Álgebra_Lineal_para_Estudiantes_de_Ingeniería_Gabriel_Villaseñor

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Solo con fines educativos
Álgebra LinealÁlgebra Lineal
 Gabriel Villaseñor Aguilar
 EDICIÓN 2015
Para estudiantes de ingenieríaPara estudiantes de ingeniería
Villaseñor A. Gabriel, Gutiérrez G. Enif,
Escudero G. Carlos, Vega C. Rubén,
Espinosa R. Salomón, Espinosa R. Josúe
Álgebra
Lineal
Para estudiantes de ingeniería
 
Tecnológico Nacional de México
Instituto Tecnológico de Morelia. Departamento de Ciencias Básicas.
Departamento de Ciencias B�sicas.
IIIAcerca de los autores
Gabriel Villaseñor Aguilar.Doctor en Matemáticas por la Universidad
Michoacana de San Nicolás de Hidalgo (UMSNH) y Doctor en Ciencias
Matemáticas por la Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM).
Es miembro del Sistema Nacional de Investigadores (SNI). Actualmente
labora en el Instituto Tecnológico de Morelia (ITM), adscrito al Depar-
tamento de Ciencias Básicas. Se ha destacado por participar como ase-
sor del equipo de estudiantes representativo del ITM en los concursos
organizados el Tecnológico Nacional de México (TNM), ha participado
como jurado en los concursos organizados por la Asociación Nacional
de Facultades y Escuelas de Ingeniería (ANFEI), colabora también como
docente de sistema abierto en la maestría de la Universidad Politécnica
de Aguascalientes (UPA), actualmente ocupa el cargo de coordinador de
educación continua y a distancia del Tecnológico de Morelia.
Enif Guadalupe Gutiérrez Guerrero. Doctora en Ciencias en el área
de Física por la Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidal-
go (UMSNH). Es miembro del Registro de Investigadores Michoacanos
(RIM) y del Sistema Nacional de Investigadores (SNI). Actualmente labo-
ra en el Instituto Tecnológico de Morelia (ITM), adscrita al Departamen-
to de Ciencias Básicas y se ha destacado por participar como asesora del
equipo de estudiantes representativo del ITM en los concursos organi-
zados por la Asociación Nacional de Facultades y Escuelas de Ingeniería
(ANFEI) y el Tecnológico Nacional de México (TNM). Cuenta con expe-
riencia docente hasta nivel Posgrado.
Carlos Fabián Escudero García. Maestro en Ingeniería Mecánica por el
Instituto Tecnológico de Morelia (ITM). Laboró para las empresas Can-
non Mills S.A. de C.V., Textil Alma S.A. de C.V., Meratex S.A. de C.V., Cano-
fil S.A. de C.V. y Ponan Mills S.A. de C.V. desde 1993 a 2009. Docente co-
laborador en el Departamento de Ingeniería Industrial de la Universidad
Marista de Guadalajara (UMG) en varios semestres durante el periodo de
1998 a 2005. Actualmente labora en el ITM como Jefe del Departamento
de Ingeniería Eléctrica, desempeñandose antes también, como Jefe del
Departamento de Ciencias Básicas en la misma institución.
Salomón Espinosa Romero. Ingeniero Electrónico por el Instituto Tec-
nológico de Morelia (ITM) y candidato a obtener el grado de M.C. en
Ingeniería Eléctrica. Ha participado en la producción de distintos pro-
gramas locales y nacionales de radio y TV. Actualmente labora en el ITM
adscrito al Departamento de Ciencias Básicas, donde se ha destacado
por participar como asesor del equipo de estudiantes representativo de
la Institución en los concursos organizados por la Asociación Nacional
de Facultades y Escuelas de Ingeniería (ANFEI) y el Tecnológico Nacio-
nal de México (TNM), además de ser el responsable del Laboratorio de
Dibujo y Cómputo del mismo Departamento de Ciencias Básicas.
Rubén Vega Cano. Maestro en Ciencias por el Centro de Investigación
y Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional (CINVESTAV-
IPN). Actualmente labora en el Instituto Tecnológico de Morelia (ITM),
adscrito al Departamento de Ciencias Básicas. Se ha destacado por par-
ticipar como asesor del equipo de estudiantes representativo del ITM
en los concursos organizados por el Tecnológico Nacional de México
(TNM). Cuenta con experiencia docente hasta nivel Posgrado.
Josué Espinosa Romero. Ingeniero en Sistemas Computacionales por la
Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo (UMSNH). Actual-
mente labora como docente interino en el Instituto Tecnológico de Mo-
relia (ITM).
Vprefacio
El álgebra lineal aporta, al perfil del ingeniero, la capacidad para desarrollar un pensamiento
lógico, heurístico y algorítmico al modelar fenómenos de naturaleza lineal y resolver proble-
mas.
Muchos fenómenos de la naturaleza, que se presentan en la ingeniería, se pueden aproximar
a través de un modelo lineal. Esta materia nos sirve para caracterizar estos fenómenos y con-
vertirlos en un modelo lineal ya que es más sencillo de manejar, graficar y resolver que uno no
lineal, de allí la importancia de estudiar álgebra lineal.
Esta asignatura proporciona al estudiante de ingeniería una herramienta para resolver proble-
mas de aplicaciones de la vida ordinaria y de aplicaciones de la ingeniería.
Está diseñada para el logro de siete competencias específicas dirigidas a la aprehensión de
los dominios: números complejos, matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales,
espacios vectoriales, base y dimensión de un espacio vectorial y transformaciones lineales.
Esta materia proporciona además conceptos matemáticos que se aplicarán en ecuaciones di-
ferenciales y en otras materias de especialidad.
El propósito de estas notas de Álgebra lineal, es complementar al estudiante en el aprendizaje
y manejo de los conceptos básicos u operaciones entre números complejos, así como generar
herramientas técnicas para encontrar la solución de distintos problemas que involucran a los
números complejos.
Este trabajo representa un esfuerzo de síntesis en la selección del conjunto de ejemplos y pro-
blemas, cada uno de ellos con un especial interés en que su contenido sea lo mas representativo
posible de el tema correspondiente.
El objetivo de este trabajo es presentar los principales conceptos básicos de la materia de Ál-
gebra lineal así como de sus aplicaciones, orientando de esta forma la metodología para que el
estudiante pueda identificar y construir un modelo matemático, además ser capaz de resolver-
lo.
La asignatura pretende proporcionar al alumno los conceptos esenciales del álgebra lineal. Se
organiza el temario en cinco unidades. Primeramente se estudian los números complejos co-
mo una extensión de los números reales, tema ya abordado en otros cursos de matemáticas. Se
propone iniciar con esta unidad para así utilizar los números complejos en el álgebra de matri-
ces y el cálculo de determinantes. Además, el concepto de número complejo será retomado en
el curso de ecuaciones diferenciales.
El estudio de Matrices y determinantes se propone como segunda unidad y previo a los siste-
mas de ecuaciones lineales con la finalidad de darle la suficiente importancia a las aplicaciones
de las matrices, ya que prácticamente todos los problemas del álgebra lineal pueden enunciar-
se en términos de matrices. Por la necesidad de que el alumno comprenda si una matriz tiene
inversa, además del cálculo para obtenerla, se ha añadido antes del subtema cálculo de la inver-
sa de una matriz, los conceptos: Transformaciones elementales por renglón, escalonamiento
de una matriz y rango de una matriz.
Es importante, para el estudiante, aprender el concepto de transformaciones elementales por
renglón para desarrollar el escalonamiento de una matriz como método para obtener la inver-
sa. Para determinar si una matriz tiene inversa o no, evitando el concepto de determinante en
este momento, se aborda el concepto de rango como el número de renglones con al menos un
elemento diferente de cero de cualquiera de sus matrices escalonadas. Asimismo, se propone
que al final de la unidad dos se estudien aplicaciones tales como análisis de redes, modelos
económicos y gráficos. Es importante resaltar que lo analizado aquí se utilizará en unidades
posteriores de esta asignatura como en la dependencia lineal de vectores y la representación
de transformaciones lineales, y en otras asignaturas como en el cálculo del wronskiano para la
dependencia lineal de funciones.
En la siguiente unidad se estudian los espaciosvectoriales que se presentan en el temario de
manera concisa, pero comprenden lo esencial de ellos. El temario de transformaciones linea-
les se presenta condensado haciendo énfasis en las aplicaciones y en la transformación lineal
como una matriz.
Los contenidos presentados constituyen los elementos básicos indispensables. Se proponen
actividades de aprendizaje que permitan al alumno conocer el ambiente histórico que da ori-
gen a los conceptos del álgebra lineal, y a partir de ello extender el conocimiento.
Las actividades de aprendizaje recomendadas pretenden servir de ejemplo para el desarrollo
de las competencias, mencionadas más adelante en este documento, y se propone adecuarlas
a la especialidad y al contexto institucional.
Prólogo
Prólogo a la primera edición
Este texto está orientado de acuerdo a los planes de estudio requeridos para el curso de Álgebra Lineal
que se imparte en el Tecnológico Nacional de México, y es el logro de un trabajo colegiado y soportado
por la Academia de Ciencias Básicas del Instituto Tecnológico de Morelia, motivado por establecer un
material de apoyo a las tradicionales notas para la clase de cada docente, con características propias e
inherentes a las capacidades actuales de nuestros estudiantes.
Una de las fortalezas en este material, es su posibilidad de mejorar continuamente los contenidos, pues
se enriquece al tomar las experiencias diaria de los docentes y su interacción con los estudiantes, garan-
tizando una constante inclusión de métodos y herramientas disponibles para tales efectos.
El desarrollo del material, hace énfasis en el entendimiento de los principales conceptos del Álgebra
Lineal, buscando presentarlos de manera intuitiva, por lo que se sugiere al docente y estudiante realizar
un repaso de razonamientos previos a esta materia que se suponen conocidos.
Los temas a desarrollar se resumen en el nombre de sus cuatro unidades temáticas, abordados de ma-
nera gradual y en gran medida de forma intuitiva:
1. Números complejos.
2. Matrices y determinantes.
3. Espacios vectoriales.
4. Transformaciones lineales.
Es necesario enfatizar, que en el esfuerzo de este texto, se adicionan otros materiales de apoyo como lo
son formularios, gráficos, ejercicios resueltos, autoevaluaciones, pero sobre todo, un importante curso
masivo, abierto y ofrecido en línea (MOOC) sobre Álgebra Lineal, de manera gratuita a todos los interesa-
dos en la modalidad de aprendizaje autodidacta, acondicionado para tomarlo a la par de esta asignatura
en un periodo semestral, herramienta que sin duda, es un punto y aparte en el esfuerzo por reducir
los índices de reprobación que se presentan en las asignaturas del área de ciencias básicas de nuestro
sistema.
Por último, es importante mencionar que estos trabajos, no sustituyen la aportación que desempeñan
libros clásicos del tema, pero sobre todo, la presencia del maestro y su interacción con el estudiante en
el aula.
Academia de Ciencias Básicas del Instituto Tecnológico de Morelia.
Competencias a desarrollar
Competencias específicas
Resolver problemas de aplicación e interpretar las soluciones utilizando matrices y siste-
