Maximos_Minimos

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CÁLCULO 1
Sesión 5: Funciones crecientes y decrecientes. Máximos y mínimos
Departamento de Ciencias
Da lo mejor de ti cada día!!!
Reflexión del día…
f(a)
f(b)
 ¿Cuál es la pendiente de la recta tangente en el punto x = c?
 ¿Cuál es la pendiente de la recta secante de extremos A y B?
 ¿La recta tangente es paralela a la recta secante?.
 Si f(a) > f(b), entonces el signo de f’(c) es …………… .
 Si f’(c) < 0, entonces el signo de f(a) - f(b) es ………….. . 
Observa el grafico y responde:
El costo total C, en miles de dólares, por la construcción de un edificio de n pisos está expresado por:
¿Se podrá determinar el número de pisos a construir para que el costo medio por piso sea mínimo?
COSTO por PRODUCCIÓN
Al finalizar la sesión el estudiante encuentra los máximos y mínimos relativos, determinando los puntos críticos y los intervalos de monotonía, haciendo uso del criterio de la primera y segunda derivada.
LOGRO
CONTENIDOS 
FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES. MÁXIMOS Y MÍNIMOS.
	1. Definición de funciones monótonas.
	2. Teorema de monotonía.
	3. Definición de punto critico.
 4. Criterio de la primera derivada.
	5. Ejercicios Resueltos.
	Función creciente	Función decreciente
	Sea f una función definida sobre un intervalo y sean x1 y x2 dos puntos de este intervalo. 
Se dice que f es creciente sobre el intervalo si:
 x1 < x2 entonces f (x1 ) < f (x2 )	Sea f una función definida sobre un intervalo y sean x1 y x2 dos puntos de este intervalo. 
Se dice que f es decreciente sobre el intervalo si:
 x1 < x2 entonces f (x1 ) > f (x2 )
FUNCIONES MONOTONAS
http://gc.initelabs.com/recursos/files/r147r/w2585w/tip-cd_46.htm
x
y
 X1
 f (x1)
 X2
 f (x2)
y = f(x)
x
y
X1
f (x2)
X2
 f (x1)
y = f(x)
crece
crece
crece
decrece
creciente 
constante
decreciente 
f´(x) 0
f´(x) =0
f´(x)  0
Teorema de monotonía
Sea la función y = f (x) continua en [a,b] y diferenciable en <a,b>.
Si f’(x) > 0, para todo x[a, b] entonces f es creciente en <a,b>
Si f’(x) < 0, para todo x [a, b] entonces f es decreciente en <a,b>
http://gc.initelabs.com/recursos/files/r147r/w2585w/tip-cd_46.htm
MÁXIMOS Y MÍNIMOS
f´(c) = 0
 c
LOS EXTREMOS RELATIVOS SOLO OCURREN EN LOS PUNTOS CRÍTICOS.
PUNTO CRITICO
Sea la función f definida en c. 
Si f´(c) = 0 o si f´ no está definida en c, se dice que c es un número crítico de f. 
Tangente horizontal
f´(c) = 0
 c
 c
f´(c) no está definido
c
a
b
f´(a) 0
f´(b)  0
(-)
(+)
mínimo relativo
 c
a
b
f´(a)  0
f´(b)  0
(+)
(-)
máximo relativo
c
a
b
f´(a)  0
f´(b)  0
(+)
(+)
Ni máximo ni mínimo
Sea c un punto crítico de una función f definida en un intervalo abierto < a, b> que contiene a c. Si f es derivable en ese intervalo, entonces f (c) puede clasificarse así:
CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA
Si f’(c) cambia de signo de positivo a negativo al pasar por un punto crítico entonces f(c) es un máximo relativo.
 Si f’(c) cambia de signo de negativo a positivo al pasar por un punto crítico entonces f(c) es un mínimo relativo.
 Si f ‘(c) no cambia de signo al pasar por un crítico, entonces f(c) no es máximo ni mínimo relativo.
x
y
f ´> 0
f ´< 0
f ´< 0
f ´< 0
f ´< 0
f ´> 0
f ´> 0
f ´(a) = 0
f ´(b) = 0
f ´(c) = 0
f ´(d)
f ´(g) = 0
APARTIR DEL GRAFICO RESPONDA
 Indique los puntos críticos.
 Indique en que punto no existe derivada.
 Indique en que punto no hay extremos relativos.
 Indique los máximos y mínimos relativos
a
b
c
d
e
g
f ´(e) = 0
Determine los extremos de la función: 
Ejemplo
Derivando, simplificando y factorizando
 Hallando los números críticos, 
 f´(x) = 0
 Se tiene: x =  1, 0 
 pero 0 no está en el dominio de f
Intervalo
Valor prueba
Signo de f ´(x)
 Conclusión
-  x -1
0  x  1
1  x   
x =-2
x = 1/2
x = 2
 f ´(-2)  0
 f ´(1/2) 0
 f ´(2)0
decreciente
creciente
decreciente
-1  x  0
x = -1/2
 f ´(-1/2)  0
creciente
 
 Mínimo relativo
Mínimo relativo
Solución
-1
1
 0
2
Un fabricante de cajas desea construir cajas cerradas de 256cm3 de capacidad, la base debe ser un rectángulo cuyo largo debe ser el doble del ancho.
 
El precio del material para la base y la tapa es de $3 por cm2 y para los lados es de $2 por cm2. Halle las dimensiones de la caja que minimiza su costo de construcción.
2x
x
h
PROBLEMA DE APLICACIÓN 
El costo de fabricación de la caja por cm2 es:
 Pero como el volumen es 256cm3 se tiene volumen es: (Área de la base) (Altura) 
Luego:
Entonces el costo de fabricación de la caja por cm2 es:
 
Optimizando esta función se obtiene que para x=4, el costo es mínimo.
Las dimensiones de la caja son:
Largo: 8cm
Ancho: 4cm
Alto: 8cm 
El costo de cada caja es de $576.
En equipos de 4 estudiantes desarrollar los ejercicios indicados por el docente de los niveles 1, 2 y 3. 
TRABAJO EN EQUIPO
Reflexionemos:
 ¿Por qué es importante conocer el criterio de la primera derivada?
 ¿Qué dificultades se presentaron en la solución de los ejercicios?
 ¿Qué aprendiste en esta sesión?
	#	AUTOR	TÍTULO	EDITORIAL
	1	PURCELL, EDWIN J. 	Cálculo Diferencial E Integral 	Pearson Educación 
	2	STEWART, JAMES	Cálculo De Una Variable: Transcendentes Tempranas 	Thomson Learning 
	3	LARSON, RON	Cálculo   	Mcgraw-Hill 
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
2
2
)
(
-
+
=
x
x
x
f
(
)
(
)
(
)
3
2
1
1
1
2
)
´(
x
x
x
x
x
f
+
-
+
=
(
)
(
)
(
)
xh
xh
x
x
C
2
2
4
2
4
3
)
(
2
+
+
=
2
2
256
256
2
x
h
h
x
=
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=
x
x
x
C
128
12
)
(
2