2010-dic,6to FM mat I, IAVA

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16 de diciembre de 2010 
EXAMÉN MATEMÁTICA I 3FM-IAVA 
1) A) Estudio analítico y representación gráfica de: 
1
: ( ) tanf f x arc x
x
 
 B) Sea ( )
x x
f x tg Prueba que f admite una única raíz en el intervalo [-1,1] 
 2) A) Sea 
2
3( ) 1g x x Prueba que g(1)=g(-1) pero g’(x) no vale cero en todo el intervalo *-1,1]. Justifica tu respuesta 
 B) Enuncia y demuestra el Teorema de Rolle 
 
 
3) A) Calcular los siguientes límites: i) 
0
1 1
lim
( )x sen x x
 ii) 
2
lim cos ln ( )
x
x tg x 
 B) Definir función continua y derivable en a. Hallar a y b para que f sea derivable en R: 
2
2
2
( ) si 0
( )
 si 0
x
sen ax b x
f x x x
x
e
 
 
 4)A) Sea 
i) Hallar el valor de a 
ii) Sabiendo que a=-1, calcular 
iii) Hallar f 
 B) Demostrar que si f presenta en a un extremo relativo y existe f’(a) entonces f’(a)=0 ¿Es cierto el reciproco? 
 
5) A) Prueba que 
1
( ) 2arctan (2 1)
x
f x arcsen x
x
 es constante 0,1x 
 B) Sea : 1,1g  y / 0k k tales que ( ) 1,1g x k x x Demostrar que g es continua en x=0 si g(0)=0