Álgebra Lineal - del Valle 1edicion

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PARA ESTUDIANTES DE
INGENIERÍA Y CIENCIAS
PARA ESTUDIANTES DE
INGENIERÍA Y CIENCIAS
Juan Carlos Del Valle Sotelo
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores 
de Monterrey, Campus Estado de México
˜
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ÁLGEBRA LINEAL PARA ESTUDIANTES DE INGENIERÍA Y CIENCIAS
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ISBN: 978-970-10-6885-4
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Impreso en México Printed in Mexico
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A la memoria de Esther, mi amada madre;
a mi hermano Manuel;
a mis hijas Miriam y Samantha
En un universo quiza´ infinito
inconcebiblemente antiguo
es una dicha saber que tengo mi origen
en una amorosa madre y en un hermano
que me cuido´ como a un hijo
y por eso es mi padre
y percibir una infinite´sima parte de mı´
en la mirada de dos pequen˜os seres
que en momentos difı´ciles
han sido tan grandes.
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Contenido
Agradecimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XIII
Prólogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XV
PARTE I
MATRICES, SISTEMAS Y DETERMINANTES
CAPÍTULO 1 Matrices y sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1 1.1 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1 1.1 1.1.1 Definiciones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1 1.1 1.1.2 Operaciones con matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1 1.1 1.1.3 Matrices especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1 1.1 1.1.4 Propiedades de las operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1 1.1 1.1.5 Matrices con nu´meros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1 1.2 Sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1 1.1 1.2.1 Definiciones, soluciones y forma matricial de sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1 1.1 1.2.2 Matrices escalonadas y sistemas escalonados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1 1.1 1.2.3 Operaciones de renglo´n para matrices, equivalencia por filas y soluciones
1 1.1 1.2.3 de sistemas escalonados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1 1.1 1.2.4 Me´todo de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1 1.1 1.2.5 Me´todo de Gauss-Jordan y sistemas con solucio´n u´nica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1 1.1 1.2.6 Sistemas homoge´neos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1 1.1 1.2.7 Estructura de las soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1 1.1 1.2.8 Sistemas lineales con nu´meros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1 1.3 Ejercicios resueltos y ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1 1.1 1.3.1 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1 1.1 1.3.2 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
CAPÍTULO 2 Matrices invertibles y determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
1 2.1 Matrices invertibles y sus inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
1 1.1 2.1.1 Definicio´n y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
1 1.1 2.1.2 Matrices invertibles y sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
1 1.1 2.1.3 Me´todo de Gauss-Jordan para hallar la inversa de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
1 1.1 2.1.4 Matrices elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
1 1.1 2.1.5 Inversas de matrices con componentes complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
1 2.2 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
1 1.1 2.2.1 Desarrollo por cofactores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
1 1.1 2.2.2 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
1 1.1 2.2.3 Me´todo de la adjunta para hallar la inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
1 1.1 2.2.4 Regla de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
1 1.1 2.2.5 Determinantes de matrices con componentes complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
1 2.3 Ejercicios resueltos y ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
1 1.1 2.3.1 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
1 1.1 2.3.2 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
VII
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VIII CONTENIDO
PARTE II
ESPACIOS VECTORIALES, PRODUCTO INTERIOR, NORMAS,
VALORES Y VECTORES PROPIOS
CAPÍTULO 3 Espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
1 3.1 Geometrı´a de los espacios Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
1 1.1 3.1.1 El plano cartesiano R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
1 1.1 3.1.2 Interpretacio´n geome´trica del determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
1 1.1 3.1.3 El espacio vectorial Rn, geometrı´a y propiedades algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
1 1.1 3.1.4 La desigualdad de Schwarz, a´ngulos entre vectores y ortogonalidad . . . . . . . . . . . . 123
1 3.2 Espacios vectoriales . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
1 1.1 3.2.1 Definiciones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
1 1.1 3.2.2 Propiedades elementales de los espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
1 1.1 3.2.3 Subespacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
1 1.1 3.2.4 Combinaciones lineales y subespacios generados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
1 3.3 Dependencia e independencia lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
1 1.1 3.3.1 Criterios de independencia lineal en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
1 3.4 Bases y dimensio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
1 1.1 3.4.1 Definiciones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
1 1.1 3.4.2 Dimensio´n, extraccio´n de bases y complecio´n de un conjunto L.I. a una base . . . . 160
1 1.1 3.4.3 Rango de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
1 3.5 Espacios vectoriales sobre los nu´meros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
1 3.6 Ejercicios resueltos y ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
1 1.1 3.6.1 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
1 1.1 3.6.2 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
CAPÍTULO 4 Espacios con producto interior y espacios normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
1 4.1 Espacios con producto interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
1 1.1 4.1.1 Definiciones, ejemplos y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
1 1.1 4.1.2 Ortogonalidad y norma inducida por el producto interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
1 1.1 4.1.3 Desigualdad de Schwarz y a´ngulo entre vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
1 1.1 4.1.4 Proyecciones, proceso de ortogonalizacio´n, factorizacio´n QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
1 1.1 4.1.5 Aproximacio´n o´ptima de un vector por elementos de un subespacio . . . . . . . . . . . . 283
1 4.2 Espacios vectoriales normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
1 1.1 4.2.1 Definiciones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
1 1.1 4.2.2 Distancia en espacios vectoriales normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
1 1.1 4.2.3 Normas que provienen de productos interiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
1 1.1 4.2.4 Normas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
1 1.1 4.2.5 Construccio´n de normas en espacios de dimensio´n finita a partir de normas en Rn 334
1 1.1 4.2.6 Aproximaciones o´ptimas en espacios normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
1 1.1 4.2.7 ¿Que´ norma utilizar? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
1 4.3 Ejercicios resueltos y ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
1 1.1 4.3.1 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
1 1.1 4.3.2 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
CAPÍTULO 5 Transformaciones lineales, valores y vectores propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
1 5.1 Transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
1 1.1 5.1.1 Definicio´n, ejemplos y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
1 1.1 5.1.2 Nu´cleo e imagen de una transformacio´n lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
1 5.2 Representaciones matriciales de transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
1 1.1 5.2.1 Vectores de coordenadas, cambio de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
1 1.1 5.2.2 Representaciones matriciales de un operador lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
1 1.1 5.2.3 Representaciones matriciales de transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
1 1.1 5.2.4 Isomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452
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CONTENIDO IX
1 5.3 Valores y vectores propios, diagonalizacio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457
1 1.1 5.3.1 Valores y vectores propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457
1 1.1 5.3.2 Diagonalizacio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471
1 1.1 5.3.3 Valores propios complejos y diagonalizacio´n sobre C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
1 1.1 5.3.4 Operadores autoadjuntos y matrices sime´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491
1 5.4 Ejercicios resueltos y ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497
1 1.1 5.4.1 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497
1 1.1 5.4.2 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539
PARTE III
APLICACIONES, USO DE TECNOLOGÍA, MÉTODOS NUMÉRICOS
CAPÍTULO 6 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581
1 6.1 Matrices de incidencia y teorı´a de grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581
1 6.2 Redes de conduccio´n y principios de conservacio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589
1 1.1 6.2.1 Flujo vehicular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590
1 1.1 6.2.2 Circuitos ele´ctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591
1 1.1 6.2.3 Balance quı´mico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595
1 6.3 Ana´lisis insumo-producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596
1 1.1 6.3.1 Modelo para economı´a abierta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596
1 1.1 6.3.2 Modelo para economı´a cerrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602
1 1.1 6.3.3 Singularidad de la matriz de Leontief para el modelo de economı´a cerrada . . . . . . 604
1 1.1 6.3.4 Inversa de la matriz de Leontief para el modelo de economı´a abierta y me´todo de
1 1.1 6.3.4 aproximacio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605
1 6.4 Programacio´n lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613
1 1.1 6.4.1 Enfoque geome´trico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613
1 1.1 6.4.2 Me´todo simplex para el problema esta´ndar de programacio´n lineal . . . . . . . . . . . . . 620
1 1.1 6.4.3 Restricciones generales y me´todo simplex de dos fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631
1 1.1 6.4.4 Dualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641
1 6.5 Teorı´a de juegos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644
1 1.1 6.5.1 Juegos estrictamente determinados y puntos silla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645
1 1.1 6.5.2 Estrategias y pagos esperados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646
1 1.1 6.5.3 Estrategias o´ptimas y valor esperado para juegos matriciales con matriz de pagos
1 1.1 6.3.4 2×2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648
1 1.1 6.5.4 Estrategias o´ptimas y valor esperado con programacio´n lineal para juegos
1 1.1 6.3.4 matriciales con matriz de pagos m×n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652
1 1.1 6.5.5 Filas y columnas recesivas o dominantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657
1 6.6 Cadenas de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658