mas de ecuaciones lineales para las diferentes áreas de la ingeniería.
Identificar las propiedades de los espacios vectoriales y las transformaciones lineales pa-
ra describirlos, resolver problemas y vincularlos con otras ramas de las matemáticas.
Competencias genéricas
Procesar e interpretar datos
Representar e interpretar conceptos en diferentes formas: numérica, geométrica, alge-
braica, trascendente y verbal.
Comunicarse en el lenguaje matemático en forma oral y escrita.
Modelar matemáticamente fenómenos y situaciones.
Pensamiento lógico, algorítmico, heurístico, analítico y sintético.
Potenciar las habilidades para el uso de tecnologías de la información.
Resolución de problemas.
Analizar la factibilidad de las soluciones.
Toma de decisiones.
Reconocimiento de conceptos o principios integradores.
Establecer generalizaciones.
Argumentar con contundencia y precisión.
Objetivo general del curso (competencia específica a desarrollar
en el curso)
Resolver problemas de aplicación e interpretar las soluciones utilizando matrices y sistemas
de ecuaciones lineales para las diferentes áreas de la ingeniería. Identificar las propiedades de
los espacios vectoriales y las transformaciones lineales para describirlos, resolver problemas y
vincularlos con otras ramas de las matemáticas.
Competencias previas
Manejar el concepto de los números reales y su representación gráfica.
Usar las operaciones con vectores en el plano y el espacio.
Resolver ecuaciones cuadráticas.
Emplear las funciones trigonométricas.
Graficar rectas y planos.
Obtener un modelo matemático de un enunciado.
Utilizar software matemático.
Sugerencias didácticas (desarrollo de competencias genéricas)
Despertar la curiosidad de la investigación con biografías de personas que hicieron apor-
taciones a las matemáticas o problemas hipotéticos con el fin de acrecentar el sentido y
la actitud crítica del estudiante.
Utilizar software de matemáticas (Mathcad, Mathematica, Maple, Matlab) y calculadoras
graficadoras para facilitar la comprensión de conceptos, la resolución de problemas, la
construcción de gráficas y la interpretación de resultados.
Desarrollar prácticas de tal manera que los estudiantes apliquen los conocimientos ad-
quiridos y los relacionen con su carrera.
Proponer problemas que:
• Permitan al estudiante la integración de los contenidos, para su análisis y solución.
• Refuercen la comprensión de conceptos que serán utilizados en materias posterio-
res.
• Modelen y resuelvan situaciones reales de ingeniería mediante conceptos propios
del álgebra lineal.
Discutir en grupos para intercambiar ideas argumentadas así como analizar conceptos y
definiciones.
Desarrollar la inducción, deducción, síntesis y análisis para fomentar las cualidades de
investigación.
Sugerencias de evaluación
La evaluación de la asignatura debe de ser continua y se debe considerar el desempeño en
cada una de las actividades de aprendizaje, haciendo especial énfasis en obtener evidencias de
aprendizaje como:
Reportes escritos.
Solución de ejercicios.
Actividades de investigación.
Elaboración de modelos o prototipos.
Análisis y discusión grupal.
Resolución de problemas con apoyo de software.
Exámenes escritos para comprobar el manejo de aspectos teóricos y declarativos.
XIÍNDICE GENERALENERAL
PRÓLOGO VII
1 NÚMEROS COMPLEJOS 1
1.1 Números imaginarios. 2
1.2 Definición de números complejos 3
1.3 Operaciones con números complejos. 5
Suma de números complejos. 5
Multiplicación de números complejos. 6
Módulo o valor absoluto de un número complejo. 7
Números complejos conjugados. 8
División de números complejos 9
1.4 Formas polar y exponencial de un número complejo. 10
1.5 Potencias y raíces de un número complejo. 12
Potencia de un número complejo. 12
Raíces de un número complejo 13
Potencias fraccionarias 15
1.6 Logaritmo de un número complejo. 16
1.7 Ecuaciones polinomiales complejas 18
Ecuaciones de primer grado 18
Ecuaciones de segundo grado 19
Polinomios de grado superior 20
1.8 Evaluaciones sumativas 21
Ejercicios 21
2 MATRICES Y DETERMINANTES 23
2.1 Definición de matriz, notación y orden 24
Clasificación de una matriz de acuerdo a los elementos que contiene 25
2.2 Operaciones con matrices 27
Suma de matrices. 27
Multiplicación de matrices 28
Clasificación de matrices de acuerdo a sus operaciones 30
2.3 Matrices escalonadas y escalonadas reducidas 34
Método de Gauss 35
Método de Gauss-Jordan 37
2.4 Determinante de una matriz 38
2.5 Inversa de una matriz 43
Método de la adjunta 44
Método de Gauss-Jordan 45
2.6 Sistemas de ecuaciones lineales 48
Interpretación geométrica 50
Solución de sistemas de ecuaciones. 52
2.7 Evaluaciones sumativas 57
Ejercicios 57
3 ESPACIOS VECTORIALES 59
3.1 Definición de un espacio vectorial 60
3.2 Subespacios de un espacio vectorial y sus propiedades 64
Intersecciónde subespacios vectoriales 66
Suma de subespacios vectoriales 67
3.3 Dependencia e independencia lineal 69
3.4 Base y dimensión de un espacio vectorial 73
3.5 Ortonormalización 76
Cambio de la base canónica a otra base 76
Cambio de bases en general 78
Bases ortonormales 79
3.6 Evaluaciones sumativas 82
Ejercicios 82
4 TRANSFORMACIONES LINEALES 85
4.1 Definición y propiedades de una transformación lineal 85
4.2 Núcleo e imagen de una transformación lineal 89
4.3 Representación matricial de una transformación lineal 95
4.4 Geometría y aplicaciones de las transformaciones lineales 98
4.5 Evaluaciones sumativas 108
Ejercicios 108
A FÓRMULAS DE GEOMETRÍA 111
A.1 Figuras geométricas 2D 111
A.2 Figuras geométricas 3D 112
A.3 Geometría plana 113
B FÓRMULAS DE TRIGONOMETRÍA 115
C FÓRMULAS DE DERIVADAS 117
D FÓRMULAS DE INTEGRALES 119
E FÓRMULAS DE CÁLCULO VECTORIAL 123
F RESPUESTA A EJERCICIOS PROPUESTOS 125
BIBLIOGRAFÍA 132
11 Números Complejos
Introducción
Los números complejos son una extensión de los números reales y se denotan con la letra
mayúscula C. Todo número complejo puede representarse como la suma de un número real y
uno imaginario, conservando todas las propiedades de los números reales.
Los números complejos son importantes en el álgebra, variable compleja, ecuaciones diferen-
ciales, aerodinámica y electromagnetismo entre otras. Son utilizados con especial énfasis en la
matemática pura, mecánica cuántica y la ingeniería, especialmente en la electrónica y sistemas
computacionales.
Competencia específica a desarrollar
Manejar los números complejos y las diferentes formas de representarlos, así como las opera-
ciones entre ellos para tener una base de conocimiento a utilizar en ecuaciones diferenciales y
en diferentes aplicaciones de ingeniería.
Actividades de Aprendizaje
Investigar el origen del término número imaginario.
Discutir el proceso de solución de una ecuación cuadrática que cumpla la condición b2−
4ac < 0 para introducir la definición de i =
p
−1 .
Comprobar las soluciones de una ecuación cuadrática que cumpla la condición b2 −
4ac < 0 para introducir las operaciones de suma y multiplicación de números complejos.
Reconocer que cualquier potencia del número imaginario i se puede representar como
±i o ±1.
Graficar un mismo número complejo en la forma rectangular y su forma polar en el plano
complejo para deducir las fórmulas de transformación entre diferentes formas de escri-
bir números complejos.
Analizar la fórmula de Euler para convertir un número complejo a su forma polar o rec-
tangular.
Ejercitar las operaciones de suma, multiplicación y división con complejos representa-
dos en sus diferentes formas.
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1.1 Números imaginarios. Álgebra lineal.
Analizar el teorema de De Moivre y aplicarlo para extraer potencias y raíces de números
complejos.
Resolver ecuaciones polinómicas con raíces complejas.
Utilizar software matemático para resolver operaciones con números complejos.
Resolver problemas de aplicación en ingeniería que involucren el uso de los números
complejos.
1.1 Números imaginarios.
Los números imaginarios surgen de la necesidad de resolver problemas que con números reales
son difíciles o imposibles de solucionar, uno de estos casos ocurre cuando es necesario obtener
las raíces cuadradas de un número negativo; por ejemplo, al resolver la ecuación
x2 +a = 0 donde a ∈R+
llegamos a que x = ±
p
−a, pero esto no es un número real, así que dentro de los números
reales ésta ecuación no tiene solución. ¿Qué podemos hacer?, lo primero que se puede intentar
es agregar ese número al conjunto de los de los números reales y listo. El problema es que
deberíamos agregar muchos valores (todos los que pueda tomar a), lo cual no es práctico; sin
embargo, podemos hacer lo siguiente: cada vez que tengamos una raíz de un número negativo
lo separamos de la siguiente manera
p
−a =
√
(−1)(a) =
p
a
p
−1
Como este procedimiento siempre es válido y la
p
a es un número real, el único problema sería
con la
p
−1, esto nos conduce a
Definición 1.1 Número imaginario
La raíz cuadrada del número negativo −1 se define como
i =
p
−1,
donde a i se le denomina unidad imaginaria.
Con esto resolvemos completamente nuestro problema. Observemos que acabamos de definir
un conjunto de números muy grande; el de los imaginarios, que se representa con la letra I
y cuyos elementos son de la forma a i donde a es cualquier número real e i es el de nuestra
definición anterior.
Una de las características importantes de los números imaginarios se observa cuando los ele-
vamos a potencias enteras. Veamos como se comportan
i =
p
−1,
i 2 = (
p
−1)2 =−1,
i 3 = i 2 i =−
p
−1 =−i ,
i 4 = i 3 i = (−i )(i ) =−(i )2 = 1,
3
1.2 Definición de números complejos Álgebra lineal.
i 5 = i 4 i = (1)(i ) = i ,
i 6 = i 5 i = (i )(i ) =−1.
Como podemos observar, después de la potencia 4 el resultado es cíclico, por lo que podría-
mos expresar cualquier potencia de i en términos de las primeras 4 (más específicamente, en
términos de i o 1), usando el teorema de la división euclidiana en la siguiente forma
i n = i 4(m)+q donde 0 ≤ q < 4 y m, q ∈Z
El hecho de descomponer a n en una expresión que contiene una multiplicación de 4 por un
factor, es porque sabemos que i 4 = 1 y podemos aprovechar esta situación para simplificar
nuestra expresión.
Ejemplo 1.1 Potencias del número imaginario i
Considerando las características exponenciales del número imaginario, expresa i 39 en
términos de i o 1.
Solución .
Primero descomponemos 39 = 4(9)+3 luego escribimos
i 39 = i 4(9)+3 = (i 4)9(i 3) = (1)9(i 3) = i 3 =−i .
Ejemplo 1.2 Potencias del número imaginario i
Considerando las características exponenciales del número imaginario, expresa i−23 en
términos de i o 1.
Solución .
Primero descomponemos −23 = 4(−6)+1 luego escribimos
i−23 = i 4(−6)+1 = (i 4)−6(i ) = (1)−6(i ) = i .
Ejemplo 1.3 Número imaginario elevado a la potencia cero
Expresar i 0 en términos de i o 1.
Solución .
Al igual que en los ejemplos anteriores, descomponemos 0 = 4(0)+0 = 4(0), para luego
escribir
i 0 = i 4(0) = (i 4)0 = (1)0 = 1.
1.2 Definición de números complejos
Observemos que se pueden identificar los números reales dentro del plano cartesiano como el
par (x,0), x ∈ R. También podemos representar al conjunto de números imaginarios como el
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1.2 Definición de números complejos Álgebra lineal.
Eje Imaginario 
 
