuestras colonias?; ¿Qué podemos proponer para mejorar nuestras
colonias?; ¿Qué estamos haciendo para mejorar nuestras colonias?, ¿Cómo se resuelve un
problema matemático específico de los que vienen el Programa Computacional: Registros y
Problemas?, ¿Cómo se redactan nuevos problemas?, ¿Cómo se hace una gráfica? ... Y
muchas más que el Círculo de Aprendizaje plantee. Además podrán comentar sobre temas de
interés en relación con El lugar en el que viven.
Se sugiere a los profesores inscribirse en un Círculo de Maestros para compartir
cuestiones como: ¿Quéresultados obtuvieron?, ¿Qué observaron respecto a la actitud de los
niños en la solución de problemas?, ¿Cómo llegaron los niños a entender las expresiones A +
B?, ¿Cómo resolver problemas específicos de disciplina, de actitud, de conocimiento
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específico de un tema? ¿Todos tendrán las mismas respuestas?, ¿Por qué?. Cada círculo
podrá proponer otros temas y desarrollarlos de manera colaborativa.
También se promueve un Círculo para Padres para intercambiar información, ideas y
experiencias con otros padres interesados en apoyar a sus hijos para que aprendan
matemáticas. Algunas preguntas que pueden tratar son: ¿Qué podemos hacer para ayudar a
nuestros hijos a aprender matemáticas?, ¿En el lugar en el que vivimos podemos encontrar
elementos útiles para que nuestros hijos aprendan matemáticas?, ¿Pueden nuestros hijos
aprender matemáticas en la casa, en la calle, en la colonia, en la entidad en la que viven, con
elementos de su país y su mundo?, ¿Cómo? Y muchas más que el Círculo se plantee.
Los investigadores también son llamados a integrarse en Círculos de Investigación
para participar en trabajos relacionados con las actividades que se generen en el Proyecto: El
lugar en el que vivo, compartir experiencias sobre la evaluación del software educativo:
Registros y Problemas, dar seguimiento a lo relativo a los Círculos de Aprendizaje para
niños, para profesores o padres de familia.
El cronograma de actividades de los círculos está por definirse en el momento de la
entrega de este trabajo; posiblemente para el día de la presentación del mismo, ya esté en
desarrollo.
Para conocer sobre otros Proyectos y Círculos de Aprendizaje se enlistan ligas a:
Proyectos Educativos en la Red Escolar, Temas para Círculos de Aprendizaje en la Red
Escolar, Proyectos en KidLink.
5. Para compartir
Se estimula que los niños se comuniquen a través del correo electrónico para consultar
dudas, solicitar asesoría, hacer alguna sugerencia o compartir experiencias. De igual manera
se estimula a los adultos: profesores, padres de familia e investigadores, a compartir
experiencias respecto a la operación del programa, sugerencias sobre su manejo, comentarios
sobre el Desarrollo del Proyecto, las actitudes y habilidades estimuladas durante el estudio
del Programa Registros y Problemas, alguna conducta interesante o algún punto de vista u
opinión. También pueden comentar sobre ¿Cómo se desarrolló el proyecto?, ¿Qué
actividades se agregaron, cuáles no fueron necesarias?, ¿Qué resultados se obtuvieron?,
¿Qué se observó respecto al juego, a la resolución de problemas, a la elaboración de tablas y
registros y a la investigación?. La asesoría puede solicitarse por cualquier medio: teléfono,
fax, correo electrónico, correo.
6. Tips para niños
En esta sección se le da la los niños la bienvenidos al programa La Colonia, advirtiendo que
aquí se darán cuenta que aprender es útil y divertido. Se les recomienda que jueguen este
programa con uno o dos amigos. Así es más agradable, porque pueden platicar cómo jugar,
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cómo resolver los problemas, además de competir, y el que gana ¡le ayuda a ganar a los
demás!
Enseguida se dan algunas recomendaciones sobre el manejo del programa
computacional y del proyecto, se le invita a repasar los temas en los ejercicios de libro y
cuaderno, a inscribirse en círculos de aprendizaje y a compartir sus experiencias o
presentar sus dudas.
7. Manual del profesor
En este apartado, se le da la oportunidad al profesor de que reflexione sobre el proyecto que
va a promover, sobre la metodología didáctica específica del tema; se describe el
Programa Computacional enlistando
 las preguntas por nivel, que de manera aleatoria aparecen en cada opción, así como
sugerencias para el aprovechamiento de cada pantalla, su propósito educativo y las
actividades complementarias que puede desarrollar. Se propone la realización de ejercicios
de libro y cuaderno, y una bibliografía para el alumno y otra para el profesor, incluyendo
las direcciones de páginas Web que son interesantes y se relacionan con el proyecto.
Se les invita a registrarse y a participar desde la Web en un Círculo de maestros y a
compartir a través de un correo electrónico sus experiencias sobre: ¿Qué resultados
obtuvo?, ¿Qué observó respecto a la actitud de los niños en la solución de problemas?,
¿Cómo manejaron las operaciones básicas?, ¿Hicieron uso de calculadora o resolvieron
mentalmente los problemas? ¿Cómo llegaron los niños a entender las expresiones A + B que
implican variables?, o para brindar alguna sugerencia o solicitar asesoría.
