U2_Ejercicios Adicionales_ Matrices y Determinantes_Respuestas con desarrollo_2022_2C

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Ejercicios 
Adicionales: 
Matrices y Determinantes 
(Respuestas) 
 
 
 
 
 
 Unidad 2 
 
 
 
 
 Material de cátedra 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Álgebra FCE (71) 
 Cátedra: Gache 
 
 
Ejercicios Adicionales desarrollados de Matrices y Determinantes MATERIAL DE CÁTEDRA 
 
Alicia Fraquelli 
 
Ejercicio 1 
Dadas 
2
3 3 2 2
/ /
0
0
x x
ij
j si i j
x si i j
A a x si i j B B
si i j
si i j
 
=
  = =   = 
 
y 
 Hallar todos los valores de 3 Tx / A B " "  =  
 
Encontramos la matriz A y calculamos su determinante: 
 
3
4 9
0 9
0 0
x
A x
A x
x
 
 
=   = 
 
Como es una matriz triangular superior su determinante es
 
la multiplicación de los elementos de su diagonal 
 
 
Calculamos el determinante de la matriz B 
 
2 2
2 2 2 2
0 0
 
0 0
3 3 3 9 3 9
T
T T T
n A AkA k A
x x
B B x B x
x x
B B B x B x
==
 
=  = = = 
 
= = = =
luego
entonces luego 
 
Reemplazando en  " " se obtiene 
3 2
3 2
2 2
3 
9
9 0
( 9) 0 0 9 0 0 9
T
A B
x x
x x
x x x x x x
=
=
− =
− =  =  − =  =  =
 
 
Ejercicio 2 
Hallar todos los valores de “x” para los cuales 1(2 )TC A B −= si 
21 0 2 1 8
7
1 2 1 , 2
1
2 22 1 0
7
x
x
C x A y B
xx
 −        = − = =         + −      
 
1
 
(2 ) 
.
T
T
A A
C A B
A B A B
−
=
=
=
Aplicamos la propiedad en el primer miembro y la 
propiedad . en el segundo miembro entonces escribimos 
Ejercicios Adicionales desarrollados de Matrices y Determinantes MATERIAL DE CÁTEDRA 
 
Alicia Fraquelli 
 
1
1 2
1
1 1
2 . 2 . . 4. . " "
n B
B
kA k A
C A B C A C A
B B
−
−
=  =
=  = = 
Por las propiedades
luego 
2 2
1 1
1 12 2
2 2
x x
A A x A x
x x
 
 =  = = −  = −
  
 
 
2 2
8 8
8 4 4 47 7
1 1 7 7 7 7
2 2
7 7
B B B
 
 
=  = = − =  = 
 
 
 
 
 
1 0 2
1 2 1
2 1 0
1 0 2
2 1 1 2
1 2 1 ( 1) 2 ( 1).[0 ( 1)] 2.[( 1).( 1) (2 ).2]
1 0 2 1
2 1 0
( 1) 2.[ 1 4 2 ] 1 6 6 5 7
5 7
x
C x
x
x
x
C x x x x x
x
x
x x x x x x
C x
− 
 
= − 
 + − 
−
−
= − = − + = − − − + − − − + =
− + −
+ −
= − + − + − − = − − − = − −
 = − −
 
 
Reemplazamos en " " o sea en 
1
4. .C A
B
= luego 
 
( )
( )
2
2
2 2
1
5x 7 4. x 1 . 
4
7
5x 7 7. x 1 
0 7x 7 5 7 0 7x 5 0 .(7x 5) 0 5 / 7x x x x x
− − = −
− − = −
= − + +  = +  = +  =  = −
 
 
Ejercicio 3 
Indicar V o F justificando la respuesta. 
 
La multiplicación de matrices es ley interna en el conjunto de las matrices ortogonales de un mismo 
orden. 
 
