TFG-JGuerrero

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Trabajo Fin de Grado en Fı́sica
El agujero negro de Kerr
Juan Antonio Guerrero Montero
Universidad de Granada
Junio de 2017
Tutor: Bert Janssen
Departamento de Fı́sica Teórica y del Cosmos
Universidad de Granada
Abstract
The Kerr metric is a solution of Einstein’s equations that describes
spacetime around a rotating black hole. In this project, we will apply
the laws and techniques of General Relativity to describe it in depth.
Firstly, we will present the theoretical foundations that will be needed
throughout the project, illustrating them with examples extracted from
the simplest case, Schwarzschild’s black hole. We will emphasize the
importance of Killing vectors as tools for describing the structure of a
black hole and the constants of motion of particles moving in its sur-
roundings. Secondly, all these concepts will be applied to Kerr’s black
hole in order to describe its geometry and causal structure, paying espe-
cial attention to regions like the event horizon and the ergosphere and
phenomena like frame dragging. Lastly, we will find the constants of
motion of test particles around Kerr’s black hole using the formalism
of Killing vectors and tensors, with our main focus being Carter’s cons-
tant, its origin and its physical meaning. We will apply our findings to
the study of geodesics, the trajectories of test particles in the Kerr space-
time.
Índice
1 Introducción 3
2 Fundamentos: El agujero negro de Schwarzschild 4
2.1 Métrica y curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Vectores de Killing y simetrı́as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2.1 Simetrı́as y leyes de conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2.2 Observadores estacionarios y estáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Estructura causal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3.1 Singularidades fı́sicas y de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3.2 Horizonte de sucesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3.3 Superficie de lı́mite estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4 Geodésicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3 El agujero negro de Kerr 11
3.1 La métrica de Kerr en distintos sistemas de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.1.1 Las coordenadas de Boyer-Lindquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.1.2 Las coordenadas de Kerr-Schild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2 Vectores de Killing y simetrı́as en Kerr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.3 Estructura causal del agujero negro de Kerr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3.1 Singularidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3.2 Horizontes de sucesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3.3 Arrastre de sistemas inerciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3.4 Superficies de lı́mite estacionario: Ergosfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3.5 El proceso de Penrose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3.6 Aproximándonos al agujero negro de Kerr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4 Tensores de Killing y la constante de Carter 22
4.1 Tensores de Killing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.2 El tensor de Killing de la métrica de Kerr y la constante de Carter . . . . . . . . . . . 24
4.2.1 Cálculo del tensor de Killing del espacio de Kerr . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.2.2 Lı́mites del tensor de Killing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2.3 La constante de Carter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5 Geodésicas en el espacio de Kerr 27
5.1 Geodésicas en el plano ecuatorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.1.1 Geodésicas ecuatoriales nulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.1.2 Geodésicas ecuatoriales temporales: 3ª Ley de Kepler . . . . . . . . . . . . . . 32
5.2 Geodésicas generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6 Conclusiones 34
3 1 INTRODUCCIÓN
1 Introducción
Los agujeros negros fueron teorizados por primera vez en el marco de la mecánica New-
toniana. A finales del siglo XVIII, Laplace formuló la idea de que, si un objeto era lo sufi-
cientemente denso, la velocidad de escape en su superficie fuera mayor que la de la luz,
lo que supondrı́a que fuera completamente negro para un observador lo suficientemente
lejano. Sin embargo, al imponerse a lo largo del siglo XIX el concepto de luz como onda
sin masa, esta idea fue descartada.
Este hecho, meramente anecdótico en el marco de la mecánica clásica, cobró un nuevo
significado cuando Einstein propuso su teorı́a de la Relatividad General en 1915. En esta
teorı́a la gravedad es modelada como un efecto geométrico que afecta al movimiento de
la luz y no sólo al de la materia masiva, y que viene modelada por las ecuaciones de
Einstein. En ella, existen soluciones (posibles geometrı́as del espacio-tiempo) que poseen
una singularidad, un punto de densidad y curvatura infinitas. En estas soluciones la zona
alrededor de la singularidad tiene una curvatura tan elevada que ni siquiera la luz puede
escapar de ella y por lo tanto se muestra negra a al exterior: son agujeros negros.