Eje Real 
Figura 1.1. Plano complejo
par ordenado (0, y), con y ∈R. De esta forma obtenemos gráficamente el plano complejo, en la
siguiente forma
Cualquier elemento de este plano está representado por un número complejo z que consta de
una parte real y una imaginaria. En general podemos definir al conjunto de números complejos
en la siguiente forma
Definición 1.2 Números complejos
El conjunto de números complejos C se define como el conjunto de todos los pares or-
denados z = (x, y), con x, y ∈R.
A los elementos de este conjunto, los podemos ubicar dentro del plano complejo en forma simi-
lar a como lo hacemos con el par ordenado (x, y) ∈ R2 dentro del plano cartesiano. Lo anterior
se lleva a cabo realizando dos recorridos partiendo del origen del plano: el primero avanzando
x unidades sobre el eje real, seguido de un avance de y unidades en dirección paralela al eje
imaginario; el segundo con un desplazamiento de y unidades sobre el eje imaginario, seguido
de un desplazamiento de x unidades en dirección paralela al eje real. El punto donde se cruzan
estos dos recorridos, corresponde a el número complejo z = x + yi , como lo muestra la figura
1.2.
Eje Imaginario 
 
 
 Eje Real 
= + 𝑖 
Figura 1.2. Números complejos en el plano
La figura anterior sugiere que se puede proponer que un número complejo z se obtiene su-
mando un elemento real con uno imaginario en la forma
z = (x,0)+ (0, y) = (x, y).
5
1.3 Operaciones con números complejos. Álgebra lineal.
Observación
Un número complejo que solo contienela parte real, se identifica con los números reales;
si únicamente tiene la parte imaginaria, se conoce como número imaginario puro.
Por otro lado si denotamos la unidad de los números reales como 1 = (1,0) y la unidad de los
números imaginarios puros como i = (0,1), podemos escribir
z = (x, y) = x(1,0)+ y(0,1) = x + yi ,
que es una notación algebraica para los números complejos. Esta representación ha mostrado
ser de mayor utilidad al realizar operaciones dentro del campo complejo.
Ejemplo 1.4 Puntos en el plano complejo
Graficar los puntos z1 = 2+2i , z2 =−3+ i y z3 = 0−2i en el plano complejo.
Solución .
Los puntos quedan ubicados de acuerdo a la siguiente gráfica.
z1
z2
z3
-3 -2 -1 1 2
Eje Real
-2
-1
1
2
Eje Imaginario
Observación
De acuerdo a su posición en el plano complejo, claramente se puede ver que dos nú-
meros complejos son iguales si y solo si tienen partes reales iguales y partes imaginarias
iguales; es decir
z1 = z2 si y solo si Re z1 = Re z2 e Im z1 = Im z2
1.3 Operaciones con números complejos.
Para realizar operaciones con números complejos es más práctico usar la notación z = x + yi ,
con la cual estaremos trabajando de aquí en adelante, sin embargo, es importante recalcar que
siempre es bueno asociar una operación compleja en su forma geométrica, que siempre es
posible hacerlo, representado los números complejos como vectores en el plano y haciendo
uso de sus operaciones ya definidas.
1.3.1 Suma de números complejos.
Sean z1 = x1 + y1i y z2 = x2 + y2i dos números complejos. Para hacer la operación de suma,
basta con sumar por separado la parte real y la parte imaginaria en la siguiente forma:
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1.3 Operaciones con números complejos. Álgebra lineal.
z1 + z2 = (x1 + y1i )+ (x2 + y2i ) = (x1 +x2)+ (y1 + y2)i . (1.1)
Es importante señalar que el resultado sigue siendo un número complejo en la forma z = x+yi .
Ejemplo 1.5 Suma de números complejos
Dados z1 = 3−4i , z2 = 1+2i y z3 =−14 i realizar la suma z1 + z2 + z3.
Solución .
z1 + z2 + z3 = (3−4i )+ (1+2i )+ (−1/4i ) = 4− 94 i .
Los números complejos bajo la operación de suma forman un grupo conmutativo1 algebraico;
es decir cumple con las siguientes propiedades:
Propiedad de cerradura: Para todo z1 , z2 ∈C se cumple que z1 + z2 ∈C.
Propiedad asociativa: Sean z1,z2 y z3 ∈C, se cumple (z1 + z2)+ z3 = z1 + (z2 + z3).
Propiedad conmutativa: Sean z1 y z2 ∈C se cumple que z1 + z2 = z2 + z1
Existencia del elemento neutro: Existe un elemento 0 ∈ C tal que z +0 = 0+ z = z; este
elemento es 0+0i .
Existencia del inverso aditivo: Todo número complejo z ∈ C, tiene un inverso aditivo
−z ∈C tal que z + (−z) = 0.
1.3.2 Multiplicación de números complejos.
Para realizar la operación de multiplicación dentro de los números complejos procedemos en
la siguiente forma: primero consideramos como si fueran polinomios y los multiplicamos si-
guiendo el procedimiento para el producto algebraico polinomial, es decir;
Dados dos números complejos z1 = x1 + yi1 y z2 = x2 + y2i , su producto es
z1z2 = (x1 + y1i )(x2 + y2i ) = x1x2 +x1 y2i + y1x2i + y1 y2i 2
luego simplificamos las potencias de i y agrupamos parte real e imaginaria para obtener
z1z2 = (x1x2 − y1 y2)+ (x1 y2 + y1x2)i (1.2)
Ejemplo 1.6 Producto de números complejos
Dados z1 = 2−5i y z2 = 1−2i , realizar el producto z1 z2 y obtener (z1)2.
Solución .
De acuerdo con el procedimiento descrito tenemos que
z1 z2 = (2−5i )(1−2i ) = 2−4i −5i +10i 2 =−8−9i ,
(z1)2 = (2−5i )2 = 4−20i +25i 2 = 4−20i −25 =−21−20i .
Los números complejos bajo la operación de producto cumplen con las siguientes propieda-
des:
1Este término se usa en teoría de grupos y se estudia en álgebra moderna
7
1.3 Operaciones con números complejos. Álgebra lineal.
Propiedad de cerradura: Para todo z1 , z2 ∈C se cumple que z1 z2 ∈C.
Propiedad asociativa: Sean z1,z2 y z3 ∈C, se cumple (z1 z2)z3 = z1(z2 z3).
Propiedad conmutativa: Sean z1 y z2 ∈C se cumple que z1 z2 = z2 z1
Elemento neutro: Existe un elemento 1 ∈C tal que z ·1 = 1 · z = z este elemento es 1+0i .
Inverso multiplicativo: Todo número complejo z 6= 0, tiene un inverso multiplicativo
1
z ∈C tal que z(
1
z ) = 1.
1.3.3 Módulo o valor absoluto de un número complejo.
Debido a que a los números complejos los identificamos como puntos en el plano complejo, no
es posible la comparación, sin embargo, es útil tener algún orden, por lo que podemos definir
el módulo o valor absoluto de un número complejo, el cual nos definirá la distancia de este
punto al origen en el plano complejo. Así, con la ayuda del teorema de Pitágoras, obtenemos:
Definición 1.3 Valor absoluto
El módulo o valor absoluto de un número complejo z = (x + yi ) está dado por |z| =
√
x2 + y2.
Observación
Decimos que un número complejo z1 es más grande que z2 si z1 está más alejado del
origen; es decir, si |z1| > |z2|.
Ejemplo 1.7 Valor absoluto
Si tenemos los números z1 =−3+2i y z2 = 1+4i , ¿cuál de los dos es más grande?
Solución .
Al calcular el valor absoluto de ambos números, tenemos
|z1| = |−3+2i | =
√
(−3)2 +22 =
p
13 y
|z1| = |1+4i | =
p
12 +42 =
p
17.
Por lo que z2 es el más alejado del origen y podemos decir que es más grande que z1.
Como ya se mencionó en la definición de valor absoluto, en realidad estamos midiendo la dis-
tancia del punto z = (x, y) al origen; sin embargo, esta definición se puede generalizar para
medir la distancia entre cualesquiera dos números complejos en la siguiente forma
d(z1, z2) = |z2 − z1| =
√
(x2 −x1)2 + (y2 − y1)2
Ejemplo 1.8 Distancia entre números complejos
Encontrar la distancia entre los números complejos z1 = 3−2i , z2 =−1+3i .
Solución .
8
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1.3 Operaciones con números complejos. Álgebra lineal.
d(z1, z2) = |(−1+3i )− (3−2i )| =
√
(−1−3)2 + (3+2)2 =
p
16+25 =
p
41.
Dados dos números complejos z y w se pueden comprobar fácilmente las siguientes propie-
dades del valor absoluto
1. |z| = 0 ⇔ z = 0,
2. |z +w | ≤ |z|+ |w |,
3. |zw | = |z||w |,
4. |z −w | ≥ |z|− |w |.
1.3.4 Números complejos conjugados.
Dos binomios que tienen los mismos términos son conjugados si solo difieren en el signo de
un término, por ejemplo, los binomios a +b y a −b son conjugados entre sí. Al igual que esta
definición de polinomios reales, podemos definir el conjugado de un número complejo z como
un nuevo número complejo, en la siguiente forma
Definición 1.4 Conjugado de un número complejo
El conjugado de un número complejo z = x+yi , se obtiene cambiando de signo la parte
imaginaria y se representa por z = x − yi .
Sean z, w dos números complejos. El conjugado de estos números, tiene las siguientes propie-
dades bajo las operaciones de suma y multiplicación.
1. zz = |z|2,
2. z + z = 2Re(z),
3. z − z = 2 Im(z),
4. z +w = z +w ,
5. z w = z w ,
6. 1z =
z
|z|2 ,
7. z ∈R⇔ z = z.
Observemos que la propiedad 6 define con mayor claridad el inverso multiplicativo de un nú-
mero complejo.
Ejemplo 1.9 Propiedades de los números complejos
Mostrar que se cumple la propiedad 4 de los complejos conjugados.
Solución .
Sean z = a +bi y w = c +di . Entonces
z +w = (a +bi )+ (c +di ) = (a + c)+ (b +d)i .
Ahora, como quitar la barra de número conjugado equivale a cambiar de signo la parte
9
1.3 Operaciones con números complejos. Álgebra lineal.
imaginaria, escribimos la ecuación anterior como
(a + c)− (b +d)i = (a −bi )+ (c −di ) = z +w .
El conjugado de un número complejo sigue las mismas reglas que se usan para los signos de
agrupación dentro de los números reales.
Ejemplo 1.10 Simplificación de un número complejo
Simplificar la expresión (3−2i )+5+5i −6i .
Solución .
Comenzamos por quitar el conjugado de las expresiones más pequeñas y seguimos hasta
las más grandes en la siguiente forma
(3+2i )+5+5i − (−6i ) = 8+13i = 8−13i .
Actividad complementaria 1.1
Simplificar la expresión (2− i )2 +5+5i − (−1−2i )(−1−2i ).
1.3.5 División de números complejos
Para realizar la división usaremos la conocida idea de multiplicar tanto numeradorcomo de-
nominador por un mismo número. Además, considerando la propiedad 1 del conjugado de un
número complejo, obtenemos la división en la siguiente forma:
z1
z2
=
z1z2
z2z2
=
z1z2
|z2|2
. (1.3)
Observación
Para recordar más fácilmente el proceso de hacer una división entre números complejos,
notemos que en realidad lo que se hace es multiplicar y dividir por el conjugado del
denominador (ésto se conoce en álgebra elemental como racionalizar el denominador).
Estas operaciones lo que hacen en realidad es eliminar la parte imaginaria del denominador,
de tal manera que esta división de números complejos se convierta en una división de números
reales y nos facilite efectuar la operación.
Ejemplo 1.11 División de números complejos
Simplificar la siguiente expresión
( 3
2−3i
)( 1
1+i
)
.
Solución .
Primero multiplicamos los números
(
3
2−3i
)(
1
1+ i
)
=
3
2+2i −3i −3i 2
=
3
5− i
,
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1.4 Formas polar y exponencial de un número complejo. Álgebra lineal.
luego multiplicamos y dividimos por el conjugado del denominador,
3
5− i
5+ i
5+ i
=
15+3i
25− i 2
=
15+3i
25+1
,
al simplificar ésta última expresión obtenemos el complejo z = 1526 +
3
26 i .
Actividad complementaria 1.2
Simplificar la expresión
3− i
4+2i
+
2i
1− i
.
1.4 Formas polar y exponencial de un número com-
plejo.
Recordemos que para ubicar un punto en el plano polar (usando coordenadas polares), se es-
cribe el par ordenado (r,θ), donde:
r =
√
x2 + y2 es la distancia del punto al origen,
θ = arctan
( y
x
)
es el ángulo medido a partir del eje X positivo,
tomando en cuenta que un ángulo positivo se mide con un giro en sentido contrario a las ma-
necillas del reloj.
De igual manera podemos representar un numero dentro del plano polar complejo (conocien-
do el ángulo que forma con el eje real y la distancia a la que se encuentra del origen ), como se
muestra en la figura 1.3.
Eje Imaginario 
 