Debemos demostrar que: Si A es ortogonal y B es ortogonal entonces A.B es ortogonal 
 
Ejercicios Adicionales desarrollados de Matrices y Determinantes MATERIAL DE CÁTEDRA 
 
Alicia Fraquelli 
 
En símbolos: 
− − −=  =  =T 1 T 1 T 1A A B B ( A.B ) ( A.B ) 
 
porque
por hipótesis ya que son otogonales o sea = = 
porque
−
− − − − −
− −
=
= =
= 
= =
T 1
T 1 1 1 1 1
T T T T 1 T 1
T T T T T
( A.B ) ( A.B )
( A.B ) B .A ( A.B ) B .A
( A.B ) B .A A y B A A B B
( A.B ) ( A.B ) B .A ( A.B )
 
 
Al llegar a la identidad =T T( A.B ) ( A.B ) hemos probado que la tesis es verdadera 
 
Ejercicio 4 
 
Demostrar que si una matriz es involutiva y ortogonal, entonces es simétrica. 
 
Si A es involutiva y ortogonal entonces es simétrica 
 
En símbolos: 
−=  =  =2 T 1 TA I A A A A 
 
T
T T 1
2 1
 A A A 
A.A A.A A A
 A A.A 
−
−
=
= =
=
Multiplico miembro a miembro por izquierda por
Opero en el primer miembro y reemplazo en el segundo por hipótesis ya que
Reemplazo en el primer miemb 2
1
 A I
 A.A I
 I = I
−
=
=
ro por hipótesis ya que
y en el segundo por definición de matriz inversa 
Al llegar a la identidad I=I hemos probado que la tesis es verdadera 
 
Ejercicio 5 
 
Demostrar que si una matriz es involutiva y simétrica es ortogonal 
Si A es involutiva y simétrica, entonces es ortogonal 
En símbolos: 
−=  =  =2 T T 1A I A A A A 
Reemplazo en el primer miembro usando la hipótesis ya que
Multiplico miembro a miembro por la izquierda por
Opero en el primer miembro y ree
−
−
−
=
= =
=
=
T 1
1 T
1
2
A A
A A A A 
A.A A.A A
A I mplazo en segundo miembro por definición de matriz inversa
 
Al llegar a =2A I expresión verdadera por hipótesis hemos probado que la tesis es verdadera 
 
 
 
 
Ejercicio 6 
Ejercicios Adicionales desarrollados de Matrices y Determinantes MATERIAL DE CÁTEDRA 
 
Alicia Fraquelli 
 
Hallar los valores de k  para que la matriz A + I sea regular, siendo 
2
3 4
3 4
k k k
A
k k
 + − +
=  
− − 
 
Si A I+ es regular entonces es inversible o sea su determinante debe ser distinto de cero 
 
2 21 03 4 2 4
0 13 4 3 3
k k k k k k
A I
k k k k
   + − + + − + 
+ = + =    
− − − −    
 
2
2 22 4
( 2)( 3) ( 3)( 4) ( 3)[ 2 ( 4)]
3 3
 ( 3) 
 (
k k k
A I k k k k k k k k k
k k
k
k
+ − +
+ = = + − − − − + = − + − − +
− − 
−
=
 extraemos factor común
2 2
3)[ 2 4] ( 3)[ 6] 0 3 6 6k k k k k k k k− + − − − = − −        −
 
 
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Alicia Fraquelli 
 
Ejercicio 7 
Hallar los valores de m que verifican que 
−
−
=
− 2
2 1 m
5 m 1
0 m 2m
1 m
1 1 m
 
2 2 2
2
2
 
2 1 m
m 2m 1 m
0 m 2m 2 1 2( m 2m ) 1( 2m m ) m 6m 
1 m m 2m
1 1 m
2 1 m
0 m 2m m 6m ( 1 )
1 1 m
5 m 1
 (5 m)
1 m
−
−
= + = − + − − = −
−
 = −
−
= −
−
Desarrollamos el determinante de 3x3 por la primera columna 
 
 Calculamos el determinante de 2x2 
 2 2 3 2 3
2 2 3
3 2
2
5 m 1
.m ( 1 ).1 5m m + 1 5m m + 1 ( 2 )
1 m
m 6m 5m m +1
 m 4m 6m 1 0 
−
− − = −  = −
−
− = −
− − − =
 
