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Límite de una función. 
Noción intuitiva. 
Dada la función 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1, veamos que sucede cuando la variable x se 
aproxima a un valor dado, que llamaremos c, no nos interesa lo que sucede 
exactamente en c. 
Analicemos a que valor se acerca la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1 cuando x se acerca a 2, 
sin importarnos que sucede en x= 2. 
Los valores de x se acercan a 2 por la izq.Los valores 
de x se acercan a 2 por la der. 
 
 
En la tabla se observa que a medida que los valores de x se acercan a 2 por la 
izquierda y por la derecha los valores de la función se acercan cada vez más al valor 
3. 
 
 y 
4 
3 
2 
1 
 1 2 3 4x 
 
 
El valor al cual se acerca la función 𝑓(𝑥), cuando x se acerca a c, lo llamaremos límite 
L. 
Se simboliza: lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) = 𝐿 
Se lee: Límite de la función 𝑓(𝑥) cuando x tiende a c, es igual a L. 
Conclusión: El límite de la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1 cuando x tiende a 2 es igual a 3. 
Se escribe: lim
𝑥→2
2𝑥 − 1 = 2.2 − 1 = 𝟑. 
Obs. lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) = 𝐿nosindica como se comporta la función en las cercanías al valor c, 
tanto por la derecha como por la izquierda, pero no necesariamente en el valor c. 
Límites laterales. 
lim
𝑥→𝑐−
𝑓(𝑥) = 𝐿 significa cuando x se aproxima a c por la izquierda el valor de la 
función se acerca a L. 
lim
𝑥→𝑐+
𝑓(𝑥) = 𝐿significa cuando x se aproxima a c por la derecha el valor de la función se 
acerca a L. 
 La afirmación lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) = 𝐿 es equivalente a la existencia simultánea de los dos 
límites laterales lim
𝑥→𝑐−
𝑓(𝑥) = 𝐿 y lim
𝑥→𝑐+
𝑓(𝑥) = 𝐿 
 
 
 
 
 
x 1,96 1,98 1,99 2 2,01 2,02 2,04 
y 2,92 2,96 2,98 - 3,02 3,04 3,08 
Propiedades de los Límites 
Las propiedades de los límites son operaciones que se pueden emplear para 
simplificar el cálculo del límite de una función más compleja. Al tratarse de 
operaciones, también se le denomina álgebra de los límites. 
Sean f(x) y g(x) dos funciones definidas en un mismo intervalo en donde está el 
valor a del límite y k una constante. 
Unicidad del límite: cuando el límite existe, el límite es único. 
 
Propiedad de la suma: el límite de la suma es la suma de los límites. 
 
Propiedad de la resta: el límite de la resta es la resta de los límites. 
 
Propiedad del producto: el límite del producto es el producto de los límites. 
 
Propiedad de la función constante: el límite de una función constante es esta misma 
constante. 
 
Propiedad del factor constante: en un límite de una constante multiplicada por 
una función se puede sacar la constante del límite sin que se afecte el resultado. 
 
Propiedad del cociente: el límite de un cociente de dos funciones es el cociente de los 
límites de las mismas. 
 
Propiedad de la función potencial: el límite de una función potencial es la potencia del 
límite de la base elevado al exponente: 
 
Propiedad de la raíz: el límite de una raíz, es la raíz del límite: 
 
https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/funciones/
https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/funciones/
https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/funcion-constante/
https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/funciones/
https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/funciones/
Propiedad de la función logarítmica: El límite del logaritmo es el logaritmo del límite. 
 
Ejemplos 
1- Sea la función 𝑓(𝑥) = 6𝑥3 cuando x tiende a 2 → lim
𝑥→2
6𝑥3 = 6 lim
𝑥→2
𝑥3 = 6. 23 = 𝟒𝟖 
2- Sean las funciones 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 − 2𝑥 + 1 y 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 3 cuando x tiende a 0. 
lim
𝑥→0
(3𝑥2 − 2𝑥 + 1) = 1 y lim
𝑥→0
( 𝑥 − 3) = −3. 
 