La primera solución obtenida de las ecuaciones de Einstein fue la obtenida por Karl
Schwarzschild en 1916, y describe el agujero negro más sencillo, que posee simetrı́a esféri-
ca y es estático. Poco después, en 1918, Reissner y Nordström descubrieron la solución que
lleva sus nombres, que describe un agujero negro esferico y estático que posee una carga
eléctrica no nula. Durante varias décadas, la investigación teórica en el terreno de los agu-
jeros negros quedó estancada, en parte debido a la influencia de Einstein, que se negaba a
creer que los agujeros negros fueran soluciones fı́sicamente realistas de sus ecuaciones.
Tras la muerte de Einstein, durante los años 60 y 70, sı́ que se produjo un enorme
desarrollo en el campo, con la demostración de numerosos teoremas. Entre ellos están el
teorema del área, demostrado por Stephen Hawking en 1971 y que afirma que el área del
horizonte de sucesos de un agujero negro nunca puede disminuir en un proceso clásico,
y que ayudó a enunciar las Leyes de la Termodinámica de los agujeros negros clásicos, en
las que se establecı́an paralelismos entre caracterı́sticas propias de los agujeros negros y
variables termodinámicas. También Hawking enunció junto a Roger Penrose una serie de
teoremas sobre las singularidades que establecen bajo qué condiciones puede la gravedad
crear puntos de curvatura infinita. Otro teorema de interés es el de “no pelo” enunciado
por John Wheeler con su famosa frase “A black hole has no hair”, y que afirma que todo
agujero negro está unı́vocamente determinado por su masa, carga eléctrica y momento
angular alrededor de su propio eje. Fue en este contexto de grandes avances cuando, en
1963, el matemático neozelandés Roy Kerr descubrió una solución de agujero negro mu-
cho más compleja que la de Schwarzschild o la de Reissner-Nordström, que describe un
agujero negro en rotación. En 1965, Ezra Newman fue un paso más allá y halló una solu-
ción para un agujero negro que está eléctricamente cargado y rotando simultáneamente.
En los orı́genes de la Relatividad General, los agujeros negros fueron, pues, considera-
dos como soluciones puramente teóricas, y no objetos fı́sicos reales. Sin embargo, a partir
de la segunda mitad del siglo XX los astrofı́sicos han observado numerosos fenómenos
que pueden ser explicados de forma convincentemediante la existencia de agujeros ne-
gros. Se propone que éste puede ser uno de los posibles desenlaces de la vida de una
estrella supermasiva tras un colapso gravitacional. Se teoriza además que las ondas gra-
vitacionales detectadas por LIGO en 2016 provienen de la fusión de dos agujeros negros
2 FUNDAMENTOS: EL AGUJERO NEGRO DE SCHWARZSCHILD 4
de varias masas solares. Existe evidencia además que existen agujeros negros supermasi-
vos (de millones de masas solares) en los centros de muchas galaxias. La utilidad práctica
de estos conceptos teóricos se hace patente.
Más aún, los agujeros negros son conceptos importantes también en la vanguardia de
la fı́sica teórica. La investigación en pos de una teorı́a de gravedad cuántica, el mayor reto
de la fı́sica teórica de nuestro siglo, se centra en el estudio cuántico e informacional de
los agujeros negros, ya que éstos son los lugares del universo donde los efectos cuánticos
de la gravedad serı́an más apreciables. Ya en los años 70 se dieron los primeros pasos
en la caracterización cuántica de los agujeros negros con la radiación de Hawking, y se
han alcanzado resultados de gran importancia en los últimos años, como el principio ho-
lográfico, que relaciona la información contenida en un agujero negro con el área de su
horizonte de sucesos. Sin duda los agujeros negros seguirán siendo un tema central en la
fı́sica teórica en los próximos años.
A lo largo de este trabajo, estudiaremos en profundidad la solución de Kerr para un
agujero negro en rotación. Ésta constituye la solución más fı́sicamente realista de todas las
mencionadas anteriormente, ya que los objetos astrofı́sicos en general no son estáticos ni
tienen carga eléctrica neta. En primer lugar, presentaremos los fundamentos teóricos de
la Relatividad General ilustrándolos con su aplicación al agujero negro de Schwarzschild.