1 6.7 Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666
1 6.8 Optimizacio´n de funcionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671
1 1.1 6.8.1 Problemas fı´sicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672
1 1.1 6.8.2 Ca´lculo diferencial en espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 679
1 1.1 6.8.3 Ca´lculo diferencial para funcionales en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 698
1 1.1 6.8.4 Extremos locales de funcionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706
1 1.1 6.8.5 Extremos locales y valores propios de la matriz hessiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 709
1 1.1 6.8.6 Condiciones necesarias para que cierto tipo de funcionales en espacios de
1 1.1 6.3.4 dimensio´n infinita alcancen valores extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716
1 1.1 6.8.7 Dina´mica de un monopolista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725
1 1.1 6.8.8 Epı´logo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727
1 6.9 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728
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X CONTENIDO
CAPÍTULO 7 Uso de tecnología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 761
1 7.1 La calculadora HP 50g y a´lgebra lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 761
1 1.1 17.1.1 Teclado y sus funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 761
1 1.1 17.1.2 La pantalla y comandos de decisio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763
1 1.1 17.1.3 Modos de operacio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764
1 1.1 17.1.4 Ca´lculo simbo´lico vs nume´rico y almacenamiento de objetos algebraicos . . . . . . 765
1 1.1 17.1.5 Escritura de vectores y matrices en la Hp 50g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766
1 1.1 17.1.6 Operaciones con vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 768
1 1.1 17.1.7 Operaciones con matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 771
1 1.1 17.1.8 Factorizacio´n QR y ortogonalizacio´n, factorizacio´n LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772
1 1.1 17.1.9 Forma escalonada y forma escalonada reducida con la HP 50g, sistemas lineales 773
1 1.1 7.1.10 Me´todos de Gauss y Gauss-Jordan paso a paso en forma automa´tica con la
1 1.1 7.1.10 HP 50g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774
1 1.1 7.1.11 Inversa de una matriz paso a paso de manera automa´tica con la calculadora
1 1.1 7.1.10 HP 50g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775
1 1.1 7.1.12 Me´todos de Gauss y Gauss-Jordan con operaciones de renglo´n ejecutadas por el
1 1.1 7.1.10 usuario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775
1 1.1 7.1.13 Inversa de una matriz por el me´todo de Gauss-Jordan con operaciones de renglo´n
1 1.1 7.1.10 ejecutadas por el usuario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777
1 1.1 7.1.14 Transformaciones lineales, nu´cleo e imagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 779
1 1.1 7.1.15 Valores y vectores propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 780
1 1.1 7.1.16 Nu´meros complejos con la HP 50g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 780
1 7.2 MATLAB y a´lgebra lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 781
1 1.1 17.2.1 Interaccio´n con MATLAB y almacenamiento de informacio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 781
1 1.1 17.2.2 Escritura de matrices y operaciones ba´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783
1 1.1 17.2.3 Formatos y modo simbo´lico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785
1 1.1 17.2.4 Matrices especiales, informacio´n ba´sica y edicio´n de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . 786
1 1.1 17.2.5 Operaciones de renglo´n con MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 789
1 1.1 17.2.6 Funciones programadas por el usuario, programacio´n en MATLAB y operaciones
1 1.1 7.1.10 de renglo´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 790
1 1.1 17.2.7 Traza, determinante, rango, inversa y transpuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797
1 1.1 17.2.8 Forma escalonada reducida, solucio´n de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 798
1 1.1 17.2.9Valores y vectores propios, polinomio caracterı´stico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 800
1 1.1 7.2.10 Factorizacio´n QR y factorizacio´n LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802
1 7.3 Excel, la herramienta Solver y programacio´n lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803
1 1.1 17.3.1 Activacio´n de Solver en Excel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803
1 1.1 17.3.2 La funcio´n SUMAPRODUCTO de Excel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805
1 1.1 17.3.3 Resolucio´n de problemas de programacio´n lineal con Solver . . . . . . . . . . . . . . . . . 806
1 7.4 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813
CAPÍTULO 8 Álgebra lineal numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 819
1 8.1 Aritme´tica de la computadora y errores de redondeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 819
1 8.2 Me´todos directos para resolver sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822
1 1.1 18.2.1 Me´todo de Gauss para sistemas lineales de orden n con sustitucio´n regresiva . . . 822
1 1.1 18.2.2 Me´todo de Gauss para hallar la inversa de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 827
1 1.1 18.2.3 Factorizacio´n LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 829
1 1.1 18.2.4 Estrategias para pivotar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 838
1 8.3 Me´todos iterativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 848
1 1.1 18.3.1 La teorı´a de punto fijo y normas matriciales naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 848
1 1.1 18.3.2 Me´todo iterativo de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 862
1 1.1 18.3.3 Planteamiento general para un me´todo iterativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 877
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CONTENIDO XI
1 1.1 8.3.4 Me´todo iterativo de Richardson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 880
1 1.1 8.3.5 Me´todo iterativo de Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 887
1 1.1 8.3.6 Series de Neumann y me´todo iterativo para aproximar la inversa de una matriz . . 896
1 8.4 Transformaciones de Householder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 901
1 1.1 8.4.1 Definiciones y transformaciones ba´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 902
1 1.1 8.4.2 Factorizacio´n QR de Householder y sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 908
1 1.1 8.4.3 Reduccio´n de Householder-Hessenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913
1 1.1 8.4.4 Rotaciones y reflexiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 917
1 8.5 Aproximacio´n de valores y vectores propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923
1 1.1 8.5.1 Me´todo de la potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923
1 1.1 8.5.2 Deflacio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 931
1 1.1 8.5.3 Iteracio´n inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 937
1 1.1 8.5.4 Me´todo QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 939
1 1.1 8.5.5 Me´todo QR con reduccio´n de Hessenberg y desplazamientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946
1 1.1 8.5.6 Me´todo de Jacobi para aproximar valores y vectores propios de matrices sime´tricas 950
1 8.6 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956
A Conjuntos, demostraciones e inducción matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985
A A.1 Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985
1 1.1 A.1.1 Conjuntos, elementos y subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985
1 1.1 A.1.2 Operaciones con conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 988
1 1.1 A.1.3 Reuniones e intersecciones de familias de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 992
A A.2 Demostraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993
1 1.1 A.2.1 El me´todo deductivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993
1 1.1 A.2.2 Me´todos de demostracio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995
1 1.1 A.2.3 Bicondicional y definiciones, lemas y corolarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 999
A A.3 Induccio´n matema´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1002
B Números complejos, campos y espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1011
B B.1 Nu´meros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1011
B B.2 Campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1017
B B.3 Polinomios sobre campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1021
1 1.1 B.3.1 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1021
1 1.1 B.3.2 Raı´ces y teorema fundamental del a´lgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025
B B.4 Espacios vectoriales sobre otros campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026
B B.5 Aplicacio´n a la teorı´a de deteccio´n y correccio´n de errores en co´digos . . . . . . . . . . . . . . . 1030
C Demostraciones que fueron diferidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1037
D Formas canónicas de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055
E Respuestas a ejercicios seleccionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073
Lista de símbolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105
Alfabeto griego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1108
Lista de aplicaciones adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1109
Lista de programas . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1110
Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1111
Índice analítico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1113
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Agradecimientos
Deseo primeramente agradecer a Miguel A´ngel Toledo y a Ramo´n Ordun˜a, quienes me invitaron a rea-
lizar este proyecto con McGraw-Hill, por el gran apoyo y paciencia que tuvieron desde el inicio hasta la
culminacio´n de la obra, sin ellos hubiera sido imposible terminarla. Este libro lo escribı´ en el procesador
de texto matema´tico y cientı´fico LATEXy el trabajo editorial para su formacio´n fue considerable; deseo
dar las gracias a Marcela Rocha y a Pablo Roig por todo el esfuerzo que hicieron para que el proyecto
pudiera editarse en ese formato y por toda la ayuda que me brindaron en el transcurso de su elaboracio´n.
La mayorı´a de la las figuras las construı´ utilizando los programas LaTeXPiX, TeXCad, GNUPLOT,
TeXCad32 o LaTeX-CAD; deseo dar cre´dito y reconocimiento a los autores de estos paquetes —de
distribucio´n gratuita— por la magnı´fica tarea que han realizado en esas herramientas de dibujo en el
ambiente LATEX, las cuales facilitaron enormemente el trabajo gra´fico en este libro. Tambie´n quiero
reconocer la excelente labor de maquetacio´n por parte de Merce` Aicart Martı´nez.
Las ima´genes 3D —la ma´quina de la pa´gina 416 y los depo´sitos interconectados de la figura
6-20—, fueron disen˜adas por Ernesto Byas Lizardo y Ramo´n Nun˜ez Serrania. Todos los dibujos de
los circuitos ele´ctricos y los digrafos del capı´tulo 6 los realizaron Miriam Del Valle y Samantha Del
Valle. Los planos en tres dimensiones de la figura 1-2 los construyo´ Elie´n Rodrı´guez Del Valle. Ernesto
y Miriam hicieron la revisio´n, en computadora, de las respuestas nume´ricas de muchos de los ejercicios
propuestos y Miriam leyo´ el texto en su totalidad para localizar erratas. Mi ma´s sincero agradecimiento
a todos ellos por la desinteresada ayuda que me brindaron.
Doy gracias a las autoridades del campus Estado de Me´xico, del Instituto Tecnolo´gico y de Estudios
Superiores de Monterrey, por las facilidades que me dieron para la realizacio´n de esta obra; y a Enrique
Ortiz, de HP Calculators Latin America, por el soporte otorgado para la realizacio´n de la seccio´n 7.1.
