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3º ESO ACADÉMICAS – UNIDAD 7.- FIGURAS PLANAS PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES 
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1.- RECTAS Y PUNTOS NOTABLES DEL TRIÁNGULO. TEOREMA DE PITÁGORAS 
 
Mediatrices de un triángulo 
Son las mediatrices de sus lados. 
Las tres mediatrices se cortan en un mismo 
punto, llamado circuncentro. 
El circuncentro, C, equidista de los vértices 
y es el centro de la circunferencia circunscrita al 
triángulo. 
 
Bisectrices de un triángulo 
Son las bisectrices de sus ángulos. 
Las tres bisectrices se cortan en un mismo punto, llamado 
incentro. 
El incentro, I, equidista de los lados y es el centro de la 
circunferencia inscrita al triángulo. 
 
 
 
Alturas de un triángulo 
Son las rectas que pasan por un vértice y son 
perpendiculares al lado opuesto. 
Las tres alturas se cortan en un mismo punto, 
llamado ortocentro, O. 
 
 
 
 
Medianas de un triángulo 
Son las rectas que pasan por un vértice y por el punto 
medio del lado opuesto. 
Las tres medianas se cortan en un mismo punto, llamado 
baricentro, G. 
La distancia del baricentro al vértice es el doble que su 
distancia al punto medio del lado opuesto 
Cada mediana divide al triángulo en dos triángulos de igual 
área. 
 
 
Ejercicio para completar en clase 
Sabiendo que la mediana AM mide 18 cm, calcula la distancia AG, siendo G el baricentro del triángulo. 
 
 
Teorema de Pitágoras 
En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos 
 hipot2 = cat2 + cat2 
Ejercicios para completar en clase 
1) Cuatro pueblos A, B, C y D están unidos por carreteras rectas, según la figura 
Halla la distancia entre los pueblos: 
 
a) A y D → 
 
 
b) A y C → 
 
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2) Calcula la altura de la farola si la escalera mide 2,6 m y está separada 1 m de la base de la farola. Fíjate en el 
dibujo. 
 
3) Supongamos que dos ciclistas parten del mismo punto uno hacia el Sur y el otro hacia el Oeste. Van en 
línea recta y con velocidad constante, el primero a 23 km/h y el segundo a 36 km/h . 
¿Qué distancia habrá entre los dos cuando pasen 3 h 45 min ? 
 
 
 
 
ACTIVIDADES 
1 Tres pueblos A, B y C forman un triángulo y están unidos por carreteras. 
a) Si se quiere construir una gasolinera que equidiste de los 3 pueblos. ¿Dónde debe construirse? 
b) Si se quiere construir una gasolinera que equidiste de las 3 carreteras. ¿Dónde debe construirse? 
 
2 Si se traza una mediana en un triángulo de 12 cm2 de superficie, ¿cuál es el área de cada uno de los 
triángulos que se obtienen? 
3 Considera el triángulo ABC de la figura , donde G es el baricentro 
a) Sabiendo que GB mide 8 cm, ¿cuánto mide la mediana BN? 
b) Si la mediana AM mide 9 cm, ¿cuánto mide GM? 
c) Si el área del triángulo AMB vale 15,5 cm2, ¿cuál es el área del triángulo ABC? 
 
4 Un albañil apoya una escalera de 5 m contra un muro vertical. El pie de la escalera está a 3 m de la base 
del muro. Halla a que altura se encuentra la parte superior de la escalera. 
 
5 Dos ciclistas, David y Enrique, parten de la misma ciudad, Villápolis, al mismo tiempo en direcciones 
perpendiculares. David circula a 15 km/h y Enrique a 20 km/h. 
a) Al cabo de una hora y media, ¿qué distancia ha recorrido cada uno? 
b) Ayudándose del dibujo adjunto, determina qué distancia, d, les separa al cabo de esa hora y media. 
 
Actividades del libro: 13, 24 y 83 
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2.- PERÍMETROS Y ÁREAS DE FIGURAS PLANAS BÁSICAS 
 
El perímetro de un polígono es la suma de las medidas de todos sus lados. Para la circunferencia, el perímetro 
es su longitud. El perímetro se suele expresar en unidades de longitud (m, dm, cm, etc) 
El área de una figura es la medida de su superficie. El área se suele expresar en unidades de superficie (m2, 
dm2, cm2, etc). Para calcular áreas es muy útil el uso de las fórmulas que se detallan a continuación. 
 