A continuación, estudiaremos la métrica de Kerr y la estructura causal y propiedades que
emanan de ella. Posteriormente, describiremos el movimiento de partı́culas test alrede-
dor del agujero negro en trayectorias geodésicas, haciendo incapié en las constantes de
movimiento que definen sus trayectorias y en su obtención formal.
2 Fundamentos: El agujero negro de Schwarzschild
En esta primera sección nos disponemos a introducir los conceptos fundamentales que
serán necesarios en la descripción completa de un agujero negro (o un espacio-tiempo
cualquiera) en el marco de la Relatividad General. Para ello, acompañaremos todos estos
conceptos de su aplicación al caso no trivial más sencillo: el agujero negro de Schwarz-
schild, caracterizado por ser estático y esféricamente simétrico.
En la teorı́a de la Relatividad General, la interacción gravitatoria se modela como un
efecto geométrico de la curvatura del espacio-tiempo cuatridimensional. La descripción
matemática se realiza pues en el marco de la geometrı́a diferencial y a través del tensor
métrico gµν, que determina dicha curvatura.
Las ecuaciones de campo de Einstein, herramienta fundamental en la Relatividad Ge-
neral, relacionan esta descripción geométrica del espacio-tiempo con sus propiedades fı́si-
cas:
Rµν −
1
2
gµνR = −8πGNTµν. (2.1)
En ellas, Rµν y R = Rµνgµν son el tensor y el escalar de Ricci, respectivamente, que
son funciones del tensor métrico y de sus derivadas parciales, GN es la constante de gra-
vitación Newtoniana y Tµν es el tensor de energı́a momento, que describe el contenido
de energı́a y materia del espacio-tiempo. Todos los tensores involucrados son simétricos.
Se trata de un sistema de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, cuadráticas y
de segundo orden, por lo que cuando Einstein las enunció (en 1915) pensó que nunca
se encontrarı́a una solución. Sin embargo, tan sólo un año después, Karl Schwarzschild
6 CONCLUSIONES 34
Tenemos pues que la constante de Carter surge de forma natural como constante de
separación al aplicar el formalismo de Hamilton-Jacobi al Lagrangiano geodésico de Kerr
en coordenadas de Boyer-Lindquist, y de hecho ésta es la forma en la que fue descubierta
por primera vez. Este hecho se debe a la gran adecuación de este sistema de coordenadas a
las simetrı́as de Kerr. Cabe señalar que si bien la constante surge de una forma mucho más
directa a través de este método, su aparición es completamente accidental: sólo el forma-
lismo de Killing nos permite atribuirle un origen matemático profundo y un significado
fı́sico (algo difuso).
Si ahora hacemos las siguientes definiciones,
Θ (θ) = Q − a2 cos 2θδ − a2 sin 2θE2 − L2Z sin−2 θ
R (r) = −Q − r2δ + 1Δ
��
r2 + a2
�2 E2 + a2L2Z − 4MarLZE
�
,
(5.35)
podemos expresar nuestros resultados como
∂Sθ
∂θ =
√
Θ = Σθ̇
∂Sr
∂r =
√
R = ΣΔ ṙ,
(5.36)
que son las ecuaciones diferenciales de primer orden a resolver numéricamente si se desea
simular el movimiento de partı́culas en el espacio de Kerr, junto con las ecuaciones 5.2
para t y ϕ. En ellas, los signos de las raı́ces cuadradas pueden ser elegidos independien-
temente.
Por otro lado, continuando con nuestro estudio analı́tico, la expresión para S teniendo
en cuenta las ecuaciones 5.36 queda de la siguiente manera:
S(t, r, θ, ϕ; τ) = −1
2
δτ + Et − LZ ϕ +
� r √
Rdr +
� θ √
Θdθ. (5.37)
Tenemos una función principal que depende de cuatro constantes de movimiento: δ, E,
LZ y Q. Del formalismo de Hamilton-Jacobi, sabemos que las ecuaciones de movimiento
de nuestra partı́cula se obtienen de igualar a cero las derivadas de S respecto a estas
constantes. Las condiciones deducidas son las siguientes:
∂S
∂Q = 0 =⇒
� θ 1√
Θ
dθ =
� r 1√
R
dr
∂S
∂δ = 0 =⇒ τ = −
� θ a2 cos2 θ√
Θ
dθ −
� r r2√
R
dr
∂S
∂E = 0 =⇒ t =
� θ a2 sin2 θE√
Θ
dθ −
� r 2(r2+a2)2E−4MarLZ
Δ
√
R
dr
∂S
∂LZ
= 0 =⇒ ϕ = −
� θ LZ sin−2 θ√
Θ
dθ +
� r 2a2LZ−2MarE
Δ
√
R
dr.