𝜃 
𝑟 
Eje Real 
𝑧 
Figura 1.3. Representación gráfica del plano polar complejo
De esta gráfica, usando funciones trigonométricas, podemos deducir las siguientes ecuaciones
para x y y en términos de r y θ.
x = r cosθ y = r senθ,
lo cual nos permite escribir un numero complejo z = x + yi en su forma polar como:
z = r (cosθ+ i senθ) con r ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ 2π (1.4)
11
1.4 Formas polar y exponencial de un número complejo. Álgebra lineal.
Observación
A r se le conoce como módulo de z y mide la distancia del número complejo al
origen; por lo tanto, debe ser positivo.
El ángulo θ se conoce como Ar g z . Se pide que tenga su valor entre cero y 2π por-
que las funciones trigonométricas son cíclicas con periodo igual a 2π, y se cumple
que
z = r (cos(θ)+ i sen(θ)) = r (cos(θ+2nπ)+ i sen(θ+2nπ)) para todo n ∈Z,
Para escribir un número complejo en forma exponencial, usaremos la fórmula de Euler (pre-
sentada por Leonhard Euler), la cual establece que:
e iθ = cosθ+ i senθ (1.5)
y nos permite escribir un número complejo no nulo en forma exponencial de la siguiente ma-
nera:
z = r e iθ, (1.6)
que es una forma práctica y compacta para trabajar dentro del campo complejo.
Observación
Para calcular el ángulo, la calculadora da resultados normalmente entre −π y π, por lo
que se debe siempre ubicar el número complejo en el plano para saber en que cuadrante
está, y en base a esto sumarle π2 ,π,
3π
2 o 2π radianes, según sea el caso.
Ejemplo 1.12 Forma exponencial de números complejos
Convertir a su forma exponencial z = 1− i .
Solución .
El valor de la magnitud r =
p
2, además θ =−π4 , sin embargo como el número complejo
está en el cuarto cuadrante y debemos expresarlo dentro del rango (0,2π) le sumamos
2π, es decir, θ =
7
4
π. Finalmente usando la ecuación 1.6
z =
p
2e
7π
4 i .
Ejemplo 1.13 Forma polar y cartesiana de números complejos
Convertir a su forma polar y luego a su forma cartesiana, el número z = 3.5e(π/3)i .
Solución .
Usando la fórmula 1.5 de Euler tenemos que
z = 3.5e(π/3)i = 3.5[cos(π/3)+ i sen(π/3)],
que es la fórmula polar. Ahora, para la forma cartesiana, si evaluamos las funciones tri-
gonométricas obtenemos:
z = 1.75+
7
p
3
4
i .
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1.5 Potencias y raíces de un número complejo. Álgebra lineal.
Finalmente, aprovechando las propiedades de la función exponencial, podemos escribir el pro-
ducto de números complejos descrito en la ecuación (1.2) en la forma:
z1z2 = r1r2e i (θ1+θ2) (1.7)
de manera semejante la ecuación (1.3) que define la división de complejos en forma cartesiana,
se puede escribir como:
z1
z2
=
r1
r2
e i (θ1−θ2) (1.8)
Ejemplo 1.14 Operaciones con números complejos
Sean z1 = 3i y z2 = 2e(3π/2)i . Convertir z1 a su forma exponencial y luego encontrar z1 z2
y z1z2 .
Solución .
Dado que r1 = 3 y θ1 =
π
2
, tenemos que z1 = 3e(π/2)i en forma exponencial. Luego em-
pleando la ecuación 1.7 llegamos a que
z1 z2 = (3)(2)
(
e(π/2+3π/2)i
)
= 6e2πi = 6e0i = 6
además
z1
z2
=
3
2
e(π/2−3π/2)i =
3
2
e−πi =
3
2
eπi .
Actividad complementaria 1.3
Dados los números complejos z1 = 5e(π/3)i y z2 = 2e(π/4)i encontrar el producto z1z2 y
escribirlo en su forma cartesiana.
1.5 Potencias y raíces de un número complejo
Expresar un número en su forma exponencial es bastante útil, sobre todo cuando es necesario
realizar operaciones que involucran potencias o raíces de un número complejo.
1.5.1 Potencia de un número complejo.
Para elevar un número complejo a una potencia entera, podemos usar la forma binomial de
Newton o el triángulo de Pascal como se hace con los números reales y así obtener el resultado.
Sin embargo, esto no es práctico si se quiere elevar a alguna potencia grande. En estos casos es
mejor expresar el número complejo en su forma exponencial, es decir:
z = r e iθ,
luego, elevando ambos términos a una potencia n
zn = (r e iθ)n = r n(e iθ)n = r ne i nθ,
nos proporciona una forma de obtener las potencias de un número complejo. A partir de ésto
podemos definir
13
1.5 Potencias y raíces de un número complejo. Álgebra lineal.
Definición 1.5 Potencias enteras de números complejos
Las potencias enteras de un número complejo, z = r e iθ están dadas por:
zn = r ne i nθ donde n ∈Z
Observación
No se debe confundir la forma exponencial de un número complejo (z = r eθ i ), con elevar
a un exponente un número complejo (zn).
Ejemplo 1.15 Una potencia grande de un número complejo
Dado z = 4−7i , encontrar z15.
Solución .
Al convertir z a su forma exponencial, obtenemos z =
p
65e5.233i , luego usamos la defi-
nición 1.5 para obtener
z15 = (
p
65)15e15(5.233i ) = (3.9523×1013)e78.495i = (3.9523×1013)e3.0966i .
Cuando las potencias son pequeñas se puede seguir usando la definición de producto para
números complejos en forma rectangular,o incluso combinar ambas definiciones.
Ejemplo 1.16 Operaciones con números complejos
Simplificar la expresión
(
(2+3i )2(5− i )
)6
.
Solución .
Al convertir a su forma exponencial, tenemos que (2+ 3i ) =
p
13e0.983i , mientras que
5−i =
p
26e6.08i ; así, elevando al cuadrado el primero, multiplicando y después elevando
a la potencia 6, obtenemos 84835994984e4.326i , que al regresarlo a su forma cartesiana
resulta −31972782816−78580450520i .
Actividad complementaria 1.4
Simplificar la expresión (1+2i )7.
1.5.2 Raíces de un número complejo
Si z es un número complejo, el número complejo w es raíz n−ésima de z, si wn = z y se escribe
como w = z1/n . Por lo que si queremos obtener la raíz n−ésima de un número complejo, pode-
mos proceder de forma similar a como se hizo en las potencias; es decir, primero expresamos
el número en su forma exponencial
z = r e iθ,
luego extraemos la raíz n−ésima en ambos lados de la igualdad,
z1/n = (r e iθ)1/n = r 1/n(e iθ)1/n = r 1/ne
iθ
n ,
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1.5 Potencias y raíces de un número complejo. Álgebra lineal.
ésto nos daría una raíz n−ésima del número complejo. Sin embargo, este resultado no es com-
pleto, pues por álgebra sabemos que existen n resultados parala raíz n−ésima de un número.
Es fácil comprobar que si sumamos 2kπn con k = 0,1,2 . . .n −1 al exponente de la función expo-
nencial, obtenemos las demás raíces.
Definición 1.6 Raíces de números complejos
Las n−raíces diferentes de un número complejo están dadas por la fórmula
z1/n = r 1/ne
(θ+2kπ)
n i para k = 0,1. . .n −1
Ejemplo 1.17 Raíces cúbicas de números complejos
Encontrar todos los valores de (−8i )1/3; es decir, las 3 raíces cúbicas.
Solución .
Para convertir −8i a su forma exponencial, calculamos θ = 3π2 y r = 8 con lo que obte-
nemos 8e3/2πi , enseguida con la ayuda de la fórmula de la definición 1.6 obtenemos la
expresión para calcular las tres raíces, éstas son
para k = 0 tenemos, 81/3e
π
2 i = 2e
π
2 i
para k = 1 tenemos, 81/3e
( 3π2 +2π)
3 i = 2e
7π
6 i
para k = 2 tenemos, 81/3e
( 3π2 +4π)
3 i = 2e
11π
6 i
que al convertir a su forma cartesiana nos da como resultado 2i , −
p
3− i ,
p
3− i .
Ejemplo 1.18 Raíces cuadradas
Encontrar las dos raíces cuadradas de z =−5+2i .
Solución .
En primer lugar calculamos el valor de r =
p
29 y θ = 158.2o , así podemos expresar
z =
p
29e158.2
o i enseguida con la ayuda de la fórmula de la definición 1.6 obtenemos la
expresión para calcular las dos raíces, éstas son
para k = 0 tenemos, 4
p
29e
158.2o
2 i = 4
p
29e79.1
o i
para k = 1 tenemos, 4
p
29e
( 158.2
o
2 +360
o )
2 i = 4
p
29e259.1
o i
que al convertir a su forma cartesiana nos da como resultado 0.438+ 2.278i , −0.438−
2.278i .
Observación
Cuando se calculan raíces cuadradas de un número complejo es suficiente con calcular