8. Evaluación
Dentro del Programa Computacional, de los Ejercicios de Libro y Cuaderno y como un
apartado en la página Web, se proporcionan indicadores de evaluación, la que se concibe
como la regulación positiva del proceso de desarrollo del proyecto y del aprendizaje de los
temas focales de estudio. La intención es personalizar los reportes de manera que se
identifique el nivel de dificultad y los ejercicios necesarios para avanzar.
9. Sugerencias a los padres de familia
Bajo una concepción de aprendizaje integrador, el papel de la familia es muy importante, por
lo que aquí se presentan algunas sugerencias para que los padres puedan apoyar la labor de la
escuela. Se inicia por reflexiones acerca de ¿Sabía que.. usted como padre puede ayudar
mucho a su hijo para que aprenda matemáticas y no tenga problemas en sus estudios
futuros?, ... el niño va aprendiendo matemáticas desde el momento en el que nace?, ...el
mejor momento para que los niños aprendan matemáticas es cuando tienen necesidad de:
describir, explicar, predecir o resolver problemas en la vida diaria?; el mejor lugar para
27
aprender matemáticas es el hogar y el medio que rodea al niño?; que los mejores materiales
para que el niño aprenda matemáticas son los objetos, personas o relaciones que le rodean?.
Después se hacen algunas recomendaciones a los padres acerca de ¿Cómo ayudar?
sugiriendo el juego, la plática, el paseo, ayudar al mandado, actividades extraescolares, etc.,
y la formulación de una serie de preguntas como ¿Cuántos son?, ¿Qué hay más?, ¿Qué hay
menos?, ¿Cómo es?, ¿A qué se parece?, ¿Si junto ____ con ____, cuántos son?, ¿Cuántos
faltan para ____?, etc.
También se le dan sugerencias a los padres sobre el proyecto y de manera
específica sobre el uso del Programa: Registros y Problemas. Se les invita a participar en
Círculos de padres y a compartir sus experiencias y solicitar asesorías.
10. Líneas de investigación
La elaboración del Programa Computacional: Registros y Problemas y la propuesta de su
manejo dentro de ambientes de aprendizaje integrador por proyectos, se basan en el
paradigma psicoeducativo interactivo e integrador, a partir del cual se diseñó una
"Propuesta de Didáctica Integradora de la Matemática con apoyo de la Computación para la
Educación Básica Mexicana
 que se trabajó de 1980 a 1995 a través de diversos estudios exploratorios, experiencias en el
aula, trabajos de desarrollo, producción de libros y diversos materiales, así como de la
contrastación teórica con las aportaciones de Piaget y Vigotsky. La problemática que
aborda se centra en el enfoque de los procesos integrales de la persona y la sociedad; los
fundamentos epistemológicos se sustentan en las corrientes constructivistas y socio –
culturales considerando como supuestos teóricos que a partir de una concepción dialéctica
integral, se concibe al individuo, al quehacer histórico, a la vida y a la realidad misma,
formando parte integral de un universo cambiante, creativo y transformador. Al ser humano
se le entiende en un continuo desarrollo hacia la elevación de sus tomas de conciencia, con
base en la sucesiva toma de decisiones que se traduce en acciones para transformar la
realidad, con el deseo de armonía, felicidad y trascendencia.
El enfoque metodológico se centra en la didáctica integradora que supone un enfoque
metodológico que tiene su base en una filosofía dialéctica integral, en una teoría
constructivista y una políticaparticipativa.
El modelo parte del supuesto de que la educación es un conjunto de interrelaciones y
procesos humanos constantes que se ha realizado en el curso de la evolución de la
humanidad y continuará dándose mientras ésta exista; es un fenómeno social universal que
se presenta en cualquier sitio y en todas las culturas cualesquiera que estas sean. A través de
la educación se pretende el perfeccionamiento del individuo como persona integral y como
sujeto social que produce cultura, lo que implica en la práctica, que la educación se conciba
como un conjunto de procesos dialécticos de relaciones en las que se producen sucesivas
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tomas de conciencia individuales y colectivas, tomas de decisiones, transformaciones y
deseos de armonía, felicidad y trascendencia.
Se presenta a la computación educativa como un apoyo para las tomas de conciencia,
facilitando el tránsito de lo concreto a lo abstracto, a la reflexión sobre el mismo
pensamiento y a la posibilidad de re - creación de los conceptos. El apoyo de esta
herramienta al proceso de enseñar - aprender queda establecido en relación con los recursos
que la época plantea y a la necesaria manipulación que los estudiantes deben hacer de la
computadora para enfrentar con mayores posibilidades de éxito el mundo que les
corresponde vivir.