(5.38)
El estudio teórico de una familia de geodésicas concreta se podrı́a continuar a partir
de aquı́ imponiendo sobre este conjunto las condiciones particulares pertinentes.
6 Conclusiones
El agujero negro de Kerr presenta numerosas caracterı́sticas de interés. A nivel teórico,
es una de las soluciones de las ecuaciones de Einstein con una estructura causal más ri-
ca, presentando caracterı́sticas que no podemos encontrar en agujeros negros más sen-
cillos, como el de Schwarzschild. Entre estas caracterı́sticas están el arrastre de sistemas
35 6 CONCLUSIONES
inerciales, que provoca que partı́culas sin momento angular orbital roten alrededor de la
singularidad, o la separación entre el horizonte de sucesos y la superficie de lı́mite esta-
cionario, que supone la existencia de una ergosfera y la posibilidad de extraer trabajo del
agujero negro a través del proceso de Penrose. Sus geodésicas presentan caracterı́sticas
muy complejas también, como la barrera de potencial que aparece en el plano ecuatorial
para partı́culas sin masa. Más aún, el agujero negro de Kerr ha impulsado el desarrollo
formal de la Relatividad General en cuestiones como los tensores de Killing, gracias a las
preguntas que abrió el descubrimiento de la constante de Carter.
A nivel práctico, la solución de Kerr es una de las más útiles en la descripción de obje-
tos astrofı́sicos. Puesto que describe el espacio-tiempo alrededor de un objeto masivo, de
carga neutra y en rotación, es muy útil en la descripción de sistemas con estas caracterı́sti-
cas, tales como estrellas de neutrones o agujeros negros supermasivos. Supone por tanto
una de las descripciones más precisas de la gravedad alrededor de una gran variedad de
objetos astrofı́sicos.
Más de cien años despúes de su formulación teórica en el marco relativista, los aguje-
ros negros continúan siendo un misterio. Su observación es una tarea complicada, si bien
existen numerosas evidencias observacionales de su existencia. El desarrollo de nuevas
técnicas superprecisas, como las que han permitido la observación de ondas gravitacio-
nales por LIGO en 2016, nos permitiránarrojar luz al respecto, y tal vez nos permitan
estudiar sus caracterı́sticas con mayor precisión. En todo ello, las predicciones teóricas
otorgada por la Relatividad General de Einstein y en particular por la métrica de Kerr
ocuparán, sin duda, un papel central.
REFERENCIAS 36
Referencias
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The Kerr spacetime: a brief introduction
arXiv:0706.0622 [gr-qc] (2007)
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[3] Charles W. Misner, Kit S. Thorne, John A. Wheeler
Gravitation
W.H. Freeman and Company (1970)
[4] Bert Janssen
Teorı́a de la Relatividad General
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[5] Ray D’Inverno
Introducing Einstein’s Relativity
Oxford University Press (1992)
[6] Gabriela Slezáková
Geodesic Geometry of Black Holes
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[7] Valeria Ferrari
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[8] Martin Walker, Roger Penrose
On Quadratic First Integrals of the Geodesic Equations for Type {22} Spacetimes
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Commun. math. Phys. 33, 129—133 (1973)
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Killing Tensors and Symmetries
arXiv:1003.0019 [gr-qc]
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Class. Quantum Grav. 16 2929–2935 (1999)
[12] Physics Stack Exchange
https://physics.stackexchange.com/questions/315892/
killing-tensor-in-the-kerr-metric
[13] Tex Stack Exchange
https://tex.stackexchange.com/questions/54830/
tikz-code-for-frame-dragging