2017-04 Matemática I 3CB

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EXAMEN MATEMÁTICA 1 3ro CB 5 de abril de2A17
l" Dada la función f tal que f {x) = ln(x + l) + - 
¡-
x+1
a) Decidir si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas, justif,cando:
i) La función f presenta algún extremo relativo.
ii) 0 es la única raíz de f.
iii) La recla de ecuación 2x-y = 0es tangente al gráfico de f en el punto de abscisa 0.
b) Calcular los siguientes tímites: ,) -1T_9 ii) _t¡m (f (x)-x) ,", _lT-9
x -7 -x+4
2. a)Sea 9(x)= i : , ver i f icarque g ' (x)=] -
b )Deuna func ión f sesabeque : D ( f ) :R - {0 } , "1T* f ( * )= * , *g_ f ( * )= - * , 
_9 . 
f ( x )=n* ,
sg(f'(x))=*(f) , ss(t"(x))=*(#) ,rtr, =1 y t(4:2
i) Estudiar el crecimiento de f.
ii) Se sabe además que la raíz de f es-2 . Realizar un gráfico posible de la función f
iii) Deducir el esquema de signo de la función f graficada.
4
c) calcutar: i) lim -L ii) tim =*'-t ,,,, tim 
x2 -x +-e*
x - -1 2xz +5x+3 
" ' x * J * 
2x2+5xaJ " ' ' * - i * L ( x ) - x2+1
3. Sea f ta lque t ( * )= l t - -o ) e7 , s i x *0
l0 ,s i x=0
a) Demostrar que la recta de ecr.¡ación y = x-7 es asíntota al gráfico de f para x -+ tco.
b) i) Enunciar el teorema de Rolle.
ii) Justificer que exiete c e (0 , 6)tel que f '{c) = 0, y enccntrartc.
c) Completar un estudio analítico de f (sin f " ) y representar gráficamente.
't_
¿ x+1 a l , s i x < -1
4 . S e a f t a l q u e f { x ) = { k , s i x = - 1
a) Hallar el valor de k para que la función f sea continua en x : -1 .
b) i) Obtener el dominio de f.
ii) Demostrar que la función f es estrictamente decreciente en (* , -1) .
íii) Estudiar asíntota al gráf co de f para X *+ ---m.