 Igualamos ambos resultados (1) y (2) 
 Obtenemos la ecuación
 Aplico el método de Gauss para encont 
 ( 1 )
1, 
1
1
−
= −
−
rar la primera raíz. ¿Cómo la obtenemos? 
 Dividimos el término independiente y el coeficiente del término de mayor grado :
 sus divisores enteros son 1 y 
 Utilizamos el terorema del r 3 2
3 2
3 2
m 4m 6m 1 0 
 m 1 1 4.1 6.1 1 10 0 1 
 m 1 ( 1 ) 4.( 1 ) 6.( 1 ) 1 
− − − =
= − − − = −  
= − − − − − − − =
esto para comprobamos cuál es raiz de 
Si reemplazando en la ecuación : no es raiz
 Si reemplazando en la ecuación 
1
3 2 2
2
0 0 1 m 1
1 4 6 1
 1 1 5 1 
1 5 1 0
m 4m 6m 1 ( m 1 )( m 5m 1 ) 0 
 m 5m 1
  − = −
− − −
− −
− −
− − − = + − − =
− −
 es raiz o sea 
Aplicamos Ruffini luego podemos escribir que :
 
Buscamos las raíces de la ecuación cuadrática 
2
2 ,3
2 3
b b 4ac
0 m 
2a
5+ 29 5 29
 m m
2 2
 
−  −
= =
−
 = =
utilizando la resolvente 
 y
 La solución del problemason los tres valores encontrados. 
 
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Alicia Fraquelli 
 
Ejercicio 8 
Si 
−   
=  =   
−   
2 5 4 2
A B
1 2 1 0
 Hallar, justificando en cada caso 
 
 a) +2 A B 
 
 
   
= =   
− −   
−     
+ = + =  + = =  + =     
− − −     
2 5 4 10
2A 2.
1 2 2 4
4 10 4 2 0 12 0 12
2A B 2A B 12 2A B 12 
2 4 1 0 1 4 1 4
 
 
 
 b) − − −= =  = 1 2 1 1
1 1
4 A .B 4 A . B 16 A . 4 A .B 16 A . " "
B B
 
 
 
 
=  = =  = 
− − 
2 5 2 5
A A 9 A 9
1 2 1 2
 
− − 
=  = = −  = − 
 
4 2 4 2
B B 2 B 2
1 0 1 0
 
 
 Reemplazando en " " − −= = = −  = −
−
1 11 14 A .B 16 A . 16.9. 72 4 A .B 72
B 2
 
 
 
 c) ( )
T
A . B 
 
( ) ( ) ( ). . . . . . 9.( 2) 18 . 18 
T T T
A B A B A B A B A B A B A B= =  =  = − = −  = − 
 
 
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Alicia Fraquelli 
 
Ejercicio 9 
 Sea 5
x y z
p q r
s t u
= entonces 
3
( 2) . 3
3
p s x
q t y
r u z
 − 
  
− −  
  −  
det es: 
 
a) 120 b) −120 c) 30 
d) ninguna de las 
anteriores 
 
 
3
3 3
det ( 2). 3 ( 2) 3 ( 8).( 3)
3 3
p s x p s x p s x
q t y q t y q t y
r u z r u z r u z
 − − 
  
− − = − − = − −  
  − −  
 
 
El determinante que nos quedó no es el que tenemos como dato que da 5, pero si miramos con atención 
está traspuesto y hay cambio de columnas y eso nos modifica el signo del mismo. 
 
Primero hago la trasposición del determinante que no altera su valor y luego nos fijamos respecto del 
original cuales son los cambios. 
 
 
determinante traspuesto
( 8) .( 3) ( 8) .( 3). ( 8).( 3).( 1).( 1).
 ( 8) ( 3) ( 1) ( 1) 
p s x p q r x y z
q t y s t u p q r
r u z x y z s t u
− − = − − − − − − =
= − − − −
 fila 2 del dato
 fila 3 del dato
 fila 1 del dato
" "
(5) 120

=
 
 
" " Vemos que hay que hacer dos permutaciones de filas para llegar al dato o sea dos veces multiplico 
por (−1) 
 
La respuesta correcta es la a) 
 
