REPRESENTACION GEOMETRICA EN ARQUITECTURA - GUSTAVO NOCITO

•
Vicente Riva Palacio

Eliezer Camacho
13/12/2023
¡Este material tiene más páginas!
Vista previa del material en texto
En col·laboració amb el Servei de Llengües i Terminologia de la UPC
Disseny de la coberta: Ernest Castelltort
Disseny de col·lecció: Tono Cristòfol
Maquetació: Mercè Aicart
Primera edició: novembre de 2010
© Els autors, 2010
© Edicions UPC, 2010
 Edicions de la Universitat Politècnica de Catalunya, SL
 Jordi Girona Salgado 31, Edifici Torre Girona, D-203, 08034 Barcelona
 Tel.: 934 015 885 Fax: 934 054 101
 Edicions Virtuals: www.edicionsupc.es
 E-mail: edicions-upc@upc.edu
Producció: LIGHTNING SOURCE
 
Dipòsit legal: B-45483-2010
ISBN: 978-84-7553-528-8
Qualsevol forma de reproducció, distribució, comunicació pública o transformació d’aquesta obra només es 
pot fer amb l’autorització dels seus titulars, llevat de l’excepció prevista a la llei. Si necessiteu fotocopiar o 
escanejar algun fragment d’aquesta obra, us he d’adreçar al Centre Espanyol de Drets Reprogràfics (CEDRO), 
<http://www.cedro.org>.
Page (PS/TeX): 1 / 5, COMPOSITE
Índex
Prefaci 9
1. La teoria i la pràctica 9
1. Llapis o ordinador? 10
1. A qui va adreçat aquest llibre 12
Introducció 13
1. Per què necessitem representar? 13
1. Què necessitem saber per poder representar correctament en arquitectura? 14
1. Com s’organitza aquest llibre 16
Part I: Representar el que hi ha construı̈t: el croquis acotat
Consideracions prèvies 21
1. L’aixecament mètric: conèixer mitjançant el dibuix 21
1. Posem mides i dibuixem un cavallet 25
1. Per què i per a què fem un croquis? 25
1. Per fer el croquis del cavallet necessitem alguna cosa més que llapis i paper 26
1. El joc de les simetries 28
1. Mesurar i dibuixar 30
2. La matèria primera de l’arquitectura: l’aixecament d’un espai interior 35
1. Sense l’encàrrec no podem fer res 35
1. Ens posem en situació 37
1. Mesurar i dibuixar 39
1. El problema de les corbes 42
1. Amb la planta no n’hi ha prou 47
Part II: Dibuixar el que hi ha dibuixat
Consideracions prèvies 53
1. El dibuix com a sı́ntesi 53
1. Proporció i escala 55
1. Una altra manera de veure les coses: la representació axonomètrica 56
3. Sı́ntesi volumètrica d’una obra arquitectònica de Ledoux: el dibuix de les
1. axonometries lliures 59
1. Cinc etapes per a una estratègia de treball 59
1. Reconstruint la tridimensionalitat 61
Índex15
Page (PS/TeX): 2 / 6, COMPOSITE
10. Plantejant l’esquelet 62
10. De rampes i plataformes cap al dibuix final 64
14. El dibuix de les vistes ortogonals de la xemeneia Capilla, de l’arquitecte José A. Coderch 67
10. Com enfocar el problema 67
10. El tema de les mesures en les axonometries lliures 71
10. Comencem a dibuixar? 72
15. Plantegem una escala dibuixant-la 79
10. L’arquitectura de les escales 79
10. Les dades de partida 81
10. Construcció gràfica 82
16. Treballant amb axonometries normalitzades: dibuix d’un tamboret 91
10. El model de dibuix i l’elecció d’un sistema axonomètric adient 91
10. Posem el fill a l’agulla 95
10. Circumferències i el·lipses 96
Part III: Del paper a la maqueta tridimensional
Consideracions prèvies 103
10. La definició d’una maqueta virtual 103
10. El treball amb models tridimensionals 106
10. Treballem en el pla adequat 109
17. El modelatge geomètric del cavallet 111
10. Estratègies de treball: per on comencem? 111
10. El joc de les simetries en les potes 113
10. Definir geometries per construir les guies superiors 114
10. Generació de la safata inferior amb estratègies de multiplicació 115
10. Com sabem si el cavallet s’ha fet correctament? 117
10. Generem forats mitjançant “booleanes” 117
10. Acoblament del cavallet i final del modelatge 119
18. Disseny constructiu i modelatge d’una escala de tres trams 121
10. Objectius del modelatge i dades de partida 121
10. Estratègies per a una geometria repetitiva 123
10. Definir un mòdul com a patró 123
19. Modelant un disseny de Le Corbusier 131
10. Les referències per començar 131
10. Interpretem les corbes 132
10. Donem matèria a l’estructura tubular 135
10. Modelem l’ergonomia del seient 139
10. Posem potes a la chaise longue 142
Part IV: Formes a partir de formes
Consideracions prèvies 149
10. La transformació com a estratègia 149
10. La memòria de les formes 151
10. Menys és més: el joc de les estructures espacials 153
10. Què és una estructura espacial? 153
10. Modelem les matèries primeres 154
10. Muntem un mòdul de l’estructura 158
10. El disseny d’una estructura espacial 162
61Representació geomètrica en arquitectura
Page (PS/TeX): 1 / 7, COMPOSITE
11. Interacció de formes en un llum reflector 165
10. Modelem a partir del paper 165
10. Dues formes que en fan una de nova 167
10. La pantalla difusora i l’estructura 170
Part V: Conèixer representant: anàlisi, disseny i construcció
Consideracions prèvies 177
10. Més enllà del que veiem 177
10. Maneres d’entendre 177
10. Anàlisi i procés constructiu 179
12. Fem una xemeneia amb intencions constructives 181
10. Un mateix model per a un objectiu diferent 181
10. Construint amb làmines 182
10. La finalitat constructiva del modelatge 188
13. Geometria i lògica constructiva en la marquesina d’entrada a l’edifici de la UNESCO 191
10. Corbes que neixen de rectes 191
10. Comencem a modelar 194
10. Les superfı́cies reglades 197
10. Donem materialitat a la marquesina 202
10. Una aplicació constructiva 204
Part VI: Dolce prospettiva
Consideracions prèvies 209
10. La perspectiva dels pintors 209
14. Perspectiva ràpida d’un espai interior 215
10. El dibuix de les perspectives frontals 215
10. El dibuix de les rajoles 219
10. Controlem el camp visual 220
15. Les perspectives des de l’ordinador 227
10. La importància d’un bon punt de vista 227
10. Fem dues perspectives diferents d’un mateix model 228
10. El que no s’ha de fer 232
Annex: Glossari CAD
Sistemes informàtics CAD: glossari, aplicacions i conceptes bàsics 243
Bibliografia 257
Índex alfabètic 261
Índex17
Page (PS/TeX): 4 / 8, COMPOSITE
Page (PS/TeX): 5 / 9, COMPOSITE
Prefaci
La teoria i la pràctica
En plantejar-nos escriure el text de les pàgines que
segueixen, ens vam fixar el propòsit ineludible de
motivar el lector amb un llibre que sigui capaç de
conduir-lo per un itinerari clar i precı́s en la ma-
nera d’enfrontar la resolució dels problemes més
freqüents de la representació geomètrica d’arqui-
tectura.
Això vol dir que, des del començament, intentàvem
evitar que la lectura resultés excessivament carre-
gada de fonaments teòrics que –si bé constitu-
eixen l’estructura conceptual dels temes tractats–
puguessin desviar-nos del propòsit eminentment
pràctic que desitjàvem imprimir al text.
Per què, doncs, volı́em donar aquest caràcter prag-
màtic al llibre que teniu a les mans?
En primer lloc, hem de dir que, en el nostre context,
no podem entendre la utilitat d’un plantejament
exclusivament teòric al voltant de la representació.
Aquest és un aspecte de la nostra disciplina que
ens fa reflexionar sobre un fenomen molt captiva-
dor però que no ens serveix, almenys d’una manera
directa, per resoldre les necessitats quotidianes de
la nostra professió d’arquitectes.
El primer objectiu d’aquest text és, per tant, plan-
tejar un recorregut guiat per la problemàtica con-
creta d’un conjunt de casos o exemples que us
permetran resoldre les qüestions més habituals de
la representació, sempre emmarcat en un entorn
adequat a les vostres necessitats com a estudiants.
Aquesta exigència no implica, però, l’absència ab-
soluta del referent teòric, que és indispensable
en determinats moments per entendre l’enfoca-
ment idoni d’un problema per resoldre. Per aques-
ta raó, al llarg del text trobareu unes referències
conceptuals, paral·lelament al desenvolupament
de les pràctiques, que us ajudaran a compren-
dre millor la lògica interna del procés de represen-
tació.
D’aquesta manera, mitjançant uns continguts con-
ceptuals de reforç, orientats al desenvolupament
d’un itinerari d’activitats pràctiques, intentem evi-
tar el plantejament teòric escolàstic dels textos
clàssicsde dibuix i geometria, el qual, per la se-
va intrı́nseca abstracció, dificulta l’associació amb
els temes concrets de les pràctiques.
En les directrius essencials per a l’Espai Europeu
d’Educació Superior que s’estan començant a apli-
car actualment a les nostres universitats, es parla
justament d’aquesta necessitat de generar en els
estudiants la capacitat per adquirir un conjunt de
competències per tal de resoldre una problemàtica
especı́fica. Estem parlant, doncs, del mateix punt
de partida: proporcionar a l’alumne universitari les
eines adequades per a la resolució dels temes con-
crets que se li presentaran en la vida professional
futura. Pensem, doncs, que una metodologia de
treball que té com a eix conductor la resolució dels
problemes més freqüents de la representació està
destinada a preparar l’estudiant des del mateix mo-
ment que ingressa a la universitat.
Prefaci19
Page (PS/TeX): 6 / 10, COMPOSITE
Llapis o ordinador?
L’altra de les qüestions que ens va fer reflexio-
nar sobre l’orientació didàctica d’aquest llibre
té a veure amb els mitjans, és a dir, amb l’a-
dequació efectiva dels instruments que fem
servir per a representar un objecte o un espai
d’arquitectura.