El doctor Francisco Delgado Cepeda, profesor del campus Estado de Me´xico, leyo´ por completo el
primer capı´tulo; le agradezco mucho su colaboracio´n y valiosos comentarios.
El doctor Fermı´n Acosta Magallanes, profesor del campus Estado de Me´xico y de la UPIITA del
IPN, sacrifico´ mucho de su tiempo al leer casi en su totalidad el libro. Sus comentarios, observaciones y
correcciones fueron de un enorme valor. Obviamente cualquier error te´cnico en el texto es absolutamente
mi responsabilidad. El intere´s constante que mantuvo Fermı´n en la realizacio´n de esta obra fue un gran
estı´mulo para su culminacio´n y estare´ siempre agradecido con e´l.
Cuando estaba escribiendo este trabajo, se presentaron algunos problemas serios en mi salud, y
gracias a los cuidados y apoyo de mis hermanas Rosa Marı´a y Gabriela, mi hermano Manuel, mi cun˜ado
Jose´ Manuel Lara, mi doctora de cabecera Daniela Lara Del Valle, mis sobrinos Emmanuel Lara, Etzel
Rodrı´guez, Rosa Marı´a Lara, Noemı´ Del Valle, Alejandro Urban, y mis hijas Samantha y Miriam, ahora
estoy escribiendo estas u´ltimas lı´neas. Espero que ellos sepan que pueden contar siempre conmigo como
yo conte´ con ellos.
XIII
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XIV AGRADECIMIENTOS
Escribir un libro, especialmente uno como e´ste, es una labor en la que hay gran sacrificio no so´lo
del autor, sino tambie´n de los que son ma´s cercanos a e´l: su familia; en este caso mis hijas Samantha
y Miriam. Su paciencia, amor y comprensio´n fueron el principal incentivo para llegar al final de este
proyecto.
Finalmente quiero agradecer a Rube´n Dario Santiago Acosta, director del Departamento de Ma-
tema´ticas y Fı´sica del campus Estado de Me´xico, por su valiosa cooperacio´n para la realizacio´n de este
libro. En la vida de todo ser humano existen periodos en que los avatares son ma´s intensos y frecuentes;
el lapso para realizar esta obra fue una de esas etapas para mı´. Rube´n fue en todo momento un apoyo y,
aunque la suerte no siempre esta´ de mi lado, soy muy afortunado por tener a un gran amigo como e´l.
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Prólogo
Este libro tiene su germen en las notas del curso semestral de a´lgebra lineal que he impartido a lo largo
de varios an˜os en el Instituto Tecnolo´gico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Estado de
Me´xico, las cuales son el esqueleto de lo que ahora pretendo mostrar como un cuerpo ya con piel y
completo, que se desarrollo´ gracias a la experiencia adquirida a trave´s de todos esos an˜os.
El objetivo principal es presentar a detalle y profundidad los principales temas del a´lgebra lineal,
mostrando la utilidad de esta materia por medio de una gran variedad de aplicaciones a otros campos y a
las propias matema´ticas. Integrando la teorı´a, la pra´ctica, el uso de tecnologı´a y los me´todos nu´mericos
de esta disciplina.
El libro esta´ disen˜ado de tal manera que se puede usar para un curso de uno o dos semestres, depen-
diendo de los programas de estudio de cada institucio´n y de la profundidad con la que se desee tratar
cada tema. En el primer caso conviene cubrir las partes I y II, exceptuando los apartados 4.2, 5.3.3 y
5.3.4. Para el segundo caso, se recomiendan todos los temas de las partes I y II, las formas cano´nicas
de Jordan del ape´ndice D y el material adicional que se incluye en el sitio web del libro. En ambas
modalidades se pueden incluir las secciones que se consideren adecuadas de la parte III, especialmente
las aplicaciones del capı´tulo 6.
Como su nombre lo indica, A´lgebra lineal para estudiantes de ingenierı´a y ciencias esta´ orientado
para ser utilizado tanto en escuelas de ingenierı´a como en escuelas de ciencias, ya sea a nivel licenciatura
o posgrado. Los requisitos acade´micos para la comprensio´n del material son las matema´ticas elementa-
les que se cubren a nivel medio superior (a´lgebra, geometrı´a analı´tica y ca´lculo diferencial e integral).
La mayorı´a de los estudiantes que toman un curso de a´lgebra lineal, salvo los que cursan la ca-
rrera de matema´ticas, se enfrentan por primera vez a una materia en la que se tienen que hacer de-
mostraciones de teoremas y proposiciones matema´ticas utilizando el me´todo lo´gico-deductivo; es la
principal dificultad que entran˜a un curso de esta naturaleza para el lector profano en el campo del
rigor matema´tico. Sin embargo, en a´lgebra lineal la mayorı´a de las demostraciones son constructi-
vas; es decir, la prueba de un teorema es en sı´ un algoritmo para resolver una serie de importan-
tes problemas; lo cual representa una ventaja dida´ctica para poder iniciarse en el rigor lo´gico de las
matema´ticas. Aun tomando en consideracio´n esa ventaja, aprender en que´ consiste probar rigurosa-
mente proposiciones matema´ticas no es fa´cil. Para apoyar al estudiante en esta tarea, el ape´ndice A.2
contiene una breve introduccio´n al me´todo deductivo y a los me´todos de demostracio´n en matema´ti-
cas —disen˜ada para que el lector pueda estudiarla por cuenta propia o con un poco de ayuda de
su profesor—, a trave´s de casos concretos y con un mı´nimo de conocimientos previos que segura-
mente todo estudiante,a este nivel, posee. En estos tiempos, donde la credulidad y las pseudocien-
cias son estimuladas media´ticamente como instrumentos de mercadotecnia para vender productos que
“curan” todos los males —incluyendo los polı´ticos y sociales—, el escepticismo, como una cultu-
ra de lo que se afirma se demuestra, deberı´a ser cultivado por el Homo sapiens moderno y el a´lge-
bra lineal es una excelente oportunidad para iniciarse, al menos en la parte matema´tica, en esa cultura.
XV
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XVI PRO´LOGO
He dividido el libro en tres partes que, desde mi punto de vista, conforman lo que es el a´lgebra lineal.
Las primeras dos contienen el nu´cleo teo´rico de la materia. La parte I —matrices, sistemas lineales, de-
terminantes e inversas de matrices— es la ma´s elemental y es la columna vertebral en la que se apoya el
resto del libro; mientras que la II —espacios vectoriales, producto interior, normas, valores y vectores
propios— es el corpus de ese nu´cleo que incluye los temas ma´s relevantes del a´lgebra lineal. Estos dos
segmentos constituyen los primeros cinco capı´tulos de la obra, y en ellos he intentado exponer el signifi-
cado matema´tico del a´lgebra lineal. En la parte III —que contiene los u´ltimos tres capı´tulos del texto—,
a trave´s de diversas aplicaciones en el capı´tulo 6, he tratado de hacer patente la utilidad pra´ctica que
tiene esta importante materia. Los ca´lculos nume´ricos en a´lgebra lineal pueden llegar a ser muy com-
plejos aritme´ticamente y tomar demasiado tiempo realizarlos; afortunadamente en esta e´poca contamos
con tecnologı´a para apoyarnos en esta tarea. En el capı´tulo 7, incluı´ el uso de la tecnologı´a en el a´lgebra
lineal, especı´ficamente con MATLAB y la calculadora HP 50g; y EXCEL, para programacio´n lineal. Sin
embargo, una exposicio´n del a´lgebra lineal que no muestra las dificultades inherentes que se presentan
al hacer ca´lculos nume´ricos en esta materia y co´mo resolverlas matema´ticamente, es incompleta. Por
esta razo´n, el capı´tulo final contiene una introduccio´n relativamente profunda de los principales me´todos
nume´ricos que se utilizan en a´lgebra lineal; con ma´s de 32 programas en MATLAB de esos algoritmos
para ser utilizados o modificados, en este u otro lenguaje, por el estudiante a su conveniencia.
Al escribir esta obra intente´ tener siempre presentes los obsta´culos a los que se enfrentan la mayorı´a
de los estudiantes de a´lgebra lineal, el principal es el alto nivel de abstraccio´n de la materia. Para soslayar
esta dificultad, el libro contiene ma´s de 200 figuras con el propo´sito de crear ima´genes que puedan
ayudar al lector a visualizar fı´sica y geome´tricamente entes abstractos y convertirlos en conceptos ma´s
concretos. Adema´s, a lo largo de sus 8 capı´tulos y 5 ape´ndices, incluı´ma´s de 450 ejemplos para apoyarlo
a comprender la materia. Sin embargo, pense´ que esto no era suficiente, pues el estudiante necesita
ver co´mo se resuelven ejercicios en a´lgebra lineal, sobre todo aquellos que tienen contenidos altos de
abstraccio´n; por esta razo´n incorpore´, en la u´ltima seccio´n de cada uno de los primeros cinco capı´tulos
—que conforman el nu´cleo principal del libro— un grupo de ejercicios resueltos con detalle; en total
forman un conjunto de ma´s de 230 ejercicios de ca´lculos directos, demostraciones, etc., que junto con
los ejemplos del texto suman un total de ma´s de 680 problemas completamente resueltos que el lector
puede consultar segu´n lo necesite. Naturalmente, no basta con “ver”, se necesita “hacer” y, para ello,
el libro contiene —al final de cada capı´tulo— una seccio´n de ejercicios propuestos al estudiante —con
respuestas a los ejercicios seleccionados en el ape´ndice E— para que practique a discrecio´n o de acuerdo
con las instrucciones de su profesor; en total el libro cuenta con ma´s de 2300 ejercicios propuestos.