 
Ejercicio 10 
Sea 
− 
 
− − =
 − − −
 
− − − 
0 1 0 0
0 1 u 0 1
A
1 1 u 1 2
2 1 3 u 2
 Todos los valores de “u” para que I−A sea singular son: 
 
a)   − −u { 2,3 } b) u { 1,3 } c)  −u { 2,3 } d) =u 1 
 
 
Ejercicios Adicionales desarrollados de Matrices y Determinantes MATERIAL DE CÁTEDRA 
 
Alicia Fraquelli 
 
 
I A 
1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0
0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1
0 0 1 0 1 1 1 2 1 1 0 2
0 0 0 1 2 1 3 2 2 1 3 3
u u
I A
u u
u u
−
−     
     
− −     − = − =
     − − − − +
     
− − − − − +     
es singular o sea no inversible si su determinante es igual a cero
 
Calculo el determinante de 4x4 por la tercera columna 
" "
(1)
1 1 0 0
1 1 0
0 0 1
( 3 ). 0 1 ( 3 )( 2) 0 3 2 
1 1 0 2
1 1 2
2 1 3 3
 c)
(1)
1 1 0
u
u u u u u u
u
u
u

= − − + = − − + + =  =  = −
− +
− +
− − +
La respuesta correcta es la
Calculo auxiliar
Desarrollamos el determinante de 3x3 por la primera fila
" "
1 0 1
0 1 1 1 1.[2 1( 1 )] 1.( 1) 1.[2 1 )] 1 2
1 2 1 2
1 1 2
u
u u u u u u
u
u
= − = − − + − − = + − + = +
− +
− +
 
Ejercicio 11 
 
 Si la matriz de coeficientes técnicos para dos sectores productivos S1 y S2 es 
1 2 1 5
1 4 2 5
A
 
=  
 
, para una 
5
15
H
 
=  
 
, la matriz de X. es: 
 
a) 
40
58
 
 
 
 b) 
33
58
 
 
 
 c) 
24
35
 
 
 
 
d) Ninguna de las 
anteriores 
 
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Alicia Fraquelli 
 
( )
1
1
) X I A H
1 1 1 1 1 1
1 02 5 2 5 2 5
 
1 2 0 1 1 2 1 3
4 5 4 5 4 5
1
 ( ) ( )
1 1
1 3 1 1 12 5
 
1 3 2 5 4 5 4
4 5
1 1 3
2 4 5
 ( ) ( )
1 3
5 5
T
a
A I A
I A Adj I A
I A
I A
I A Adj I A
−
= −
     
−      
     = − = − = 
       −     
     
−− = −
−
−
− = =  −  =
−
 
− 
− =  − = 
 − 
 
( )
1
1 1
1
1
( ) ( )
1
5
1 1
4 2
3 1
12 4
1 5 5
( ) ( ) 5 5
1 1 1
1 2
4 4 2
12 4
5 24
 X I A H X 5 5
15 35
1 2
I A Adj I A
I A
I A I A
−
− −
−





 − = −
− 
 
 
  
 
 
  
  − =   − = 
    
   
 
 
    = − =  =         
 
La respuesta co c) rrecta es 
 
 
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Alicia Fraquelli 
 
Ejercicio 12 
Dado el siguiente cuadro: 
 
 P / C Sector 1 Sector 2 
Demanda 
Final 
Producto 
Total 
Sector 1 6 2 10 
Sector 2 5 11 24 
 
La matriz de coeficientes técnicos es: 
 
a) 
1 6 11
5 2 8 11
 
 
 
 b) 
2 6
5 8
 
 
 
 c) 
1 5 1 4
1 2 1 3
 
 
 
 d) 
1 5 3 5
5 24 1 3
 
 
 
 
 
 
 P / C Sector 1 Sector 2 Demanda Final 
Producto 
Total 
Sector 1 2 6 2 10 
Sector 2 5 8 11 24 
Valor Agregado 3 10 13 -- 
Producto Total 10 24 -- 34 
 
La matriz de los coeficientes tecnológicos es 
2 6 1 1 1 1
10 24 5 4 5 4
 )
5 8 1 1 1 1
10 24 2 3 2 3
A A c
     
     
     = =  =
     
     
     
Respuesta correcta 
 
Ejercicio 13 
Indicar verdadero o falso (justificando las respuestas) 
 
a) Toda matriz cuadrada singular tiene rango cero. 
 