Fig. 1 Croquis a mà alçada per al projecte d’un edifici d’habitatges a
Barcelona, obra de l’arquitecte J. A. Coderch (1958)
Com avui resulta bastant evident, l’evolució
de les tècniques per a la representació no es
troba al marge de l’avenç vertiginós dels can-
vis produı̈ts en tot l’àmbit tecnològic els dar-
rers vint o trenta anys. L’impacte que va sig-
nificar la irrupció del món digital no va ser
aliè a les tecnologies de la representació, que,
com tots sabem, amb la incorporació dels sis-
temes de disseny assistit per ordinador (CAD)
van significar un canvi dràstic en la manera de
concebre i resoldre els problemes de dibuix i
del disseny en general.
Fig. 2 El preciosisme del dibuix manual en una planta de l’arquitecte
Claude-Nicolas Ledoux al segle XVIII
L’aprofitament d’aquests instruments, utilit-
zats actualment amb més o menys profusió
a les nostres aules del batxillerat i de la uni-
versitat, no podia quedar fora del planteja-
ment d’un llibre d’aquestes caracterı́stiques.
La pregunta que ens formulàvem era, doncs,
quin seria el lloc que hauria d’ocupar el dibuix
manual dins d’un panorama en mutació per-
manent com el que ens toca viure. En altres
paraules, continuarem fent servir el llapis i el
paper en un futur pròxim?
Com tota previsió de futur, aquesta és una
projecció en el temps sense una resposta as-
segurada, per la qual cosa hem d’intentar
conciliar les previsions amb unes intencions
didàctiques clares en un marc que sigui pràctic
i que es pugui adequar a les exigències del
món professional que viuran els nostres estu-
diants en el futur. En coherència amb aquest
punt de partida, podreu veure que hem de-
cidit deixar a banda tot tipus de dibuix ma-
nual que pugui implicar un criteri de precisió
gràfica rigorosa, com el que es realitza amb
la utilització d’unes eines que avui, amb l’e-
xactitud infal·lible dels sistemes informàtics,
resulten òbviament obsoletes.
101Representació geomètrica en arquitectura
Page (PS/TeX): 7 / 11, COMPOSITE
Fig. 3 Informació tècnica codificada
en un fragment del dibuix informàtic
d’un plànol arquitectònic d’execució
Tanmateix, hem decidit continuar amb la tradició
del dibuix a mà alçada –el croquis– i amb un cert
tipus de dibuix ràpid amb estris elementals, com
l’escaire i el cartabó, perquè considerem que te-
nen una funció didàctica i formativa que no po-
dem abandonar. Aquest dibuix a mà que fem per
intentar comprendre la base d’una estructura ge-
omètrica, la raó constructiva o la lògica funcional
dels objectes i dels espais arquitectura ens serveix
per aproximar-nos a aquesta realitat i ens obre un
panorama conceptual que ens donarà els recur-
sos necessaris per fer una representació acabada
i certa dels temes que anirem tractant. Un cert
tipus de dibuix manual i sintètic com el que plan-
tegem aquı́ també ajudarà a comunicar les nos-
tres intencions amb rapidesa i amb una economia
de mitjans important a l’hora d’expressar els trets
essencials de la lògica formal d’un objecte o de
les propietats particulars d’un espai arquitectònic.
A l’altra banda d’aquesta aproximació conceptu-
al del dibuix manual, tenim la representació amb
eines informàtiques que, amb la incorporació dels
models virtuals en tres dimensions, ens obren un
horitzó molt més ampli per a la comprensió i el
control geomètric de les formes en arquitectura.
Fig. 4 Hiperrealisme en la imatge d’un interior d’arquitectura, aconseguida amb els actuals sistemes informàtics de simulació visual
Prefaci111
Page (PS/TeX): 8 / 12, COMPOSITE
A qui va adreçat aquest llibre
Una de les mancances més notables dels estudi-
ants quan arriben a les aules de la universitat és
la dificultat que tenen per poder resoldre amb una
mı́nima coherència els problemes d’ı́ndole pràctica,
i això a vegades succeeix per la manca d’un mı́nim
bagatge de coneixements essencials sobre el tema.
No obstant això, la realitat ens demostra que més
sovint el problema resideix en la dificultat que te-
nen per associar aquests conceptes a l’hora d’en-
frontar la resolució pràctica dels temes més ha-
bituals del dibuix geomètric i la representació en
general. Evidentment, aquest és un tema cabdal
si tenim en compte els trets bàsics de la nostra
carrera, atès que el dia a dia de la professió de
l’arquitecte consisteix a donar respostes efectives a
un munt de problemes tècnics que tenen una forta
interdependència mútua. En altres paraules, estem
parlant de l’adquisició d’un conjunt d’estratègies
bàsiques amb l’objectiu de poder enfrontar, amb
una acceptable garantia d’èxit, els temes que es
van presentant i donar-los una via de solució efec-
tiva.
Tal com hem esmentat anteriorment, creiem que la
metodologia didàctica més adient per desbloquejar
aquesta qüestió passa per la immersió continuada
de l’estudiant en un àmbit acadèmic on l’eix pe-
dagògic estigui centrat més en l’activitat pràctica
que en els desenvolupaments de temes teòrics ex-
tensos.
Un llibre d’aquestes caracterı́stiques va dirigit, en
primer lloc, als estudiants que es troben en una
mena de limbe acadèmic quan deixen les aules de
l’escola secundària per entrar a la universitat. És a
dir, d’una banda, podrı́em parlar d’una adequació
preuniversitària però, de l’altra, es tracta també
d’una revisió dels conceptes per tal d’adequar-
los convenientment als nous enfocaments de la
pràctica del dibuix i de la representació tridimensi-
onal.
Ateses les caracterı́stiques d’aquest enfocament
essencialment pragmàtic, creiem, a més, que
també podria ser d’utilitat per a un espectre més
ampli d’estudiants. Concretament, pensem que
aquest llibre pot ser un text de suport a les au-
les del batxillerat i la formació professional, però
també com un llibre auxiliar per a la consulta i re-
solució dels problemes més habituals de la repre-
sentació geomètrica que sorgeixen en els primers
cursos de la universitat.
121Representació geomètrica en arquitectura
Page (PS/TeX): 9 / 13, COMPOSITE
Introducció
Per què necessitem representar?
És possible que més d’una vegada ens hagi
passat pel cap quin seria l’impuls d’aquell ho-
me primitiu que, dins el refugi d’una cova fos-
ca, va començar a delinear unes siluetes amb
la intenció d’expressar alguna cosa sobre la
realitat que l’envoltava. Ens preguntem si l’ac-
te de representar respon efectivament a una
tendència emotiva de l’ésser humà o a una ne-
cessitat conscient de comunicar experiències
reals o imaginàries.
Fig. 5 Una imatge pictòrica del Panteó romà per Canaletto al segle XVIII
No és l’objectiu d’aquest llibre aprofundir qües-
tions que, com aquesta, tenen les arrels en
l’àmbit del més pur pensament filosòfic. Això
no obstant, ens quedem amb elsignificat de
la paraula comunicar, que dins del nostre con-
text resultarà del tot aclaridora.
Un dels aspectes més rellevants de la profes-
sió de l’arquitecte consisteix a transmetre de
manera efectiva, al conjunt de persones que
hi participen, tots els trets essencials neces-
saris per a la materialització d’un projecte. Si
volem comunicar les nostres propostes amb la
màxima certesa, és a dir, amb un mı́nim de dis-
torsions, aquesta transmissió de la informació
ha de ser tan rigorosa com sigui possible. Això
vol dir que la nostra manera de comunicar-nos
mitjançant el llenguatge de la representació
ha de ser, necessàriament, molt diferent de la
que utilitzaria, per exemple, un artista plàstic.
Un pintor està més preocupat per transmetre
un estat emocional o un determinat punt de
vista personal sobre la realitat, perquè la seva
obra és en si mateixa el resultat final del procés
de comunicació. En el nostre cas, en canvi, la
Introducció113
Page (PS/TeX): 10 / 14, COMPOSITE
Fig. 6 La secció constructiva com a representació tècnica del Panteó romà
representació assumeix un rol efectiu de mediado-
ra, un veritable pont entre les intencions de l’ar-
quitecte i els receptors, que seran els encarregats
de materialitzar les instruccions donades en aques-
ta representació. Per tant, necessitem representar,
per tant, per tal de poder fer efectiva aquesta trans-
missió amb el màxim rigor possible.
És per aquest motiu que diem que la nostra repre-
sentació és geomètrica i tècnica, per tal de dife-
renciar-la clarament de la representació artı́stica, la
qual, com hem vist, respon a unes intencions molt
diferents.
Fins ara hem parlat de comunicar alguna cosa que
està a la nostra imaginació i que, de manera una
mica embrionària, es va materialitzant a poc a poc
durant el mateix acte de la representació. Això vol
dir que, evidentment, no en podem tenir una pre-
figuració exacta i precisa al cap i projectar-la tota
de cop al paper o a l’ordinador. Sembla lògic que
necessitem un temps d’assimilació en el qual ani-
rem ajustant i rectificant les nostres idees inicials
per tal de portar-les a bon terme. És justament en
aquest perı́ode d’aproximacions i tempteigs quan
la representació assumeix un altre rol essencial per
a nosaltres: el de ser un instrument efectiu per al
coneixement a fons del nostre material de treball.
Durant l’acte de representar, doncs, estem desen-
volupant un procés d’elaboració que inclou els di-
versos aspectes d’una realitat construı̈ble que vo-
lem transmetre als participants del nostre entorn
professional.
D’aquesta manera, la representació geomètrica, a
més de constituir-se com un instrument efectiu de
comunicació, incideix decididament en l’àmbit del
coneixement, i genera un procés continu de refle-
xió i sı́ntesi concreta al voltant del tema de treball.
Aquest aspecte formatiu de la representació serà,
per tant, un dels eixos didàctics que guiaran les
pràctiques que proposem al llarg d’aquest llibre.
Què necessitem saber per poder representar correctament en arquitectura?
Arribats en aquest punt, hem de plantejar-nos si,
per poder treballar en els temes de representació
que desenvolupem en aquest text, és necessari que
el lector tingui alguna mena de destresa personal o
141Representació geomètrica en arquitectura
Page (PS/TeX): 11 / 15, COMPOSITE
estigui dotat d’unes caracterı́stiques perso-
nals singulars. Decididament hem de dir que
no. Com acabem de veure, la representació
geomètrica, com que està carregada d’una
forta estructura racional, s’allunya decidida-
ment dels components intuı̈tius que envolten
el fenomen de l’expressió artı́stica i es vincu-
la més directament amb el desenvolupament
sostingut d’unes pràctiques que impliquen un
procés lògic de raonament.
