Solución taller de Cálculo diferencial

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Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias
Departamento de Matemáticas
(1000004) Cálculo Diferencial
Solucionario Taller 4
Esta es una guía para comprobar sus soluciones. Recuerde que lo realmente relevante es el procedimiento
por el cual llegó a la respuesta.
I. Una posibilidad es:
f(x) =

− 1
x2
si x < 2,
0 si x = 2,
− 1
x2 − 9 si x > 2.
II. 1. A. verticales: x = 0; A. horizontales: y = 1; A. oblicuas: no tiene.
2. A. verticales: x = −1; A. horizontales: y = −3; A. oblicuas: no tiene.
3. A. verticales: x = 3; A. horizontales: y = 4; A. oblicuas: no tiene.
4. A. verticales: x = −5/2 y x = 2/3; A. horizontales: y = 0; A. oblicuas: no tiene.
5. A. verticales: x = −3 y x = −2; A. horizontales: y = 0; A. oblicuas: no tiene.
6. A. verticales: x = −3 y x = 3; A. horizontales: y = −1 y y = 1; A. oblicuas: no tiene.
III. 1. A. verticales: x = 4/3; A. horizontales: y = 2/3; A. oblicuas: no tiene.
2. A. verticales: no tiene; A. horizontales: y = 1; A. oblicuas: no tiene.
3. A. verticales: no tiene; A. horizontales: y = 3; A. oblicuas: no tiene.
4. A. verticales: x = 3; A. horizontales: y = 1; A. oblicuas: no tiene.
IV. 1. f ′(x) = 12
2. f ′(t) = 5 − 18t
3. g′(x) = 3x2 − 3
4. h′(x) = 1 + 1
2
√
x
5. n′(x) = 10(1 − 3x)2
6. h′(t) = − 1
2t3/2
7. F ′(x) = 6x5
V. f ′(x) = 4x − 3x2, f ′′(x) = 4 − 6x, f ′′′(x) = −6 y f (4) = 0.
VI. 1. f ′(x) = 0
2. g′(x) = 6x7
3. h′(x) = 3x2 − 4
4. j′(x) = x3
5. k′(x) = 4x − 1
6. f ′(t) = 1
2
√
t
+ 1
2
√
t3
1
7. y′ = 32
√
x + 2√
x
− 3
2
√
x3
8. f ′(v) = aev − b
v2
− c
v3
9. u′(t) = 1
5 5
√
t4
+ 10
√
t3
10. f ′(n) = en(3n2 + 2 + n3 + 2n)
11. g′(t) = −6t
2 + 12
(t2 − 3t + 2)2
12. y′ = xe
x
(1 + x)2
13. m′(x) = 5(2x + 1)2
14. f ′(y) = − 6
y3
15. n′(x) = ex(x2 − 2)
16. f ′(s) = 1√
s(
√
s + 1)2
17. g′(z) = ez( 1
2
√
z +
√
z
18. h′(z) = −z
2 + 1
z2
19. f ′(θ) = −2 sen(2θ)
20. y′ = cos x
21. y′ = 2 cos(2t)
22. g′(θ) = 2 cos θ sen θ
23. m′(r) = 2 sec2 r tan r
24. y′ = 6x2 − sec x + 2 sec3 x
25. l′(t) = 0
26. y′ = sec2 x
27. y′ = − csc
2 x
(1 + cot x)2
28. y′ = −x sen x + cos x
x2
+ sec x + x sec x tan x
29. y′ = 4 sec x tan x − csc2 x
30. y′ = x2 cos x
31. y′ = −2x sen x − x2 cos x
32. y′ = cos z + sec2 z
VII. 1. g′(2) = −2 2. h′(2) = 74 3. k′(2) =
√
6
6
VIII. 1. x = 0 2. x = 0 3. x = 6
IX. Al derivar la función e igualar la derivada a 4 se obtiene una indeterminación, por lo que ésta jamás
puede tomar ese valor.
2
X. (ln 3, 7 − 3 ln 3).
XI. y = 12x + 1.
XII. y = − 225x +
27
50 .
XIII. Hay dos rectas: y1 = 1(−(1+√3))2 x +
2+
√
3
(−(1+
√
3))2 +
2+
√
3
1+
√
3 y y2 =
1
(
√
3−1)2 x −
(
√
3−2)
(
√
3−1)2 +
√
3−2√
3−1 . Los
respectivos puntos de tangencia son
(
−2 −
√
3, 2+
√
3
1+
√
3
)
y
(√
3 − 2,
√
3−2√
3−1
)
.
XIV. x = 2π+6kπ3 , k ∈ Z y x =
4π+6kπ
3 , k ∈ Z.
XV. x = 7π+12kπ6 , k ∈ Z y x =
11π+12kπ
6 , k ∈ Z.
XVI. y − 1 = −2(x − 2) y y + 1 = −2(x + 2).
XVII. 1. No tiene tangentes horizontales en el intervalo.
2. No tiene tangentes horizontales en el intervalo.
3. En x = π6 y x =
5π
6 hay tangentes horizontales.
XVIII. 1. y = −4 y y = 0.
2. Para y = −4 el punto es (1, −4) y la perpendicular es x = 1. Para y = 0 el punto es (−1, 0) y la
perpendicular es x = −1.
3. La pendiente mínima ocurre en y′(0) = −3.
4. y = 13x − 2.
XIX. y = − 120x −
24
5 .
XX. y1 = −18x +
1
4 y y2 = −
1
8x −
1
4 .
XXI. y = 2x2 − x.
XXII. m = 4 y b = −4.
XXIII. b = 1 hace que la función g(x) sea continua en x = 0; sin embargo, no hay valores para b que hagan
la función derivable allí.
XXIV. Tomando f(x) = x100, tenemos ĺım
x→1
x100 − 1
x − 1 = f
′(1) = 100.
XXV. Se tiene que, para c ∈ Z+, f (c)(x) = n(n − 1)(n − 2)(n − 3)...(n − c + 1)xn−c. Así, f (n−1)(x) = n!x y
f (n)(x) = n!.
XXVI. 1. y(25) = − sen x
2. y(25) = 0
3. y(25) = 25!
x26
XXVII. Suponga que sí se puede escribir sen x = p(x) y que p(x) tiene grado n. Si se deriva a ambos lados
n + 1 veces, a la derecha se obtiene 0 mientras que a la izquierda una de las siguientes funciones no
nulas: ± sen x o ± cos x (las derivadas de orden superior de seno son sólo esas 4 opciones). Esto es
una contradicción por lo que la suposición no era posible.
XXVIII. 1. h′(2) = −24m/s.
2. h′(a) = 8(5 − 4a)m/s.
3
3. Cuando t = 52s.
4. Con una velocidad de h′(5/2) = −40m/s.
XXIX. C ′(100) = 20.
XXX. x′
(
π
3
)
= −5
√
3.
XXXI. 6m2/s.
XXXII. 1. F ′(θ) = −µ
2W cos(θ) + µW sen(θ)
(µ sen(θ) + cos(θ))2
2. Cuando µ = tan(θ), es decir, θ = arctan(µ) + kπ, k ∈ Z.
XXXIII. dP
dV
= −nRT(V − nb)2 +
2an2
v3
.
XXXIV. dR
dM
= CM − M2.
XXXV. Encontrar el valor de s′ y tomar varios valores de prueba para verificar si las respuestas son
proporcionales; no lo son.
XXXVI. Una función así podría ser
f(x) =