Una matriz singular es una matriz no inversible, por lo tanto su determinante es cero, lo que no 
implica que tenga rango cero. 
 Que el determinante sea cero lo único que asegura es que el rango es menor que el orden de la 
matriz. 
Solo la matriz nula tiene rango cero. 
 
b) A  n x n es no singular  A es regular 
 
 Cuando se define matriz inversa decimos: 
Ejercicios Adicionales desarrollados de Matrices y Determinantes MATERIAL DE CÁTEDRA 
 
Alicia Fraquelli 
 
 
A de orden n es inversible o admite inversa o es regular o es no singular si y solo si 
1 1 1
A de orden n / A.A A .A I
− − − = = 
 
 
Ejercicio 14 
 
Sean 3 3
1 1 4 0
, , 0 2 1 1
0 0 3 1
ij
si i j
A B A B b si i j
si i j

  
 
 = = − = 
 −   
y definida por 
 
Calcular 12.( )A B −− 
 
1 1 4 1 0 0 2 1 4
0 2 1 1 1 0 1 3 1
0 0 3 1 1 1 1 1 2
2 1 4
1 3 1 2( 6 1) 1(2 1) 4(1 3) 10
1 1 2
A B
A B
−     
     
− = − − = −     
     − − − − −     
− = − = − + − + + + = − −
− − −
Entonces calculamos el determinante de la diferencia de matrices por la primera fila.
1
1 3 1 3 1
1
3 16 3 3
1 8 8
2.( ) 2 . ( ) 2 . 2.()
3 3n
A
A
kA k A
A B
A B A B A B
A B
−
− − −
= =
+ =  − =
− = − = =  − =
−
 
 
 
 
Ejercicio 15 
 
Sean A y B matrices cuadradas del mismo orden tales que =A A.B y =B B.A 
Probar que A y B son idempotentes. 
 
En símbolos:     =  =  =  =nxn nxn 2 2A A A A.B B B.A A A B B 
 
Ejercicios Adicionales desarrollados de Matrices y Determinantes MATERIAL DE CÁTEDRA 
 
Alicia Fraquelli 
 
2
2 . ( . )
( . ).( . )
.( . ).
. . . 
( . ).
. . 
A A
A A BA A B
A A B A B
A A B A B
A A B B B A A
A A B B
A A B A B A
=
==
=
=
= =
=
= =
Reemplazo por por hipótesis
Aplico propiedad asociativa
Reemplazo por por hipótesis
Aplico propiedad asociativa
Reemplazo por
2
 
 . A B A
A A
A = A A A
=
=
=
por hipótesis
Reemplazo por por hipótesis y llego a una identidad 
luego es verdadero 
 
 
 
Ejercicios Adicionales desarrollados de Matrices y Determinantes MATERIAL DE CÁTEDRA 
 
Alicia Fraquelli 
 
De la misma forma procedemos con = 2 B B 
 
2
2 . ( . )
( . ).( . )
( . ). . 
.( . )
. . 
B B
B B AB B A
B B A B A
B B A B B A B
B B A B
B B A A B A
=
==
=
= =
=
= =
Reemplazo por por hipótesis
Reemplazo el segundo paréntesisis por por hipótesis
Aplico propiedad asociativa
Reemplazo por por hipóte
2
 
 . B A B
B B
B = B B B
=
=
=
sis
Reemplazo por por hipótesis y llego a una identidad 
luego es verdadero 
 
Ejercicio 16 
Si A y B son matrices ortogonales del mismo orden, calcular ( )
T
A.B .A.B 
 
T
T
A Α.Α =I
B B.B =I
 
 
es ortogonal 
es ortogonal 
 
 
( )
( )
1 2 3 4 5
. . . . . . .( . ). . . .
 . .
 Propiedad asociativa
 .
 . .
 