El fet que per representar amb els codis tècnics
no necessitem posseir uns dots especials no
ens exonera de tenir un mı́nim bagatge de
conceptes que considerem importants. Com
que estem parlant d’eines per a la represen-
tació geomètrica, sembla evident que, per co-
mençar a treballar, algunes nocions de geo-
metria haurı́em de tenir. Si fem un ràpid cop
d’ull als llibres de text sobre geometria que
es troben a les biblioteques, podrı́em caure
fàcilment en un estat d’impotència depressiva
i abandonar tot intent d’entrar en aquest món
de la representació. La qüestió no és tan greu
com sembla.
Fig. 7 Una il·lustració del tractat de Gaspard Monge, el pare de la
geometria descriptiva (1799)
La geometria és una ciència molt antiga que
va començar per plantejar-se la resolució ra-
cional de qüestions de caràcter eminentment
pràctic però que, al llarg del temps, va anar
desenvolupant una estructura teòrica de grans
proporcions.
Aquesta disciplina va tenir un important caràc-
ter especulatiu que li va donar una certa auto-
nomia dins el conjunt de les ciències. D’aques-
ta manera, la ciència geomètrica va començar
a generar unes branques de gran especialit-
zació teòrica, com la geometria analı́tica, la
geometria descriptiva o la geometria diferen-
cial, només per citar-ne alguns dels exemples
més coneguts.
Sembla obvi que el que necessitem per co-
mençar a treballar és un conjunt de coneixe-
ments bàsics que s’allunyin de l’especulació
teòrica i ens permetin afrontar els problemes
amb un mı́nim de seguretat i certesa.
Des d’aquesta visió pragmàtica, el suport geo-
mètric que necessitem per fer les pràctiques
comprèn, d’una banda, l’entorn de coneixe-
ments bàsics de la geometria plana aplicada
al dibuix tècnic i, de l’altra, els principis generals de la
geometria descriptiva que tracten dels fonaments dels
sistemes de projecció en la representació bidimensional
de les formes tridimensionals.
Pel que fa a les eines de la geometria plana, estem par-
lant d’uns coneixements molt elementals que, amb tota
seguretat, ja s’han vist en bona part al llarg dels estu-
dis de batxillerat. Ens interessen particularment aquells
temes que tenen una aplicabilitat directa per al con-
trol i el traçat de figures geomètriques elementals, com
ara triangles, polı́gons regulars, arcs i tangències, cor-
bes còniques i altres aplicacions relacionades amb els
problemes de mesurament.
Respecte als conceptes de geometria descriptiva, ens
centrarem quasi exclusivament en els tres sistemes de
projecció més utilitzats per a la representació bidimensi-
onal. Estem parlant del sistema dièdric de vistes ortogo-
nals, dels codis axonomètrics de dibuix i de la projecció
Introducció115
Page (PS/TeX): 1 / 16, COMPOSITE
cònica per al dibuix de vistes en perspectiva. Hem
de reiterar que, de tot això, només ens n’interessen
els conceptes que tinguin una aplicació directa a
la resolució pràctica i, per tant, no entrarem en les
demostracions de caràcter teòric. De tota manera,
al final d’aquest llibre trobareu un annex que us
servirà per repassar els conceptes més elementals
de tots aquests temes de geometria.
A part d’aquest mı́nim bagatge de coneixements
de geometria que acabem de comentar, necessi-
tem fer servir els instruments idonis per poder trac-
tar amb un mı́nim de rigor els temes relacionats
amb la representació. Estem parlant del domini
d’uns instruments fonamentals per poder expres-
sar, mitjançant el codi adequat, totes les propietats
del model que volem representar. D’això ja hem
parlat al prefaci, quan comentàvem el problema
dels mitjans, per la qual cosa se suposa que per
fer les pràctiques que es proposen en aquest llibre
s’ha de tenir un control adequat de les eines del
dibuix manual i de la representació informàtica.
Però, fins a quin punt hem de dominar aquests
instruments?
En primer lloc, si es tracta del dibuix manual, ja hem
perfilat una mica el tipus de representació que vo-
lem aquı́: un dibuix que, ja sigui a mà alçada o
amb l’auxili d’uns estris elementals com l’escaire i
el cartabó, pugui ser suficientment polit i rigorós
per transmetre sense interferènciesles propietats
que volem representar del model. Immediatament
hem de dir que, quan parlem de “rigor”, no vo-
lem dir “precisió”, un terme que en aquest context
ha quedat obsolet amb l’arribada dels sistemes de
dibuix assistits per ordinador. Ja sabem que l’exac-
titud és del domini de les màquines; per tant, en el
nostre cas, ens hem de centrar a dibuixar de ma-
nera rigorosa, en el sentit de poder expressar les
propietats que volem transmetre amb un màxim
d’economia i amb les limitacions dels nostres ins-
truments. Al llarg del llibre anirem aclarint per a
cada cas particular, el que entenem per rigor quan
estem dibuixant a mà.
L’altre instrument imprescindible per a la nostra
feina és l’ordinador. Aquı́ el panorama és molt
més ampli i cal definir clarament el que necessi-
tem per fer les pràctiques que proposem. En pri-
mer lloc, hem de dir que els programes informàtics
que es fan servir per a la representació geomètrica
són els anomenats sistemes CAD (computer-aided
design), que treballen amb sistemes vectorials, a
diferència dels sistemes de mapes de bits, que
són més propis per al tractament de la imatge fo-
togràfica.
Dins dels programaris vectorials existeixen, com és
lògic, un bon nombre de marques comercials amb
diferents graus de desenvolupament, que gene-
ralment estan orientades a una utilització més o
menys concreta. En el nostre cas, optarem pels
programes capaços de treballar la representació
geomètrica en un entorn de modelatge tridimen-
sional, per la qual cosa veurem que, atès que han
de respondre als mateixos processos de càlcul, els
codis i les eines de treball són molt semblants per
a les diferents marques comercials.
El tema central, doncs, és esbrinar quin ha de ser
el grau de domini d’aquestes eines informàtiques
que es necessita per poder seguir adequadament
les pràctiques plantejades aquı́. Ateses les grans
diferències de coneixements informàtics que hem
anat detectant en els nostres estudiants quan arri-
ben a la universitat, hem optat per treballar amb
exercicis que no requereixen un domini molt alt de
les eines informàtiques, amb l’objectiu de privile-
giar el contingut didàctic del procés de treball. No
obstant això, els estudiants que no tenen cap expe-
riència prèvia en aquests procediments informàtics
trobaran al final del llibre un annex amb una sèrie
de conceptes i aplicacions d’eines especı́fiques de
CAD relacionades amb les pràctiques que es pro-
posen.
Com s’organitza aquest llibre
Tal com s’ha anticipat al prefaci, aquest és un llibre
de pràctiques, una mena d’itinerari que es guia pels
temes de treball més freqüents en la representa-
ció geomètrica d’arquitectura. Per recórrer aquest
camı́ d’una manera coherent, hem organitzat les
pràctiques agrupant-les en blocs, que es plantegen
per la seva temàtica didàctica concreta però que, a
la vegada, també poden definir unes modalitats o
tècniques especı́fiques de representació. D’aquesta
manera, ens trobarem amb exemples de dibuixos
161Representació geomètrica en arquitectura
Page (PS/TeX): 1 / 17, COMPOSITE
de croquis acotats a mà alçada, dibuixos amb llapis
i escaire i cartabó, modelats geomètrics informa-
titzats, modelats volumètrics, esquemes analı́tics,
perspectives còniques, etc. Es tracta, doncs, d’o-
ferir a l’estudiant que ha de fer les pràctiques del
llibre un ventall de procediments de representació,
especificant-li en cada cas la conveniència i l’adap-
tació als temes plantejats.
Aquesta circumstància ens portaria a pensar
que seria possible “saltar” determinats grups de
pràctiques d’una modalitat determinada per tre-
ballar amb els casos que ens interessen més.
Hem de dir que, si bé els exercicis tenen una certa
autonomia, un aprofitament didàctic correcte pas-
sa per fer el recorregut de la ruta completa que es
proposa amb els diferents blocs del llibre.
Cada part o bloc de treballs del llibre inclou unes
consideracions prèvies a la problemàtica planteja-
da, unes recomanacions pràctiques per portar a
terme les representacions i un conjunt d’activitats
complementàries o treballs pràctics, amb la finalitat
de completar la formació de l’estudiant al voltant
d’una temàtica concreta.
Com s’ha dit abans, al final del llibre trobareu
un annex en el qual es desenvolupen temes mo-
nogràfics de caràcter teòric i/o operatiu, amb la
finalitat d’oferir un suport a les possibles mancan-
ces en la formació de l’estudiant.
Cadascuna de les pràctiques d’aquest llibre es com-
plementa amb els models de treball que es poden
descarregar a la web. En el cas de les pràctiques
de dibuix manual, es poden seguir les imatges que
il·lustren la seqüència del procès de treball. En els
modelatges informàtics, en canvi, es pot compro-
var el resultat final directament amb els models
tridimensionals en format pdf.
Introducció117
Page (PS/TeX): 14 / 18, COMPOSITE
Page (PS/TeX): 15 / 19, COMPOSITE
Part I
Representar el que hi ha constrüıt:
el croquis acotat
Page (PS/TeX): 16 / 20, COMPOSITE
Page (PS/TeX): 17 / 21, COMPOSITE
Consideracions prèvies
L’aixecament mètric: conèixer mitjançant el dibuix
L’interès de l’ésser humà per indagar la rea-
litat que l’envolta està lligat sens dubte, a la
necessitat de mesurar. Les raons per les quals
mesurem el nostre entorn poden ser diverses:
per establir una divisió territorial, per informar
d’alguna cosa que no es pot veure d’una ma-
nera directa o per combatre en una guerra.
Des de les primeres albors de la civilització,
ens trobem amb tota una tecnologia desti-
nada als instruments de mesurament, la qual
cosa ens demostra el vast camp d’aplicació
de la tasca de mesurar el que existeix, ano-
menada en la nostra disciplina, d’una mane-
ra general, aixecament mètric. En la dilata-
da història dels mètodes i dels instruments
de mesurament –una ciència que s’anomena
metrologia–, podem veure tota mena d’apa-
rells desenvolupats tecnològicament per fer
mesuraments especı́fics, com ara els instru-
ments per a la determinació de les dimensions
d’elements inaccessibles, eines per a mesurar
angles, etc (Fig. 1) (Fig. 2).