la raíz principal y la otra será el negativo de la primera raíz.
Esta observación se puede verificar si realizamos las gráficas correspondientes a las n−raíces
de un número complejo.
15
1.5 Potencias y raíces de un número complejo. Álgebra lineal.
-1.0 -0.5 0.5 1.0
Real
-1.0
-0.5
0.5
1.0
Im
(a) Raíces cuadradas
-1.0 -0.5 0.5 1.0
Real
-1.0
-0.5
0.5
1.0
Im
(b) Raíces cúbicas
-1.0 -0.5 0.5 1.0
Real
-1.0
-0.5
0.5
1.0
Im
(c) Raíces cuartas
Figura 1.4. Raíces de la unidad, los puntos rojos indican la posición de las raíces n−ésimas del número
1 para n =,2,3,4.
Actividad complementaria 1.5
Encontrar todas las raíces de (1−2i )2.
1.5.3 Potencias fraccionarias
Sii reunimos estas dos operaciones (potencia y raíz de un número complejo), obtendríamos
una fórmula para elevar un número complejo a cualquier potencia racional de la manera si-
guiente:
zn/m =
(
z1/m
)n =
(
r 1/me
(θ+2kπ)
m i
)n
= r n/me
(θ+2kπ)
m ni ,
por lo que podemos definir la potencia racional de un número complejo como sigue.
Definición 1.7 Potencias racionales
La potencia racional de un número complejo está dada por la fórmula
zn/m = r n/me
(θ+2kπ)
m ni para k = 0,1. . .m −1
Ejemplo 1.19 Potencias fraccionarias
Encontrar todas las potencias fraccionarias de (2−4i )5/2
Solución .
Convertimos el número 2−4i a su forma exponencial, para esto tenemos que r =
p
20 y
θ = 63.43o es decir,
p
20e63.43
o i , luego Usando la fórmula 1.7 y recordando que 2π= 360o ,
las raíces son:
para k = 0 tenemos,
p
20
5/2
e
(
63.43o+360o
2
)
5i =
p
20
5/2
e1058.58
o i
para k = 1 tenemos,
p
20
5/2
e
( 3π2 +2π)
3 i = 2e
7π
6 i
z1 = 39.3754+15.4411i y z2 =−39.3754−15.4411i .
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1.6 Logaritmo de un número complejo. Álgebra lineal.
1.6 Logaritmo de un número complejo.
La función logaritmo complejo es la función inversa de la función exponencial compleja, de la
misma manera que el logaritmo natural ln x es la función inversa de la función exponencial ex .
Entonces, siguiendo esta idea, podemos definir el logaritmo complejo como
Definición 1.8 Logaritmos
El logaritmo de un número complejo z, diferente de cero, es otro número complejo w ,
de forma que se cumple la igualdad ew = z, y se denota como Log z.
El siguiente resultado nos proporciona información sobre la existencia de tales números com-
plejos.
Teorema 1.1
Dado un número complejo z 6= 0, existe otro número complejo w tal que ew = z. Un valor
para w se obtiene con la fórmula
Log z = ln |z|+ iθ = lnr + iθ,
sin embargo, existen muchos otros valores que se obtienes mediante la ecuación
Log z = lnr + iθ+2nπi ,
donde n es un número entero distinto de cero.
Demostración .
Dado que e lnr+iθ = e lnr e iθ = r e iθ = z, se observa que w = lnr + iθ es una solución de la
ecuación ew = z. Por otro lado, si w1 es otra solución de la ecuación, entonces ew = ew1 ,
pero esta ecuación es cierta sólo si w −w1 = 2nπi .
Como consecuencia del teorema 1.1, debemos estructurar la definición 1.8, en la siguiente for-
ma.
Definición 1.9 Logaritmo principal
Sea z 6= 0 un número complejo dado, entonces el logaritmo principal de z está dado por
la fórmula
Log z = lnr + iθ, (1.9)
mientras que una rama secundaria del logaritmo se obtiene con
Log z = lnr + iθ+2nπi , (1.10)
Observación
La expresión Log 0 no está bien definida, pues no existe ningún número complejo
w que satisfaga ew = 0.
Para cada número complejo z 6= 0, la parte imaginaria del logaritmo principal, se
considera está contenida en el intervalo (−π,π].
17
1.6 Logaritmo de un número complejo. Álgebra lineal.
Ejemplo 1.20 Logaritmo de un número
Dado el número z = 5, calcular el logaritmo principal y dos ramas de este logaritmo.
Solución .
Como r = 5 y θ = 0 El logaritmo principal de acuerdo a la ecuación (1.9) es
Log 5 = ln5 = 1.6094,
mientras que para encontrar dos ramas secundarias usamos la fórmula (1.10) y conside-
ramos n = 1,2 para obtener
w1 = ln5+2πi = 1.6094+6.2831i y también w2 = ln5+4πi = 1.6094+12.57i .
Ejemplo 1.21 Logaritmo principal
Dado el número z =−3i , calcular el logaritmo principal.
Solución .
o quEl valor absoluto |z| = 3, mientras que el argumento θ =−π2 , por lo que el logaritmo
principal es Log (−3i ) = ln3− π2 i .
En lo sucesivo, si no se especifica de que logaritmo se trata, se entenderá que se refiere al loga-
ritmo principal.
Ejemplo 1.22 Logaritmo de un producto de números complejos
Calcular el logaritmo de z = (1+4i )2(1− i ).
Solución .
Primero realizamos las operaciones algebraicas, con lo que obtenemos z =−7+23i en-
seguida calculamos el valor de r =
p
578 y del argumento θ = −1.2753+π = 1.8662, por
lo tanto Log (z) = ln
p
578+1.8662i = 3.17979+1.86624i
Las propiedades de los logaritmos reales no se cumplen en los logaritmos complejos, por ejem-
plo
Log (−i ) =−
πi
2
.
Por otro lado
Log (i )+Log (−1) =
πi
2
+πi ,
es decir,
Log (z1z2) 6= Log z1 +Log z2
Observación
Nótese que en la parte derecha de la segunda ecuación πi2 +πi =
3
2πi no se le debe sumar
un múltiplo entero de 2π pues se trata de la parte imaginaria de un número complejo y
no del argumento de dicho número.
18
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1.7 Ecuaciones polinomiales complejas Álgebra lineal.
1.7 Ecuaciones polinomiales complejas
Las ecuaciones polinomiales con números complejos, se clasifican de la misma manera que
con los números reales, es decir el grado de la ecuación esta determinado por el exponente de
mayor valor numérico presente en la ecuación. Al igual que en el caso de los números reales, es
posible resolver ecuaciones con una o más incógnitas. De hecho, las técnicas para resolverlas
son las mismas.
1.7.1 Ecuaciones de primer grado
Considerando que un número complejo z = x + y i , la ecuación general de primer grado con
números complejos tiene la forma:
ax +by + c = 0, (1.11)
donde a,b,c ∈C, y al menos una de las dos a o b distinta de cero.
Para resolver este tipo de ecuaciones podemos proceder como cualquiera de los dos siguientes
métodos:
Método de resolución de ecuaciones complejas de primer grado
1) Llevando la ecuación (1.11) a la forma d z +ex + f y + g = 0.
a) Desarrollar la ecuación completamente mediante operaciones algebraicas.
b) Factorizar un término d x +d yi de la ecuación y sustituirlo por d z para que la
ecuación quede en la forma d z +ex + f y + g = 0.
c) Despejar z completamente y realizar las operaciones de simplificación delnu-
mero complejo que resulta.
2) Formando un sistema de ecuaciones.
a) Escribir las ecuaciones que se forman al igualar todos los términos reales de
la parte derecha con los términos reales de la parte izquierda, y haciendo lo
mismo con los términos imaginarios.
b) Resolver el sistema de ecuaciones que se forma para las variables x, y .
Ejemplo 1.23 Ecuación de primer grado
Resolver para z la ecuación (1+3i )− z − (4+3i ) = (1−2i )− (5+3i )
Solución .
Notemos que la ecuación ya tiene la forma d z + ex + f y + g = 0 por lo que basta con
despejar z, pasando al lado derecho todos los términos que no la contengan
−z = (1−2i )− (5+3i )− (1+3i )+ (4+3i )
luego, simplificando
−z = 1−2i −5−3i −1−3i +4+3i =−1−5i
finalmente, multiplicando por −1, tenemos la solución z = 1+5i .
19
1.7 Ecuaciones polinomiales complejas Álgebra lineal.
Ejemplo 1.24 Ecuación de primer grado
Resolver la ecuación 2(x + y i )−4(x + y i ) = 2+3i
Solución .
Desarrollando la ecuación y después igualando las partes real e imaginaria, obtenemos
el sistema
{
−4x −2y = 2,
2x −4y = 3.
La solución de este sistema es x = −110 y y =
−4
5 , que son la parte real e imaginaria respec-
tivamente, por lo que la solución es z =− 110 −
4
5 i .
Actividad complementaria 1.6