Se sugieren algunas líneas de evaluación y de investigación como las siguientes:
Posibilidad de apoyo a la construcción, ejercitación y aplicación de conceptos matemáticos;
Aspectos didácticos; Presencia de juegos educativos y su aporte a la metodología de la
solución de problemas; Habilidades de pensamiento, habilidades actitudinales y habilidades
motivacionales. (Kruteskii 1989); Diferencias en los estilos de aprendizaje (Herrera y
Montes: 1963, Garner: 1995); Secuencias de dinámica de proceso para la construcción,
ejercitación y aplicación de nociones básicas sobre tratamiento de la información,
proporcionalidad, predicción y azar. (Piaget, Vigotsky); Nivel de interactividad; Aspectos
técnicos y de diseño gráfico; Ambientes de aprendizaje en los que se utiliza el programa.
Algunos de estos puntos podrían generar investigaciones interesantes aplicando métodos
derivados del paradigma ecológico de investigación o del mediacional integrador. Es posible
la aplicación del método de investigación clínico, del etnográfico o de otros de corte
cualitativo.
En la Página Web se presentan algunas de las conclusiones sobre resultados de
estudios previos obtenidas por Gabriela de Dios Ayala (1998) al aplicar una encuesta en 7
escuelas primarias a profesores en relación con los Programas Computacionales Educativos
de Matemáticas de 3er año publicados por el ILCE para el Programa COEEBA – SEP que
resultan antecedentes de los Programas Computacionales aquí planteados.
 Así mismo se ofrecen los correos electrónicos de otros maestros en el país que han
utilizado el Programa de Registros en su versión previa.
11. Seguimiento pedagógico
Se tiene previsto el seguimiento pedagógico que se debe dar a los Círculos de Aprendizaje
para niños, maestros, padres de familia e investigadores, así como a los foros que se formen
en el apartado de Para Compartir. Se pretende invitar a profesores especialistas de las
escuelas normales, del Centro de Actualización del Magisterio en el D,F, y de la Dirección
General de Educación Normal y Actualización del Magisterio para la coordinación de esta
actividad.
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12. Investigación educativa
Se tiene la intención de documentar todas las acciones que se realicen y generar líneas de
investigación que permitan sustentar las tesis que se proponen en el apartado de Líneas de
Investigación.
13. Formación y actualización de maestros
Bajo una concepción integral, se propone el desarrollo de cursos y eventos que impacten la
formación y actualización de los profesores de educación primaria y normal. Cursos como
"Introducción a las tecnologías computacionales en el aprendizaje integrador de la
matemática", que ya fue propuesto para su registro en Carrera Magisterial, "Ambiente de
Aprendizaje Integrador de la Matemática por Proyectos" y algunos diplomados tendrán su
vigencia para que los maestros reflexionen y se familiaricen con el sistema que aquí se
presenta.
Comentarios finales
Entender el aprendizaje de la matemática desde los paradigmas interactivos e integradores es
concebir a un estudiante activo, constructor responsable de su conocimiento, el que sintetiza
dialécticamente en relaciones de colaboración con el grupo escolar, familiar y social. Bajo
este fundamento, se propone que el Sistema de Ambientes de Aprendizaje Integrador de la
Matemática por Proyectos pueda servir de andamiaje en la reflexión y transformación de la
práctica diaria del profesor en el aula y en el desarrollo de habilidades de pensamiento,
actitudinales y motivacionales del alumno que le permitan un aprendizaje recreativo y
significativo. Este supuesto está por probarse y se espera que próximamente se pueda ofrecer
la documentación que lo verifique; por ahora queda abierta la invitación a profesores e
investigadores a involucrarse en el proyecto y a continuar trabajando en la continua
búsqueda de propuestas por mejorar la enseñanza de la matemática.
BIBLIOGRAFIA
BERISTÁIN MÁRQUEZ Eloísa, Yolanda CAMPOS CAMPOS y César PËREZ CÖRDOVA. (1990).
Matemática y realidad, con ejercicios de computación y juegos. Serie de libros y materiales
para la educación secundaria) México: Mc Graw Hill de México.
CAMPOS CAMPOS, Yolanda (1995). Propuesta de una Didáctica Integradora de la matemática con
computación para la Educación Básica Mexicana. México: ENSM.
HERNÁNDEZ Fernando y Montserrat VENTURA (1996). La organización del currículum
por proyectos de trabajo. El conocimiento es un caleidoscopio. Barcelona:
Universidad de Barcelona ICE.
KRUTETSKII, V. A. (1989) The psycology of mathematical Abilities in Schoolchildren. En
Antología del Seminario de Investigación en Educación Matemática. México: CAM – DF
PIAGET, Jean PIAGET, Jean. (1983) ¿A dónde va la educación México: Teide.
30
PIAGET, Jean y Noam CHOMSKY. (1984) Teorías del lenguaje, teorías del aprendizaje. España: Ed.
Crítica.
SOMECE. (1984 - 1997) Memorias de los Simposios Internacionales de Computación en la
Educación. México: Diversas instituciones.
Participantes
Dirección General: Guillermo Kelley Salinas (ILCE), Benjamín Fuentes González.(DGENAMDF)
ILCE: Coordinación General: Víctor Guerra Ortíz, Adoración Pérez Morera, Lilian Kravzov Appel.
Coordinación del Sistema: Teresa Vázquez Mantecón.