1 
2
3
4
5 .
T T T T T T T
T T T
T
T
A B A B B A A B B A A B B I B B B I
A B B A
A A I
I A A I A
B B I
    
= = = = =
=
=
= =
=
 
 
 
 
Ejercicios Adicionales desarrollados de Matrices y Determinantes MATERIAL DE CÁTEDRA 
 
Alicia Fraquelli 
 
Ejercicio 17 
Sean 33B,A  tales que ( )det 2 det 5TA B= − = y 
Calcular ( )5 1det 2. . .TA B A−− 
( )
1
55 1 3 5 1 3 5
1 2 3 4
1 3 51 1
2. . . ( 2) . . ( 2) . . . ( 2) . . . ( 8).( 2) .5.
( 2)
 640
.
1
 
2 5
1
2
3
4
T
T T T
n
T
A B A A B A A B A A B
A
kA k A
A B A B
A A A
A
A A

−
  
− − −− = − = − = − = − − =
−
= −
=
=
=  =
= = − =
.
 y B
 
 
 
Ejercicios Adicionales desarrollados de Matrices y Determinantes MATERIAL DE CÁTEDRA 
 
Alicia Fraquelli 
 
Ejercicio 18 
 
Dada la matriz de insumo - producto de una economía hipotética de dos industrias A y B en millones de 
pesos, construir el cuadro completo si la demanda final se duplica para la industria A y se duplica para 
la industria B. 
 
 
 
( )
1
1
) X I A H
1 1 1 1 2 14 4
1 03 6 3 6 3 612 24
 
6 6 0 11 1 1 1 1 3
12 24 2 4 2 4 2 4
1-
 ( ) ( )
2 1
2 3 1 1 53 6
 
3 4 2 6 121 3
2 4
2 1
3 2
 ( )
T
a
A I A
I A Adj I A
I A
I A
I A
−
= −
      
−        
= = − = − =        
         −       
       
− = −
−
−
− = =  −  =
−
−
− =
−
( )
1
1 1
1
1
( ) ( ) 
3 1
4 6
( )
1 3 1 2
6 4 2 3
3 1 9 2
1 4 6 5 5
( ) ( )
5 1 2 6 8
12 2 3 5 5
9 2
85 5
 X I A H 
6 8 24
5 5
I A Adj I A
I A
Adj I A
I A I A
−
− −
−





 − = −
−   
   
    − = 
      
   
   
   
    − =   − =
   
   
   
 
   
 = − =   
   
 
 
24
 X 
48
8 8 8 24
b) 12 12 24 48
4 28 32
24 48 72
A B DF PT
A
B
VA
PT
 
=  
 
−
−
Tabla para la nueva demanda 
 
 
 A B DF PT 
A 4 4 4 12 
B 6 6 12 24 
VA 2 14 
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Alicia Fraquelli 
 
Ejercicio 19 
Un chapista y un mecánico tienen sus talleres en la misma cuadra. Ambos reparan vehículos y usan los 
servicios de su vecino para completar sus propios trabajos. Cada $1 de trabajo que realiza el chapista 
tiene un costo de $0,25 de su propio servicio y $0,25 del taller mecánico. Por cada $1 que factura el 
mecánico hay $0,10 de costo de chapista y $0,20 de material del taller del propio mecánico. En promedio 
el chapista tiene encargos de trabajos por valor de $690 y el mecánico por valor de $460 ¿Cuánto debe 
producir cada uno por semana? 
 
( )
1
1
690
 H = 
460
1 1 1 1 3 1
0.25 0.10 1 04 10 4 10 4 10
 
0.25 0.20 1 1 0 1 1 1 1 4
4 5 4 5 4 5
1
 ( ) ( )
3 1
4
 
X I A H
A I A
I A Adj I A
I A
I A
−
−
 
= − 
 
     
−        
     = =  − = − =   
         −     
     
− = −
−
−
− =
Dada debemos hallar
Calculamos
1
1 1
3 1 2310
 
1 4 5 40 40
14 5
( ) ( )
-3 1 4 1
4 4 5 10
 ( ) ( )
1 4 1 3
10 5 4 4
32 44 1
1 23 235 10
( ) ( )
23 10 301 3
40 23 234 4
 
T
I A Adj I A
I A
I A Adj I A
I A I A
X
−
− −


= − =

−

 − = −
   −   
− =  − =   
   −   
   
  
  
  − =   − = 
  
   
   
= ( )
1
32 4
690 104023 23
 
10 30 460 900
23 23
I A H X
−
 
     
 − =  =   
     
 
 