Fig. 1 Un gravat del segle XVI que il·lustra el principi del mesurament
a distància
Fig. 2 Determinació indirecta de la distància entre els punts A i B amb
l’ús d’un distanciòmetre òptic
Deixant de banda les nombroses aplicacions
especı́fiques que hem esmentat abans, i si en-
trem més concretament en l’àmbit de la nos-
tra disciplina arquitectònica, podem compro-
var que aquesta necessitat de mesurar va lli-
gada històricament a la indagació sobre el va-
lor intrı́nsec de les obres d’arquitectura cons-
truı̈des per les generacions precedents. Per
fortuna, avui podem comptar amb nombro-
sos testimonis d’aquesta tasca gràcies a una
bona quantitat de documents que han arribat
als nostres dies i que podem analitzar deguda-
ment. Aixı́ ens trobem des dels primers relleus i
Consideracions prèvies121
Page (PS/TeX): 18 / 22, COMPOSITE
maquetes sobre pedra fins a les innumerables re-
presentacions gràfiques d’edificis i objectes en su-
ports diversos (Fig. 3) (Fig. 4).
Fig. 3Maqueta de fusta de la cúpula de Santa Maria del Fiore, cons-
truı̈da durant el Renaixement italià (arquitecte: Filippo Brunelleschi)
Fig. 4 Dibuix renaixentista d’un aixecament de la cúpula del Vaticà
De tota aquesta documentació, podem deduir fà-
cilment que el procés d’aixecament mètric neces-
sita indefectiblement d’un vehicle, un transmissor
idoni capaç de comunicar tota la informació me-
surada sobre un objecte determinat. Aquest vehi-
cle de la informació mètrica va ser durant molts
anys la representació en forma tridimensional de
les maquetes o la representació gràfica simbòlica
plantejada en els dibuixos. Podem dir, doncs, que
el procés d’aixecament no està completament tan-
cat si no finalitza amb una representació adequa-
da de tota la informació recollida. Atès que el pro-
pi acte de representar és, en si mateix,una eina
de coneixement, aquesta conclusió ens porta a fer
una reflexió important al voltant del rol especı́fic
de la representació dins del procés d’aixecament.
A les pàgines següents podrem veure com, durant
el procés de treball, el propi dibuix es constitueix
en un instrument imprescindible per a la interpre-
tació de tots els trets que defineixen el model que
estem aixecant, des de la seva geometria fins a les
caracterı́stiques constructives i funcionals. Aixeca-
ment i representació són, per tant, parts indissolu-
bles del mateix fenomen al voltant de la indagació
i el coneixement d’un objecte.
Arribats en aquest punt, ens plantegem una altra
pregunta: quines serien la modalitat i la tècnica
més idòniaper representarunmodeld’aixecament?
Per respondre a aquesta qüestió, ens hem de re-
metre necessàriament a l’especificitat de la nostra
disciplina. No és el mateix un enginyer que treba-
lla amb els marges dimensionals d’un component
d’un aparell electrònic o d’un motor d’explosió
que un arquitecte que ha d’aixecar unes formes
i uns espais per tenir el control global d’una ar-
quitectura determinada. En el nostre cas, sembla
que continua imposant-se una tècnica més prope-
ra al contacte directe amb el model de treball, una
modalitat de dibuix que, com ja fa més de cinc-
cents anys, pugui servir l’arquitecte per descriure
amb rapidesa tots els trets i les dades mètriques
necessàries.
Malgrat l’avenç notable de les tècniques per als
sistemes d’aixecament a distància, la proximitat
221Representació geomètrica en arquitectura
Page (PS/TeX): 19 / 23, COMPOSITE
Fig. 5 Model tridimensional de punts
resultant d’un aixecament mitjançant
sistema làser amb identificació de les
estacions de treball
del dibuix a mà alçada –el croquis– sembla enca-
ra avui la manera més pràctica d’encarar un tema
d’aixecament d’exigències tècniques i magnituds
modestes.
Dit tot això, immediatament hem d’aclarir que, si
volem emprendre la tasca cientı́fica per a l’aixe-
cament d’una obra d’arquitectura on el volum de
treball sigui important i les necessitats de precisió
mètrica siguin estrictes, hem de recórrer sens dub-
te a les noves tecnologies digitals. Aquest àmbit,
que per la seva especificitat no tractarem aquı́,
avui dia està experimentant una evolució constant
que ens dóna el convenciment que en un futur
no gaire llunyà aquestes tècniques de mesurament
a distància seran més accessibles per resoldre tot
tipus d’aixecaments (Fig. 5).
En aquest primer bloc de pràctiques, plantejarem
un parell de temes d’aixecament senzills que se-
ran representats mitjançant dibuixos a mà alçada,
més coneguts pel nom de croquis acotats, és a
dir, la representació gràfica d’un conjunt de vis-
tes sintètiques del model amb l’anotació escrita de
les seves mides i de les seves caracterı́stiques més
rellevants.
Consideracions prèvies123
Page (PS/TeX): 20 / 24, COMPOSITE
Page (PS/TeX): 21 / 25, COMPOSITE
1
Posem mides i dibuixem un cavallet
Per què i per a què fem un croquis?
Fig. 1 El cavallet que hem de modelar
La tasca que ens proposem en aquesta prime-
ra pràctica consisteix a realitzar el dibuix a mà
alçada d’un objecte real –en aquest cas, un
cavallet per al suport d’una taula de treball–
amb la finalitat de generar una documentació
gràfica destinada a registrar les dades dimen-
sionals i geomètriques del model. És a dir, es-
tem parlant d’un dibuix amb una finalitat molt
precisa, que és documentar uns aspectes de-
terminats de la realitat fı́sica d’un objecte per
tal de poder reproduir-la en un altre context.
Un croquis d’aquest tipus podria tenir diver-
ses utilitats: ens serviria com a documentació
necessària per reconstruir un model semblant,
per realitzar un dibuix més acabat amb uns de-
terminats objectius especı́fics o, com veurem
més endavant, per generar un model virtu-
al tridimensional del cavallet. Tot això vol dir
que hem de pensar el croquis com la docu-
mentació gràfica que ha de tenir un caràcter
mitjancer entre l’objecte real i la destinació
final, per la qual cosa hem de procurar dibui-
xar amb la major objectivitat i claredat pos-
sibles, tenint en compte que no ens podem
deixar dades del model sense dibuixar però
també que hem d’evitar les ambigüitats i rei-
teracions innecessàries, que podrien dificultar
la interpretació correcta de la documentació
gràfica.
Un dibuix d’aquestes caracterı́stiques és,
doncs, un referent bàsic per descriure una de-
terminada realitat fı́sica de l’objecte que, en-
cara que s’ha de fer amb una disposició gràfica
adequada i agradable visualment en el paper,
s’allunya de les consideracions estètiques del
dibuix artı́stic, que té per finalitat comunicar unes qües-
tions molt diferents a les del nostre croquis.
Aquest tipus de representació gràfica directa i precisa és
la que fan servir sovint els arquitectes quan necessiten
transmetre unes determinades solucions constructives
Pràctica 1. Posem mides i dibuixem un cavallet125
Page (PS/TeX): 22 / 26, COMPOSITE
o quan han de documentar una realitat construı̈da
amb l’objectiu de fer-ne una restauració o inter-
venció posterior.
Per tal de diferenciar aquest croquis d’altres podem
dir que el nostre dibuix s’acostuma a anomenar
croquis constructiu o, més sovint, croquis acotat,
atès que resulta imprescindible expressar amb va-
lors numèrics les diferents dimensions del model
mitjançant les seves cotes.
Tenint clara la finalitat principal del nostre dibuix
comencem, doncs, la feina...
Per fer el croquis del cavallet necessitem alguna cosa més que llapis i paper
Si parlem dels estris que necessitem per fer el croquis,
podem dir que només hem de tenir al nostre abast
una cinta mètrica convencional, un llapis i una mica
de paper. Com veieu, no sembla un equipament
gaire sofisticat. No obstant això, el més important
per començar a dibuixar és la necessitat de comptar
amb un altre tipus d’eines que no es poden adquirir
a les botigues. Estem parlant de la nostra disposició
personal per enfrontar-nos amb el model que volem
representar al paper. Això vol dir que, abans de
traçar-ne la primera lı́nia, hem de tenir més o menys
clar què és el que necessitem dibuixar, per tal de
poder expressar amb la màxima sı́ntesi possible les
dades essencials del nostre cavallet.
Aquesta predisposició inicial comença, òbviament,
per un reconeixement exhaustiu dels components
del model i del seu funcionament, que, com veu-
rem en aquest cas particular, no és gaire complex.
Això no obstant, el més important d’aquest tipus
de dibuix és poder tenir prèviament una mena
d’esquema visual del que després es plasmarà al
paper, encara que sobre la marxa aquest esquema
pugui canviar una mica.
Observem el cavallet a la fotografia (Fig. 1) i co-
mencem per reconèixer-ne els components. Veiem
que el model està format per dues parts que es
poden acoblar: l’estructura de sustentació amb les
potes i una base mòbil que serveix per fixar l’alçada
i orientar la inclinació del tauler que es recolzarà da-
munt seu. D’entrada, aquesta circumstància ens fa
reflexionar al voltant de la conveniència de pensar
el dibuix dels dos components separadament per
Fig. 2 Exemple de la projecció ortogonal d’un model
en què es veuen les projeccions de la representació en
sistema dièdric
261Representació geomètrica en arquitectura
Page (PS/TeX): 1 / 27, COMPOSITE
tal que es pugui descriure amb claredat el funcio-
nament del cavallet.
Ara ens fixem en algunes caracterı́stiques construc-
tives d’interès.
Encara que no siguem fusters experts, podem com-
provar que tots dos components del cavallet es-
tan construı̈ts amb peces industrialitzades, general-
ment llistons de fusta de mides estàndards que es
vinculen mitjançant cargols. La circumstància de te-
nir elements repetitius i amb dimensions comunes
condicionarà, inevitablement, la manera d’expres-
sar les dades del nostre dibuix en què, com hem dit
abans,hem d’intentar evitar la redundància de re-
ferències gràfiques en benefici d’una comunicació
efectiva de les dades del model.