Con el propo´sito de no interrumpir la exposicio´n de la teorı´a en el texto y para facilitar su consulta,
coloque´ aparte, en el capı´tulo 6, las aplicaciones. Al principio de cada una de ellas se hacen explı´citos
los requisitos —del material del texto y de otras disciplinas— que se necesitan para su estudio. El nivel
de las aplicaciones aumenta gradualmente desde el muy elemental hasta un nivel que demanda mucho
ma´s esfuerzo para su comprensio´n; sin embargo, confı´o que la utilidad final que el estudiante encuentre
en ellas bien valdra´ la pena el tiempo invertido para su estudio. De hecho, este capı´tulo se puede abordar
inmediatamente despue´s de que se cumplan los requisitos que sen˜ala la aplicacio´n correspondiente; por
ejemplo, las aplicaciones de las secciones 6.1, 6.2, 6.4, 6.5 y 6.6, se pueden tratar en seguida que se
ha cubierto el material de matrices y sistemas lineales (o en forma simulta´nea). Sin embargo, en el
texto hay algunas aplicaciones que en realidad esta´n concatenadas a la teorı´a —por ejemplo, el tema de
aproximacio´n o´ptima en espacios normados, o la interesante teorı´a de deteccio´n y correccio´n de errores
en co´digos binarios que esta´ al final del ape´ndice B—, esas no las incluı´ en el capı´tulo 6 y se encuentran
dispersas a lo largo del libro; en la pa´gina 1109 hay una lista de ellas con referencias al lugar donde se
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PRO´LOGO XVII
localizan en el texto. Una funcio´n semejante cumple el listado de la pa´gina 1110, que es una descripcio´n
de los principales programas en MATLAB que contiene el libro y sen˜ala su ubicacio´n.
Adema´s, esta obra cuenta con una pa´gina donde el estudiante tendra´ acceso a diversos recursos:
www.mhhe.com/uni/delvalleag1e.
Espero que A´lgebra lineal para estudiantes de ingenierı´a y ciencias cumpla con los propo´sitos para
los que fue creado, sirva de apoyo a la labor docente de los profesores que trabajan educando en esta
materia y que vosotros, estudiantes, encuentren en e´l no so´lo do´nde aprender a´lgebra lineal, sino que
tambie´n disfruten de ese proceso como yo lo hice al escribir cada una de las lı´neas de este libro (tambie´n
sufrı´, ojala´ ustedes no).
Me´xico D.F., primavera de 2011
JUAN CARLOS DEL VALLE SOTELO
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I
Matrices, sistemas y
determinantes
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1 Matrices y
sistemas lineales
En este capı´tulo se introducen los conceptos ba´sicos que se requieren para estudiar a´lgebra lineal. Co-
menzamos en la primera seccio´n con el tema fundamental de matrices. Las matrices se crearon para
operar ciertos arreglos nume´ricos que aparecen tanto en aplicaciones como en las propias matema´ti-
cas. Continuamos en la segunda seccio´n con el estudio general de sistemas de ecuaciones lineales. Los
sistemas de ecuaciones lineales tienen una gran variedad de aplicaciones en ciencias e ingenierı´a y se-
guramente el lector ya tuvo algu´n contacto con ellos en forma elemental en secundaria y bachillerato;
aquı´ nos abocamos a un estudio general y profundo de este importante tema. La tercera seccio´n con-
tiene un compendio de ejercicios resueltos de las dos secciones precedentes para que el lector consulte
el mayor nu´mero de ejemplos resueltos y un conjunto de ejercicios propuestos para que los resuelva el
estudiante.
1.1 Matrices
1.1.1 Definiciones y ejemplos
Definicio´n 1.1 Una matriz A es un arreglo de m-renglones o filas y n-columnas de m× n nu´meros
reales:
A=
⎡
⎢⎢⎢⎣
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
. . .
...
am1 am2 · · · amn
⎤
⎥⎥⎥⎦ .
Se dice entonces que A es una matriz de taman˜o m×n y simbo´licamente se escribe
A= [ai j] ,
i = 1,2, ...,m; j = 1,2, ...,n. Esto es, ai j representa el nu´mero que se encuentra en la fila iy en la
columna j. A los elementos ai j se les llaman las componentes (entradas) de la matriz A.
P Nota 1.1
1. Los pare´ntesis rectangulares se pueden suplir por pare´ntesis circulares en notaciones matriciales.
En este libro emplearemos pare´ntesis rectangulares.
3
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4 CAPI´TULO 1 Matrices y sistemas lineales
2. En el caso particular de que una matriz tenga taman˜o 1× 1 escribiremos simplemente a en lugar
de [a]; es decir, identificaremos toda matriz [a] con el nu´mero real a.
� Ejemplo 1.1 Si
A=
[ −2 3 5
−4 2 1
]
,
A es una matriz 2×3 y, para este caso, a11 =−2, a12 = 3, a13 = 5, a21 =−4, a22 = 2, a23 = 1.�
P Nota 1.2 Al conjunto de matrices de taman˜o m×n lo denotaremos, en este libro, porMm×n.
Definicio´n 1.2 Dos matrices A= [ai j], B= [bi j] son iguales (A= B) si y so´lo si:
• A y B tienen el mismo taman˜o y
• ai j = bi j ∀i , j.
� Ejemplo 1.2 De acuerdo con la definicio´n precedente
[
1 3 9
5 7 2
]
�=
[
1 3 9
5 6 2
]
. �
� Ejemplo 1.3 Determinar el valor de a para que las matrices A =
[
a 1
−1 2a
]
y B =
[
2 1
−1 4
]
sean iguales.�
Solucio´n Dado que ambas matrices tienen el mismo taman˜o ellas sera´n iguales si y so´lo si coinciden
componente a componente; para lo cual es suficiente que a= 2 y 2a= 4; esto es, para a= 2. �
� Ejemplo 1.4 Resolver el ejemplo anterior si A=
[
a 0
3 3a
]
y B=
[
1 0
3 4
]
.�
Solucio´n Para que las matrices sean iguales se requiere, en este caso, que a = 1 y 3a = 4, luego se
debe tener simulta´neamente a= 1 y a= 4/3; lo cual es imposible. Por tanto A �= B para cualquier valor
de a. �
1.1.2 Operaciones con matrices
1. Multiplicacio´n de un escalar1 con una matriz. Si λ ∈ R y A = [ai j] ∈Mm×n se define λA =
[λai j]. Es decir, el resultado de multiplicar una matriz con un escalar es la matriz que tiene como
componentes cada una de las entradas de la matriz original multiplicada por dicho escalar.
2. Suma de matrices. Si A ,B ∈Mm×n, A = [ai j], B = [bi j]; se define la suma de A con B como
A+B = [ci j], con ci j = ai j +bi j ∀i , j. Ası´, la suma de dos matrices so´lo se puede realizar cuando
e´stas tienen el mismo taman˜o y el resultado es tambie´n una matriz m×n.
11Diremos que todo nu´mero real es un escalar.
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SECCIO´N 1.1 Matrices 5
3. Multiplicacio´n de una matriz fila por matriz columna.2
[
a11 a12 · · · a1n
]
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎣
b11
b21
·
·
·
bn1
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎦= a11b11+a12b21+ · · ·a1nbn1.
De acuerdo con esta definicio´n, el producto de una matriz fila con una matriz columna so´lo se pue-
de llevar a cabo cuando la primera tiene taman˜o 1×n y la segunda n×1 (las dos tienen el mismo
nu´mero de componentes) y el resultado de la operacio´n sera´ una matriz 1× 1 (un nu´mero real).
4. Producto de una matriz m×n con una matriz n× p. Si A = [ai j] ∈Mm×n y B = [bi j] ∈Mn×p,
el producto de A con B se define como AB= [ci j] donde
ci j =
n∑
k=1
aikbk j ,
para i = 1,2, . . . ,m y j = 1,2, . . . , p. Es decir, la componente ci j del producto AB es el resultado
de multiplicar la i-e´sima fila de A con la j-e´sima columna de B. Adema´s, para poder efectuar el
producto, la primera matriz debe tener el mismo nu´mero de columnas que de filas la segunda y la
matriz AB tiene entonces taman˜o m× p. En forma equivalente, si Fi, i= 1, . . . ,m, son las filas de A
yCj, j = 1, . . . , p, son las columnas de B, entonces
AB=
⎡
⎢⎢⎢⎣
F1C1 F1C2 · · · F1Cp
F2C1 F2C2 · · · F1Cp
...
...
. . .
...