LESA: Diseño Computacional: César Pérez Córdova, Héctor Robles Corvalá.
Programación Computacional: Libro Electrónico.
DGENAMDF: Integración de la página WEB: Benjamín Salín Pascual.
Coordinación de 
Círculos aprendizaje: Teresa Navarro de Mendicuti (BENM).
Foros de Discusión: Joaquín Santa María Galván (CAMDF),
Actualización: Lucía Arango Cruz.
Investigación y otras coordinaciones de seguimiento pedagógico: Por nombrarse.
Diseño, programación y coordinación pedagógica general: Yolanda Campos Campos
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CALCULADORAS GRAFICAS:
REPRESENTACIONES ALGEBRAICA Y GRAFICA
DE FUNCIONES
Valentín Cruz Oliva,
Escuela Secundaria Dna. No. 18 México, D.F.
El presente reporte es una experiencia con alumnas de tercer grado de secundaria
 (14-15 años), en la que se propusieron actividades que promueven la traducción
entre las representaciones algebraica y gráfica de familias de funciones, con apoyo
de una calculadora gráfica. Experiencia en la que las estudiantes establecieron
relaciones entre los parámetros de la representación algebraica de una función con
la gráfica correspondiente, como por ejemplo: sentido de la gráfica, traslación y
pendiente, con lo que fueron capaces de asociar la expresión algebraica de una
gráfica dada. Se pudo observar que a medida que las estudiantes encuentran
relaciones entre la forma gráfica y algebraica de una función, son capaces de
realizar traducciones directas entre estas dos representaciones. En esta experiencia
la calculadora proveyó del ambiente quepermitió a la estudiante centrar su
atención en los parámetros de familias de funciones, así como generar una
colección considerable de gráficas, situación que puede requerir más tiempo y
esfuerzo en un trabajo con lápiz y papel.
Marco referencial
Bruner (1966), reconoce a un sistema de representación como un elemento importante en el
desarrollo del pensamiento de los individuos. Afirma que una persona con un amplio bagaje
de representaciones acerca de alguna parte del conocimiento, le permite un desenvolvimiento
competente.
Bruner reconoce tres tipos de representaciones: la enactiva que tiene que ver con
actos habituales, la icónica que se refiera a la imagen que se puede tener acerca de algo y la
simbólica como el lenguaje. Afirma que el dominio progresivo de estas representaciones y la
traducción de un sistema de representación a otro, son parte de lo que promueve el desarrollo
del pensamiento.
Por otra parte, Bruner considera que la idea de representación es una buena forma de
acercarse al estudio del desarrollo del pensamiento, y haciendo referencia a su criterio de que
el medio y la cultura en la que se desenvuelve un individuo son fundamentales en el
desarrollo del pensamiento, afirma: "Las tecnologías que ofrece la cultura a través del
lenguaje, los mitos y creencias. , los sistemas de medida y cálculo, los instrumentos y sus
disciplinas de conocimientos, amplifican y enriquecen las capacidades de representación
humanas".
Considera además que uno de los deberes de la educación es el de promover el
enriquecimiento de los sistemas de representación.
32
Por otra parte, Bruner reconoce a la educación como una instrucción, y haciendo
referencia a Vygotsky, acerca de la Zona de Desarrollo Próximo en donde se marca la
diferencia en lo que un individuo es capaz de realizar por sí solo con lo que podría hacer con
el apoyo de alguien de mayor competencia. Así Bruner introduce la idea de "andamiaje"
como aquello que instrumenta el adulto para promover el aprendizaje de los jóvenes.
Así de esta forma el experto crea un ambiente de trabajo en el que provee tareas
graduadas que permiten ampliar la Zona de Desarrollo Próximo del menos experto,
desarrollando en él un lenguaje que posteriormente es el medio a través del cual puede existir
una comunicación entre el experto y el inexperto para el intercambio de ideas que enriquecen
la instrucción, proponiendo así un aprendizaje de mayor comprensión.
A partir de estas ideas que Bruner expone, es que se centra este trabajo, en el que se
aborda el estudio de funciones a través de dos de sus representaciones: la algebraica
(simbólica) y la gráfica (icónica), con el apoyo de una calculadora gráfica como medio que
provee la posibilidad de utilizar estros modos de representación. Por lo que se proponen al
estudiante actividades que promueven el uso y la traducción de las representaciones
mencionadas, con el propósito de que cuente con una amplia colección de gráficas y
expresiones que le permitan familiarizarse con las relaciones que existen entre estas
representaciones. Todo esto en un ambiente de trabajo en el que el profesor es el experto y la
calculadora es la herramienta que provee el medio en el que gradualmente el estudiante
genera un lenguaje que le permite desenvolverse en el ambiente matemático de la
calculadora, lenguaje que será útil para establecer una mejor comunicación en las
interacciones entre maestro y alumno.
Desarrollo
El presente trabajo tuvo como propósitos centrales:
• Obse rva r las r ela cione s que los estudia nte s enc ue ntr an entr e los dife rente s par áme tr os de la s
re pr ese ntaciones algebra ica y gr áf ica de f amilias de f unc iones, cua ndo utiliz an una
ca lc ula dora gr áfica .