Una altra caracterı́stica constructiva que ens cri-
da l’atenció –i que alhora n’és també un tret ge-
omètric– és la disposició peculiar de les potes, que
s’acoblen en una posició obliqua per tal d’asse-
gurar la màxima estabilitat del cavallet. Aquest és
un fet que hem de tenir en compte des de l’inici
perquè ens condicionarà la manera d’expressar les
dades mètriques i de posició.
L’altra qüestió fonamental sobre la qual hem de
reflexionar abans de traçar la primera lı́nia sobre
el paper és quines són les vistes o posicions del
model més adients per transmetre les dades de les
dimensions que anirem mesurant en el cavallet. Per
començar, sempre hem de pensar en unes vistes del
model en les quals, sempre que sigui possible, les
mides es puguin expressar sobre un pla coincident
amb el del paper. Aquestes són les anomenades
vistes en projecció dièdrica o, més genèricament,
vistes ortogonals; estem parlant del que habitu-
alment s’anomena la planta (la vista superior), la
vista frontal també denominada alçat i la vista la-
teral (Fig. 3).
Fig. 3 Disposició dels tres plans de projecció del
model anterior abatuts sobre un únic pla de dibuix.
Més avall es pot veure la manera més habitual d’or-
denar aquestes vistes en els dibuixos d’arquitectura
Pràctica 1. Posem mides i dibuixem un cavallet127
Page (PS/TeX): 24 / 28, COMPOSITE
Fig. 4 Dues maneres de mesurar la posició obliqua de
la recta AB: (A) mitjançant les seves coordenades orto-
gonals, o (B) mesurant, a més d’una longitud, els angles
de la projecció horitzontal i vertical
Aquestes són les posicions més adients per al nostre ca-
vallet? En principi, sembla que sı́, però immediatament
ens trobem amb la primera dificultat quan pensem que
en aquestes vistes mai no podrem veure les potes en la
seva vertadera magnitud, atesa la seva posició obliqua
respecte als plans de projecció ortogonals.
Arribats en aquest punt, hem de començar a prendre
decisions. Si les vistes ortogonals semblen necessàries
per entendre la disposició general dels elements i per
acotar determinades mesures clau com l’alçada i l’am-
plada del cavallet o la separació de la base i part superi-
or, de quina manera podrı́em expressar les dimensions
dels llistons i la posició obliqua de les potes?
Respecte a la qüestió de les dimensions, el problema se
simplifica quan pensem que les potes són llistons amb
secció de mides estàndards, per la qual cosa només
bastarà una referència i un text lateral al dibuix per
indicar-ho.
El tema de la posició obliqua és una mica més delicat.
Ens hem de plantejar el problema geomètric de donar
les dades per situar un element en una posició que
no coincideix amb cap dels plans de la projecció. Aquı́
tenim dues sortides possibles al nostre abast: o de-
terminem les coordenades ortogonals en relació amb
aquests mateixos plans del dibuix (Fig. 4) o mesurem
angles respecte a aquests dos plans verticals.
Atesa la dificultat que implica el fet de mesurar angles
sobre el model, sembla evident que ens hem d’incli-
nar per la primera opció, buscant, com veurem més
endavant, la manera pràctica més efectiva per obtenir
aquestes dades.
El joc de les simetries
Imaginem, per un instant, com serien aquestes vistes
ortogonals convencionals sobre el paper (si ens costa
molt d’imaginar-les, fem-ne un esbós preliminar ràpid
sobre un full).
La primera cosa que detectem quan estem dibuixant
les tres projeccions del cavallet (una planta i dos alçats)
és la repetició dels elements a un costat i l’altre de cada
vista, com en un mirall. Si tracem una lı́nia que passi pel
mig de cada vista, comprovarem, efectivament, que la
porció de dibuix d’una banda de la lı́nia és exactament
igual al de l’altra, però en inversió especular. Aquest
fenomen, que en geometria s’anomena simetria axial i
que trobem molt sovint en una gran quantitat de temes
d’arquitectura i disseny, és un factor impor-
tant que cal tenir en compte a l’hora d’orga-
nitzar el nostre dibuix. Observem (Fig. 5) que
a les vistes del cavallet ens trobem amb dos
eixos de simetria diferents: un que divideix la
planta i, en correspondència, l’alçat frontal, i
un altre que separa l’alçat lateral en dues mei-
tats. Si traslladem aquesta idea de simetria a
la tridimensionalitat del model, podem pen-
sar en l’existència de dos plans virtuals que
separen l’objecte en quatre parts exactament
simètriques. Aquests plans, que ens seran
de gran utilitat més endavant, s’anomenen,
justament, els plans de simetria del model.
281Representació geomètrica en arquitectura
Page (PS/TeX): 25 / 29, COMPOSITE
Fig. 5 Dibuix de les vistes del cavallet disposades correctament sobre el paper
Pràctica 1. Posem mides i dibuixem un cavallet129
Page (PS/TeX): 26 / 30, COMPOSITE
Mesurar i dibuixar
Amb la cinta mètrica a les mans, comencem per
fer una primera aproximació de les dimensions ge-
nerals del cavallet mesurant-ne l’alçada i les dues
amplades per tal de tenir una idea de les proporci-
ons bàsiques del model.
Agafem ara un paper d’una grandària considera-
ble però que es pugui manipular, com ara un full
de format DIN-A3, i iniciem el dibuix de les vis-
tes definint-ne els contorns principals amb un traç
molt suau i intentant respectar les proporcions ge-
nerals del model. Considerem, prèviament, la dis-
tribució de les vistes al paper tenint en compte els
dos components del cavallet i deixant zones lliures
per a l’addició de possibles detalls o dades com-
plementàries. Observeu que, tal com ja hem dit
abans, resulta convenient dibuixar la base mòbil
separada de l’estructura del cavallet amb l’objectiu
de descriure amb claredat totes les dimensions del
model.
Amb aquestes referències dimensionals generals,
comencem a esbossar els trets bàsics de cadascu-
na de les vistes per tal de tenir un control dels
components del model i, al mateix temps, poder
comprovar la disposició correcta dels dibuixos al
paper (Fig. 5, pàgina anterior).
Una vegada plantejat aquest primer esquema
gràfic de les vistes, podem començar el procés d’a-
cotació. Triem la vista en planta, per exemple, i
comencem a mesurar amb la cinta mètrica les am-
plades de la base de les potes i la part superior, i les
traslladem al paper amb les cotes corresponents,
que intentarem disposar de manera ordenada i co-
herent seguint un criteri lògic de lectura. A mesura
que anem prenent les dades, ens adonarem que en
el dibuix de la planta hi ha mesures que no podem
acotar. Aquest és el cas, per exemple, de la safata
inferior, ja que aquest component queda amagat
parcialment per la part superior del cavallet en la
projecció. Aquest és el moment de recordar allò
que hem dit fa un moment respecte a les simetri-
es.
Si, a partir de la lı́nia de simetria que hem traçat al
mig del dibuix en planta, el costat de la dreta és
idèntic al costat de l’esquerra, per què no represen-
tem la part superior del cavallet a una banda del
dibuix i la part inferior al nivell superior de la safa-
ta a l’altra? Comprovarem com d’aquesta manera,
aprofitant les condicions de simetria axial, podem
resoldre el problema fent només un únic dibuix en
planta del cavallet i, de pas, evitarem una informa-
ció redundant en el dibuix. En el fons, el que estem
fent a la part esquerra del dibuix per veure l’encaix
superior de la safata no és sinó una projecció en
secció horitzontal que passa a l’alçada del suport
de la safata del model, un tema que veurem de
manera extensa més endavant (Fig. 6).
Fig. 6 La planta-secció dividida per un
pla de simetria amb les cotes de les
amplades
301Representació geomètrica en arquitectura
Page (PS/TeX): 27 / 31, COMPOSITE
Fig. 7 Acotació dels alçats fent servir el recurs dels plans de simetria
Tornem ara a les vistes en projecció vertical, els
alçats, i acotem-ne totes les alçades, inclosesles de
la safata. Com que aquı́, igual que a la planta, ens
trobem amb el problema dels elements amagats,
podem fer servir el mateix recurs de la simetria,
amb la qual cosa donarem, a més, una major co-
herència a la lectura gràfica del conjunt. D’aquesta
manera, les tres vistes estan dividides al mig per un
eix on el sector de l’esquerra representa la secció
pels plans de simetria i la part dreta, la vista del
cavallet. Sempre que sigui possible, hem de procu-
rar posar les cotes que es corresponen amb el pla
de projecció, i evitar l’acotació d’amplades que es
podrien entendre millor a la planta (Fig. 7).
Repassem, doncs, totes les mides ortogonals dels
dos components del cavallet per tal de no deixar-
nos-en cap sense acotar.
Tot i això, ens queda per resoldre l’acotació de les
potes obliqües, que, en no estar situades paral·leles
als plans de projecció, no podem acotar directa-
ment. Recordem que aquı́ tenim dos temes per re-
soldre: el de les mides de la secció del llistó i el de
la determinació de la posició obliqua en el cavallet.
Atès que estem parlant d’elements de mides
estàndards –llistons de fusta de manufactura–, el
primer problema el podem resoldre de manera
efectiva afegint un text d’aclariment amb un es-
quema de la secció del perfil amb les mides.
El segon tema requereix una mica més d’estratègia
a l’hora de mesurar. Tal com hem expressat anteri-
orment, la manera més pràctica de mesurar un ele-
ment en posició obliqua és, justament, determinar-
ne les coordenades ortogonals. Per tal de poder
efectuar aquest amidament, identifiquem en pri-
mer lloc dues arestes simètriques de les potes com
les assenyalades amb AB i CD al dibuix. Si som
capaços de determinar amb precisió la posició d’a-
questes arestes, podrem dibuixar les potes comple-
tes. L’elecció d’aquestes arestes està condicionada,
d’una banda, per les possibilitats pràctiques de me-
surament i, d’altra banda, per la seva posició res-
pecte a l’assemblatge amb la resta de components
del model.