FmC1 F2C2 · · · FmCp
⎤
⎥⎥⎥⎦ (1.1)
� Ejemplo 1.5 Hola
• √2
⎡
⎣ −1 0 −1 22 −4 1 3√
2 −4 0 5
⎤
⎦=
⎡
⎣ −
√
2 0 −√2 2√2
2
√
2 −4√2 √2 3√2
2 −4√2 0 5√2
⎤
⎦
• Si A=
[ −2 −4 −1
5 −2 0
]
y B=
[ −4 −5 2
−1 0 −1
]
, entonces A+B=
[ −6 −9 1
4 −2 −1
]
.
• [ −1 0 −2 4 5 ]
⎡
⎢⎢⎢⎢⎣
2
−1
0
0
−4
⎤
⎥⎥⎥⎥⎦ =
=
(−1)(2)+(0)(−1)+(−2)(0)
+ (4)(0)+(5)(−4)
−22.
Note que en este caso la matriz fila tiene taman˜o 1× 5 y la columna 5× 1 (las dos tienen el mismo
nu´mero de componentes).�
12Una matriz fila es una matriz que tiene solamente un renglo´n y una matriz columna es una matriz que tiene una sola columna
(cfr. inciso 3 de la pa´g. 8).
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6 CAPI´TULO 1 Matrices y sistemas lineales
� Ejemplo 1.6 Si
A=
[ −1 −2 4
0 2 1
]
y B=
⎡
⎣ 1 −2 4 50 −1 0 2
−1 0 0 1
⎤
⎦ ,
A ∈M2×3, B ∈M3×4; el producto AB esta´ definido (el nu´mero de columnas de A es igual al nu´mero de
filas de B, en este caso 3) y el producto AB sera´ una matriz 2×4, dos filas y cuatro columnas (tantas filas
como A y tantas columnas como B). Para obtener las componentes ci j de las filas de la matriz producto
AB procedemos de la manera siguiente.
La primera fila de AB: Los elementos de la primera fila de AB se obtienen multiplicando, sucesi-
vamente, la primera fila de A con la primera, segunda, tercera y cuarta columas de B:
c11 =
[ −1 −2 4 ]
⎡
⎣ 10
−1
⎤
⎦= −5,
c12 =
[ −1 −2 4 ]
⎡
⎣ −2−1
0
⎤
⎦= 4,
c13 =
[ −1 −2 4 ]
⎡
⎣ 40
0
⎤
⎦=−4,
c14 =
[ −1 −2 4 ]
⎡
⎣ 52
1
⎤
⎦=−5.
La segunda fila de AB: Los elementos de la segunda fila de AB se obtienen multiplicando, sucesi-
vamente, la segunda fila de A con la primera, segunda, tercera y cuarta columas de B:
c21 =
[
0 2 1
]⎡⎣ 10
−1
⎤
⎦=−1,
c22 =
[
0 2 1
]⎡⎣ −2−1
0
⎤
⎦=−2,
c23 =
[
0 2 1
]⎡⎣ 40
0
⎤
⎦= 0,
c24 =
[
0 2 1
]⎡⎣ 52
1
⎤
⎦= 5.
Luego,
AB=
[ −5 4 −4 −5
−1 −2 0 5
]
.�
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SECCIO´N 1.1 Matrices 7
En realidad, la notacio´n matricial esta´ disen˜ada para ejecutar meca´nica y mentalmente los ca´lculos
cuando el taman˜o de las matrices no es muy grande; por eso el lector debe procurar, en la medida de
lo posible, aprovechar esta ventaja para efectuar las operaciones de esta manera. De hecho, a partir de
aquı´, el lector ya no encontrara´ un producto de matrices realizado con el detalle con el que se hizo en el
ejemplo precedente; pues utilizaremos sistema´ticamente (1.1) para producto de matrices y haremos los
ca´lculos sin hacer explı´citas las operaciones.
� Ejemplo 1.7
⎡
⎣ −1 0 12 1 1
3 −2 0
⎤
⎦
⎡
⎣ 0 −1 11 1 −1
0 1 2
⎤
⎦ =
⎡
⎣ F1C1 F1C2 F1C3F2C1 F2C2 F2C3
F3C1 F3C2 F3C3
⎤
⎦
=
⎡
⎣ 0 2 11 0 3
−2 −5 5
⎤
⎦ .�
1.1.3 Matrices especiales
1. Matriz cero. La matriz cero de taman˜o m× n se define como aquella que tiene las m× n compo-
nentes nulas; esto es,
O = [ai j]
donde ai j = 0 ∀i , j. Ası´, por ejemplo,
O =
[
0 0 0
0 0 0
]
es la matriz cero 2×3.
2. Matriz identidad n×n:
In =
⎡
⎢⎢⎢⎣
1 0 · · · 0
0 1 · · · 0
...
...
. . .
...
0 0 · · · 1
⎤
⎥⎥⎥⎦;
es decir, In = [ai j], donde
ai j =
{
1, si i= j;
0, si i �= j.
Ası´, por ejemplo,
I3 =
⎡
⎣1 0 00 1 0
0 0 1
⎤
⎦
es la matriz identidad 3×3.
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8 CAPI´TULO 1 Matrices y sistemas lineales
3. Como mencionamos en el inciso 3 de la subseccio´n 1.1.2, a las matrices que tienen so´lo una fila o
so´lo una columna les llamaremos, respectivamente, matrices fila y matrices columna. Adema´s,
en este libro utilizaremos una notacio´n especial en el caso de las matrices columna (cuando tengan
ma´s de un elemento) ana´loga a la notacio´n vectorial
�b=
⎡
⎢⎢⎢⎣
a11
a21
...
an1
⎤
⎥⎥⎥⎦ .
La razo´n de esta notacio´n se vera´ ma´s adelante cuando se estudie el espacio vectorial Rn en el
capı´tulo 3.
A las matrices de taman˜o n× n les llamaremos matrices cuadradas de orden n y al conjunto for-
mado por e´stas lo denotaremos porMn. Si A = [ai j] es una matriz cuadrada de orden n se dice que los
elementos a11, a22, a33,..., ann forman o esta´n en la diagonal de la matriz A. Ysi A = [ai j] ∈Mm×n,
diremos que los elementos ai j con i= j forman la diagonal principal de la matriz A.
� Ejemplo 1.8 Si
M =
⎡
⎢⎢⎣
−1 5 0 2
7 3 −1 1
3 0 4 2
1 −5 9 7
⎤
⎥⎥⎦
entoncesm11 =−1,m22 = 3,m33 = 4,m44 = 7 son los elementosde la diagonalde la matriz cuadradaM.�
Definicio´n 1.3 Una matriz cuadrada A de orden n es triangular superior si las componentes que
esta´n por debajo de la diagonal son todas nulas. La matriz es triangular inferior si las componentes
que esta´n por arriba de la diagonal son todas iguales a cero.
� Ejemplo 1.9 Si
A=
⎡
⎢⎢⎣
−1 5 0 2
0 3 −1 1
0 0 4 2
0 0 0 7
⎤
⎥⎥⎦ y B=
⎡
⎢⎢⎣
−1 0 0 0
−5 3 0 0
2 0 4 0
6 0 4 0
⎤
⎥⎥⎦ ,
entonces A es una matriz triangular superior y B es una matriz triangular inferior.�
Definicio´n 1.4 Sea A una matriz cuadrada de orden n. Se dice que A es una matriz diagonal si todas
las componentes fuera de su diagonal son nulas. Si aii = λi, i= 1,2, . . . ,n, son las componentes de la
diagonal de esta matriz se escribe
A= diag(λ1,λ2, . . . ,λn)
para representar a la matriz diagonal A.
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SECCIO´N 1.1 Matrices 9
� Ejemplo 1.10 La matriz cuadrada
⎡
⎣ 4 0 00 3 0
0 0 8
⎤
⎦ es diagonal. Esto es,
A= diag(4,3,8).�
Definicio´n 1.5 Si A = [ai j] ∈Mm×n se define la matriz transpuesta de A como At = [bi j], donde
bi j = a ji para i= 1,2, ...,n y j = 1,2, ...,m.
De la definicio´n 1.5 se desprende que At tiene taman˜o n×m y que en la matriz transpuesta la primera
columna es la primera fila de A, la segunda columna es la segunda fila de A, etce´tera.
Definicio´n 1.6 Una matriz A es sime´trica cuando At = A.
La definicio´n 1.6 entran˜a que una matriz sime´trica es necesariamente cuadrada; pues si A ∈Mm×n y
A es sime´trica, entonces A = At ∈Mn×m, de donde m = n; ya que dos matrices que son iguales deben
tener el mismo taman˜o.
� Ejemplo 1.11 Si
A=
[
1 2 3 4
5 6 7 8
]
,
At =
⎡
⎢⎢⎣
1 5
2 6
3 7
4 8
⎤
⎥⎥⎦ .�
� Ejemplo 1.12 La matriz
A=
[ −1 2
2 3
]
es sime´trica pues claramente A= At .�
1.1.4 Propiedades de las operaciones
A continuacio´n enunciamos las principales propiedades de las operaciones con matrices, las cuales son,
en general, fa´ciles de probar y su comprobacio´n se deja como ejercicio al lector.
1. Si A ,B ,C ∈Mm×n y λ ,β ∈ R:
(a) A+B ∈Mm×n.
(b) A+(B+C) = (A+B)+C.
