2016-12 Matemática 3CB3 y 4 Dic

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Inst i tuto Alfredo Vásquez Acevedo
Examen de Matemática
13 de d ic iembre de 2016
para 30 opc ión C ienc ias B io lóg icas
categoría
Sx+4
_ I
1 ̂ . 2
L . L
L -
-
L
J I -T-
1) a) Def in i r func ión cont inua en a. Sea / : f (ñ - {
Ix
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2 s ix
Estudiar la cont inu idad de / en su domin io.
b) Enunciar e l teorema de Bolzano. Invest igar s i es apl icable e l teorema de Bolzano a la
func ión / (de la par te a) en los s igu ientes in terva los: l -1 ,21- ,1- i ,1 ly l -4 , -21
Justif icar cada respuesta.
c) En e l caso que se pueda apl icar e l teorema, invest igar la cant idad de raíces en d icho
intervalo y acotarlas entre dos enteros consecutivos.
2 l a) Def in i r der ivada de una func ión en a. Calcu lar s i ex is te, ap l icando la def in ic ión, la
der ivada de f : f ( * ) - x2 +x f 1 en 
. l
b) Demostrar que s i una func ión es der ivable en a, entonces f es cont inua en a.
¿Es cierto el recíproco? Justif icar la respuesta demostrando la proposición en caso
que sea verdadera o dando un contra ejemplo en caso que sea falsa.
3) Seda la func ión f : f (ñ : #
a) Realizar el estudio analÍt ico y la representación grafica la función /. (No se pide /")
b) Hal lar la ecuación de la tangente a l gráf ico de / en e l punto de absc isa O.
4) sea f , f (* ) - L lx - 2 l - x * 3
a) Realizar el estudio analít ico y la representación grafica la función /. (No se pide /")
b) Hal lar la ecuación de la tangente a l gráf ico de / en e l punto de absc isa 1.
Para a lumnos L ibres:
5) a) Enunciar y demostrar e l teorema de Lagrange.
b) Dada la func ión: f , f (x) : x2 + 2x - 3 , invest igar s i es apl icable e l teorema de
Lagrange a f en [1 ,3] , en caso af i rmat ivo hal lare l número real cque d ice la tes is .
c) Hal lar e l área de la reg ión del p lano comprendida entre e l gráf ico de / , e l e je Ox, y
la recta ver t ica l : x= 2.
l-
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