Ara, una vegada més, ens tornarem a aprofitar de
les propietats simètriques del nostre cavallet. Pri-
mer mesurem la separació entre els extrems supe-
Pràctica 1. Posem mides i dibuixem un cavallet131
Page (PS/TeX): 28 / 32, COMPOSITE
Fig. 8 Aixecament de l’amplada inferior i superior de les potes
riors AC (51 cm) i els inferiors BD (70 cm)
(Fig. 8) de les dues arestes de les potes, per tal
de determinar-ne fàcilment, gràcies a les pro-
pietats de simetria, la posició a l’alçat frontal.
Igualment, mesurant la separació superior i
inferior de les potes del cavallet en sentit late-
ral, per les mateixes condicions geomètriques
anteriors podrem dibuixar la seva posició a la
planta i a l’alçat lateral, amb la qual cosa tin-
drem situades finalment les quatre potes al
dibuix (Fig. 9).
A mesura que anem amidant la resta de com-
ponents, ens trobarem amb casos particulars
que, a causa de la seva grandària respecte al
conjunt, resulten massa petits al dibuix per
Fig. 9Cotes de situació de la posició obliqua de les potes del cavallet Fig. 10 Croquis acotat dels perfils de la safata i la guia superior
321Representació geomètrica en arquitectura
Page (PS/TeX): 29 / 33, COMPOSITE
poder acotar-los amb claredat. És, doncs, el mo-
ment de plantejar-nos la conveniència de fer un
dibuix de detall a una escala superior on quedin
expressades aquestes dimensions. Aquest serà el
cas de la secció dels perfils de la safata inferior i de
la part superior de l’estructura (detalls A i B), que,
per la seva particularitat, necessiten una descripció
detallada (Fig. 10).
Per tal d’evitar una redundància en la informació
dimensional, els elements repetitius amb distàncies
constants (com ara els forats de la base mòbil i els
llistons de la safata inferior) seran acotats amb una
referència al valor constant i, si cal, amb un text
addicional. Igualment, afegirem textos per definir
les caracterı́stiques i dimensions de totes les peces
normalitzades.
Amb l’objectiu d’aclarir la forma senzilla de sub-
jecció entre l’estructura i la base mòbil del cavallet,
fem un petit detall en perspectiva que afegirem a
un costat del dibuix (Fig. 11).
Per acabar, comprovem una vegada més les mides
i completem el dibuix amb els recursos gràfics ne-
cessaris per reforçar la descripció del model, com
ara les ratlles dels elements seccionats i els textos
complementaris (Fig. 12).
Fig. 11 Detall en axonometria de l’element de subjecció
Pràctica 1. Posem mides i dibuixem un cavallet133
Page (PS/TeX): 30 / 34, COMPOSITE
Fig. 12 Croquis final del plànol d’aixecament del cavallet
341Representació geomètrica en arquitectura
Page (PS/TeX): 1 / 35, COMPOSITE
2
La matèria primera de l’arquitectura:
l’aixecament d’un espai interior
Sense l’encàrrec no podem fer res
Abans de començar aquesta segona pràctica, hem
de fer un exercici de role playing i imaginar-nos
que som uns arquitectes als quals ens toca rebre
un encàrrec professional molt concret: un parell
d’amics –els primers treballs sempre provenen dels
amics– ens demanen l’aixecament d’un espai amb
l’objectiu de muntar-hi una exposició d’obres d’art.
Aquest joc d’anticipació no és banal: d’una banda,
perquè la nostra professió no tindria molt sentit
sense la presència d’un altre (el client que ens de-
mana la feina) i, de l’altra –que és la que més in-
teressa aquı́– per la manera com pot canviar la nos-
tra resposta professional segons el tipus de deman-
da que se’ns faci. Com veurem més endavant, les
exigències tècniques d’un aixecament com aquest
poden variar radicalment si, per exemple, aquests
amics ens demanen aquesta documentació per a
una operació de rehabilitació o per un problema
de patologia edilı́cia, per citar només dos casos
bastant freqüents en el nostre àmbit professional.
Tot això vol dir, doncs, que la finalitat del nostre
aixecament l’hem de tenir clara des del primer mo-
ment que ens plantegem les tasques de l’encàrrec.
Tornem als nostres amics i comencem a interrogar-
los: necessiten el nostre aixecament per fer un mo-
del virtual 3D o bé es plantejaran la disposició de
les obres de l’exposició directament sobre el di-
buix d’un plànol convencional? Quin és el grau de
precisió en el mesurament que necessiten? Volen
uns dibuixos acabats o els basta amb uns croquis
d’aixecament prou clars?
Després d’una necessària entrevista amb els nos-
tres clients imaginaris, arribem a la conclusió que la
nostra aportació es limitarà (qüestió de pressupost,
com sempre!) a la confecció d’uns croquis degu-
dament acotats per a una utilització posterior.
Per això, ens bastarà amb la definició d’una bona
planimetria i el plantejament de les seccions ne-
cessàries per expressar sense omissions les dimen-
sions de l’espai en alçada. Si és necessari, afegirem
algun detall o esquema que pugui resultar aclari-
dor d’una determinada qüestió en particular.
Un altre tema que adquireix més transcendència
de la que ens imaginem en un primer moment té a
veure amb les condicions d’accés a l’espai en qües-
tió. Ens referim no tan sols a l’accessibilitat fı́sica,
que òbviament té la seva importància, sinó també
a la programació del temps necessari i el nombre
de visites que podem realitzar al lloc per fer-ne
l’aixecament. Com que, lògicament, volem fer les
coses bé amb el mı́nim temps possible, ens hem
de plantejar la feina en relació amb les dimensions
i la complexitat formal de l’espai que hem d’ai-
xecar. Per tot això, es fa imprescindible tenir una
referència prèvia d’aquest espai per tal de progra-
mar les tasques de manera adient.
Com que els amics no compten amb una informació
adequada del lloc (plànols o dibuixos amb unes
referències mètriques bàsiques) i només ens n’en-
senyen unes fotografies bastant deficients, resulta
imprescindible una vista prèvia per tal de poder pro-
gramar adequadament les tasques de l’aixecament.
Pràctica 2. La matèria primera del’arquitectura: l’aixecament d’un espai interior135
Page (PS/TeX): 32 / 36, COMPOSITE
Fig. 1 Una imatge del nostre espai de treball
Els nostres clients ocasionals ens porten a l’Escola
Tècnica Superior d’Arquitectura de Barcelona on,
a la planta baixa, trobem l’espai en qüestió.
Ens trobem, doncs, al mig del recinte principal del
nostre lloc de treball, fornits només amb paper,
llapis i una càmera fotogràfica, i fem un tomb
ràpid per fer un reconeixement dels diferents es-
pais que componen les àrees que s’han de me-
surar.
En prenem unes fotografies generals per tenir una
idea global del lloc: es tracta d’un conjunt de tres
recintes on el protagonista principal és un espai
diàfan amb quatre pilars al qual s’accedeix per dues
escales simètriques i que està connectat fı́sicament
amb una sala més petita i, visualment, amb una
terrassa exterior (Fig. 1).
Ens assabentem que l’espai principal es fa servir
habitualment com sala d’estudis per als alumnes
de l’Escola d’Arquitectura i que la sala contigua es
fa servir com a despatx.
Es tracta, per tant, d’un espai amb una complexi-
tat funcional mı́nima que es pot copsar de manera
directa d’una primera ullada i del qual podem fer
un croquis ràpid d’aproximació sense posar massa
afany en la qualitat gràfica del resultat, tenint en
compte que aquest dibuix és només un marc inicial
per a la programació de la feina abans de la tasca
especı́fica de l’aixecament. Si cal, podem prendre
un parell de referències dimensionals per tenir una
idea global de la grandària de l’espai amb el qual
hem de treballar.
A mesura que n’anem fent l’esbós, ens adonem
d’una caracterı́stica ben particular en la geometria
de les parets, que sovint es defineixen amb unes
formes corbes ben pronunciades en els canvis de
direcció. Comprovem que aquest és un tret carac-
terı́stic de tota l’arquitectura de la part nova de
l’escola, projectada per l’arquitecte José Antonio
Coderch com una ampliació de l’edifici original.
Intuı̈m, per tant, que aquest serà un tema com-
plicat de mesurar i que hem de meditar una mica
l’estratègia abans de tornar al lloc.
En una observació més detallada, ens adonem d’al-
tres trets geomètrics que no són tan evidents a
primera vista però que hem de tenir en compte a
l’hora de programar la feina.
361Representació geomètrica en arquitectura
Page (PS/TeX): 33 / 37, COMPOSITE
Observem una simetria parcial a l’espai de la sala
principal que té com a eix de simetria una lı́nia virtu-
al que passa pel punt mitjà de la distància més curta
entre els pilars de l’estructura i ens assabentem que
podem aprofitar aquesta caracterı́stica geomètrica
per simplificar-ne el mesurament i referenciar en el
croquis com una dada afegida.
No passen per alt, també, determinades carac-
terı́stiques constructives d’aquest espai, com ara
la distribució modular dels panels de les finestres i
l’ordenació de la geometria del conjunt en relació
amb l’ordre estructural visible als quatre pilars que
dominen la sala principal.
Considerem que ja en tenim prou amb les da-
des obtingudes i acabem aquesta visita prelimi-
nar per tal de preparar una estratègia adequada
abans d’emprendre les tasques definitives d’aixe-
cament.
Ens posem en situació
És evident que, quan programem una feina com
aquesta, no ho podem tenir tot absolutament con-
trolat i que, amb molta probabilitat, a l’escenari de
treball ens trobarem amb la necessitat d’improvisar
alguna solució especı́fica per tal de solucionar un
problema determinat no previst abans. Això pas-
sarà i no ens hem d’amoı̈nar perquè forma part de
la nostra pròpia dinàmica de treball.
El que sı́ que hem de preveure és comptar amb to-
tes les eines adequades per resoldre aquests possi-
bles imprevistos, atès que una imprevisió o un oblit
del material necessari signifiquen haver de tornar
un altre dia al lloc... i això sabem que no és un bon
negoci!
Després de discutir una bona estona i d’informar-
nos-en convenientment, arribem a elaborar la llista
següent de material que hem de portar:
1. Un parell de cintes mètriques; una de gran, amb
una llargada superior als 10 metres –millor 20–,
per tal de mesurar les dimensions generals de
les estances, i una altra de petita (amb 3 metres
en tindrem suficient), per als detalls a menor es-
cala.
2. Paper en format DIN A-3 i DIN A-4 i llapis de
mines toves i dures per dibuixar el croquis, tal
com vam fer-ho a la pràctica anterior.