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10 CAPI´TULO 1 Matrices y sistemas lineales
(c) A+B= B+A.
(d) A+O = A, donde O es la matriz cero m×n.
(e) Existe una matriz −A ∈Mm×n tal que A+(−A) = O . De hecho, si A= [ai j], −A= [−ai j].
(f) λA ∈Mm×n.
(g) λ(βA) = (λβ)A.
(h) (λ+β)A= λA+βA.
(i) λ(A+B) = λA+λB.
(j)3 1A= A.
2. (a) Si A, B,C son matrices tales que los productos A(BC) y (AB)C esta´n definidos, entonces
A(BC) = (AB)C.
(b) Si AB esta´ definido se tiene: λ(AB) = (λA)B= A(λB).
(c) Si A ∈Mm×n, AIn = ImA= A.
(d) En general AB �= BA.
(e) Si A ∈Mm×n y B,C ∈Mn×p , entonces
A(B+C) = AB+AC.
3. (a) Si A y B son matrices del mismo taman˜o (A+B)t = At +Bt .
(b) Si A, B son matrices tales que el producto AB esta´ definido, entonces (AB)t = BtAt .
(c) (At)t = A ∀A ∈Mm×n.
Es conveniente que el lector tenga siempre presente la propiedad 2(d); es decir, la no conmutatividad
del producto de matrices. Pues es claro que en principio el hecho de que el producto AB este´ definido,
no garantiza que ni siquiera el producto BA este´ definido; por ejemplo, si A es una matriz 2× 3 y B es
una matriz 3×4, el producto AB esta´ definido y el producto BA no. Ma´s au´n, aunque los productos AB
y BA este´n definidos e´stos, en general, sera´n distintos como ilustramos en el siguiente ejemplo.
� Ejemplo 1.13
[
1 1
3 2
][
1 0
2 4
]
=
[
3 4
7 8
]
,
[
1 0
2 4
][
1 1
3 2
]
=
[
1 1
14 10
]
;
esto es,
[
1 1
3 2
][
1 0
2 4
]
�=
[
1 0
2 4
][
1 1
3 2
]
�
Finalizamos este apartado con las demostraciones, en los siguientes dos ejemplos, de un par de
propiedades simples del producto de matrices que sera´n utilizadas ma´s adelante.
13Ma´s adelante, en el tema de espacios vectoriales, se vera´ la importancia de esta aparentemente inocua propiedad.
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SECCIO´N 1.1 Matrices 11
� Ejemplo 1.14 Sean A = [ai j] ∈Mm×n y C = [bi j] ∈Mn×p. Si�ck =
⎡
⎢⎢⎢⎣
b1k
b2k
...
bnk
⎤
⎥⎥⎥⎦ es la columna k de C y
�dk es la columna k de AC, k = 1,2, . . . , p, demostrar que
�dk = A�ck ∀k.
Esto es,
AC =
[
A�c1 A�c2 · · · A�cp
]
� (1.2)
DEMOSTRACIO´N Q Sean αi j las componentes del producto AC, entonces, para cada k = 1,2, . . . , p,
�dk =
⎡
⎢⎢⎢⎣
α1k
α2k
...
αmk
⎤
⎥⎥⎥⎦ ;
pero αik =
[
ai1 ai2 · · · ain
]
⎡
⎢⎢⎢⎣
b1k
b2k
...
bnk
⎤
⎥⎥⎥⎦
=
n∑
j=1
ai jb jk;
por tanto,
�dk =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
n∑
j=1
a1 jb jk
n∑
j=1
a2 jb jk
...
n∑
j=1
am jb jk
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
. (1.3)
Por otra parte,
A�ck =
⎡
⎢⎢⎢⎣
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
. . .
...
am1 am2 · · · amn
⎤
⎥⎥⎥⎦
⎡
⎢⎢⎢⎣
b1k
b2k
...
bnk
⎤
⎥⎥⎥⎦
=
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
n∑
j=1
a1 jb jk
n∑
j=1
a2 jb jk
...
n∑
j=1
am jb jk
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
. (1.4)
De (1.3) y (1.4) se tiene A�ck = �dk ∀k. Q
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12 CAPI´TULO 1 Matrices y sistemas lineales
� Ejemplo 1.15 Supongamos ahora que A= [ai j] ∈Mm×n y�c=
⎡
⎢⎢⎢⎣
x1
x2
...
xn
⎤
⎥⎥⎥⎦, entonces,
x1
⎡
⎢⎢⎢⎣
a11
a21
...
am1
⎤
⎥⎥⎥⎦+ x2
⎡
⎢⎢⎢⎣
a12
a22
...
am2
⎤
⎥⎥⎥⎦+ · · ·+ xn
⎡
⎢⎢⎢⎣
a1n
a2n
...
amn
⎤
⎥⎥⎥⎦=
⎡
⎢⎢⎢⎣
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
. . .
...
am1 am2 · · · amn
⎤
⎥⎥⎥⎦
⎡
⎢⎢⎢⎣
x1
x2
...
xn
⎤
⎥⎥⎥⎦ . (1.5)
En efecto:
x1
⎡
⎢⎢⎢⎣
a11
a21
...
am1
⎤
⎥⎥⎥⎦+ x2
⎡
⎢⎢⎢⎣
a12
a22
...
am2
⎤
⎥⎥⎥⎦+ · · ·+ xn
⎡
⎢⎢⎢⎣
a1n
a2n
...
amn
⎤
⎥⎥⎥⎦ =
⎡
⎢⎢⎢⎣
x1a11
x1a21
...
x1am1
⎤
⎥⎥⎥⎦+
⎡
⎢⎢⎢⎣
x2a12
x2a22
...
x2am2
⎤
⎥⎥⎥⎦+ · · ·+
⎡
⎢⎢⎢⎣
xna1n
xna2n
...
xnamn
⎤
⎥⎥⎥⎦
=
⎡
⎢⎢⎢⎣
a11x1+a12x2+ · · ·+a1nxn
a21x1+a22x2+ · · ·+a2nxn
...
am1x1+am2x2+ · · ·+amnxn
⎤
⎥⎥⎥⎦
= A�c.�
1.1.5 Matrices con nu´meros complejos
En este apartado se introduce, por primera vez en este libro, el uso de nu´meros complejos en a´lgebra
lineal; especı´ficamente en el tema de matrices con componentes complejas. El a´pendice B contiene
un breve estudio de este importante campo nume´rico y de sus principales propiedades, y el lector que
no este´ habituado a trabajar con nu´meros complejos, o necesite repasar este tema, deberı´a consultar la
seccio´n B.1 de este ape´ndice cuanto antes. A lo largo de este texto se incluyen apartados que contienen el
uso de nu´meros complejos en temas que ya se han tratado con nu´meros reales. En general, la transicio´n
en cada caso sera´ muy sencilla, pues una vez que se dominan los temas de a´lgebra lineal con nu´meros
reales los cambios para tratar e´stos con nu´meros complejos son mı´nimos y, en realidad, las dificultades
tienen que ver ma´s con la familiaridad que tenga el lector con el uso de nu´meros complejos que con
aspectos a´ridos de generalizacio´n. De hecho, el uso de este campo nume´rico en a´lgebra lineal se va
haciendo cada vez ma´s necesario en la medida que se avanza en la materia, tanto en la teorı´a como en
las aplicaciones. Se han incluido este tipo de subsecciones para ir acostumbrando al lector al uso de los
nu´meros complejos en a´lgebra lineal. Obviamente, el lector que no desee en este momento abordar estos
temas puede omitirlos y regresar a ellos cuando lo juzgue pertinente.
Recordemos (cfr. ape´ndice B) que los nu´meros complejos tienen la forma
a+bi
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SECCIO´N 1.1 Matrices13
donde a,b son nu´meros reales e i es la unidad imaginaria. Al conjunto de estos nu´meros se les representa
porC y este campo incluye de manera natural a los nu´meros reales mediante la identificacio´n del nu´mero
real a con el nu´mero complejo a+ 0i. Estos nu´meros se operan algebraicamente de manera ana´loga a
los nu´meros reales, utilizando todas las propiedades de e´stos y conviniendo en que la unidad imaginaria
en este sistema satisface4
i2 =−1.
De esta manera, operar algebraicamente matrices con componentes complejas es un proceso com-
pletamente ana´logo al que se utiliza cuando e´stas tienen entradas que son nu´meros reales. Es decir, se
suman, restan, multiplican, etc., en la misma forma que las matrices reales, pero operando sus com-
ponentes con las reglas algebraicas de los nu´meros complejos. Al conjunto de matrices de taman˜o
m×n con componentes complejas lo denotaremos porMm×n(C). Todas las propiedades acerca de ma-
trices con componentes reales que vimos en esta seccio´n siguen siendo va´lidas para las matrices con
entradas complejas.
� Ejemplo 1.16 Sean A,B ∈M2×3(C) las matrices definidas por
A=
[
1−2i −4i 2
3−5i 4+6i −9i
]
y B=
[
3−7i 5−4i 2−9i
5i 7−6i 1+ i
]
.
Entonces
1. A+B =
[
1−2i −4i 2
3−5i 4+6i −9i
]
+
[
3−7i 5−4i 2−9i
5i 7−6i 1+ i
]
=
[
4−9i 5−8i 4−9i
3 11 1−8i
]
.