• Obse rva r las e str ategias a que r ec urr en pa ra re aliza r tra ducciones entre las re pre se nta cione s
alge bra ic a y gráf ic a de familias de f uncione s.
Para estos propósitos, el trabajo en su fase experimental se puso en practica con un
grupo de 30 alumnas de tercer grado de secundaria (14-15), a lo largo de dieciocho sesiones
de cincuenta minutos cada una, se les proporcionó un paquete de diecinueve actividades y
una calculadora gráfica a cada estudiante. Las estudiantes al llegar a cada clase reiniciaban
su trabajo hasta donde se habían quedado en la sesión anterior, mientras el profesor atendía
dudas y revisaba las actividades que se iban resolviendo, un aspecto importante es que no se
les permitía dejar actividades inconclusas, a menos que terminarán los cincuenta minutos de
la clase.
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A continuación se hace una descripción breve de cada uno de los elementos centrales
de este trabajo.
La calculadora
Se utilizó una calculadora gráfica que permite editar algebraicamente una función, así como
también proporciona un ambiente gráfico (Radio Shack EC-4037). Durante la primer sesión
se enseñó a las estudiantes el uso de las teclas básicas para la edición algebraica de funciones
y la construcción de gráficas. Cabe hacer mención, que antes hubo tres sesiones de
ambientación con la calculadora en aspectos como el encendido, el contraste, las operaciones
aritméticas, etc., no habiendo alguna dificultad técnica para que las estudiantes utilizarán la
calculadora. Las alumnas contaron de manera irrestricta durante todas las sesiones con una
calculadora, la cual proveyó de un ambiente en el que el conocimiento de un lenguaje
matemático mínimo les permitió utilizarla para la solución del paquete de actividades.
Es conveniente mencionar en estos momentos, que la calculadora fue el medio a través
del cual las estudiantes pudieron generar una gran colección de gráficas, a partir de las
expresiones algebraicas propuestas. Desde el punto de vista de Bruner, la calculadora es el
medio tecnológico que permite amplificar la capacidad de representación de un individuo y
que ha sido provisto por el medio y la cultura en que se encuentra.
Las actividades
Previo a la parte experimental se elaboraron diecinueve actividades que proponen al
estudiante el uso de representaciones algebraica y gráfica de funciones, así como la
traducción entre un sistema de representación a otro. Las actividades incluían las siguientes
familias de funciones:
• Func iones line ale s: y= mx+b
• Func iones cuadrátic as: y=a (x+b)2+c 
• Ra íz cuadrada: y= cbxa ++ )(
• Va lor a bsoluto: y= aA BS(x+b)+ c
• Se micir cunfe re ncia: y= dcxba +++ 2)((
• Func iones tr igonomé trica s: y= asin( bx )+ c
La estructura general de las hojas de trabajo es como se muestra a continuación.
34
Como se observa los tres
componentes principales son las
pantallas que son gráficas como
las que aparecen en la pantalla de
la calculadora, las expresiones que
son la forma algebraica de una
función y las justificaciones que
son las explicaciones escritas que
los estudiantes hacen de su trabajo.
De esta forma, se proponían
pantallas a las que había que
relacionarle una expresión algebraica y viceversa, siempre pidiendo al estudiante que
justificará por escrito su trabajo.
Desde el punto de vista de Bruner, las actividades representan parte de las estrategias
que el experto instrumenta para apoyar al inexperto a ampliar su Zona de Desarrollo
Próximo, por lo que las actividades son parte de los "andamiajes" a los que hace alusión
Bruner, y que además están graduados, de tal forma que vayan siendo constantes retos para
el estudiante.
El profesor
En una propuesta como la que aquí se hace, el profesor asume un papel de apoyo al trabajo
que los estudiantes realizan, de tal modo que se convierte en un monitor al que puede acudir
el estudiante cuando lo cree conveniente, o en un caso necesario, el profesor interviene
cuando así lo juzga necesario. El rol del docente deja de ser de carácter meramente
expositivo y se convierte en un elemento más dinámico que interactúa en forma casi
individual con los estudiantes. Durante las sesiones el profesor revisaba las actividades que
las alumnas completaban y señalaba a través de "pistas" aquello que había de ser revisado, ya
sea para ampliarla explicación o para reflexionar en si la respuesta era totalmente correcta.
Bajo la perspectiva de Bruner, el profesor es el experto que promueve el desarrollo de
la Zona de Desarrollo Próximo, y quien reorienta el trabajo del estudiante hacia los objetivos
que se han planteado en el proceso de instrucción. De alguna forma podríamos decir que
debe asumir una actitud distinta a la tradicional (de expositor), en aras de promover un
aprendizaje de mayor comprensión en los estudiantes.
Los estudiantes
Los alumnos tuvieron oportunidad de desarrollar su trabajo de manera individual o en forma
agrupada, en la mayoría de los casos se reunieron en grupos pequeños de hasta tres
elementos, y en raros casos trabajaron en forma individual. Se respetó el ritmo de avance de
cada estudiante. Durante la resolución de las actividades, las alumnas tuvieron la
oportunidad de comunicarse entre ellos, actitud que asumían cuando tenían dificultad en
Un estudiante no puede encontrar la expresión para la siguiente
gráfica. Ayúdale y escribe detalladamente cómo le explicarías
para que la encuentre.