Triángulo 
b.h
A
2
 
Circunferencia y círculo 
 
 
Rectángulo 
 
 
A=base.altura 
 
Cuadrado 
 
2A=lado 
 
Rombo 
 
D.dA=
2
 
 
Trapecio 
 
 
 
2
(basemayor+basemenor ).alturaA= 
 
Polígono irregular 
Tiene los lados y los ángulos desiguales 
 
 
Polígono regular 
 
 Tiene los lados y los ángulos iguales 
 
2
Perímetro.ApotemaA= 
 
Corona circular 
 
 
 
 
2 2 2 2
A(corona) A(círculo mayor) A(círculo menor)
R r A(corona) (R r )
  
       
 
Trapecio circular 
 
 
 
2 2
2 2
A(corona) 360º A(corona). º
A(trapecio c.)
A(trapecio c.) º 360º
(R r ). º
A(trapecio c.) (R r )
360º
 
 
 
  
  
 
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Ejercicios resueltos o para resolver en clase 
 
1) Un pañuelo tiene forma de triángulo equilátero de 12 cm de altura. Halla la superficie del pañuelo. 
Solución:
 
 (2x)2 = 122 + x2 ; 4x2 = 144 + x2 ; 3x2 = 144 ; x2 = 48 ; x ≈ 6,93 cm 
base = 6,93 . 2 = 13,86 → 2
. 13,86 . 12
( ) 83,16
2 2
base altura
A triángulo cm   
 
 
2) Un patio rectangular mide 12 m de largo y 15 m de diagonal. 
 
a) Halla el ancho del patio. Solución: 152 = 122 + x2 ; 225 = 144 + x2 ; x2 = 81 ; x = 9 m 
 
 
b) El número de losas de 40 cm de lado que necesitamos para enlosarlo. 
 
Solución: Se pasa a cm: 12 m = 1200 cm 9 m = 900 cm 
Se divide el área del patio entre el área de la losa: (1 200 . 900) : (402) = 1 080 000 : 1 600 = 675 losas 
 
 
3) Dado el siguiente trapecio isósceles 
 
a) Calcula x. Solución: 102 = 82 + x2 ; 100 = 64 + x2 ; x2 = 36 ; x = 6 cm 
 
b) Halla el perímetro del trapecio. 
Solución: La base menor es: 22 – (6 + 6) = 10 cm → El perímetro es: 22 + 10 + 10 + 10 = 52 cm 
 
 
4) Halla el área del siguiente hexágono regular 
2 2 2
2 2 2 2
2 2
2
(2 ) 3
. 4 9 4 9
9
3 9 3 3 1,7
3
2 . 1,7 3, 4
. (3, 4 . 6) . 3
tan , es : 30,6
2 2
x x
Sol Por el teorema de Pitágoras x x x x
x x x
El lado del hexágono es
P a
Por to el área A cm

 

    

      


  
 
 
 
 
 
 
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5) Halla el perímetro y área de un sector circular de 60º de una circunferencia de 10 cm de diámetro 
 
222 R 360º 2 R. º R . ºR 360º
L A(sector)
L º 360º 360ºA(sector) º
      
   
   
 
 
 
R = , αº = → L = 
 
 
 
Luego, el perímetro del sector es L + 2R = 
 
 
 
 
A(sector) = 
 
 
 
 
 
 
 
6) Calcula el área y el perímetro de la siguiente figura, sabiendo que el triángulo es equilátero 
Solución: 
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
: 5 3 4
.
: 13 6,5
169 42,25 169 42,25 126,75 11,26
3,14 . 2,5
( ) 9,8
2 2
(
    



 
        
  
Se calcula el cateto que falta cat cat cm
Sol Por el teorema de Pitágoras
Se calcula altura del triángulox
x x x
R
A semicírculo
A trapeci

2( ) . (13 5) . 3) 27 tan , : 9,8 27 73,2 110
2 2
. 13 . 11,26
( ) 73,2
2 2
2 . 2,5
13.2 5.2 43,8
2



 
     


  

   
B b h
o Por to el área de la figura es cm
base altura
A triángulo
El perímetro es P cm

 
 
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ACTIVIDADES 
1 Halla la superficie de una señal de tráfico que tiene forma de triángulo equilátero de 18 cm de altura. 
 
2 El patio de un colegio es rectangular y tiene 40 m de largo y 50 m de diagonal. Halla su superficie y su 
perímetro. 
 
3 Una mesa cuadrada tiene 60 cm de diagonal. Halla su perímetro y su superficie. 
 
4 Un pequeño jardín con forma de rombo se ha rodeado con una valla de 20 m. Calcula su superficie 
sabiendo que la diagonal menor mide 6 m. 
 
5 Una parcela tiene forma de trapecio isósceles de 30 m de altura, base mayor 100 m y lados no 
paralelos 50 m cada uno. Se ha rodeado con una valla. 
a) ¿Cuánto mide la valla? b) ¿Cuál será su precio a razón de 20,50 €/m2? 
 
6 De un campo rectangular se han suprimido dos triángulos rectángulos (tal como indica la figura), 
resultando un cuadrilátero ABDC que se va a utilizar como campo de labranza. 
 
a) ¿Cuál es la superficie de dicho campo de labranza? 
b) Si se quiere rodear con una cerca, ¿cuántos metros hacen falta? 
 
7 ¿Cuánto debe valer x para que la superficie del octógono regular sea 2,06 m2? 
 8 Calcula la superficie que ocupa un panal de abejas que tiene 120 celdillas, si cada celdilla es un hexágono 
regular de 5 mm de apotema. 
 
9 Calcula el perímetro y área de un sector circular de 100º y 4 cm de radio 
 
10 Halla la superficie de la zona sombreada de cada figura: 
a) b) 
 
c)
 
d) e) f) 
 
 
Actividades del libro: 35, 37, 63 y 81