2. 5A = 5
[
1−2i −4i 2
3−5i 4+6i −9i
]
=
[
5−10i −20i 10
15−25i 20+30i −45i
]
.
3. (3+2i)B = (3+2i)
[
1−2i −4i 2
3−5i 4+6i −9i
]
=
[
7−4i 8−12i 6+4i
19−9i 26i 18−27i
]
.
Aquı´ hemos realizado las operaciones
(3+2i)(1−2i) = 3−6i+2i−4i2
= 3−4i−4(−1)
= 3−4i+4
= 7−4i,
14En la seccio´n B.1 del ape´ndice B se hace un estudio ma´s detallado y formal de los nu´meros complejos.
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14 CAPI´TULO 1 Matrices y sistemas lineales
para obtener la componente c11 de (3+2i)B;
(3+2i)(−4i) = −12i−8i2
= −12i−8(−1)
= 8−12i,
para obtener la componente c12 de (3+2i)B; etce´tera.�
� Ejemplo 1.17 Sean
A=
[
1+ i 2
−i 2−3i
]
y B=
[ −i 3 2+5i
2i 1− i 0
]
,
entonces
AB =
[
1+ i 2
−i 2−3i
][−i 3 2+5i
2i 1− i 0
]
=
[
(1+ i)(−i)+2(2i) (1+ i)(3)+2(1− i) (1+ i)(2+5i)+2(0)
(−i)(−i)+(2−3i)(2i) (−i)(3)+(2−3i)(1− i) (−i)(2+5i)+(2−3i)(0)
]
=
[
1+3i 5+ i −3+7i
5+4i −1−8i 5−2i
]
.�
1.2 Sistemas lineales
Seguramente el lector esta´ familiarizado, por cursos
ma´s elementales, con sistemas simulta´neos de dos o
tres ecuaciones lineales con dos o tres inco´gnitas. Se
les llama sistemas lineales porque, para el caso de dos
inco´gnitas, digamos x, y, las ecuaciones tienen la for-
ma ax+by= c, cuyos lugares geome´tricos correspon-
den a lı´neas rectas en el plano. Cuando se resuelve
un sistema lineal de dos ecuaciones con dos inco´gni-
tas, se busca el punto de interseccio´n de dos lı´neas
rectas (si es que e´stas no son paralelas). Aquı´ estu-
diaremos sistemas lineales generales de m ecuacio-
nes con n inco´gnitas siendo m y n cualquier par de
nu´meros enteros no negativos. Los sistemas lineales
tienen una gran variedad de aplicaciones en ingenierı´a
y ciencias; veremos algunas de estas aplicaciones en
el capı´tulo seis.
y
x
x− y= 1
x+ y= 3
Page (PS/TeX): 15 / 15, COMPOSITE
SECCIO´N 1.2 Sistemas lineales 15
1.2.1 Definiciones, soluciones y forma matricial de sistemas lineales
Definicio´n 1.7 Un sistema de m-ecuaciones con n-inco´gnitas que tiene la forma
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2
· · · · · · · · · · ·
· · · · · · · · · · ·
· · · · · · · · · · ·
am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm
(1.6)
donde los ai j ,bi ∈ R, i = 1,2, . . . ,m, j = 1,2, . . . ,n, esta´n dados, es lineal. Una solucio´n de este
sistema de ecuaciones es una n-ada ordenada (α1,α2, . . . ,αn) de nu´meros reales, tales que al hacer
las sustituciones
x1 = α1
x2 = α2
...
xn = αn
en cada una de las m-ecuaciones las convierte en identidades.
� Ejemplo 1.18 El sistema de dos ecuaciones con tres inco´gnitas
2x1−3x2− x3=−4 (1.7)
x1 + x2+ x3=−3 (1.8)
es lineal y (−1,2,−4) es una solucio´n del mismo. En efecto, al sustituir x1 =−1, x2 = 2 y x3 =−4 en
la primera ecuacio´n (1.7) se tiene
2(−1)−3(2)− (−4) =−4
y al hacer las mismas sustituciones en la segunda ecuacio´n (1.8),
(−1)+(2)+(−4) =−3.�
� Ejemplo 1.19 El sistema de dos ecuaciones con dos inco´gnitas
x21 − 3x2 = 1
x1/21 + x2 = π
no es lineal (¿por que´?).�
Si se tiene el sistema lineal (1.6) a
A=
⎡
⎢⎢⎢⎣
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
. . .
...
am1 am2 · · · amn
⎤
⎥⎥⎥⎦
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16 CAPI´TULO 1 Matrices y sistemas lineales
se le llama la matriz de coeficientes del sistema. En tal caso, si ponemos
�x=
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎣
x1
x2
·
·
·
xn
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎦ y
�b=
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎣
b1
b2
·
·
·
bm
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎦ ,
entonces el sistema lineal se puede escribir en forma matricial como
A�x=�b ,
pues al hacer el producto se obtiene
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎣
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn
a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn
· · · · · ·
· · · · · · ·
· · · · · ·
am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎦=
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎣
b1
b2
·
·
·
bm
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎦
que equivale, por definicio´n de igualdad de matrices, al sistema (1.6).
� Ejemplo 1.20 Para el sistema 3×3
x1 + x2 + 2x3 = 9
2x1 + 4x2 − 3x3 = 1
3x1 + 6x2 − 5x3 = 0
la matriz de coeficientes es
A=
⎡
⎣ 1 1 22 4 −3
3 6 −5
⎤
⎦
y la ecuacio´n matricial correspondiente es
⎡
⎣ 1 1 22 4 −3
3 6 −5
⎤
⎦
⎡
⎣ x1x2
x3
⎤
⎦=
⎡
⎣ 91
0
⎤
⎦ .�
Definicio´n 1.8 El sistema m×n A�x=�b es:
• Consistente: si tiene al menos una solucio´n.
• Inconsistente: si no tiene soluciones.
En la figura 1-1 se ilustran los lugares geome´tricos de cuatro sistemas lineales en el plano: con solucio´n
u´nica (a), inconsistentes (b) y (c) y con una infinidad de soluciones (d).
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SECCIO´N 1.2 Sistemas lineales 17
(a) (b)
(c) (d)
Figura 1-1 • (a) dos lı´neas que se intersecan en un solo punto, (b) dos lı´neas paralelas que no se intersecan,
(c) tres lı´neas que no se intersecan simulta´neamente y (d) dos lı´neas que coinciden.
De manera ana´loga, una ecuacio´n lineal con tres inco´gnitas, ax+ by+ cz = d, corresponde al lu-
gar geome´trico de puntos que esta´n en un plano en el espacio tridimensional. Tambie´n en este caso,
cuando se resuelven sistemas lineales con tres inco´gnitas, se buscan intersecciones de los correspon-
dientes planos. Nuevamente los planos pueden no intersecarse, intersecarse en una infinidad de puntos
o intersecarse en un u´nico punto. La figura 1-2 ilustra estas posibilidades.
Figura 1-2 • Planos que se intersecan, respectivamente, en una lı´nea recta, en un u´nico punto y que no tienen
interseccio´n simulta´nea.
Definicio´n 1.9 Dos sistemas lineales del mismo taman˜o, A�x=�b, H�x=�c, son equivalentes si tienen
el mismo conjunto de soluciones.
En el siguiente ejemplo resolveremos un sistema lineal de manera ana´loga a como el lector, segu-
ramente, ya lo ha hecho en cursos de bachillerato; sin embargo, lo haremos con un me´todo que intro-
ducira´ el importante algoritmo de Gauss; el cual consiste, esencialmente, en ir haciendo “pivotes” para
eliminar variables (inco´gnitas) y obtener un sistema equivalente en forma “escalonada” y finalmente
resolverlo por sustitucio´n regresiva.
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18 CAPI´TULO 1 Matrices y sistemas lineales
� Ejemplo 1.21 Resolvamos el sistema lineal
x1+ x2+2x3 = 9 (1.9)
2x1+4x2−3x3 = 1 (1.10)
3x1+6x2−5x3 = 0 (1.11)
Para ello, con la ecuacio´n (1.9), eliminemos la variable x1 de las ecuaciones (1.10) y (1.11) multi-
plicando5 (1.9) por −2 y sumando con (1.10); luegomultiplicando (1.9) por −3 y sumando con (1.11);
obteniendo el sistema equivalente:
x1+ x2+2x3 =−19
2x2−7x3 =−17 (1.12)
3x2−11x3 =−27 (1.13)
De manera ana´loga, multiplicando (1.12) por −3, (1.13) por 2 y sumando los resultados, habremos
hecho un “pivote” con la variable x2 de la ecuacio´n (1.12) para eliminar la variable x2 de la ecuacio´n
(1.13), produciendo el sistema equivalente “escalonado”
x1 + x2 + x3 = 9
2x2 − 7x3 = −17
− x3 = −27
Finalmente, haciendo sustitucio´n regresiva, es decir, despejando y sustituyendo variables de este
u´ltimo sistema de abajo hacia arriba, tenemos
x3 = 3;
x2 =
−17+7(x3)
2
=
−17+7(3)
2
= 2;
x1 = 9− x2−2x3
= 9− (2)−2(3)
= 1.