 
y =
Explicación.__________________________________________
_____________________________________________________
Pantallas
Expresiones
Justificacione
35
algún ejercicio, y que en caso de no poder ser resuelto entre ellos, acudían al profesor quien
apoyaba para la solución al ejercicio. De esta forma el estudiante se convierte en un elemento
central de la propuesta, recayendo en él una gran parte de la responsabilidad del aprendizaje,
pues sólo a través de sus descubrimientos y conjeturas, es que podía ir desarrollando un
lenguaje que le permitiera comunicarse con el experto y así obtener nuevas perspectivas en
cuanto a su aprendizaje.
La clase de matemáticas
Las sesiones de trabajo se desarrollaron en forma dinámica, con los estudiantes
intercambiando descubrimientos y conjeturas frecuentemente, y acudiendo al profesor cada
vez con menor frecuencia, sino es que de verdad habían agotado sus recursos. Considero que
los estudiantes asumieron la parte central del trabajo y el profesor desarrollo
progresivamente una mayor habilidad para orientar el trabajo.
Resultados
La principal fuente de información que permitió hacer un análisis cualitativo del estudio que
aquí se presenta, fueron las actividades resueltas por las estudiantes, además de las
observaciones realizadas por el profesor de clase (en este caso el investigador).
De acuerdo a los propósitos planteados originalmente es que se presentan algunos de
los resultados obtenidos.
• Re la cione s que encontr ar on los e studiantes e ntr e los pará me tros de la s r epresentac iones
alge bra ic a y gráf ic a de funcione s, usando una c alculadora gráf ic a c omo un ele mento r egula r
en la c la se de ma te mátic as.
• Se ntido de la grá fica.
• La s alumnas asociar on el uso de un signo positivo o ne gativo e n la expre sión algebra ica 
de una función, c on un c ambio de sentido e n la gr áfica .
• Tr aslac ión de la gr áfica .
• Re la ciona ron c on un tr aslac ión de la gr áfica , a la a dición de alguna cantidad e n la
expr esión alge bra ic a de la función.
• "Por que marque x de spués +2 para que sa lga hacia la iz quier da y +1 pa ra que salga un
luga r despué s del plano (sic) " ( La alumna justifica la expr esión y= (x+2) 2+1 que
asoc ia corre ctame nte a la par ábola re spectiva)
• Fa milia s de funciones
• Con la posibilida d de conta r con una conside rable cole cción de gráf ic as de una misma 
fa milia de f uncione s, la s e studiantes r econocie ron un cie rto patrón de e xpresión
alge bra ic a c on la gráf ic a c or respondiente.
• Ef ec tos de los coef icientes
• El uso de dife rente s valore s en los c oe fic ie nte s que los estudia nte s anota n e n las
expr esiones, permite observar que asocian a este par ámetr o efe ctos de ca mbios de
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pe ndiente (línea re cta ), ca mbios de a be rtura (par ábola , semicirc unf er enc ia , r aíz
cuadrada y valor absoluto), c ambios de amplitud ( seno) .
• "que la s tre s grá ficas son curva s per o las c urvas llegan a dif er entes puntos como el 3 el
2 y el .5 (sic )" (e n e ste c aso la alumna hac e a lusión a tre s grá fic as de la f unción seno,
a la s que le s asocia c or rec ta mente la s expre sione s y=2sinx, y= .5sinx y y=3sinx) 
• Pr oc esos que utiliz aron par a rea lizar traduc cione s e n ambos se ntidos entre la s
re pr ese ntaciones algebra ica y gr áf ica .
• De la r epresentac ión a lgebr aica a la gr áfica .
• El tipo de a ctivida des que se pr opusier on, solicitaba que las estudia nte s hic ie ran un
bosquejo de la gr áf ica que corre spondía a una e xpresión dada. En este aspe cto las
alumnas hacían un " dibujo" de la gráf ic a, en el c ual la mayor pr ecisión se ce ntraba en
la f orma que debía tener la gráf ic a ( re cta , par ábola , semic irc unfer encia , etc .) , e l
se ntido depe ndiendo de l signo y la ubic ación en e l pla no ca rte siano. Se tr ató de
gr áf ica s hec ha s a pulso, conside ra ndo que no existió la r epresentac ión tabula r par a
ma rc ar con c er tez a algunos puntos, se gene ró má s el bosquejo de grá ficas que su
construcc ión r igurosa, sin embar go el hecho de ac eptar sólo un bosque jo de la 
gr áf ica , per mitió a l e studiante re salta r los aspe ctos ya me ncionados: forma, se ntido,
tr aslac ión y c oef ic iente s.
• De la grá fic a a la expre sión algebraica 
• En e ste proc eso los estudia ntes obser va ron un c la ro re finamiento conf orme ava nz aron
en e l tra bajo, de un tanteo a l inicio hasta una a ctitud más re flexiva , basada e n un
me jor c onocimiento de la s r elaciones entre los pa rámetros de las func iones.