3. Dos o tres regles llargs –bastarà amb 2 o 3
metres– com els que es fan servir sovint en
topografia, normalment llistons de fusta ben
rectes amb graduació mètrica o sense. Eventu-
alment, podria ser d’utilitat un escaire de fusta
per controlar els angles rectes, però això, com
veurem més endavant, ho podem substituir
amb determinades tècniques de mesurament.
4. Una càmera fotogràfica per prendre unes vis-
tes especı́fiques de suport de l’aixecament, que
poden ajudar-nos en la interpretació posterior
de les dades del croquis i que, en determinades
condicions, podem incorporar a la documenta-
ció final. No cal dir que aquest aparell no ha
de ser gaire sofisticat, ja que amb les actuals
càmeres digitals de qualitat mitjana es poden
obtenir resultats prou satisfactoris.
5. Opcionalment, podrem equipar-nos amb una
tecnologia més avançada i portar un distan-
ciòmetre làser, un aparell que ens permet mesu-
rar amb gran precisió les distàncies mitjançant
el recorregut d’un raig làser (Fig. 2).
De tota manera, si el pressupost no ho pot cobrir,
ens bastarà amb el mesurament directe amb cinta
mètrica, amb el qual tindrem un aixecament prou
fiable per als objectius del nostre encàrrec.
Ara ens trobem reunits per programar adequada-
ment les tasques d’aixecament, amb vista a apro-
fitar al màxim el nostre temps en el lloc de treball i
fer més efectiu el procés de treball.
Immediatament ens adonem que el punt més con-
flictiu del procés serà mesurar les formes corbes.
Pel que vam veure a la visita preliminar, les pa-
rets semblaven arrodonides amb arcs de circum-
ferències i partim d’aquesta hipòtesi per sospesar
les tècniques més idònies de mesurament. Per a
això, com veurem més endavant, farem servir els
regles que hem previst dins del nostre equipament
elemental d’aixecament.
Un altre tema de discussió és el nombre de perso-
nes necessàries per realitzar els treballs de manera
còmoda i eficaç. L’experiència demostra que, per
Pràctica 2. La matèria primera de l’arquitectura: l’aixecament d’un espai interior137
Page (PS/TeX): 34 / 38, COMPOSITE
Fig. 2 El distanciòmetre làser ens possibilita un mesurament
fiable i precı́s
a un treball de dimensions modestes com
aquest, basta amb el mòdul mı́nim d’aixeca-
ment constituı̈t per tres persones: dues per
mesurar i una tercera per anar dibuixant el
croquis amb les cotes resultants del mesura-
ment. Això no vol dir que aquest treball no es
pugui portar a terme amb dues persones –fins
i tot només amb una! Es tracta, doncs, d’u-
na qüestió d’eficàcia, una equació on hem de
posar en relació factors diversos com la quali-
tat de la feina, el temps de què disposem i la
precisió dels resultats.
La tercera qüestió que s’ha de comentar en
aquesta reunió prèvia a la visita és cabdal per-
què es tracta de tenir una idea bastant precisa
dels dibuixos que hem de fer per transmetre
amb rigor tota la informació mètrica al pa-
per. Com que hem acordat amb els nostres
clients que la documentació que els lliurarem
serà la dels croquis d’aixecament, valdrà la pe-
na intentar que els dibuixos obtinguts al lloc
puguin aprofitar-se de forma més o menys di-
recta, per tal d’estalviar-nos la feina que signi-
ficaria passar en net tots els croquis obtinguts
al lloc. Si podem fer això, una vegada acaba-
des les tasques de mesurament només caldrà
completar el material dels croquis amb l’afegit
d’alguns petits dibuixos i textos aclaridors de
qüestions molt puntuals.
Però tornem a la qüestió inicial: quinsi quants
seran els croquis que hem de fer?
Aprofitem la curta experiència adquirida fins
ara i tornem, per un moment, a la pràctica
anterior per tal d’establir clarament les di-
ferències entre dos models de treball ben di-
ferents. En el cas d’un objecte de mobiliari,
com el cavallet, estem davant d’una forma tri-
dimensional amb una geometria concreta en
la qual predomina la noció de matèria, en
el sentit més estricte. Tal com vam veure a
la pràctica, per transmetre aquesta materia-
litat necessitàvem descriure-la amb el dibuix
d’un conjunt de vistes on puguéssim contro-
lar perfectament la realitat tridimensional del
cavallet.
El cas que ens pertoca ara és ben divers, i
no tan sols per les evidents diferències de
grandària. En aquest cas, el protagonista és
l’espai, “l’aire” contingut dins de la materia-
litat de les parets, els sostres i les finestres. Aquesta és
la matèria primera de l’arquitectura que nosaltres hem
de representar al paper i, per fer això, paradoxalment,
hem de mesurar els elements constructius que contenen
aquest espai i li donen realitat fı́sica.
Tal com hem vist a la introducció d’aquest llibre, el di-
buix de les plantes arquitectòniques –les planimetries–
va ser la manera més directa de representar i mesurar
les diferents compartimentacions dels espais habitables.
Com és evident, aquesta representació omet les dades
de les dimensions verticals de l’espai. No obstant això,
381Representació geomètrica en arquitectura
Page (PS/TeX): 35 / 39, COMPOSITE
i atès que habitualment la complexitat dels
espais arquitectònics es dóna al pla horitzon-
tal, aquesta és una de les raons de la pree-
minència de les plantes als dibuixos d’arqui-
tectura. Pel mateix motiu, la planimetria serà
també la base de la nostra documentació d’ai-
xecament i, en aquest sentit, n’hem de pre-
veure unes qüestions molt elementals, com
ara la grandària del dibuix per poder acotar
còmodament i una distribució gràfica més o
menys proporcionada dels espais que defini-
ran la planta. Fent-ne algunes aproximacions,
concloem que el format de paper més ade-
quat per dibuixar aquesta planta és el d’un
DIN-A3, ja que ens permet fer un croquis
d’una grandària acceptable i resulta bastant
còmode per manipular.
De tota manera, sabem que amb això n’hi ha
prou per descriure correctament l’espai i ne-
cessitem conèixer els canvis que es produeixen
en les alçades, unes dades imprescindibles per
completar i restituir al paper les tres dimensi-
ons d’aquest lloc. Per això necessitem dibuixar
les seccions, els “talls” verticals de l’espai, on
acotarem les mesures de les alçades i com-
prendrem millor els canvis de nivells del terra,
les variacions del sostre, dels tancaments ver-
ticals i dequalsevol elementde l’espaiquenopuguiquedar
expressat a la planta. (Pensem que les planimetries no són
sinó seccions horitzontals, on, tallant a una determinada
alçada –generalment convencional–, veiem cap al terra,
amb la qual cosa es fa molt difı́cil interpretar tot allò que es
troba per damunt de l’alçada de tall. Encara que existeixen
codis especı́fics per dibuixar aquests elements que es
troben per fora de l’àmbit de la representació, sempre
es fa necessari el complement de seccions vinculades
adequadamentaaquests canvisenplanta.)
El tema crucial és sempre el mateix: quantes són les
seccions necessàries? Però, abans de contestar, hem de
rectificar la pregunta dient: quines són les seccions ne-
cessàries?
Com que ja tenim una visualització bastant precisa del
nostre espai, podem estudiar detingudament per on pas-
sarem les seccions, amb l’objectiu de descriure tots els
canvis que es produeixen en les alçades. Això ho po-
dem fer esbossant unes aproximacions sobre el croquis
preliminar. En aquesta programació, haurı́em d’arribar a
allò que ja hem après a la pràctica anterior: obtenir el
màxim d’informació amb el menor nombre possible de
dibuixos. Com sabem, l’economia compta per a tot.
Fornits amb tot l’equipament d’aixecadors, ens dirigim
resoltament a la nostra destinació arquitectònica.
Mesurar i dibuixar
Fig. 3 Traçat preliminar amb un esquema lineal de la distribució
dels espais
El primer que fem en arribar a l’espai de tre-
ball és ubicar-nos en un lloc còmode (si tenim
una tauleta, millor) per deixar-hi l’equipament
i tenir-hi una base per dibuixar.
Amb l’ajuda del nostre croquis preliminar, co-
mencem per plantejar el dibuix de la planta
que serà la base de l’aixecament. En fem un
esquema lineal tan proporcionat com ens sigui
possible, i distribuı̈m el conjunt dels recintes
que componen l’espai. Aquesta és només una
primera aproximació gràfica, traçada amb po-
ca intensitat, amb l’objectiu de controlar l’es-
cala del conjunt i la distribució del dibuix al
paper (Fig. 3).
Tal com hem observat en la visita preliminar,
l’àmbit de la sala d’estudis està dominat per
quatre pilars cilı́ndrics que revelen l’ordre es-
tructural de l’espai. Per tant, una bona idea és
començar per mesurar aquests elements.
Pràctica 2. La matèria primera de l’arquitectura: l’aixecament d’un espai interior139
Page (PS/TeX): 36 / 40, COMPOSITE
Fig. 4 Mesura i control gràfic de l’estruc-
tura dels pilars
Amb la cinta mètrica a les mans, mesurem primer
les distàncies mı́nimes entre els pilars en les dues
direccions que determinen aquest mòdul estructu-
ral, en aparença ortogonals. Com que ens interes-
sa acotar a l’eix de l’estructura, podem calcular
el diàmetre dels pilars mesurant-ne el perı́metre i
calculant-ne el radi.
Encara que sembli el més probable, és important
que ens assegurem que la nostra estructura és
efectivament ortogonal. Per fer això, bastarà me-
surar les diagonals del quadrilàter definit pels qua-
tre pilars que acabem de mesurar i, si aquestes
mides són iguals, podem estar segurs que l’estruc-
tura és efectivament rectangular. Observem que
aquesta comprovació és important perquè ens ba-
sarem en la geometria elemental d’aquesta estruc-
tura per continuar l’aixecament dels elements con-
tigus.
En el nostre mesurament, trobem una petita di-
ferència mètrica en les diagonals, la qual, ateses
les caracterı́stiques de precisió requerides pel nos-
tre encàrrec, podem considerar negligible (Fig. 4).