Ası´, el sistema es consistente con solucio´n u´nica
�x=
⎡
⎣ 12
3
⎤
⎦ .�
Podemos sintetizar el me´todo del ejemplo precedente de la siguiente manera. Denotemos por Ri
la i-e´sima ecuacio´n de un sistema lineal; la notacio´n Ri ↔ αRi + βRj significa que la ecuacio´n Ri se
sustituye por la ecuacio´n que se obtiene de sumar α veces la ecuacio´n Ri con β veces la ecuacio´n Rj.
Las operaciones algebraicas que hicimos en el ejemplo anterior se resumen en el siguiente esquema.
15Cuando se multiplica una ecuacio´n por un nu´mero, significa que ambos lados de la igualdad en dicha ecuacio´n se multiplican
por ese nu´mero; y cuando se suman dos ecuaciones, quiere decir que se suman miembro a miembro los correspondientes lados de
la igualdad.
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SECCIO´N 1.2 Sistemas lineales 19
x1+ x2+2x3 = 9
2x1+4x2−3x3 = 1
3x1+6x2−5x3 = 0
←−−−−−−→
R2 ↔−2R1 +R2
R3 ↔−3R1 +R3
x1+ x2+2x3 = 9
2x2−7x3 = −17
3x2−11x3 = −27
←−−−−−−−→
R3 ↔−3R2 +2R3
x1+ x2+2x3 = 9
2x2−7x3 = −17
−x3 = −3
En cada paso del proceso anterior se obtiene un sistema equivalente; es decir, con las mismas solu-
ciones pero ma´s sencillo, hasta que el u´ltimo sistema equivalente esta´ escalonado y se puede resolver
haciendo sustitucio´n regresiva.
Es claro que en el ejemplo 1.21 y en la discusio´n anterior so´lo se trabajo´ con los coeficientes, y que
de las variables x1, x2 y x3 u´nicamente se utiliza la posicio´n que tienen en el arreglo. Se ve entonces
que para resolver un sistema lineal A�x =�b, basta trabajar con la matriz de coeficientes A y el te´rmino
independiente�b.6 Para ello, a continuacio´n damos el siguiente concepto.
Definicio´n 1.10 Para el sistema lineal
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2
· · · · · · · · · · ·
· · · · · · · · · · ·
· · · · · · · · · · ·
am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm
o, en forma matricial, A�x=�b con
�x=
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎣
x1
x2
·
·
·
xn
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎦ y
�b=
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎣
b1
b2
·
·
·
bm
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎦,
se define la matriz aumentada (tambie´n se le llama matriz ampliada) del mismo como
[A |�b ] =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎣
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
· · · · · ·
· · · · · ·
· · · · · ·
am1 am2 · · · amn
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
b1
b2
·
·
·
bm
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎦
El lado izquierdo en la particio´n [A |�b ] contiene la matriz de coeficientes [ai j] y el lado derecho con-
tiene los te´rminos independientes bi del sistema lineal. La definicio´n anterior provee una notacio´n muy
simple para evitar, en un sistema lineal, escribir las variables y u´nicamente trabajar con los coeficientes.
La primera fila de la matriz ampliada equivale a la ecuacio´n a11x1+a12x2+ · · ·+a1nxn = b1, la segunda
16Llamaremos te´rmino independiente en un sistema lineal A�x =�b, a la matriz columna�b y te´rminos independientes del mismo
sistema a las respectivas componentes de este vector.
Page (PS/TeX): 20 / 20, COMPOSITE
20 CAPI´TULO 1 Matrices y sistemas lineales
fila equivale a la ecuacio´n a21x1+ a22x2+ · · ·+ a2nxn = b2, etc., y la u´ltima fila equivale a la ecuacio´n
am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm. La lı´nea vertical en la particio´n [A |�b ] u´nicamente sirve para hacer
notoria la columna que contiene los te´rminos independientes bi del sistema lineal; y de hecho se puede
omitir, si ası´ se desea, cuando se conviene en que la u´ltima columna de la matriz aumentada contenga el
te´rmino independiente�b del sistema.
Resolveremos ahora, en el siguiente ejercicio, el ejemplo 1.21 utilizando la matriz aumentada.
� Ejemplo 1.22 Para este caso, haciendo las mismas operaciones que en la discusio´n posterior al ejem-
plo 1.21, pero esta vez a los renglones de la matriz ampliada se tiene:
⎡
⎣ 1 1 22 4 −3
3 6 −5
∣∣∣∣∣∣
9
1
0
⎤
⎦ ←−−−−−−→
R2 ↔−2R1 +R2
R3 ↔−3R1 +R3
⎡
⎣ 1 1 20 2 −7
0 3 −11
∣∣∣∣∣∣
9
−17
−27
⎤
⎦
←−−−−−−−→
R3 ↔−3R2 +2R3
⎡
⎣ 1 1 20 2 −7
0 0 −1
∣∣∣∣∣∣
9
−17
−3
⎤
⎦
y, al hacer sustitucio´n regresiva como se hizo en ese ejemplo (cfr. pa´g. 18),
⎡
⎣x1x2
x3
⎤
⎦=
⎡
⎣12
3
⎤
⎦ .�
Hasta aquı´, aunque se ha utilizado en forma intuitiva el significado de sistema escalonado, no se ha
precisado con exactitud. En la siguiente subseccio´n nos abocamos a ello.
1.2.2 Matrices escalonadas y sistemas escalonados
Definicio´n 1.11 La matriz A ∈Mm×n esta´ en forma escalonada si se cumplen las siguientes dos
condiciones.
• Las filas nulas (si existen)7 esta´n por debajo de las filas no nulas.
• El primer elemento distinto de cero de cada fila no nula esta´ a la derecha del primer elemento
diferente de cero de las filas precedentes.8
� Ejemplo 1.23 Si
A=
⎡
⎢⎢⎢⎢⎣
0 −1 2 3 −5 3
0 0 −1 0 2 4
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
⎤
⎥⎥⎥⎥⎦ y B=
⎡
⎢⎢⎢⎢⎣
−1 2 4 0 3
0 1 2 −3 4
0 0 1 0 2
0 0 2 −3 0
0 0 0 0 0
⎤
⎥⎥⎥⎥⎦ ,
A esta´ en forma escalonada pero B no.�
17Una fila es nula si todas sus entradas son ceros; una fila es no nula si por lo menos una de sus componentes es distinta de cero.
18En el caso que el primer elemento distinto de cero este´ en la primera fila, se sobreentiende que la condicio´n se cumple por
vacuidad.
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SECCIO´N 1.2 Sistemas lineales 21
Definicio´n 1.12 Al primer elemento distinto de cero de cada fila no nula, de una matriz en forma
escalonada, se le llama pivote.
Definicio´n 1.13 Un sistema H�x = �c esta´ escalonado si la matriz ampliada [H |�c ] es una matriz
escalonada. A las variables que correspondan a pivotes en un sistema escalonado se les llamara´n
variables ligadas (o principales o ba´sicas) y a las restantes variables libres (o no ba´sicas).
� Ejemplo 1.24 En el sistema escalonado 4×6
⎡
⎢⎢⎢⎣
1 0 3 −2 1 5
0 0 5 0 1 1
0 0 0 0 7 6
0 0 0 0 0 5
∣∣∣∣∣∣∣∣
−2
3
7
0
⎤
⎥⎥⎦ ,
hay pivotes en las columnas 1, 3, 5 y 6; que corresponden, respectivamente, a las variables x1, x3, x5 y
x6. Ası´ que estas variables son ligadas y x2, x4 son variables libres.�
Entonces, para resolver un sistema escalonado al hacer sustitucio´n regresiva, se despejan las varia-
bles ligadas deja´ndolas en funcio´n de las variables libres procediendo de abajo hacia arriba, en
el caso que el sistema tenga variables libres; en caso contrario, simplemente se despejan las variables
ligadas actuando tambie´n de abajo hacia arriba.
� Ejemplo 1.25 Resolver los siguientes sistemas lineales escalonados.
1.
⎡
⎣ −5 −1 30 3 5
0 0 2
∣∣∣∣∣∣
3
8
−4
⎤
⎦
2.
⎡
⎢⎢⎣
1 −3 0 5 0
0 0 1 2 0
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0
∣∣∣∣∣∣∣∣
4
−7
1
0
⎤
⎥⎥⎦
3.
⎡
⎣ 1 −3 50 1 2
0 0 0
∣∣∣∣∣∣
3
2
−1
⎤
⎦�
Solucio´n 1. En este caso, x1, x2 y x3 son todas variables ligadas, el sistema no tiene variables libres y
x3 =−4/2=−2; x2 = 8−5x23 = 6; x1 = 3+x2−3x3−5 =−3. Es decir,⎡
⎣ x1x2
x3
⎤
⎦=
⎡
⎣ −36
−2
⎤
⎦
es la u´nica solucio´n.
Page (PS/TeX): 22 / 22, COMPOSITE
22 CAPI´TULO 1 Matrices y sistemas lineales
2. Para este sistema escalonado x1, x3 y x5 son las variables ligadas; mientras que x2 y x4 son las va-
riables libres. Entonces x5 = 1, x3 = −7−2x4, x1 = 4+3x2−5x4; lo