• De e sta f orma este proce so de tr aducc ión f ue exitoso, en la me dida que los estudia ntes
podían asociar a la s grá fic as la s modif ica cione s que hacían en las expre sione s. De 
este modo al inic io se notó un mayor uso de la ca lcula dor a par a hac er va rias pr uebas
que les permitier a halla r la expre sión cor re cta , poste riormente el uso f ue má s
administr ado y la s pruebas se ha cían con e xpresiones más pr ecisa s.
Conclusiones
Al final de esta experiencia se pueden hacer algunas conclusiones como las siguientes:
• El a poyo de una c alculadora gráf ic a, desca rga al estudiante de la tar ea de construir la gráf ic a
de una función, per mitié ndole ce ntrar su a te nción en las re lac iones que existen entr e los
pa rá metros de las r epr esentac iones gr áf ica s y a lgebr aica de una función.
• Un a mplio ba ga je de la s relac iones entr e los pa rá metros de la gr áfica y expre sión de una
func ión, per mite a los e studiantes re aliza r tra ducciones má s dir ectas en a mbos sentidos
entr e e stas dos r epresentac iones. Con lo que al c ontar con una buena cantidad de imá genes
y expre sione s, tiene la posibilida d de hac er bosquejos de gráf ic as re salta ndo los pa rámetros
que cor re sponden a las e xpr esiones alge bra ic as y por e l c ontra rio pue de ha lla r la expre sión
alge bra ic a de una gráf ic a c on ba se a la imagen que tie ne de la gráf ic a.
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• El a mbiente de tr abajo que se cr ea cuando se utiliza una ca lcula dor a grá fica, c on una
se cuenc ia didá ctica ba sa da en un paquete de activida de s que apoyen su incursión en e l a ula,
pe rmite que los e studiantes r ealic en conje turas y ge ne ren idea s que les pe rmita n c onstr uir
sus propios conce ptos, y en donde el pa pel del pr ofe sor tie ne una importante re levancia 
como el e xpe rto que pr omueve a que los estudiante s a lc anc en su máxima ca pa cidad e ir los
pr omoviendo a dif er entes nive les de dif icultad.
Referencias
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Bruner, J, 1984. Acción pensamiento y lenguaje. Compilación de J. Linaza, Alianza Editorial, Madrid.
Cedillo, T., 1995. Introducción al Álgebra Mediante su Uso: Una alternativafactible con
calculadoras gráficas. Educación Matemática, Vol. 7, pp. 106-121. Grupo Editorial
Iberoamérica, México.
Cedillo, T., 1997. Calculadoras: Introducción al Álgebra. Grupo Editorial Iberoamérica, cuadernos
didácticos, Vol. 7. México.
Hector, J., 1992. Graphical Insight into Elementary Functions. Calculators in Mathematics Education.
NCTM Yearbook, Reston, Virginia.
Janvier, C., 1987. Representations and understanding: The notion of function as an example. Problems
of representation in mathematics learning and problem solving, pp 67-72. Hillsdale, NJ:
Lawrence Erlbaum Associates.
Janvier, C., 1987. Translation processes in mathematics education. Problems of representation in
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Leinhardth, G., 1990. Functions, Graphs and Graphing: Tasks, Learning, and Teaching. Review of
Educational Research, Vol. 60, No. 1 pp 1-64. Spring.
Ruthven, K., 1992. Personal Technology and Classroom Change. Calculators in Mathematics
Education. NCTM Yearbook, Reston, Virginia.
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HACIA UN MODELO DIDÁCTICO PARA EL USO DE
LA CALCULADORA EN EL AULA.
Tenoch E. Cedillo A.
Universidad Pedagógica Nacional,
Tenoch.Cedillo@ajusco.upn.mx
En esta conferencia se presenta un modelo didáctico para el uso de la calculadora
en la clase de matemáticas y ofrece una discusión de éste a partir de resultados de
investigación que muestran sus bondades y limitaciones. Este modelo se
fundamenta en un planteamiento teórico que da sustento a una reinterpretación de
los recursos que ofrece la calculadora en términos de la enseñanza de las
matemáticas escolares; el resultado de tal reinterpretación conduce a una
propuesta didáctica que se ha aplicado en diversos contextos escolares en el nivel
de educación básica que han proporcionado evidencia empírica en favor de la
incorporación de la calculadora en el aula como una alternativa importante para
mejorar la calidad de la enseñanza.
Introducción
En 1972 el Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas de los Estados Unidos de
Norteamérica (NCTM) emitió por primera vez una instrucción para que se introdujera el uso
de la calculadora en las clases de matemáticas del nivel de educación elemental (6-15 años
de edad). A partir de esa fecha se intensificó la realización de programas de formación de
profesores para el uso de esa nueva herramienta tecnológica y la elaboración de materiales
didácticos para su aplicación en el aula. La recomendación del NCTM se sustentó en
numerosos estudios que proporcionaron evidencia empírica sobre el potencial de la
calculadora como herramienta para la enseñanza y el aprendizaje; un resultado que influyó
decisivamente en la toma de esta decisión fue que la investigación mostró que el uso de la
calculadora no inhibe el desarrollo de habilidades aritméticas básicas, y en cambio promueve
que los estudiantes desarrollen estrategias no formales que les proporcionan bases más
sólidas para sus estudios posteriores en matemáticas (Hembree y Dessart, 1986, 1992).