Resolver la ecuación 3(x + y i )−4xi = 2y −6+ (x + y i )i por los dos métodos propuestos
anteriormente.
1.7.2 Ecuaciones de segundo grado
Una de las ventajas que posee usar números complejos y no reales, es el hecho de que las ecua-
ciones cuadráticas con discriminante negativo siempre tienen solución. De esta manera, si te-
nemos la ecuación cuadrática az2 +bz + c = 0, donde a,b,c son constantes complejas, a 6= 0 y
z ∈ C, ésta posee dos raíces que pueden ser reales o imaginarias y que se obtiene al igual que
en los reales por la bien conocida fórmula general:
z =
−b ±
p
b2 −4ac
2a
(1.12)
Veamos algunos ejemplos de ecuaciones cuadrática complejas.
Ejemplo 1.25 Ecuación de segundo grado
Resolver la ecuación z2 −4z +8i = 0
Solución .
Usando la fórmula general con a = 1, b =−4, c = 8i tenemos
z =
4±
√
(−4)2 −4(1)(8i )
2(1)
=
4±
p
16−32i
2
=
4±4
p
1−2i
2
= 2±2
p
1−2i
enseguida con ayuda de la ecuación para raíces complejas de la definición 1.6 encontra-
mos que la raíz
p
1−2i =−1.272+0.786i por lo que las soluciones son z =−0.544+1.57i
y z = 4.54−1.57.
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1.7 Ecuaciones polinomiales complejas Álgebra lineal.
Ejemplo 1.26 Ecuación de segundo grado
Resolver la ecuación 2z2 + (2− i )z +5 = 0
Solución .
Usando la fórmula general con a = 2, b = 2− i , c = 5 tenemos
z =
(2− i )±
√
(2− i )2 −4(2)(5)
2(2)
=
(2− i )±
p
3−4i −40
4
=
(2− i )±4
p
−37−4i
4
enseguida con ayuda de la ecuación para raíces complejas de la definición 1.6 encontra-
mos que la raíz
p
37−4i = 0.328−6.091i por lo que las soluciones son
z1 =
(2− i )+4(0.328−6.091i )
4
=
(2− i )+1.312 −24.364i
4
=
3.312 −25.364i
4
= 0.83−6.34i
y también
z2 =
(2− i )−4(0.328−6.091i )
4
=
(2− i )−1.312 +24.364i
4
=
0.688 +23.364i
4
= 0.17+5.84i
1.7.3 Polinomios de grado superior
Para el caso de polinomios de grado superior, no existe una fórmula predeterminada a fin de
resolver las ecuaciones correspondientes, por lo que debemos recurrir a nuestro ingenio y la
herramienta matemática que conocemos para encontrar sus soluciones.
Ejemplo 1.27 Una ecuación de cuarto grado
Resolver la ecuación z4 +1 = 0.
Solución .
Al despejar z de la ecuación, obtenemos z = 4
p
−1; es decir, debemos extraer las raíces
cuartas del número w = −1. Expresando este número en forma exponencial, tenemos
que w = eπi y usando la fórmula de la definición 1.6 para raíces complejas, obtenemos
1. para k = 0 tenemos, e
π
4 i
2. para k = 1 tenemos, e
(
π+2π
4
)
i = e
3π
4 i
3. para k = 2 tenemos, e
(
π+4π
4
)
i = e
5π
4 i
4. para k = 3 tenemos, e
(
π+6π
4
)
i = e
7π
4 i
al convertir a su forma cartesiana nos da las raíces:
1. w1 =
p
2
2 +
p
2
2 i
2. w2 =−
p
2
2 +
p
2
2 i
3. w3 −
p
2
2 −
p
2
2 i
4. w4 =
p
2
2 −
p
2
2 i
21
1.8 Evaluaciones sumativas Álgebra lineal.
Ejemplo 1.28 Ecuación cúbica con coeficientes enteros
Resolver la ecuación z3 +2z2 + z +2 = 0.
Solución .
Factorizamos la parte izquierda de la ecuación
z3 +2z2 + z +2 = z2(z +2)+ (z +2) = (z +2)(z2 +1)
por lo que la ecuación queda (z +2)(z2 +1) = 0 e igualando cada factor a cero
{
z1 =−2,
z2,3 =
p
−1.
al calcular la raíz de −1 tenemos la solución z1 =−2, z2 = i , z3 =−i .
1.8 Evaluaciones sumativas
1.8.1 Ejercicios
1.• Realiza las operaciones indicadas en las siguientes expresiones.
a.• 2(1+3i )− 32 (−2+ i ).
b.• (3−2i )3i + (4+ i )(−2− i ).
c.• (2+2i )2 −4(−5i ).
d.• 3+i2−i +
1
1+i .
e.• (−2) 2+3i1+i + (2− i )
2.
f.• −2i3+i −
2i
3−i .
2.• Comprobar que los números complejos z = 1± i satisfacen la ecuación z2 −2z +2 = 0.
3.• Efectuar las operaciones indicadas en cada caso y expresar el resultado en forma rectan-
gular.
a.• i (1− i
p
3)(
p
3+ i ).
b.• 5i2+i .
c.• (−1+ i )7.
d.• (1+ i
p
3)−10.
4.• Realiza las siguientes operaciones y expresa el resultado en forma rectangular.
a.•
(2+i
1−i +
2−i
1+i + i
)2
. b.•
( 2+i
3+4i −
2i
3−4i
)2
.
5.• Dados los números complejos z1 = 2−3i , z2 =−4i , z3 =−2 y z4 =−1+ i , calcular:
a.• z1 + z2 +Re(z4).Im(z1).
b.• z3z4 − (z3)
3 + (z2)2.
c.• z1z4z2
6.• Dados los números complejos z1 = 2− 2i ; z2 = −3i ; z3 = −2; z4 = −
p
3− i , efectuar las
operaciones indicadas y escribir el resultado en forma polar.
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1.8 Evaluaciones sumativas Álgebra lineal.
a.• (z1)16(z4)2.
b.• z2(z1)3 .
c.• z1z2z3.
d.• z1z4 .
7.• Encontrar todas las raíces de la expresión indicada en cada inciso, expresar el resultado
en forma cartesiana.
a.• 3
p
4−4i .
b.• 4
p
64i .
c.• 5
p
−1+ i .
d.• 4
p
256.
8.• Encuentra todas las raíces de (1+ i )
7
2 en la forma rectangular.
9.• Resuelve los siguientes problemas que incluyen números complejos.
a.• Hallar dos números tales que su suma
sea 6 y su producto 18.
b.• Encontrar una ecuación polinomial
que tenga por raíces −3, 2+ i y 2− i .
10.• Resolver la ecuación planteada en cada inciso.
a.• (2+3i )z +2i = 3−4i . b.• 2i z + 2i1−i = 4i .
232 Matrices y Determinantes
Competencia específica a desarrollar
Manejar las matrices, sus propiedades y operaciones a fin de expresar conceptos y problemas
mediante ellas, en los sistemas de ecuaciones lineales; así como en otras áreas de las mate-
máticas y de la ingeniería, para una mejor comprensión y una solución más eficiente. Utilizar
el determinante y sus propiedades para probar la existencia y el cálculo de la inversa de una
matriz.
Modelar y resolver diferentes problemas de aplicaciones de sistemas de ecuaciones lineales en
el área de las matemáticas y de la ingeniería por los métodos de Gauss, Gauss-Jordan, matriz
inversa y regla de Cramer.
Actividades de Aprendizaje
Consensar en una lluvia de ideas el concepto de matriz y compararlo con una definición
matemática.
Identificar cuándo dos matrices son conformables para la adición de matrices.
Calcular la de suma de matrices.
Identificar cuándo dos matrices son conformables para la multiplicación de matrices.
Calcular el producto una matriz por un escalar y entre matrices.
Enunciar y ejemplificar las propiedades de las operaciones en matrices.
Investigar la definición de tipos de matrices cuadradas. Por ejemplo triangular superior
e inferior, diagonal, escalar, identidad, potencia, periódica, nilpotente, idempotente, in-
volutiva, simétrica, antisimétrica, compleja, conjugada, hermitiana, antihermitiana, or-
togonal.
Utilizar operaciones elementales por renglón para reducir una matriz a su forma de es-
calonada.
Determinar el rango de matrices cuadradas.
Identificar matrices con inversa utilizando el concepto de rango.
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2.1 Definición de matriz, notación y orden Álgebra lineal.
Calcular la inversa de matrices utilizando el método forma escalonada reducida por ren-
glones.
Definirel determinante de una matriz de 2×2.
Definir el concepto de menor y cofactor de una matriz.
Calcular menores y cofactores de una matriz..
Calcular determinantes de matrices de n ×n.
Graficar las ecuaciones de un sistema de de dos ecuaciones con dos incógnitas en un
mismo plano e identificar el tipo de solución según la gráfica.
Clasificar las soluciones de sistemas de ecuaciones lineales homogéneos y no homogé-
neos.
Utilizar un graficador para visualizar geométricamente y así interpretar las soluciones de
sistemas de ecuaciones lineales.
Resolver sistemas de ecuaciones lineales por los métodos propuestos.
2.1 Definición de matriz, notación y orden
El análisis de muchas situaciones en matemáticas, economía e ingeniería conduce al estudio
de disposiciones o arreglos rectangulares de números, por lo que es importante conocer sus
conceptos básicos.
Definición 2.1 Forma de una matriz
Una matriz A de m ×n es un arreglo rectangular de mn números dispuestos en m ren-
glones y n columnas.
A =