Calcular: 
 
a- lim
𝑥→0
[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] = lim
𝑥→0
𝑓(𝑥) + lim
𝑥→0
𝑔(𝑥) 
 
lim
𝑥→0
[(3𝑥2 − 2𝑥 + 1) + (𝑥 − 3)] = lim
𝑥→0
(3𝑥2 − 2𝑥 + 1) + lim
𝑥→0
( 𝑥 − 3) = 1 − 3 = −𝟐 
b- lim
𝑥→0
[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] = lim
𝑥→0
𝑓(𝑥) - lim
𝑥→0
𝑔(𝑥) 
 
lim
𝑥→0
[(3𝑥2 − 2𝑥 + 1) − (𝑥 − 3)] = lim
𝑥→0
(3𝑥2 − 2𝑥 + 1) − lim
𝑥→0
( 𝑥 − 3) = 1 − (−3) = 𝟒 
c- lim
𝑥→0
[𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥)] = lim
𝑥→0
𝑓(𝑥) . lim
𝑥→0
𝑔(𝑥) 
 
lim
𝑥→0
[(3𝑥2 − 2𝑥 + 1). (𝑥 − 3)] = lim
𝑥→0
(3𝑥2 − 2𝑥 + 1). lim
𝑥→0
( 𝑥 − 3) = 1. (−3) = −𝟑 
 
3- Calcular lim
𝑦→2
[
𝑦2+4
𝑦+2
] =
lim
𝑦→2
𝑦2+4
lim
𝑦→2
𝑦+2
 =
8
4
= 𝟐 
 
4- lim
𝑦→2
(𝑦2 + 1)3 = [lim
𝑦→2
(𝑦2 + 1)]
3
= 53 = 𝟏𝟐𝟓 
 
5- lim
𝑦→2
√𝑦2 − 1
5
= √lim𝑦→2
(𝑦2 − 1)5 = √𝟑
𝟓
 
 
6- lim
𝑦→10
[log 10𝑦] = log [ lim
𝑦→10
10𝑦] = log 100 = 𝟐 
 
Reforzamos lo aprendido 
1- Construye las gráficas de las siguientes funciones. Completa las tablas y 
hallasuslímites 
a- 𝑓(𝑥) = 𝑥2 
𝑥 1,9 1,99 1,999 2 2,01 2,02 2,03 
𝑓(𝑥) 
 
lim
𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 
 
lim
𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 
b- 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 4 
 
𝑥 1,9 1,99 1,999 2 2,01 2,02 2,03 
𝑓(𝑥) 
 
lim
𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 
 
lim
𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 
2- Ejercicios de aplicación de las propiedades de los límites. 
𝑎−) lim
𝑥→2
√
𝑥2−3𝑥+6
𝑥3+1
 R: 
4
3
 
 
𝑏−) lim
𝑥→1
(𝑥2 − 3𝑥)(𝑥 + 𝑥4) R: -4 
 
𝑐−) lim
𝑥→3
√𝑥+1
𝑥−4
 R: -2 
 
𝑑−) lim
𝑥→0
(2𝑥 − 3)5 R: -243 
 
𝑒−) lim
𝑥→8
𝑥+6
√𝑥
3 R: 7 
 
𝑓−) lim
𝑥→−3
𝑥+2
𝑥−2
 R: 
1
5
 
 
3- Sabiendo que 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒄
𝒇(𝒙) = 𝟓 𝒚 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒄
𝒈(𝒙) = 𝟖 . Calcula: 
 
a- lim
𝑥→𝑐
[3𝑔(𝑥)] R: 24 
 
b- lim
𝑥→𝑐
[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] R: 13 
c- lim
𝑥→𝑐
[
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
] R: 
5
8
 
 
d- lim
𝑥→𝑐
[
4𝑓(𝑥)
(𝑔(𝑥))2
] R: 
5
16