En México, la Secretaría de Educación Pública incluyó en la reforma curricular de
1992 una clara recomendación para que se incorporara el uso de la calculadora en el nivel de
educación básica. Pero, como sabemos, una instrucción oficial no es suficiente para
introducir una innovación, para que tal iniciativa del estado se refleje en el aula se requiere
un intenso y cuidadoso trabajo de formación de profesores que conduzca a la creación de una
nueva cultura en el aula. El trabajo que aquí se presenta se ubica en ese contexto y está
precedido por ocho años de estudios y experimentación en el aula que a la fecha me permiten
proponer una alternativa para la enseñanza de la aritmética y el álgebra basada en el uso de la
calculadora.
La calculadora fue introducida en el mercado como una herramienta genérica para
facilitar la realización de cálculos aritméticos, con el tiempo y a partir de una demanda
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creciente se han venido creando modelos cada vez más sofisticados y en la actualidad se
cuenta con versiones que ofrecen recursos que han convertido a la calculadora en un potente
procesador matemático que admite todo tipo de manipulación numérica y algebraica, que
facilita el análisis del comportamiento de funciones a través de gráficas y tablas, y más
recientemente, ofrece herramientas que permiten realizar casi cualquier cosa que involucre la
geometría con regla y compás. Estos nuevos recursos de la calculadora han llamado la
atención de profesores e investigadores que se han propuesto explotar esas facilidades de la
nueva tecnología para aprovecharlas en la enseñanza.
Podemos distinguir dos niveles en la incorporación de la calculadora en el aula: (i)
adaptación de los recursos de la calculadora a las formas de enseñanza usuales; y (ii)
concepción de nuevas formas de enseñanza a la luz de los recursos que ofrece la calculadora.
El primero de estos niveles se caracteriza por promover que los estudiantes usen la
calculadora para verificar sus cálculos, ya sea en la ejecución de ejercicios o en la resolución
de problemas. Otra característica de este nivel de uso de la máquina es que el profesor la
empleé para apoyar sus exposiciones y las discusiones con el grupo escolar acudiendo a un
accesorio que le permite proyectar la pantalla de la calculadora en una pantalla de pared.
El segundo nivel de uso de la calculadora conduce a la creación de nuevos enfoques
didácticos que implican de manera inmediata una revisión de nuestras concepciones sobre la
enseñanza y el aprendizaje. En esta línea de trabajo se ubica esta presentación. La propuesta
didáctica que aquí se desarrollará se basa esencialmente en dos premisas:
• Conc ebir a la aritmética y el álge bra c omo sistemas de signos que c onstituyen un lengua je 
me diante el que se expre san, manipula n y c omunica n las idea s matemá ticas.
• Incorpora r la calculador a e n el aula como el ambiente de tr aba jo que exigirá al pr of esor y a l
estudia nte e mplea r los lengua jes de la aritmética y el álge bra c omo medio de comunic ación.
En el resto de este escrito se abordan sucintamente la forma en que se elabora
teóricamente sobre esas dos premisas, cómo esa teoría sustenta un modelo para diseñar el
trabajo en el aula, y, finalmente, los resultados de investigación que se han obtenido al llevar
al terreno de la práctica esos planteamientos teóricos.
Referente Teórico
El marco teórico que aquí se discutirá es el instrumento que nos permitirá reinterpretar los
recursos de la calculadora para vincularlos con el ámbito de la enseñanza. Me propondré en
principio mostrar cómo una calculadora puede ser vista como un "mundo" donde la
comunicación se da a través del lenguaje matemático.
Las calculadoras programables poseen un código que se rige por la más rigurosa
sintaxis algebraica y disponen de una notación muy parecida a la del álgebra, algunos
modelos emplean exactamente la notación algebraica. Una persona que maneje los
rudimentos de la aritmética puede ser un usuario eficiente de esas calculadoras por el hecho
de que esas máquinas disponen de un lenguaje formal que está ahí instalado listo para se
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usado, realmente lo único que se requiere el que tal persona se proponga emplear una
máquina para realizar una tarea específica. Después de la calculadora ha sido encendida todo
lo que el usuario haga con ella requiere del uso del código matemático, ahí la aritmética y el
álgebra juegan precisamente el papel de un lenguaje en que se da la comunicación entre el
usuario y la máquina, y esa "conversación" tiene como tema la resolución de una tarea cuyo
contenido es estrictamente matemático. Es decir, la máquina es un elemento de mediación
entre el sujeto y el contenido matemático que además le exige expresar su línea de
razonamiento en términos rigurosamente matemáticos.
Más que ningún otro medio, desde esta perspectiva la calculadora justifica plenamente
el que concibamos a la aritmética y el álgebra como lenguajes matemáticos. Entonces la
siguiente