Podem ara començar a mesurar tots els tanca-
ments rectes de la sala principal, incloses les zones
de finestres. Més tard mesurarem les parts corbes
dels murs, però ara en deixem un buit en el dibuix
del croquis. Per tal d’assegurar-nos que mesurem
correctament els trams rectes, ens podem ajudar
amb els regles que hem portat, recolzant-los sobre
la superfı́cie dels murs per tal de determinar el lı́mit
de la zona plana (Fig. 5).
Un mètode com aquest, si bé no garanteix la preci-
sió mètrica, és suficient per als objectius del nostre
treball.
Mesurem de manera ordenada cada tram dels pa-
raments i, a les zones on aquests elements plante-
gen una articulació important, com a les finestres
que donen a la terrassa, és convenient fer unes
mides generals per controlar els possibles errors de
401Representació geomètrica en arquitectura
Page (PS/TeX): 37 / 41, COMPOSITE
Fig. 5 Determinació dels trams plans de les
parets corbes
cotes derivades de l’acumulació de petits me-
suraments.
Observem, però, que –tal com havı́em detec-
tat a la visita prèvia– existeixen molts elements
en relació simètrica respecte a un eix virtual
que passa per la meitat del costat menor del
rectangle estructural. Podem aprofitar aques-
ta simetria, doncs, per estalviar-nos una mi-
ca de feina i, el que és més important, deixar
constància d’aquesta propietat geomètrica en
el croquis, dibuixant un eix de simetria per fer
referència a determinades cotes clau (Fig. 6).
Fig. 6 Acotació dels paraments que limiten la sala principal
Pràctica 2. La matèria primera de l’arquitectura: l’aixecament d’un espai interior141
Page (PS/TeX): 38 / 42, COMPOSITE
El problema de les corbes
Ens trobem ara amb uns delspunts més delicats
del nostre aixecament i hem de resoldre la manera
de mesurar els paraments corbs.
La primera qüestió és dilucidar si aquestes corbes
estan formades per arcs de circumferències tan-
gents, és una de les solucions més freqüents en
aquests tipus d’arquitectures. A simple vista ho
semblen, però ens hem d’assegurar aquesta mena
d’intuı̈ció geomètrica amb els mitjans adequats.
Per esbrinar aquesta qüestió, ens centrem en la
petita zona emmarcada pels pilars que es troben a
l’accés amb les escales bessones i ens col·loquem a
l’interior de la part còncava. Si mesurem els trams
rectes simètrics del muret baix i fem unes com-
provacions de les distàncies que els separen, veu-
rem que tenen una petita convergència i, per tant,
que no són paral·lels. Mesurem i dibuixem el tercer
tram recte partint del nostre eix virtual de simetria
i ens disposem a definir la incògnita de les corbes
(Fig. 7).
Com que estem a la part còncava de la corba, el
tema és ben senzill: si, tal com sospitàvem, es trac-
ta d’una circumferència, no resultarà gaire difı́cil
trobar-ne el centre. Pensem per un moment que
el centre d’una circumferència és el punt comú
on coincideixen totes les perpendiculars a les tan-
gents de la corba i materialitzem aquest centre di-
buixant al paviment, amb un guix, les dues rectes
perpendiculars que parteixen dels finals dels trams
rectes.
Per fer això, podem aprofitar els instruments que
hem portat fent servir un escaire. Si no en dispo-
sem, haurem de fer servir els regles que hem por-
tat i ajudar-nos de la ciència pitagòrica improvisant
un triangle rectangle amb unes mides arbitràries
(Fig. 8).
Fig. 7 Aixecament dels trams rectes de la zona d’accés
Fig. 8 Una opció pràctica per determinar el cen-
tre de l’arc de la paret
421Representació geomètrica en arquitectura
Page (PS/TeX): 1 / 43, COMPOSITE
Un cop marcat el centre hipotètic en la intersecció
de les dues perpendiculars, només ens queda per
situar l’inici de la cinta mètrica en aquest punt i
fer-la servir com una mena de compàs, recorrent
tota la superfı́cie de la corba interior per tal de
comprovar si la llargària de la cinta –és a dir, el radi
de la circumferència– es manté constant. La nostra
intuı̈ció ha funcionat i, per tant, només cal dibuixar
els trams de circumferència interiors i acotar-ne el
radi. Com que podem comprovar visualment que
aquest muret té un gruix constant, tenim resolta
la part convexa de la circumferència i estem en
condicions de mesurar i dibuixar aquest lı́mit exterior
(Fig. 9). No obstant això, si volem dibuixar les escales
d’accés, hem d’esperar la concreció de les altres dues
formescorbesque les contenensimètricament.
Aquı́ el problema és una mica diferent perquè ens
veiem condicionats a resoldre les corbes per la se-
va cara convexa i, per tant, no podrem fer servir el
sistema anterior per determinar-ne la geometria i
mesurar-les.
Tot i aixı́, podrı́em servir-nos de l’aixecament de
la part còncava d’aquestes dues parets des de les
estàncies contigües, però no tenim, com en el cas
anterior, una visualització directa del gruix del mur
i, el que és encara més complicat, no sabem si
aquest gruix és uniforme.
Podem, doncs, de manera provisional, suposar que
aquı́ també estem en presència d’arcs de circum-
ferència i tornem a recolzar dos regles sobre les
parts planes de les parets fins que es trobin en
un hipotètic vèrtex. Si ara dividim els trams dels
regles que es troben fora del contacte amb les
parets en un nombre determinat de parts iguals
–amb tres o quatre segments és suficient–, po-
drem prendre unes mides sobre el pla de la corba
seguint una mena de retı́cula amb direccions pa-
ral·leles als regles (Fig. 10). En seguir aquest procés,
immediatament ens adonarem de dues coses im-
portants:
Fig. 9 Determinació dels radis dels trams corbs de la zona d’accés
Fig. 10 Sistema per mesurar una corba convexa
amb la definició d’una retı́cula ortogonal exterior
Pràctica 2. La matèria primera de l’arquitectura: l’aixecament d’un espai interior143
Page (PS/TeX): 40 / 44, COMPOSITE
Fig. 11 Acotació de la corba amb les
dades de la retı́cula exterior
a) Els dos trams dels regles a la zona de la corba
tenen la mateixa mida.
b) Les mesures efectuades sobre la corba en una
direcció i l’altra són proporcionals.
Deduı̈m que aquestes dues circumstàncies ens in-
diquen la simetria de la corba i la probabilitat més
que segura que sigui una circumferència (Fig. 11).
Per confirmar aquesta suposició, només podem
comprovar geomètricament, a posteriori, el pas
d’una circumferència per tres punts qualssevol dels
que acabem de determinar (sabem que aquest és
el nombre mı́nim de punts necessari per construir
una circumferència). Això ho podem fer amb una
senzilla construcció gràfica –és més ràpid fent un
dibuix informàtic en CAD–, on podrem veure si
l’arc de circumferència traçat també passa per la
resta de punts aixecats.
Partim, doncs, de donar per bona aquesta suposi-
ció i mesurem l’amplada dels graons per dibuixar-
los en planta i completar aquesta part de l’aixeca-
ment (Fig. 12).
Passem ara a treballar al local contigu amb l’objec-
tiu d’esbrinar el tema del mur corb des de la seva
vessant còncava. Aquı́ ens trobem amb un inte-
rior amb les dues arestes de les parets totalment
arrodonides, que defineixen una superfı́cie com-
pletament corbada. Si fem servir el procediment
d’abans i determinem les parts planes amb els re-
gles, podrem comprovar que en realitat es tracta de
dos arcs de circumferència lligats tangencialment
amb un petit tram recte a la paret del fons. Atès
que es tracta de les parts còncaves de les corbes,
podem, igual que en el cas anterior, determinar-ne
els radis i acotar-los al croquis.
Fig. 12 Dibuix amb el mesurament de la zona d’accés
441Representació geomètrica en arquitectura
Page (PS/TeX): 41 / 45, COMPOSITE
Fig. 13 Determinació i acotació dels radis de les corbes de la
sala destinada a despatx
Fig. 14 Acotació de la sala destinada a despatx
En fer una comprovació sumant les cotes del tram
recte i els radis de les circumferències exterior i in-
terior del mateix mur, ens trobem, però, amb una
sorpresa: la diferència de la cota interior respecte
a l’exterior ens dóna un gruix de mur bastant més
gran que el que podem mesurar en el tram visible
al començament de la part recta, amb la qual cosa
no ens queda cap altra alternativa que considerar
que la paret té un gruix creixent (Fig. 13).
Completem la definició d’aquest espai mesurant
la zona que limita amb la terrassa definida amb
un petit tros de mur que també combina un tram
recte amb un de circumferència. Anant per la part
de fora, podem completar la geometria que de-
fineix aquest mur mesurant-ne la part convexa i
reconstruint-ne una forma que, igual que en el cas
anterior, presenta un gruix variable (Fig. 14).
Per acabar la planta, només ens queda sortir a
la terrassa i mesurar-ne els tancaments, els quals
com en els casos precedents, presenten curvatures
amb arcs de circumferència fàcilment determina-
bles pels procediments coneguts. Aprofitem per
comprovar les mides exteriors de la fusteria que
dóna a la sala d’estudis i que ja havı́em mesurat
interiorment.
En aquest espai tenim, a més, dues petites escales
que connecten la terrassa amb el local que acabem
de mesurar i l’espai exterior. Com que, de moment,
no hem determinat el tema de les alçades, només
mesurarem l’amplada dels graons i situarem aques-
tes escales en planta (Fig. 15, pàgina següent).
Pràctica 2. La matèria primera de l’arquitectura: l’aixecament d’un espai interior145
Page (PS/TeX): 42 / 46, COMPOSITE
Fig. 15 Dibuix acabat de la planta acotada
461Representació geomètrica en arquitectura
Page (PS/TeX): 43 / 47, COMPOSITE
Amb la planta no n’hi ha prou
Fig. 16 Col·locació vertical d’un regle que, combinat amb una
cinta mètrica, serveix per mesurar l’alçada del sostre
Ha arribat l’hora
REPRESENTACION GEOMETRICA EN ARQUITECTURA - GUSTAVO NOCITO

Vicente Riva Palacio

Más contenidos de este tema

Preguntas de este disciplina

Gestiona la información. Entiende la importancia de la información para la sociedad que lo rodea. Desarrolla y aplica metodologías, técnicas e inst...

¿Cuál es la arquitectura empleada en la propuesta de la solución informática descrita en el texto? a) Arquitectura cliente/servidor remota. b) Arq...