a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
am1 am2 . . . amn






donde cada elemento ai j se conoce como entrada o componente de la matriz A.
Observación
En cuanto a la notación matricial, debemos tomar en cuenta lo siguiente:
En matrices siempre se indica primero el renglón y luego la columna; así, la notación
para una matriz A de 2 renglones por cuatro columnas es A2×4 o matriz A de orden
2×4.
Para describir el elemento que está en la posición de cruce del segundo renglón con
la tercer columna escribimos a23.
El orden de una matriz se refiere a la cantidad de renglones y columnas que contiene, con lo
cual podemos establecer la siguiente relación de comparación entre matrices.
25
2.1 Definición de matriz, notación y orden Álgebra lineal.
Definición 2.2 Orden de una matriz
Dos matrices A y B son iguales si son del mismo tamaño (mismo orden) y sus entradas
correspondientes son iguales.
Ejemplo 2.1 Clasificación de matrices
Sean las matrices A =
(
1 2 3
4 5 6
)
, B =



1 2 3
4 5 6
7 8 9



, C =



6 5
4 3
2 1



Con base en la notación matricial, podemos deducir lo siguiente;
El orden de la matriz A es 2×3, El orden de la matriz B es 3×3, El orden de la matriz
C es 3×2.
Las matrices A, B y C no son semejantes entre si, pues tienen distinto orden.
Algunos elementos específicos son: a21 = 4, b13 = 3 y c22 = 3.
2.1.1 Clasificación de una matriz de acuerdo a los elementos que contiene
Como podemos apreciar una matriz o arreglo de números puede contener cualquier cantidad
de renglones y/o columnas, de donde podríamos destacar las siguientes:
En el caso que la matriz contenga un solo renglón y una sola columna, esta matriz se
identifica con un número real.
Si la matriz tiene un (una) solo (sola) renglón (columna) y 2 o más columnas (renglones),
se le conoce como matriz renglón (columna) y se identifica con los vectores.
A las matrices que contienen la misma cantidad de renglones que columnas se les conoce
como matrices cuadradas, y su notación es An×n siendo A una matriz cuadrada de orden
n.
Dentro de las matrices cuadradas, tenemos distintos tipos ellas de acuerdo la cantidad de ceros
que contengan y a la forma en que estén situados. Comenzaremos por la definición más básica
dentro de las matrices. Para ello consideremos que la diagonal principal de una matriz dada,
son los elementos donde el renglón es igual a la columna; es decir, se trata de los elementos
ai j , en el caso de que la matriz sea A.
Definición 2.3 Matriz escalar
Es la matriz que tiene solo una entrada; es decir, tiene un renglón y una columna.
Observación
Esta matriz puede ser la que consta únicamente del cero, pues en realidad la matriz es-
calar representa a los números reales.
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2.1 Definición de matriz, notación y orden Álgebra lineal.
Definición 2.4 Matriz identidad
Una matriz cuadrada se conoce como Matriz Identidad si los elementos de la diagonal
principal son unos y cualquier otra entrada es cero.
Ésta es una de las matrices más importantes, debido a su sencillez y porque aparece en todas
las operaciones matriciales, generalmente la denotamos con la letra mayúscula I .
La matriz Identidad recibe este nombre debido a que cuando se multiplica con cualquier otra
matriz dada, el resultado es esa misma matriz dada (lo mismo que pasa con el 1 de los números
reales).
Una generalización de la matriz Identidad es la siguiente
Definición 2.5 Matriz diagonal
Una matriz cuadrada se conoce como Matriz Diagonal si los elementos de la diagonal
principal son los únicos que pueden ser distintos de cero.
Las matrices de este tipo son muy interesantes, pues existe un grupo importante de matrices
que son semejantes a una matriz diagonal (es decir se pueden transformar mediante operacio-
nes elementales1 en una matriz diagonal).
Una matriz que se puede transformar en una matriz diagonal mediante operaciones elemen-
tales, se conoce como matriz diagonalizable.
Definición 2.6 Matriz triangular
Una matriz cuadrada se llama matriz triangular superior (inferior) si todas sus compo-
nentes abajo (arriba) de la diagonal principal son cero.
Algunas de las características principales de este tipo de matrices son:
1.- Toda matriz cuadrada se puede factorizar como producto de dos matrices triangulares, una
superior y la otra inferior.
2.- Para calcular su determinante 2, basta con multiplicar los elementos de la diagonal princi-
pal.
3.- Toda matriz se puede transformar en una matriz triangular triangular superior o inferior
mediante operaciones elementales.
A continuación se muestran las matrices descritas para el caso 3×3.
(a)
(a) M. Escalar



1 0 0
0 1 0
0 0 1



(b) M. Identi-
dad



a 0 0
0 b 0
0 0 c



(c) M. Diagonal



a 0 0
b c 0
d e f



(d) M. T. Infe-
rior



a b c
0 d e
0 0 f



(e) M. T. Superior
Figura 2.1. Clasificación de matrices.
1En la sección 2.3 se estudiarán estas operaciones
2Se aborda en la sección 2.4
27
2.2 Operaciones con matrices Álgebra lineal.
2.2 Operaciones con matrices
Las matrices, al igual que los números reales, pueden sumarse, multiplicarse y también des-
componerse de varias formas; ésto las convierte en un concepto clave en el álgebra lineal. Sin
embargo, para realizar estas operaciones, debemos tomar en cuenta el orden de las matrices a
operar, pues no siempre es posible realizar estas operaciones.
2.2.1 Suma de matrices.
Para sumar dos matrices es necesario que ambas sean del mismo orden; así, definimos la suma
de matrices como a continuación se describe.
Definición 2.7 Suma de matrices
Sean A, B dos matrices de orden m ×n. Definimos la suma de A con B como la ma-
triz C de orden m ×n que se obtiene al sumar las componentes correspondientes de las
matrices A y B .
Observación
La resta de matrices no está definida como tal; sin embargo, se realiza cuando apa-
recen números reales negativos en las entradas de las matrices (la operación se
lleva a cabo de acuerdo a las propiedades de los números reales).
La suma entre matrices no está definida si no son del mismo orden; es decir, si no
tienen el mismo número de renglones y el mismo número de columnas.
Ejemplo 2.2 Suma de matrices
Sean A =



2 4 −6 7
4 3 2 1
−4 3 −5 5



, B =



0 1 6 −2
2 3 4 3
−2 1 4 4



y C =



0 8
4 −2
−2 −1



.
Observemos que
1. A+B =



2+0 4+1 −6+6 7−2
4+2 3+3 2+4 1+3
−4−2 3+1 −5+4 5+4



=



2 5 0 5
6 6 6 4
−6 4 −1 9



2. La suma A+C y B +C no está definida, pues las matrices no son del mismo orden.
Observación
Del ejemplo anterior se puede ver claramente que A+B = B + A.
En general, dadas las matrices A, B y C , se cumplen las siguientes propiedades en la suma
matricial:
Conmutatividad: en este caso tenemos A+B = B + A.
Asociatividad: es decir, se cumple A+ (B +C ) = (A+B)+C .
Existencia del elemento neutro aditivo: existe una matriz neutradenotada con 0, tal que A +
0 = A para cualquier matriz A, donde los elementos de la matriz 0 son todos igual a cero.
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2.2 Operaciones con matrices Álgebra lineal.
Existencia del elemento inverso aditivo: dada una matriz A existe una matriz D tal que A +
D = 0; esta matriz es D =−A.
2.2.2 Multiplicación de matrices
Dentro de las multiplicaciones matriciales tenemos definidos dos tipos: el producto de un es-
calar (número) por una matriz y el producto de dos matrices.
Definición 2.8 Multiplicación de una matriz por un escalar
Si A es una matriz de m ×n y si r es un escalar, entonces la matriz r A está dada por:
r A =






r a11 r a12 . . . r a1n
r a21 r a22 . . . r a2n
...
...
...
r am1 r am2 . . . r amn






Es decir, se multiplican todos los elementos de la matriz por el escalar. Sin importar el orden y
forma de la matriz, siempre es posible realizar esta operación.
Por el contrario, para multiplicar dos matrices es necesario que el número de columnas de la
primera matriz sea igual al número de renglones de la segunda.
Definición 2.9 Producto de dos matrices
Sea A una matriz de orden m×n y sea B una matriz de orden n×p. Entonces el producto
de A por B es una matriz C de orden m × p en donde, para obtener el elemento ci j ,
debemos multiplicar en la forma
ci j =
n
∑
r=1
ai r br j
Es decir, la entrada i j de AB es la suma de productos donde un factor es una entrada del
renglón i de la matriz A y otro factor es una entrada de la columna j de la matriz B, lo que
se denomina producto punto del renglón i de A con la columna j de B .
Observación
La multiplicación de Am×n por Bp×q solo es posible si n = p.
Si se multiplica una matriz de orden n ×m con otra de orden m × q el resultado
será una matriz de orden n ×q .
Para obtener las entradas de la matriz que resulta en el producto matricial A B , se
multiplica un renglón de la primera matriz por una columna de la segunda. De es-
te modo, si queremos obtener la entrada (AB)11, se multiplica el primer renglón
de A por la primera columna de B y si se quiere obtener la entrada (AB)23 se mul-
tiplicará el segundo renglón de A por la tercera columna de B .
29
2.2 Operaciones con matrices Álgebra lineal.
Ejemplo 2.3 Producto de dos matrices
Sean A =
(
2 0 3
4 1 5
)
y B =



2 5 0
3 6 6
−6 4 −1



dos matrices. Entonces,
A B =
(
4+0−18 10+0+12 0+0−3
8+3−30 20+6+20 0+6−5
)
=
(
−14 22 −3
−19 46 1
)
Obsérvese que no es posible efectuar el producto B A ya que B tiene 3 columnas y
A solo dos renglones.
Observación
En el ejemplo se puede apreciar que no es lo mismo multiplicar A B que B A, por
lo que en la multiplicación de matrices no se cumple la propiedad de conmutati-
vidad.
Cuando se multiplican dos matrices A y B normalmente A B 6= B A, aunque en
ocasiones si se cumple la igualdad.
En general dadas las matrices A, B y C , se cumplen las siguientes propiedades bajo la operación
de multiplicación:
Asociatividad: es decir se cumple A(BC ) = (AB)C .
Existencia del elemento neutro mutiplicativo: es decir A I = A donde I es la matriz identidad.
Distributividad: como no es conmutativa debemos considerar
1. Distributividad por la derecha: es decir (A+B)C = A C +B C
2. Distributividad por la izquierda: es decir C (A+B) =C A+C B
Observación
Elevar una matriz al cuadrado A2 es multiplicar A A y no elevar cada elemento de A al
cuadrado.
Ejemplo 2.4 Operaciones con matrices
Sea A =



2 0 −1
1 1 2
5 −2 3



, encontrar A2 +2A y verificar que es lo mismo que A(A+2I ).
Solución .
A2 + 2A =



−1 2 −5
13 −3 7
23 −8 0



+ 2



2 0 −1
1 1 2
5 −2 3



=



3 2 −7
15 −1 11
33 −12 6



, por
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2.2 Operaciones con matrices Álgebra lineal.
otro lado A(A + 2I ) =



2 0 −1
1 1 2
5 −2 3









2 0 −1
1 1 2
5 −2 3



+2



1 0 0
0 1 0
0 0 1






=



2 0 −1
1 1 2
5 −2 3






4 0 −1
1 3 2
5 −2 5



=



3 2 −7
15 −1 11
33 −12 6



.
Observación
En el ejemplo anterior, al factorizar A2 + 2A = A(A + 2I ) se agregó la matriz identidad
I3×3; esto no afecta a la igualdad y es necesario hacerlo para que esté bien definida la
operación, pues la expresión A+2 no tiene sentido.
2.2.3 Clasificación de matrices de acuerdo a sus operaciones
Cuando hacemos operaciones con matrices pueden suceder cosas raras; por ejemplo, que al
multiplicar dos matrices distintas de cero, el resultado sea la matriz cero. Todavía más com-
plicado es que, al elevar una matriz distinta de cero a una potencia entera, tengamos como
resultado la matriz cero. Este tipo de matrices reciben un nombre especial.
Definición 2.10 Matriz nilpotente
Una matriz A es nilpotente si existe un entero k tal que Ak = 0. Si An 6= 0 para 1 < n < k,
decimos entonces que A es una matriz nilpotente de grado k.
Por ejemplo para la matriz A =



0 1 −1
0 0 2
0 0 0



se puede verificar, después de hacer los cálculos,
que A3 = 0; decimos entonces que A es una matriz nilpotente de grado 3.
Definición 2.11 Transpuesta de una matriz
La transpuesta de una matriz Am×n , que se escribe como At , es la matriz de n ×m ob-
tenida al intercambiar los renglones por las columnas en la matriz A. Tomando ésto en
consideración, tenemos lo que a continuación describimos.
1. Una matriz A se dice que es simétrica si At = A,
2. Una matriz A se dice que es antisimétrica si At =−A.
Definición 2.12 Simetría de matrices
Sea Am×n , una matriz de n×m. Una clasificación de las matrices usando la matriz trans-
puesta, es la siguiente.
1. Una matriz A se dice que es simétrica si At = A,
2. Una matriz A se dice que es antisimétrica si At =−A.
31
2.2 Operaciones con matrices Álgebra lineal.
Observación
Una matriz puede ser simétrica, antisimétrica o ninguna de las dos.
Ejemplo 2.5 Simetría de matrices
Sean A =



0 4 −3
−4 0 2
3 −2 0



, B =



−1 1 5
1 1 −2
5 −2 3



C =



2 0 −1 2
1 1 2 1
5 −2 3 2



. Escribir la
transpuesta de cada matriz dada e identificar si dichas matrices dadas son simétricas,
antisimétricas o ninguna de ellas.
Solución .
At =



0 −4 3
4 0 −2
−3 2 0



, es antisimétrica; B t =



−1 1 5
1 1 −2
5 −2 3



, es simétrica; C t =





2 1 5
0 1 −2
−1 2 3
2 1 2





, no es ninguna de las dos.
Otro tipo de matrices muy importante, por las operaciones que se pueden efectuar con ellas,
son las matrices elementales; éstas se obtienen a partir de una única operación elemental de
matrices sobre la matriz identidad. Las matrices que se obtienen de esta forma se clasifican en:
matriz elemental por escalamiento, matriz elemental por eliminación y matriz elemental por
permutación, de acuerdo a lo siguiente,
Definición 2.13 Matriz elemental por escalamiento
Dada la matriz identidad I de tamaño n×n, la matriz elemental por escalamiento Ee ,es
una matriz que se obtiene al multiplicar un renglón de la matriz I por un escalar.
Las matrices obtenidas por escalamiento tienen la siguiente forma (en el caso de tamaño 3×3):



r 0 0
0 1 0
0 0 1



, que se obtiene al multiplicar un real r por el primer renglón.