−3x
2
2 + 3x si x < 1
−x
2
2 + x + 1 si x ≥ 1
XXXVII. Tomar f(x) como una función y g(x)h(x) como otra, para aplicar regla del producto. Cuando se
requiera derivar la segunda función, notar que es a su vez un producto por lo que se debe aplicar la
regla del producto de nuevo.
XXXVIII. Aplicando la fórmula del punto anterior:
1. y′ = (2x)(2x − 5)(3x + 2) + 2(3x + 2)(x2 + 3) + 3(x2 + 3)(2x − 5).
2. y′ = 3(2x2 + x + 1)2(4x + 1).
XXXIX. La derivada se define como
f ′(x) = ĺım
h→0
f(x + h) − f(x)
h
.
Pero con un argumento geométrico similar al que se usó cuando se obtuvo la fórmula anterior se
verifica que
f ′(x) = ĺım
h→0
f(x) − f(x − h)
h
.
Sumar las expresiones y dividir entre dos para obtener una expresión alternativa de f ′(x) que es
justamente la pedida.
4
XL. Para calcular f ′(−x) use la definición de límite de la derivada y que f(−x) = f(x); obtendrá que es
lo mismo que −f ′(x). Otra opción es derivar a ambos lados de la ecuación f(−x) = f(x) usando la
regla de la cadena.
XLI. Para calcular f ′(−x) use la definición de límite de la derivada y que f(−x) = −f(x); obtendrá que
es lo mismo que f ′(x). Otra opción es derivar a ambos lados de la ecuación f(−x) = −f(x) usando
la regla de la cadena.
XLII. Derivar a ambos lados de la ecuación usando regla de la suma.
XLIII. Derivar a ambos lados de la ecuación usando regla del múltiplo constante.
XLIV. Derivar a ambos lados de la ecuación usando regla de la cadena.
XLV. Derivar a ambos lados de la ecuación usando regla de la cadena.
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