Ejercicios de limites

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UNIVERSIDAD DE CARABOBO 
FACULTAD DE INGENIERÍA 
 Prof. Amabiles Núñez 
 
Ejercicios resueltos de Funciones Vectoriales 
I 
Demuestre que no existen los siguientes límites: 
 
 
 
Los dos límites parciales iterados dan 0. 
Hagamos 2xy = x-2y 
Calculemos el límite por esta trayectoria que pasa por el origen: 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 ( ( )) 
 
 (
 
 
)
 (
 
 
)
 
 
 
( ) ( 
 
 
)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 El límite. Dado que el límite iterado es diferente al de la trayectoria. 
 ///////////////////////////////////////////// 
 
 
Un límite parcial iterado da 0. 
Hagamos √ 
 
 
 
 
 √ 
 
√ 
 
 
Calculemos el límite por esta trayectoria que pasa por el punto (2,0): 
 ( ) 
√ 
 
√ 
 
 
 ( ( )) 
 
 (
√ 
 √
 )
√ (
 
 
)
 
 
 √ √ 
 √ 
 
 
 
 
 
 √ 
√ 
 
 
 
 El límite. Dado que el límite iterado es diferente al de la trayectoria. 
 ///////////////////////////////////////////// 
 
Calculemos el límite por la trayectoria: haz de rectas y = mx que pasan por el origen. 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 ( )
 ( )
 
 
 
 
 El límite. Dado que el límite no es único, depende del parámetro m. 
 ///////////////////////////////////////////// 
 
 
Límites parciales iterados: 
 
 
 
 = 2/5 por este lado da 2/5 
 
 
 
 = 1 por este otro lado da 1. El límite. 
 ///////////////////////////////////////////// 
 
 
Un límite parcial iterado da 0. 
Calculemos el límite por la trayectoria y = -x que pasa por el punto (2,-2): 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
( )( )
( )
 
 
( ) 
 
 El límite. Dado que un límite iterado es diferente al de una trayectoria. 
 
 
 
Si √ obtenga una cota superior apropiada para: 
 
 
a) 3(x-1)|y+1| 
√ |x|<9 y |y|<9 
 
 -9 < x < 9 |y+1|  |y| + 1 < 9 + 1 
 -10 < (x-1) < 8 |y+1|< 10 
 
 3(x-1)|y+1| < 3(8)(10) 3(x-1)|y+1| < 240 
 
 ///////////////////////////////////////////// 
 
 
b) 
| |
 
 
 
 
| |
 
 
 | |
 
 
| |
 
 = *
 
 
+ *
 
 
+ < 3|x| + 1 
 
 
| |
 
 
 
 ///////////////////////////////////////////// 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 | | 
 
 
 
 
 = 
 
 
 
 
 | |
 
 
 ///////////////////////////////////////////// 
 
 
 
 
 
 Demuestre que si ‖( )‖ 
 
 entonces | 
 |
( )
 
 
 
 
√ 
 
 
 
 
 
 y ‖ ‖ 
 
 
 
 
|
 
( )
 
 
| |
 
 
( )
 
 
| |
 
( )
 
 
| |
 
√( ) (( ))
| |
 
√( ) (( ))
| 
 
 |
 
√ 
| |
 
 
| |
 
√ 
| |
 
 
| 
 
 
 
 
 
 
 
|
 
( )
 
 
| 
 
 ///////////////////////////////////////////// 
 
 
 Demuestre que si ‖( )‖ entonces | 
√ 
| 
 
√ y ‖ ‖ 
|
 
√ 
| 
 
√ 
 *
 
√ 
+ ( ) 
 
|
 
√ 
| 
 
 ///////////////////////////////////////////// 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Demostrar que los puntos  t2,t,t2  caen dentro de   






3
1
,2,1,1S para 
todo 






10
1
,1St . 
 
Si ‖( )‖ 
 
 
 entonces ‖( ) ( )‖ 
 
 
 
 
 
 
 
 √( ) ( ) ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 *
 
 
+
 
 ( ) *
 
 
+
 
 (Dado que ambos miembros son positivos) 
√( ) ( ) ( ) √( ) ( ) 
 
 ( ) ( ) 
 √( ) √( ) 
 
 √( ) 
 
 (
 
 
)√( ) 
 
√( ) ( ) ( ) (
 
 
)√( ) 
 ( 
 
)√*
 
 
+
 
 
 
 
√ 
 
 
√( ) ( ) ( ) 
√ 
 
 
 
( √ )
 
 
 
 
 
 
 
 ///////////////////////////////////////////// 
 
 
 
 
Hallar un 0 tal que los puntos  2,t,t2  caigan dentro de 
  






100
1
,2,1,1S para todo   ,1St . 
 
Si ‖( )‖ entonces ‖( ) ( )‖ 
 
 
 
 
 √( ) ( ) 
 
√( ) ( ) √( ) ( ) 
 
 ( ) √( ) [( ) 
 
 ] 
 √( ) [( ) 
 
 ] √( ) [(( ) ) 
 
 ] 
 √( ) [( ) ( ) 
 
 ] √( ) [( ) ( ) 
 ] 
 √ ( ) ( ) ( ) √ 
 √ √ 
( )