1 0 0
0 r 0
0 0 1



, que se obtiene al multiplicar un real r por el segundo renglón.



1 0 0
0 1 0
0 0 r



, que se obtiene al multiplicar un real r por el tercer renglón.
Definición 2.14 Matriz elemental por permutación
Dada la matriz identidad I de tamaño n×n, la matriz elemental por permutación Ep ,es
una matriz que se obtiene al intercambiar dos renglones de la matriz I .
32
M
a
tric
e
s
y
D
e
te
rm
in
a
n
te
s
2.2 Operaciones con matrices Álgebra lineal.
Las matrices obtenidas por permutación, son las siguientes



0 1 0
1 0 0
0 0 1



, que se obtiene al intercambiar el primer renglón con el segundo.



0 0 1
0 1 0
1 00



, que se obtiene al intercambiar el primer renglón con tercero.



1 0 0
0 0 1
0 1 0



, que se obtiene al intercambiar el segundo renglón con el tercero.
Definición 2.15 Matriz elemental por eliminación
Dada la matriz identidad I de tamaño n×n, la matriz elemental por eliminación Eel , se
obtiene al sumarle a un renglón, un múltiplo de uno o varios renglones.
Algunas de las matrices obtenidas por eliminación, se muestran enseguida



1 0 0
a 1 0
0 0 1



, que se obtiene al multiplicar el primer renglón por el escalar a y el resulta-
do sumarlo en el segundo renglón.



1 0 0
0 1 0
a 0 1



, que se obtiene al multiplicar el primer renglón por el escalar a y el resulta-
do sumarlo en el tercer renglón.



1 0 0
0 1 0
a b 1



, que se obtiene al multiplicar el primer renglón por a, el segundo renglón
por el escalar b y los resultados sumarlos en el tercer renglón.
La multiplicación de una matriz arbitraria por una matriz elemental se conoce como operación
elemental y produce como resultado en la matriz A cualquiera de los siguientes efectos:
33
2.2 Operaciones con matrices Álgebra lineal.
Efectos de la multiplicación por matrices elementales
Consideremos una matriz arbitraria A de tamaño n ×n y matrices elementales del mismo
orden.
1) Intercambio de filas. Cuando se multiplica alguna matriz elemental de permutación
Ep por la matriz A.
2) Intercambio de columnas. Cuando se multiplica A por alguna matriz elemental de
permutación Ep .
3) Multiplicación de una línea por una constante distinta de cero. Cuando se multi-
plica alguna matriz elemental de escalamiento Ee por A.
4) Multiplicación de una columna por una constante distinta de cero. Cuando se
multiplica la matriz A por alguna matriz elemental de escalamiento.
5) Sustitución de un renglón por él mismo, más un múltiplo de otro(s) renglón(es).
Cuando se multiplica alguna matriz elemental de eliminación Eel por A.
6) Sustitución de una o varias columnas por ellas mismas más un múltiplo de
otra. Cuando se multiplica A por alguna matriz elemental de eliminación Eel .
Veamos el comportamiento de las matrices al operar con matrices elementales.
Ejemplo 2.6 Efecto número 6 de multiplicación por matrices elementales
Multiplicar la matriz A =



2 1 1
−1 5 −2
4 0 3



con la matriz elemental por eliminación Eel =



1 0 0
0 1 0
2 −3 1



y comentar los cambios que sufre la matriz A.
Solución .
AEel =



2 1 1
−1 5 −2
4 0 3






1 0 0
0 1 0
2 −3 1



=



4 −2 1
−5 11 −2
10 −9 3



Observemos que la primera columna de la matriz AEel es igual a 2 veces la tercera co-
lumna mas la primera de la matriz A, mientras que la segunda columna se obtiene mul-
tiplicando por −3 la tercera columna y sumándola con la segunda de A. Estas multipli-
caciones tienen que ver con los valores de las entradas Eel3,1 = 2 y Eel3,2 = −3 que nos
proporcionan.
34
M
a
tric
e
s
y
D
e
te
rm
in
a
n
te
s
2.3 Matrices escalonadas y escalonadas reducidas Álgebra lineal.
Ejemplo 2.7 Efecto número 3 de multiplicación por matrices elementales
Multiplicar la matriz elemental por escalamiento Ee =



1 0 0
0 −3 0
0 0 1



con la matriz A =



1 −2 3
1 1 −4
5 −3 3



y comentar los cambios que sufre la matriz A.
Solución .
Ee A =



1 0 0
0 −3 0
0 0 1






1 −2 3
1 1 −4
5 −3 3



=



1 −2 3
−3 −3 12
5 −3 3



En este caso unicamente el segundo renglón sufre cambio y consiste en multiplicarlo por
−3. Esto porque la matriz de escalamiento Ee el −3 en el segundo renglón en su diagonal
principal.
Observación
Decimos que una matriz B es equivalente a una matriz A, es decir, B ∼ A si se puede
obtener B a partir de A, usando una secuencia finita de operaciones elementales.
2.3 Matrices escalonadas y escalonadas reducidas
Una matriz equivalente que resulta muy útil en la solución de problemas asociados a matrices,
es la llamada matriz escalonada.
Definición 2.16 Matriz escalonada
Se dice que una matriz es escalonada, cuando satisface:
El primer elemento no nulo de cada fila es un 1.
Si hay filas cuyos elementos son todos cero, están situados en la parte inferior de
la matriz.
El primer 1 de cada fila está a la derecha de los primeros 1’s correspondientes a
filas superiores.
Definición 2.17 Matriz escalonada reducida
Si además de los requisitos anteriores, se satisface que el primer elemento no nulo de
un renglón es el único elemento distinto de cero de la columna donde se encuentra,
entonces decimos que la matriz es escalonada reducida.
Observación
La forma escalonada de una matriz, no tiene porque ser única, pero si lo es su forma
escalonada reducida.
35
2.3 Matrices escalonadas y escalonadas reducidas Álgebra lineal.
Algunos ejemplos de matrices escalonadas, son las siguientes:
A =



1 0 2
0 1 1
0 0 1



B =



1 4 3
0 1 2
0 0 0



C =



1 3 5
0 0 1
0 0 0



Por otro lado, ejemplos de matrices escalonadas reducidas son los siguientes:
D =



1 0 0
0 1 0
0 0 1



E =



1 0 3
0 1 0
0 0 0



F =



1 0 0
0 0 1
0 0 0



Observación
La propiedad más importante que posee una matriz escalonada reducida es que, si ésta
representa una matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales, las soluciones
se pueden encontrar por simple inspección visual.
2.3.1 Método de Gauss
El método de Gauss consiste en encontrar una matriz escalonada equivalente a una matriz da-
da, mediante la aplicación de operaciones elementales (multiplicación por matrices elemen-
tales).
Ejemplificaremos el método de Gauss con la matriz
A =



2 1 −4 2
1 2 2 1
2 2 −1 1



Paso 1 Consiste en hacer que el primer elemento del primer renglón sea 1 (a este elemento se
le conoce como pivote).
Para esto podríamos multiplicar por 1/2 este renglón, sin em-
bargo será más fácil intercambiar los renglones 1 y 2 para obte-
ner



1 2 2 1
2 1 −4 2
2 2 −1 1



Paso 2 Debemos hacer cero los elementos que están por debajo del pivote; esto lo hacemos
cambiando el renglón por una combinación lineal del propio renglón con el primero.
En este caso el nuevo renglón dos será igual a el propio renglón
dos, menos dos veces el renglón uno, denotado por R ′2 = R2−2R1,
para el nuevo renglón tres hacemos R ′3 = R3 −2R1.



1 2 2 1
0 −3 −8 0
0 −2 −5 −1



Paso 3 Ahora se hace que el segundo elemento del segundo renglón (a22) sea igual a 1, (este
será nuestro nuevo pivote).
Para esto el nuevo renglón 2 será R ′2 = −R2 +R3, es decir tene-
mos



1 2 2 1
0 1 3 −1
0 −2 −5 −1



Paso 4 Se hacen cero los elementos que están por debajo del pivote.
En este caso debemos hacer cero el último elemento de la se-
gunda columna y ésto lo logramos con la operación R ′3 = R3 +
2R2



1 2 2 1
0 1 3 −1
0 0 1 −3



36
M
a
tric
e
s
y
D
e
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rm
in
a
n
te
s
2.3 Matrices escalonadas y escalonadas reducidas Álgebra lineal.
Paso 5 Repetir el proceso hasta lograr que la diagonal principal sea de 1’s, y los elementos por
debajo de esta diagonal sean igual a 0.
En este ejemplo ya hemos acabado pues ya se cumple este pa-
so.



1 2 2 1
0 1 3 −1
0 0 1 −3



Observación
1. Las operaciones para hacer cero un elemento deben ser entre el renglón que se
quiere modificar y el que contiene al pivote, y deben tener este orden: R ′n = Rn +
cRp , donde Rp es el renglón pivote; si no se sigue este formato, se corre el riesgo de
alterar los elementos ya modificados.
2. Si la matriz es cuadrada, este método nos lleva a obtener una matriz triangular
superior.
Ejemplo 2.8 Método de Gauss
Considerar la matriz A =



2 8 −2
4 6 6
8 3 −1



, reducirla a una matriz triangular superior por el
método de Gauss, con unos en la diagonal principal.
Solución .
Realizando la operación R ′1 =
1
2
R1 para tener un 1 como primer elemento de la diagonal